Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Transkript

1 Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli

2 Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid

3 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde Puktskattig: att aväda e stickprovsstatistika som e uppskattig av motsvarade populatiosparameter Dock: stickprovsstatistikor är slumpvariabler och atar olika värde för varje stickprov. Hur ska vi hatera de osäkerhete? Vi ka bilda ett kofidesitervall för populatiosmedelvärdet: vi lägger ett osäkerhetsitervall krig puktskattige vilket tillåter oss att med e viss säkerhet säga att de okäda populatiosparameter täcks av itervallet. 3

4 Dubbelsidigt kofidesitervall för populatiosmedelvärde med hjälp av ormalfördelig Två fall: 1. OSU där > 30. X ka vara fördelad hur som helst, σ ka vara käd eller okäd 2. OSU där < 30. X måste vara ormalfördelad och populatiosstadardavvikelse σ måste vara käd. Dubbelsidigt kofidesitervall med kofidesgrad 1 - α: x ± z där z-värde hämtas frå ormalfördeligstabell (bilaga B) 1 α / 2 I praktike ovaligt att populatiosstadardavvikelse σ är käd! σ 4

5 Exempel Ett slumpmässigt urval (OSU) om 40 studeter vid Liköpigs uiversitet ger medelålder 21.2 år och stadardavvikelse 4.4 år. Bestäm ett itervall som med 95 procets säkerhet täcker de saa medelålder blad studerade vid Liköpigs uiversitet. 5

6 Ekelsidiga kofidesitervall för populatiosmedelvärde m.h.a. ormalfördelig Nedåt begräsat kofidesitervall: Uppåt begräsat kofidesitervall: σ µ > x z1 α σ µ < x + z1 α Exempel: Styrelse i e bostadsrättsföreig får i klagomål på att golvvärme i badrumme är för låg. Ma drar ett OSU om 35 badrum och mäter golvvärme där. Medeltemperature beräkas till 21 grader och stadardavvikelse till 1.6 grader. Eergimydighete rekommederar att golvvärme ska ligga på mist 20 grader för att ma ska udkomma problem med fuktskador. Föreligger risk för fuktskador i föreiges badrum? 6

7 Kofidesitervall för populatiosmedelvärde m.h.a. t- fördelig Krav: OSU där < 30. X måste vara ormalfördelad, me populatiosstadardavvikelse σ är okäd. Dubbelsidigt kofidesitervall med kofidesgrad 1 - α: x ± t 1;1 α / 2 Nedåt begräsat kofidesitervall med kofidesgrad 1 - α: µ > 1 x t 1; α Uppåt begräsat kofidesitervall med kofidesgrad 1 - α: µ < 1 x + t 1; α där t-värde hämtas frå t-fördeligstabell (bilaga B) s s s 7

8 t-fördelige t-fördelige aväds för att lösa likade typer av problem som ormalfördelige, me lämpar sig är variabel är ormalfördelad, stickprovet är relativt litet och populatiosstadardavvikelse är okäd. t-fördelige är precis som ormalfördelige symmetrisk. t-fördelige defiieras av atalet frihetsgrader, eller eklare uttryckt atalet oberoede bitar av iformatio. Atalet frihetsgrader bestäms av atalet observatioer () mius atalet skattade parametrar (exempelvis µ). E viktig egeskap hos t-fördelige är att de ärmar sig (kovergerar mot) ormalfördelige är atalet frihetsgrader ökar. E valig tumregel är att betrakta t-fördelige som approximativt ormalfördelad om stickprovet består av 30 eheter eller fler. Frihetsgrader

9 Exempel Ett slumpmässigt urval (OSU) om 20 studeter vid Liköpigs uiversitet ger medelålder 21.2 år och stadardavvikelse 4.4 år. Atag att ålder är e ormalfördelad variabel. Bestäm ett itervall som med 95 procets säkerhet täcker de saa medelålder blad studerade vid Liköpigs uiversitet. 9

10 Kofidesitervall för populatiosadel med hjälp av ormalfördelig Krav: OSU där p(1-p) > 5 Dubbelsidigt kofidesitervall för populatiosadele π: ( p) p 1 p ± z1 α / 2 där värdet på z hämtas ur ormalfördeligstabelle (Appedix B) Nedåt begräsat kofidesitervall: π > p z 1 α p ( 1 p) Uppåt begräsat kofidesitervall: π < p + z 1 α p ( 1 p) 10

11 Exempel I e hälsoekät tillfrågades 100 slumpmässigt utvalda aställda vid ett stort företag om huruvida ma regelbudet motioerar eller ej. Svar erhölls frå 84 aställda och av dessa svarade 65 ja. Bestäm ett 95-procetigt kofidesitervall för adele av de aställda vid det stora företaget som regelbudet motioerar. 11

12 Hypotesprövig Vi ställer upp två motsatta hypoteser Nollhypotese (de vi ite tror på och hoppas på att kua förkasta) Alterativhypotese/mothypotese (de vi tror på; om vi ka förkasta ollhypotese har vi stöd för alterativhypotese) Vi udersöker om det är troligt att få värdet på vårt stickprovsmedelvärde (exempelvis) om ollhypotese är sa. Är det troligt ka vi ite förkasta ollhypotese. Är det ej troligt ka vi förkasta ollhypotese. Exempel: I ett OSU omfattade 40 persoer blad medlemmara i ett politiskt parti i e regio är medelålder 42.3 år och stadardavvikelse 7.1 år. Testa på 5% sigifikasivå om medelålder blad medlemmara i partiet uderstiger 45 år. 12

