Grundläggande matematisk statistik

Transkript

1 Grudläggade matematik tatitik Hypotetet I Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@lu.e; uwe.mezel@mattat.de Syfte: Hypotetet o vi tetar på grudval av ett tickprov om e fördeligparameter (μ, σ, λ, ) har ett vit förmodad (hypotetikt) värde, dv. vi tetar e hypote, om valigtvi kalla ollhypote. o dea ollhypote täll mot e alterativ hypote (mothypote) o ollhypotee förkata om tickprovvärdea äger emot dea ollhypote och lutar ig till de alterativa hypotee Exempel för ollhypoteer och alterativa hypoteer om e parameter: o X ~ N μ, σ (det är käd att ormalfördelig föreligger) o ollhypote H 0 : μ = 20 (vätevärdet är 20) o alterativ hypote H a : μ 20 (vätevärdet är ite 20) o X ~ N μ, σ o ollhypote H 0 : μ = 20 (vätevärdet är 20) o alterativ hypote H a : μ > 20 (vätevärdet är törre ä 20) o X ~ N μ, σ o ollhypote H 0 : μ = 20 (vätevärdet är 20) o alterativ hypote H a : μ < 20 (vätevärdet är midre ä 20) o X ~ Bi, p o ollhypote: p = 1 Τ2 (aolikhete att lycka är 1 Τ2) o alterativ hypote H a : p > 1 Τ2 (lh. att lycka är törre ä Τ 1 2 1

2 Kritikt område Exempel: o ett bolag tillverkar färg och påtår: geomittlig torrtid = 20 miuter. o Koumetverket mitäkar att det tar lägre tid, tetar påtåedet: o målar 36 brädor ( = 36) o mäter torrtide (lumpvariabel X) = tickprov o തX ob = 1 Τ36 σ 36 i=1 X i (obervatio = geomittlig torrtid i tickprovet) o det ata att torrtidera är ormalfördelade: X ~ N μ, σ ; o ollhypote H 0 : μ = 20 ; alterativ hypote: H a : μ > 20 Val av kritikt värde / kritikt område: Koumetverket betämmer ig för att tillbakavia (förkata) påtåedet (ollhypotee) om ob > (ett ådat reultat gyar H a ) acceptera hypotee förkata hypotee μ = 20 påtåedet, hypote kritikt värde ob (geomittlig torrtid i tickprovet) Värdet verkar vara godtyckligt! Vi ka eare e att det kritika värdet beräka på grudval av felrike. Feltyper Feltyper: är ett ådat kritikt värde fixera, är det oudvikligt att rikera två typer av fel: Fel typ I: det är möjligt att ob > äve om hypotee μ = 20 tämmer: vi förkata hypotee, trot att de är a Fel typ II: det är möjligt att ob < äve om hypotee μ = 20 är falk: vi acceptera hypotee, trot de är falk Dea fel ka förekomma för att vi fattar vara belut på grudval ett (eller fler) tickprov, om tyr av lumpe. acceptera H 0 förkata H 0 H 0 är a korrekt fel typ I H 0 är falk fel typ II korrekt H 0 = ollhypote 2

3 Saolikhete att göra ett fel typ I: Fel typ I: förkata ollhypotee, fatä de är a Låt o ata att σ är käd: σ = 2.4. Om hypotee är a: μ = 20 ( = 36) (är H 0 a) f തX quatile_plot.r μ = % rik att göra ett fel typ I Saolikhete att göra ett fel typ II: β Fel typ II: acceptera hypotee, fatä de är falk Atagade: σ = 2.4 (käd); hypotee är falk, t.ex. μ = 21 ; = 36 (är H 0 falk) f തX β μ = 21 ca. 27% rik att göra ett fel typ II quatile_plot.r 3

4 Kompromi mella och β Saolikhete för fel typ II, β = 27%, verkar vara tor. Fråga: Varför ite förkjuta det kritika värdet till midre värde, t. ex. 20.5, för att förmika β? μ = 20 (H 0 tämmer) μ = 21 (H 0 tämmer ite) Svar: Om det kritika värdet förkjutit till midre värde å blir β midre, me blir törre vi måte kompromia mella och β, dv. mella rik för fel typ I och rik för fel typ II. β krit. värdet (20.75) Juterig av fel typ I () I praktike fattäll frå börja. Det kritika området beräka eda med hjälp av det hypotetika värdet för parameter (e ere). kalla iifikaivå. Ofta välj = 0.05 eller = Att jutera β är däremot met vårt: i exemplet atog vi att μ = 21 om hypotee är falk. Detta ka vi dock ite veta efterom de aa fördeligparameter μ är ju okäd. Ma ka evetuellt beräka β för flera giade värde μ, eller e fuktio β(μ) för ett vit μ itervall: β β μ Om μ blir törre förkjut fördelige mot höger. Om amma kritika värdet bibehåll blir β midre: uwe.mezel@mattat.de μ β μ = 21 kritikt värde 4

