Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s."

Sandra Henriksson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Vätevärde, stadardavvkelse och varas Ett statstskt materal ka sammafattas med medelvärde och stadardavvkelse (varas, och s. På lkade sätt ka e saolkhetsfördelg med käda förutsättgar sammafattas med vätevärde,, och stadardavvkelse,. ager vlket medelvärde och ager vlke stadardavvkelse ma ka förväta sg att få om mäter måga gåger. Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 6

2 Vätevärde, stadardavvkelse och varas Οm är e dskret stokastsk varabel med utfallsrummet{x,,...}. Vätevärdet för, E[], ofta beteckat, deferas då som E[ ] x P( x Varase för, ofta beteckad, deferas som V Stadardavvkelse, ofta beteckad med, deferas som [ ] E[( ] ( x P( x E( V[ D ] ( Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 6

3 Vätevärde, stadardavvkelse och varas Om är e kotuerlg stokastsk varabel med frekvesfuktoe f(x. Vätevärdet för, E[], ofta beteckad, deferas då som Varase för, ofta beteckad deferas som Stadardavvkelse, ofta beteckad med, deferas som E [ ] xf ( x dx [ ] E[( ] ( x f ( x dx E[ ] V V [ ] D[ ] Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 63

4 Meda, kvartl och percetl De stokastska varabel har fördelgsfuktoe F(x. Medae deferas som det tal, m, som uppfyller F(m 0,5 De stokastska varabel har fördelgsfuktoe F(x. De p:te percetle deferas som det tal L p som uppfyller F(L p p% (p/00 Med kvartler avses Q L 5, Q L 50 (medae och Q 3 L 75. f(x p% (00-p% L p Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 64

5 Vätevärde, stadardavvkelse m.m med dskret stokastsk varabel med utfall,,, och gve saolkhetsfukto p(x k. Med Mathematca beräkas vätevärde och varas elgt. x{x,x,.., x } px{p(x,p(x,.., p(x } myx.px (skalärprodukt varasx.px-my Mathematca Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 65

6 Vätevärde, stadardavvkelse m.m med kotuerlg stokastsk varabel med utfall och gve frekvesfukto f(x. Med Mathematca beräkas vätevärde och varas drekt med deftoe my varas Mathematca -my Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 66

7 Vätevärde, stadardavvkelse m.m med För de käda fördelgara aväder ma mymea[fördelg]resp. varasvarace[fördelg] medameda[fördelg] kvartlerquartles[fördelg] ex. Mea[BomalDstrbuto[,p]] Varace[ExpoetalDstrbuto[λ]] Meda[PossoDstrbuto[λ]] Quartles[ormalDstrbuto[,]] Mathematca Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 67

8 ågra valga fördelgar Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 68

9 Oberoede stokastska varabler V har stokastska varabler,och Om P( <x och <x P( <x P( <x för alla tal x och x så sägs och vara oberoede stokastska varabler. Jämför: Om A ( <x och B ( <x, A och B oberoede hädelser gäller P( <x och <x P(A B P(AP(B P( <x P( <x Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 69

10 Oberoede stokastska varabler V har stokastska varabler,,..., Om P( <x och <x och... och <x P( <x P( <x... P( <x för alla tal x, x,... x så är,,..., oberoede stokastska varabler Saolkhete för att <x påverkar te saolkhete för de övrga. Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 70

11 Räkeregler för vätevärde och varas för fuktoer av stokastska varabler Sats 5A-C E[a + b] ae[ ] + b V[a + b] a V[ ] E[ + ] V[ + ] E[ ] V[ ] + + E[ ] V[ ], om och är oberoede E[a +... V[a +... om,..., + a ] a E[ ] + a ] a V[ ] är oberoede a E[ ] + a V[ ], Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 7

12 Medelvärde av oberoede försök V har oberoede stokastska varabler,,..., Alla har samma vätevärde: E[ ] Alla har samma varas: V[ ] Sätt Då gäller E[ ] och V [ ] / Detta är tllämplgt vd tll exempel upprepade mätgar på samma varabel Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 7

13 ormalfördelge ormalfördelge är valgt förekommade De bestäms av två parametrar, vätevärde,, samt stadardavvkelse, (, f ( x π ( e x /( x ( t /( F( x e dt π Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 73

14 ormalfördelge För ormalfördelge är F(x omöjlg att beräka uta umerska metoder (de går te att lösa algebraskt Därför fs tabeller för (0,, vlke har fördelgsfuktoe För dea fs tabeller Om (, Φ(x så ( 0, x gäller π att e t / Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 74 P( dt x Φ Φ( x x Φ(x

15 Allmäa egeskaper Sats Om (, och Y Då blr Y (0,. Sats Om œ(, då är E( och D(. Dessutom gäller Y a + b œ (a + b; a Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 75

16 Allmäa egeskaper forts. För alla ormalfördelgar gäller: P(m- < < m P(m- < < m P(m-3 < < m P(m-.96 < < m P(m-.58 < < m P(m-3.9 < < m Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 76

17 Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 77 Fler egeskaper Sats Sats ; ; gäller och oberoede, Om ( ( ; ( ( ; ( ( c c c / ; och ; fås med ; gäller,..., och är gva, och oberoede samt ; ( Om R

18 Cetrala gräsvärdessatse V har oberoede lkafördelade stokastska varabler,,...,, med vätevärdet och stadardavvkelse Om går mot oädlghete gäller att P Φ(x Praktskt: summa av atal slumpvarabler är approxmatvt ormalfördelade om är stort. (Tumregel 30 ormalapproxmatoer är mycket avädbara x Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 78

19 Följder av cetrala gräsvärdessatse Det gäller att är approxmatvt (, / och är approxmatvt ormalfördelad (, Oavsett bakomlggade fördelg, bara är tllräcklgt stort, tum regel: > 30 Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 79

20 Följder av cetrala gräsvärdessatse Om B(, p så gäller ( p, p( p om om Om om är stort, Om Hyp(,, Po( tumregel: V p så gäller är stort, tumregel: V( λ så gäller är stort tumregel : V ( ( p, p( p( p p( ( λ, λ λ p > > 0. p > Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 80

21 Approxmatosregler - cetrala gräsvärdessatse Hyp(,, p (-p(-p /(->0 / < 0, (, p(-p>0 λ>5 p+/ < 0, > 0 λ p B(, p > 0 p < 0, λ p Tllämpad matematk III/Statstk - Sda 8 Po(λ

Relevanta dokument

Formler och tabeller i statistik

Formler och tabeller i statistik KTH STH, Campus Hage Formler och tabeller statstk Arm Hallovc Formler och tabeller statstk Medelvärde och varas = = = ( ) = = = Medelvärde och varas för ett frekvesdelat materal = k = f = k = f ( ) Vätevärde