Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna

Transkript

1 UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel: Eget hadkrivet formelblad (A4), utdelad tabellamlig, miiräkare med tömt mie Studetera får behålla tetameuppgiftera. E mmetrik tärig kata e gåger. Betäm aolikhete för att ma får a) mit e ea. Låt X = atal eor på e kat X Bi(6, /6). P(X ) = P(X = 0) = (/6) 6 = 0,66. b) eakt två eor, varav de adra ea i det jätte katet. Låt A = ea i det jätte katet. P(X = A) = P( e ea på de fem förta kate A) = 4 (/ 6) ( / 6) (/ 6) = 0,067.. E lumpvariabel X har utfallrummet Ω = { -3, -, 0, }. Ma vet att P(X = -3) = P(X = -) = p och att P(X = ) = p. a) Betäm E(X). E(X) = -3p + (-)p +0P(X=0) + (p) = 0. b) Vilket värde på p maimerar V(X)? Täk på att p måte välja å att X får e aolikhetfördelig. V(X) = E((X-E(X)) ) = E(X ) = (-3) p + (-) p + 0 P(X=0) + (p) = 8p. Vi kall alltå välja p å tor om möjligt, me vi vet att 0 < p < och p + p +P(X=0) + p =. Vi får alltå att p = ( - P(X=0))/4. Störta täkbara värdet på p får vi om P(X=0) = 0. Då blir p = /4 och V(X) = 4,. Svaret blir ålede p = /4.

2 3. Vid kjutig med artilleri vill ma att pridige i idled ite kall vara för tor me ite heller för lite. Atag att pridige krig de avedda träffpukte (ehet: meter) är N(0, ) och att olika kott är oberoede av varadra. Ma kjuter två kott. Beräka aolikhete att avtådet i idled mella de två edlage är mer ä 0 me midre ä 30 meter. Avtådet i idled mella de två kotte: X X. P(0 < X X < 30) = P(0 < (X X ) < 30) + P(-30 < (X X ) < -0) = P(0 < (X X ) < 30) av mmetrikäl (Rita e bild!) (X X ) N(0 0, + ), dv N(0,,3). 0 0 X X P(0 < (X X ) < 30) = P( < < ) = P(0,47 < Z <,4) = (Φ(,4) - Φ(0,47)),3,3,3 = (0,907 0,6808) = 0, På e vi kur fi 0 plater. Ma vet eda tidigare år att aolikhete att e atage tudet verklige går kure är 0,3. Atag att ma atar 40 tudeter till kure. a) Vad är aolikhete att kure ite blir full, dv atalet tudeter blir färre ä 0? Låt X = atal ataga tudeter om går kure X Bi(40, 0,3). p = 40(0,3) = 3. ( p) = 40(0,7) = 3. Båda > 0 Normalapproimatio OK. X ~ N(3, 9,7) X 3 + 0, , P(X < 0) = P(X 49) = P( ) P( Z,49) = Φ(,49) = 0,93. 9,7 9,7 b) Vad är det högta atal elever ma får ata om ma vill att aolikhete att kure ite blir full kall vara mit 0,99? X 0,3 + 0, 49 0,3 + 0, 49, 0,3 P(X 49) 0,99 P( ) 0,99 Φ( ) 0,99 (0,3)(0,7) (0,3)(0,7) 0, 49, 0,3 λ 0, 0,0 49, 0,3 (,363)(0,) / 30, 89,7 + 0,09, , , 0 4, efterom måte vara midre ä båda röttera till ekvatioe.

3 . Koumetpriide har utvecklat på följade ätt uder åre 996 till och med 003. År KPI 6,0 7,3 7,0 8, 60,7 67, 7,8 78, a) Bilda e ideerie av KPI-erie ova med 996 år pri om ba. År Ide 00,0 00, 00,4 00,8 0,8 04,3 06,6 08,6 b) Vad kulle e vara kota 003 om de med hä taget till KPI kulle kota lika mcket om e vara om 996 kotade 0 kroor? 0,08638 kr =,73 kr. c) Hur tor har de geomittliga årliga iflatioe varit i Sverige mella 996 och 003 eligt KPI? Totalt ökade KPI 8, 638% på de 7 åre, dv 00p 7 = 08,638 och vi får att p = (,08638) /7 =,09. De geomittliga årliga iflatioe mella 996 och 003 har eligt KPI varit,9%. 6. I e artikel i New York Time 988 preeterade reultatet av ett förök där ma tuderade om apiri hade ågo effekt mot hjärt- och kärljukdomar. Förökgruppe betod av 39 maliga läkare i Storbritaie. 349 lumpmäigt utvalda läkare tog daglige e apiri-tablett, meda de övriga 70 ite åt apiri. Efter e år oberverade ma att i de förta gruppe (om åt tabletter) hade 48 tcke avlidit i hjärt- och kärlrelaterade jukdomar. Motvarade iffra i de adra gruppe var 79 tcke. Ger tudie tatitikt äkertällda belägg för att apiri har effekt mot hjärt- och kärljukdomar? Låt p A = P( läkare om äter apiri varje dag dör av hjärt- och kärlrelaterad jukdom iom e år ) och P B = P( läkare om ite äter apiri varje dag dör av hjärt- och kärlrelaterad jukdom iom e år ). Bilda ett 9% kofideitervall för p A p B och avgör om itervallet täcker olla eller ite. A = 349 och B = 70 är å tora att A p A och B p B är törre ä 0 äve om p A och p B är mcket må. Vi ka alltå aväda ormalapproimatio och får itervallet A A B B ˆ A pˆ B ± λ 0, 0 + ) = A B ( p pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) (0,0436)(0,9684) (0,0460)(0,9380) = (0,0436 0,0460 ±,96 + ) = (-0,00304 ± 0,00) = = (-0,0, 0,009). Efterom itervallet iehåller värdet oll är det ite utelutet att apiri ej har effekt. Vi har alltå iga tatitikt äkertällda belägg för apiri-effekt mot hjärt- och kärljukdomar. 7. De viltvårdade mdighete i Florida vill kua katta alligatorera vikt i dera aturliga miljö. Ma fågade därför tcke alligatorer och mätte dera olägder och vikter för att utröa om ågot ambad mella dea variabler föreligger. Take är att det är lättare att mäta olägde på e alligator i Florida träkmarker ä att väga deamma. För de alligatorera erhöll följade tabell (i lämpliga alligatoreheter): Nolägd