5 ҧ Nollhypote (H 0 ), olika alterativa hypoteer (H a ) H 0 H a tet μ = μ 0 μ > μ 0 eidigt ω = kritikt värde förkata H 0 för x ob > ω H 0 H a tet μ = μ 0 μ < μ 0 eidigt förkata H 0 för x ob < ω H 0 H a tet μ = μ 0 μ μ 0 tvåidigt 2 2 förkata H 0 för x ob < ω Τ2 eller x ob > +ω Τ2 (för ymmetrik fördelig) Nollhypote, olika alterativa hypoteer Exempel, tvåidigt tet: E byggelemet måte ha diameter 30 cm, de får ite avvika till högre eller midre värde. Nollhypote (H 0 ): μ 0 = 30 ; förkata H 0 om x ob > 30.5 eller ob < Exempel, eidigt tet: E gammal maki producerar geomittligt 2500 kompoeter per dag: μ 0 = Köpa e y, dyrare maki? bara om μ (för de ya makie) är högre! täller upp H a : μ > μ 0 köp de ya bara om H 0 ka förkata! μ 0 5

6 Val av igifikaivå I praktike fattäll frå börja. Det kritika området beräka eda med hjälp av det hypotetika värdet för parameter. Parameter kalla iifikaivå. Ofta välj = 0.05 eller = = 0.05 betyder: i det låga loppet blir H 0 felaktigt förkatat i 1 av 20 tet = 0.01 betyder: i det låga loppet blir H 0 felaktigt förkatat i 1 av 100 tet Koekveera av valet för måte överväga oggrat: för exemplet torrtide : midre, t.ex. = 0.01 o = 0.01 det kritika värdet kifta t.ex. frå till 21.5 o är bättre för tillverkare koumetverket förkatar ite å lätt dera påtåede (att torkigtide är 20 miuter) o me kake ämre för koumetera möjligtvi är torkigtide ite bättre ä kokurretera likvärdig produkt för met pegar Val av igifikaivå I praktike fattäll frå börja. Det kritika området beräka eda med hjälp av det hypotetika värdet för parameter. Parameter kalla iifikaivå. Ofta välj = 0.05 eller = Midre betyder att ma ka vara mera äker att H 0 verklige är falk om de förkata, rike för ett fel typ I förmika ju. är = 2 förkata H 0 fört är ob avviker äu mer frå μ 0 μ 0 1 = = 0.01 quatile_plot.r 6

7 Beräkig av det kritika värdet utav igifikaivå Om ollhypotee H 0 : μ = μ 0 gäller är X i ~ N(μ 0, σ) : തX ~ N μ 0, σ തX μ 0 σ ~ N(0, 1) Om σ måte katta med blir det: തX μ 0 ~ t( 1) Vi ka beräka det kritika värdet ω med hjälp av följade ekvatio (om H a μ > μ 0 ): P തX > ω H 0 a = Detta är lh.:e att göra ett fel typ I om vi förkata ollhypotee för tora värde av തX, dv. om de alterativa hypotee är H a : μ > μ 0. Vi måte ta fram ω ur dea ekvatio (kritikt värde). Beräkig av det kritika värdet P തX > ω H 0 a = H 0 : μ = μ 0 H a : μ > μ 0 P തX ω = 1 omforma i paratee (H 0 a kippat) här igår ollhypotee X P ത μ 0 ω μ 0 = 1 väter terme i paratee är t-fördelad X P ത μ 0 t 1 = 1 gäller allmät för t-fördelig. t = -kvatil Geom att jämföra de ita två ekvatioera ka vi dra lutate att: ω μ 0 = t 1 ω = μ 0 + t 1 7

8 Beräkig av det kritika värdet ω = μ 0 + t 1 kritikt värde ω ; för H a : μ > μ 0 Ω = kritikt område ω = kritikt värde, där Ω börjar μ 0 ω Ω H a : μ > μ 0 H 0 förkata om ob hamar i det kritika området, dv. om ob > ω ob > μ 0 + t 1 H 0 förkata Det kritika värdet för olika alterativhypote ω = μ 0 + t 1 förkata H 0 om ob > ω eidigt tet; H a : μ > μ 0 dv. om ob > μ 0 + t 1 ω = μ 0 t 1 förkata H 0 om ob < ω eidigt tet; H a : μ < μ 0 dv. om ob < μ 0 t 1 ω 2,1 = μ 0 ± t 1 2 tvåidigt tet; H a : μ μ 0 förkata H 0 om ob < ω 1 eller ob > ω 2 t ( 1) : kvatil för t-fördelige med 1 frihetgrader Om σ är käd: σ och t 1 λ 8

9 ҧ Sammafattig: Tetvariabelmetode 1. Defiiera ollhypote (H 0 ) och alterativ hypote (H a ) 2. Slå fat igifikaivå P fel typ I = 3. Betäm tetvariabel ( ob, ) och det kritika värdet för de 4. Beräka tetvariabel på grudval av tickprovet. 5. Avgör om ollhypotee förkata eller ite (om tetvariabel ligger i det kritika området) H 0 förkata ite om Sammahaget mella hypotetet och kofideitervall För det eidiga tetet H a : μ > μ 0 hade vi beräkat att vi förkata H 0 om ob > μ 0 + t 1 ҧ x ob < μ 0 + t 1 μ 0 > x ob t 1 alltå om Kom ihåg det eidiga kofideitervallet för μ (F9, itervallkattig): Detta betyder att vi accepterar H 0 : μ = μ 0 på igifikaivå om μ 0 ligger i repektive kofideitervall med kofidegrad 1. Detta gäller ockå för de adra variater av alterativa hypoteer. För att geomföra hypotetet ka ma alltå ockå aväda kofidemetode 9