13 Hypotesprövig om populatiosmedelvärde Steg 1: Formulera hypoteser och välj sigifikasivå H 0 : µ = µ 0 Nollhypotes H a : µ > µ 0 H a : µ < µ 0 Tre sorters mothypoteser. Valet av ekelsidig eller dubbelsidig mothypotes bestäms av frågeställige H a : µ µ 0 α = sigifikasivå = riske att förkasta H0 trots att H 0 är sa Valiga värde på α: 5%, 1% eller 10% (jämför kofidesivå 95%, 99% eller 90%) 13

14 Hypotesprövig om populatiosmedelvärde Steg 2: Bestäm testvariabel z = x µ σ / z väljs vid > 30, eller < 30 om ormalfördelat X samt käd varias t väljs vid < 30 om ormalfördelat X samt okäd varias Steg 3: Ska vi tro på H 0 eller H a? Udersök om testvariabel faller i acceptasområde (förkasta ej H 0 ) eller i kritiskt område (förkasta H 0 ) Om H a : µ < µ 0 ligger det kritiska området till väster om det kritiska värdet z α resp. t -1;α Om H a : µ > µ 0 ligger det kritiska området till höger om det kritiska värdet t 1-α resp. t -1;1-α Om H a : µ µ 0 har vi kritiska område både till väster och höger om de kritiska värdea som är z α/2 resp. t -1;α/2 samt z 1-α/2 resp. t -1;1-α/2 Steg 4: Dra slutsats 0 t = x µ 0 s / 14

15 Hypotesprövig för populatiosadel Krav: OSU där p(1-p) > 5 Steg 1: Formulera hypoteser och välj sigifikasivå H 0 : π = π 0 H a : π > π 0 H a : π < π 0 H a : π π 0 Steg 2: Bestäm testvariabel z = π p π 0 ( 1 π )

16 Hypotesprövig för populatiosadel Steg 3: Ska vi tro på H 0 eller H a? Om H a : π < π 0 ligger det kritiska området till väster om det kritiska värdet z α Om H a : π > π 0 ligger det kritiska området till höger om det kritiska värdet z 1-α Om H a : π π 0 har vi kritiska område både till väster och höger om de kritiska värdea som är z α/2 respektive z 1-α/2 Steg 4: Dra slutsats 16

17 Exempel I e hälsoekät tillfrågades 100 slumpmässigt utvalda aställda vid ett stort företag om huruvida ma regelbudet motioerar eller ej. Svar erhölls frå 84 aställda och av dessa svarade 65 ja. Tidigare erfarehet har visat att 80% motioerar. Udersök om det på 5% sigifikasivå fis belägg för påståedet att adele regelbuda motioärer blad de aställda vid företaget skiljer sig frå 80%. 17

18 Ska vi tro på H0 eller Ha? p-värdesmetode p-värde = saolikhete för att vår testvariabel ska ata ett värde som det vi observerat eller äu lägre ifrå μ 0 sett i de riktig som mothypotese pekar, givet att H 0 är sa. Om p-värdet är litet är H 0 osaolik: vi är då mer beäga att tro på H a Beslutsregel: om p-värdet < sigifikasivå α förkastas H 0 Vid dubbelsidig mothypotes beräkas p-värdet som saolikhete frå tabelle * 2 Exempel: I e hälsoekät tillfrågades 100 slumpmässigt utvalda aställda vid ett stort företag om huruvida ma regelbudet motioerar eller ej. Svar erhölls frå 84 aställda och av dessa svarade 65 ja. Udersök om det på 5% sigifikasivå fis belägg för påståedet att adele regelbuda motioärer blad de aställda vid företaget skiljer sig frå 85% geom att beräka testets p-värde. 18

19 Relatio mella hypotesprövig och kofidesitervall Om µ 0 (för adelar π 0 ) igår i itervallet ka H 0 ej förkastas. Vid H a : µ < µ 0 (för adelar H a : π < π 0 ) udersöker vi om µ 0 (π 0 ) igår i ett uppåt begräsat kofidesitervall Vid H a : µ > µ 0 (för adelar H a : π > π 0 ) udersöker vi om µ 0 (π 0 ) igår i ett edåt begräsat kofidesitervall Vid H a : µ µ 0 (för adelar H a : π π 0 ) udersöker vi om µ 0 (π 0 ) igår i ett dubbelsidigt kofidesitervall 19

20 Feltyper och styrka Typ I-fel: Att förkasta H 0 fast H 0 faktiskt är sa Typ II-fel: Att ite förkasta H 0 fast H a faktiskt är sa Sigifikasivå = α: saolikhete (riske) för typ I-fel Beslut baserat på stickprov Saig om populatioe H0 sa H a sa Förkasta H0 Typ I-fel Korrekt beslut Acceptera H0 Korrekt beslut Typ II-fel Det råder ett motsatsförhållade mella riske för Typ I-fel och riske för Typ II-fel: miskar vi sigifikasivå (= riske för Typ I-fel) ökar riske för Typ II-fel. Iom samhällsveteskapera brukar ma ase att α = 0.05, 0.01 eller 0.10 ger e bra avvägig mella typera av fel. 20