Formelsamling i statistik

Transkript

1 Formelamlg tattk Vero

2 Ittutoe för formatotekolog och meder Iehåll: eteckgar... 3 ekrvade tattk CETRL- OCH SPRIDIGSMÅTT STDRDVÄGIG ORRELTIO OCH REGRESSIO Saolkhetteor RÄ MED SOLIHETER OMITORI STOSTIS VRILER (SLUMPVRILER SOLIHETSFÖRDELIGR PPROIMTIOSREGLER STICPROVSFÖRDELIGR... 4 Stattk lutledg OFIDESITERVLL HPOTESPRÖVIG TEST TEST V ORRELTIO ICE PRMETRIS TEST... 7

3 Ittutoe för formatotekolog och meder eteckgar Stora boktäver,, etc, beteckar lumpvarabler. Små boktäver, x, etc, beteckar faktka värde på obervatoer. Populatotorleke betecka med. Stckprovtorleke betecka med. Grekka boktäver beteckar populatoe parameter. Ex σ, om beteckar populatoe tadardavvkele Udatag: adele, proportoe betecka va böcker med p rep $p Latka boktäver beteckar kattge av parameter. De katta utfrå tckprovet. Ex, om beteckar tckprovet tadardavvkele. Parameter Parameterkattg (tattka ( populatoe/ ao- ( tckprovet lkhetfördelge Medelvärde μ x Vara σ del, proporto p (alt π $p (alt p orrelato ρ r Geerellt θ $ θ 3

4 Ittutoe för formatotekolog och meder ekrvade tattk. Cetral- och prdgmått Meda: alt Värdet av de mtterta obervatoe vd udda atal obervatoer + Ob r torlekordg medelvärdet av de båda mtterta obervatoera vd jämt atal obervatoer + Obervatoera: och Tpvärde: Det valgate, met förekommade värdet ett materal Stckprovmedelvärde: x x + x + + x x x Populatomedelvärde: μ Varatovdd: Dfferee mella det törta och det mta värdet, max-m vartlavtåd: vtådet mella övre och udre kvartle, Q 3 - Q vartlavvkele: Geomttlgt avtåd frå kvartlera tll medae, Q3 Q Stckprovtadardavvkele: x x x x ( ( x x Populatotadardavvkele: σ ( x μ x μ 4

5 Ittutoe för formatotekolog och meder Om materalet age e frekvetabell: tal olka oberverade värde/olka klaer f abolut frekve; f abolut frekve; f (tckprov f (populato Stckprovmedelvärdet: fx x fx Populatomedelvärdet: μ Stckprovtadardavvkele: f ( ( f x x x f x f x x Populatotadardavvkele: σ f ( x μ f x μ Fraktlmått vd kladelade materal: ( / 00 P x w kf 0 + f de efterökta percetle P varabelvärdet för de ökta percetle x 0 de edre klagräe där de ökta percetle f w klabredd kf 0 kumulerad frekve för x 0 (/00 kumulerad frekve för P f frekve klae 0 5

6 Ittutoe för formatotekolog och meder Stadardvägg Problem: E varabel,, har olka medelvärde eller olka adelar mella kategorera och. Detta dataambad ka kotrollera för e uppdelg klaer/ kategorer efter e tredje varabel. Stadardpopulatometode: Välj e tadardpopulato och aväd de vkter geomgåede. På å ätt ka v drekt jämföra tadardvägda medelvärde. w tadardpopulatoe vkter, tratamedelvärde alt p, p trataadelar v w w alt p SV w p w v w w alt p SV w p w apactetmetode: Geom att beräka hpotetka medelvärde för de olka populatoera, utfrå e törre populato medelvärde, och därefter beräka dextal mella de aa och de hpotetka medelvärdea ka populatoera på ett mer rättvt ätt jämföra. z tratamedelvärde för tadardpopulatoe (e törre populato tratamedelvärde w frekveer, atal, vkter hp w w z I 00 at hp hp w z w I 00 at hp 6