10 Kofidemetode 1. Beräka ett kofideitervall (KI) med kofidegrad 1 för parameter θ om ka teta på grudval av tickprovet. 2. Acceptera H 0 : θ = θ 0 på igifikaivå om de hypotetika parameter θ 0 ligger i detta kofideitervall, dv. om θ 0 I θ. 3. Förkata H 0 på igifikaivå om de hypotetika parameter θ 0 ligger utaför detta kofideitervall, dv. om θ 0 I θ. förkata H 0 om θ 0 ligger utaför KI:et acceptera H 0 om θ 0 ligger i KI:et förkata H 0 om θ 0 ligger utaför KI:et Tetvariabelmetode och kofidemetode leder till amma lutater. Detta fugerar för eidiga och tvåidiga tet. Om θ 0 ligger i kofideitervallet betyder det ju att θ 0 fi blad de troliga värde för de aa parameter. E 3:e, kake de viktigate metode, är direktmetode Direktmetode Direktmetode aväd ofta i praktike. Ett å kallad p-värde beräka. Defiitio p-värdet ( p.value ): P-värdet = aolikhete för att erhålla ett utfall mit å extremt om det faktikt oberverade, givet att ollhypotee är a. Utfall ae om extrema om de ligger lägre bort frå ollhypotee, getemot de alterativa hypotee; de är midre aolika ä ob om H 0 är a. eidigt tet H 0 : μ = μ 0 H a : μ > μ 0 p Iget kritikt område defiera, p- värdet räka ut direkt. Om p-värdet är midre ä ett fattällt igifikaivå betyder det att det oberverade utfallet - och de äu mer extrema utfalle - är (mycket) oaolika om H 0 ata vara a. H 0 förkata därför. μ 0 xob ҧ 10

11 ҧ Direktmetode Direktmetode, exempel: (ur: Alm, Britto: Stokatik, Liber AB, Stockholm 2008) E pero påtår ig vara tillräckligt figerfärdig för att kua påverka vilke ida om kommer upp vid mytkat, å att ha får kroa oftare ä klave, dv. p = P kroa > 1 Τ2. Vi är keptika och tror att p = 1 Τ2. För att teta påtåedet får ha göra 10 kat och vi är beredda att tro hoom om ha får tillräckligt måga kroa vid föröket. H 0 : p = 1 Τ2 ; H a : p > 1 Τ2 (eidigt tet) X: atal kroa i 10 förök. X ~ Bi(10, 0.5) uder H 0. Vi vill teta på igifikaivå = 0.01 dv. vi tror hoom om p-värdet < Föröket gav x = 8 kroa i 10 förök. obervatio äu mera extrema Facit: p > 0.01 H 0 förkata ite på igifikaivå (De förkata ite e på igifikaivå 0.05) Vi tror ite att ha ka påverka latiglig (för att det är fortfarade gaka aolikt att ha katar 8 kroor äve om p = 1 Τ2 ). Direktmetode, exempel: Direktmetode Ytor av via elektroika kompoeter måte ha e kopparkikt om är 30 µm tjock. Skiktet får varke vara för tjock eller för tu. Ytora av = 10 kompoeter har mätt, med reultat x = 32.2 ; 32.0 ; 30.4 ; 31.0 ; 31.2 ; 31.2 ; 30.3 ; 29.6 ; 30.5 ; x ob = Av låg erfarehet vet ma att tjockleke är ormalfördelad med σ = (vi kommer att räka med okäd σ eare ). Om H 0 är a gäller μ = μ 0 = 30, alltå: H 0 : μ = 30 ; H a : μ 30 (tvåidigt tet, efterom kiktet får varke vara för tjock eller för tu, avvikeler i båda riktigar ka ite tolerera ) 11

12 Direktmetode Direktmetode, exempel: H 0 : μ = 30 ; H a : μ 30 ob = (tvåidigt tet) Vi ka utyttja ymmetri: båda markerade område är lika tora: H μ 0 = 30 ob = tvåidigt tet: båda markerade område extremare ä ob! p < : H 0 förkata. Stickprovet avlöjar på igifikaivå (!) att avvikelera är för tora. Sammafattig: Direktmetode 1. Defiiera ollhypote (H 0 ) och alterativ hypote (H a ) 2. Slå fat igifikaivå 3. Beräka tetvariabel på grudval av tickprovet 4. Beräka p-värdet. 5. Förkata H 0 på igifikaivå om p <, aar acceptera H 0 eidigt tet H 0 : μ = μ 0 H a : μ > μ 0 tvåidigt tet H 0 : μ = μ 0 H a : μ μ 0 p μ 0 xob ҧ μ 0 = 30 ob =