4 Vikt Nolägd Vikt Atag e lijär modell där vikte ho alligatorer ka bekriva lijärt av olägde, och där lumpfele täk vara oberoede och ormalfördelade med kotat varia. När ma aväder mita kvadratmetode fick ma följade kattade modell: Förklariggrade R betämde till 98,%. = - 8,48 + 3,43 a) Verkar det vettigt att mäta olägde ho alligatorer är ma i jälva verket är itreerad av de vikt? Motivera. Det verkar kua vara vettigt. Förklariggrade är hög och ett pridigdiagram viar att ett lijärt ambad verkar rimligt. 6, Scatterplot of v 6,0,,0 4, 4,0 3, 3,0 3,4 3, 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4, 4, 4,3 b) Betäm korrelatiokoefficiete r. r = R = 0,990. Tecket är poitivt efterom lije har poitiv lutig. c) Vad är förklariggrade ett mått på? Det mäter hur tor del av de urprugliga variatioe i alligatorvikt om ka förklara av ett lijärt ambad med olägd. d) Vid ett mätigtillfälle lckade ma mäta e olägd på 3.7 på e alligator, vad kulle du gia dea alligator vikt till? Vi ätter i olägde = 3,7 I de kattade modelle och får - 8,48 + 3,43 3,7 = 4, vikteheter.

5 8. På e löig med det okäda ph-värdet µ har ma gjort fra ph-betämigar: 4,3 4, 4,3 4,37. Vidare har ma med amma mätare gjort e betämigar på e löig med det käda ph-värdet 4,84: 4,7 4,63 4,69 4,76 4,8 4,83. Modell: ph-mätare har ett tematikt fel δ (lika tort vid varje mätig) amt ett lumpmäigt fel (varierar frå mätig till mätig) om är N(0, σ)-fördelat. δ och σ är okäda. a) Aväd amtliga mätvärde för att få e å bra puktkattig om möjligt av µ. Kalla de förta fra mätvärdea för,, 3 och 4. Dea är oberoede obervatioer frå N(µ + δ, σ). De adra mäterie beteckar vi,, De är oberoede obervatioer frå N((4,84 + δ, σ). Vi ka katta δ med ˆ δ = 4, 84 = 4,70-4,84 = -0,4. Vi ka u katta µ med ˆ µ = ˆ δ = 4,8 - (-0,4) = 4,4. b) Aväd amtliga mätvärde för att få ett å kort 9 %-igt kofideitervall för µ om möjligt. ˆ µ N ( E( X ) E( ˆ), δ V ( X ) + V ( ˆ)) δ ). E ( X ) E( ˆ) δ = µ + δ δ = µ. σ σ V ( X ) +V ( ˆ)) δ = + = σ. 4 6 ˆ µ µ N(0,) ( ˆ µ ± λ 0, 0σ ) är ett 9% kofideitervall för µ om σ är käd. σ Nu måte vi katta σ. Frå det förta tickprovet ka vi bilda adra tickprovet ka vi bilda gemeam σ kattig: = i= = 3 4 i= ( i ) = 0,008 och frå det 6 = ( i ) = 0, Dea kattigar ka väga ihop till e ( ) + ( + ) det tår ite i boke. Jag kommer därför att rätta liberalt ) = 0,0069. (Detta teg har vi ite gått igeom och Om vi bter ut σ mot och λ 0,0 mot t 0,0 ( + -) =,306 i kofideitervallet ova får vi: (4,4 ± (,306)(0,0834)(0,64) ) = (4,4 ± 0,4) = (4,30, 4,49).