7 Ittutoe för formatotekolog och meder orrelato och regreo ovarae tckprovet: Cov[,] ( x x( orrelatokoeffcete tckprovet: Cov[, ] r ( x x( ( x x( ( x x ( x x x x ( ( ( x ( x ( ( x x orrelatokoeffcete populatoe: Cov[, ] ρ σ σ Regreolje ˆ ˆ ˆ x β + β alteratvt $ a+ b x 0 ˆ β r ( x x( x x ( x x x ( x ˆ β 0 ˆ x ˆ β βx 7

8 Ittutoe för formatotekolog och meder Saolkhetteor 3. Räka med aolkheter, atal elemet med egekape pr( alt pr( omplemetet tll (cke- pr( pr( pr( pr ( pr( eller pr( + pr( pr( och ddtoate pr( och pr( pr( eller pr( pr ( Multplkatoate Sate om total aolkhet pr( pr( E och pr( E pr( E pr( E och pr( E pr( pr( E pr( E pr( E pre ( ae at Oberoede hädeler Hädelera och ka betrakta om oberoede hädeler om: pr( P ( Detta leder tll att ttet mella två oberoede hädeler ka beräka elgt: pr( och pr( P( Om och är oberoede hädeler, å är äve och cke-, cke- och amt cke- och cke- oberoede hädeler. Djukta hädeler Två hädeler äg vara djukta om de är varadra utelutade, dv de ka te träffa amtdgt. pr( ad 0 3. ombatork Permutatoer (ordge är av betdele E ordad följd av x objekt valda frå objekt tal permutatoer: Px! ( x! 8

9 Ittutoe för formatotekolog och meder ombatoer (ordge akar betdele Ett urval av x objekt valda frå objekt (uta hä tll ordge tal kombatoer: (! x!( x! Skrv ockå x x C 3. Stokatka varabler (lumpvarabler pr( x pr( x Vätevärdet E [ ] μ x prx ( Varae ( ( ( Var [ ] σ E ( x μ ( x μ prx ( x prx ( μ E E [ ] Stadardavvkele: d ( σ E ( μ Ljära kombatoer av e lumpvarabel Om a + b, där a och b är kotater å är : E(a+b ae( + b dv μ aμ + b Var[] a Var( dv σ a σ σ a σ Stadarderg av lumpvarabel Om är e lumpvarabel med medelvärdet μ och tadardavvkele σ, μ å har medelvärdet och tadardavvkele 0. σ Summor och dffereer För emella oberoede lumpvarabler, etc gäller: ( + E( E( ( + ( d( ( d( E + d + E ( E( E( ( ( d( ( d( d + Medelvärde och tadardavvkele för umma av obervatoer draga lumpmägt ur e fördelg med medelvärde μ och tadardavvkele σ: μ Sum μ σ Sum σ 9

10 Ittutoe för formatotekolog och meder Saolkhetfördelgar Dkreta aolkhetfördelgar omalfördelge, (, p. tal förök, aolkhete för att lcka p, varabel atal lckade av förök. Saolkhetera (mafuktoe:! pr( x p ( p p ( p x x!( x! x x x x x 0,,,..., Vätevärde: Vara: E( μ p Var( σ p (-p Stadardavvkele: σ p( p Hpergeometrka fördelge, Hp(,,S populatoe torlek, tckprovet torlek, S atalet populatoe av e v kategor, varabel atal tckprovet påträffade av kategor. p S Saolkhetera (mafuktoe: S S ( ( ( Cx C x pr( x x 0,,,..., C Vätevärde: E( μ p Vara: Var( σ p ( p Stadardavvkele: σ σ otuerlga aolkhetfördelgar Lkformga fördelge, U(a,b a x b Saolkhettäthet: f(x b a Vätevärde: E( μ a + b Vara: Var( σ ( b a ormalfördelge, f(μ, σ - x Täthetfukto: f( x e πσ ( x μ σ 0

11 Ittutoe för formatotekolog och meder Vätevärde: E( μ Vara: Var( σ 3.4 pproxmatoregler pproxmera de hpergeometrka fördelge med bomalfördelge är urvalfraktoe udertger 0,. (/ 0, omalfördelge får approxmera med ormalfördelge är p(-p 9. ( tort och p ltet otutetkorrekto förbättrar approxmatoe efterom omalfördelge är dkret och ormalfördelge är kotuerlg. e dkret fördelg motvarar tervallet 0,5<<,5 e kotuerlg fördelg. (Ex > 0 0,5 och 0 0,5 3.5 Stckprovfördelgar tckprovet torlek Saolkhetfördelge för tckprovadele pˆ p( p Medelvärdet (vätevärdet för pˆ är p och tadardavvkele är. Fördelge för är bomal me ka då p p > 9 ( ca approxmera med ormalfördelge. pˆ (. Saolkhetfördelge för tckprovmedelvärdet tag att v har e kvattatv varabel med medelvärdet μ och tadardavvkele σ populatoe. Om mätvarabel är ormalfördelad å är ormalfördelad. Om > 30 (ca. å är approxmatvt ormalfördelad äve om te är det (elgt cetrala grävärdeate. har vätevärdet μ och tadardavvkele σ

12 Ittutoe för formatotekolog och meder Stattk lutledg De tattka feree bgger ofta på att v ka aväda o av ormalfördelge. tge ka v förutätta ormalfördelade varabler, vlket garaterar att tckprovmedelvärdet är ormalfördelat, eller ockå ka v utttja CGS om äger att tckprovmedelvärdet är ormalfördelat är v har tora tckprov. Om v har e käd populatovara ka v aväda z-fördelge, me då v te käer populatovarae ka v ofta aväda t-fördelge. Dea fördelg bekrv av ett atal frhetgrader, df, beroede på hur tora tckprove är. är atalet frhetgrader ökar tederar t-fördelge att bl allt mera lk z-fördelge. Ma ka aväda z-fördelge är atalet frhetgrader övertger 00 uta att felet blr av törre betdele. Har v urval frå ädlga populatoer och urvalfraktoe är törre ä 0%, (/ > 0, aväder v ädlghetkorrekto, e da ofdetervall ofdetervall är uppbggda på följade ätt: Puktkattg ± kofdegrad tadardfel; Där tadardfelet (e är puktkattge tadardavvkele ofdetervall för μ: σ x ± zα e( x x ± zα Fall : är F, σ är käd / / Fall : är F, σ är okäd x ± t e( x x± t df Fall 3: Fördelge är okäd me x ± t e( x x± t df Fall 4: Fördelge är okäd och är tort x ± z e( x x α /. ± α / z x ofdetervall för parva obervatoer, matchg: d t e d d t df Matchade par, och är F ± ( ± d t e d d t df Matchade par, 30 ± ( ± d d ofdetervall för μ - μ, två oberoede tckprov: σ σ Fall : och är F, σ och σ är käda ( x ± zα/ +

13 Ittutoe för formatotekolog och meder x ± t e x x ± t + Fall : och är F, σ σ me okäda, ( ( ( eller < 30, ( + ( + Fall 3 : och är F, σ σ me okäda, ( ( ( eller 30 (( / + ( / df + - x ± t e x x ± t + ([ ] [ ] df alteratvt M, ( / ( / + Fall 4 : och är ej F, me och 30 ( ( ( x ± z e x x ± z + ofdetervall för proportotal: pˆ ± z e pˆ pˆ ± z p(-p 9 ( pˆ( pˆ ofdetervall för kllade mella två proportotal: pˆ ( pˆ pˆ ( pˆ pˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p ± z e p p p p ± z + p (-p och p (-p 9 ( ( ( Hur ma beräkar erforderlg tckprovtorlek: m tllåte felmargal (halva kofdetervallet lägd z är beroede av kofdevå p* ämta värde på p de gva tuatoe z σ > m z m För proportoer gäller: > p* ( p * väd ädlghetkorrekto får formlera följade uteede: > m z σ z σ + För proportoer gäller: > m ( z p p * * + z p *( p* 3

14 Ittutoe för formatotekolog och meder Hpoteprövg α Saolkhete att förkata e a ollhpote ; Saolkhete för tp fel β Saolkhete att acceptera e falk ollhpote ; Saolkhete för tp fel tetvarabel aktuell puktkattg (etmator - hpotetk värde tadardfel (e $ θ θ $ e( θ Populatomedelvärdet μ: Fall : är F, σ är käd Tetvarabel Z μ σ / Fall : är F, σ är okäd Tetvarabel: t μ / μ Fall 3 : är ej F, me 30 Tetvarabel: t / df - df - Fall 4 : är ej F, och är mcket tort Tetvarabel: Z μ Skllad mella två medelvärde vd parva obervatoer, matchg: Matchade par, och är F Matchade par, och är ej F me > 30 Tetvarabel: t Tetvarabel: t d d d d 0 D / 0 D / df - df - Skllad mella två populatomedelvärde, μ - μ, två oberoede tckprov: Fall : och är F, σ och σ är käda: ( (μ μ Z σ σ + Fall : och är F, σ σ me okäda : Tetvarabel: ( ( μ μ t + där ( + ( + df + 4

15 Ittutoe för formatotekolog och meder Fall 3: och är F, σ σ me okäda, eller 30: t ( (μ μ + (( / + ( / ([ ] [ ] df alteratvt df M, ( / ( / + Fall 4: och är ej F, me och 30 Z ( ( μ + μ Populatoproportoe, p: p(-p 9 Tetvarabel Z pˆ p p( p Skllad mella två populatoproportoer, p p : p (-p 9 och p (-p 9 Tetvarabel Z pˆ pˆ pˆ ˆ 0( p0 + där pˆ 0 pˆ + pˆ + Ädlghetkorrekto: Om v har e ädlg populato och tar ett tckprov om är mer ä ca. 0 % av populatoe, dv. urvalkvote >0,, å aväd ädlghetkorrekto. V får e äkrare kattg och korrgerar därför medelfelet å att det mkar med faktor Ex på ädlghetkorrekto: I för μ: x x± z x± z Hpoteprövg för p: Tetvarabel Z p p p( p 5

16 Ittutoe för formatotekolog och meder x - tet 4.3. Goode of Ft (hur väl aluter g oberverade värde tll e gve fördelg? Jämföreler mella oberverade (O och förvätade (E frekveer. Iga förvätade frekveer får udertga 5 Tetvarabel ( O E χ tal frhetgrader (r- E Tet av oberoede Jämföreler mella oberverade (O och förvätade (E frekveer. Iga förvätade frekveer får udertga 5 Var Var... c Totalt O O... O c R O O... O c R r O r O r... O rc R r Totalt C C... C c tckprovtorlek O j oberverad frekve cell,j R radumma för rad C j kolumumma för kolum j r atal rader c atal kolumer E j förvätad frekve cell,j R C j Tetvarabel ( Oj Ej χ E j tal frhetgrader (r-(c- 4.4 Tet av korrelato r är korrelatokoeffcete mella två ormalfördelade varabler. r Tetvarabel t tal frhetgrader - r /( ( 6

17 Ittutoe för formatotekolog och meder Icke parametrka tet Icke parametrka tet aväd är v har må tckprov och te ka ata att materalet är ormalfördelat. V aväder då k fördelgfra tet. Tecketet väd är v har parva obervatoer, k matchg. ge för varje par om dfferee är potv eller egatv. orte frå de fall där dfferee 0. Räka atalet plu- och mu-tecke. Tetfukto: Det atal tecke om förekommer mt. V tetar hpotee att adele plutecke 0,5 Utttja bomalfördelge för att fa gfkavå. Wlcoxo tet väd är v har parva obervatoer, k matchg. lda dffereer för varje par. Ragorda dffereera efter torleke på dera abolutbelopp. Mta dfferee får ragtalet ov. Vd flera lka dffereer, beräka medelvärdet av ragtale. orte frå de fall där dfferee 0. eräka ragumma för de potva och egatva dffereera. Tetfukto: De lägre ragumma av de båda. V tetar hpotee att medae för de bldade dffereera 0. Ttta ärkld tabell efter krtka värde. 7