En kvalitetskontroll - Snustillverkaren Fiedler & Lundgren kvalitetstestas Av: Andreas Timglas

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "En kvalitetskontroll - Snustillverkaren Fiedler & Lundgren kvalitetstestas Av: Andreas Timglas"

Transkript

1 E kvaltetskotroll - Sustllverkare Fedler & Ludgre kvaltetstestas Av: Adreas Tmglas Uppsats statstk 10 poäg Nvå: Vt 2008 Hadledare: Björ Holmqust

2 Abstract Ths paper am to descrbe the varato ad develop a method to cotrol the producto for the product Metropol Kaktus from the suff developer Fedler & Ludgre. We are gog to use the requremets from the product specfcatos as lmts of the expected qualty whe we preset methods to cotrol the process. Oe method attempts to cotrol durg the process ad the other attempts to maxmze the umber of products wth strved qualty before the process starts. Metropol Kaktus s a product produced wth hgh qualty, the mea weght s 20,023 gram ad ths s very close to the weght, 20 gram, whch s reported the product specfcatos. The varato weght varable s less tha what s reported the specfcatos ad the mmum weght s over the lmt set by Lvsmedelsverket. The mea mosture s oe pot lower the the mosture reported the specfcato. The varato mosture decreases f the batch mosture creases. We wat to take ths varato cosderato, therefore we use a weghted regresso model to estmate varace ad stadard devato. A cotrol dagram, am to cotrol the producto durg the process. Ths could be doe wth ether the mea value or the absolute value of the dfferece betwee the extreme values, R. A mea dagram uses the mea value for cotrollg the process. A upper ad a lower lmt are calculated wth the stadard devato. The weght varable gets a 20,278 gram upper lmt ad a 19,796 gram lower lmt. The mosture varable gets a gets a 48 % upper lmt ad a 44 % lower lmt. A R-dagram uses d2σ to cotrol the process, where d2 s a costat whose value s determed by the sze of the radom sample. Ufortuately these lmts ca t be calculated because of the radom samples dffers sze. A cotrol pla ams to cotrol the process by usg a startg value that maxmzes the umber of products wth acceptable qualty. We use the weghted regresso model to predct the mosture a product ready for sale by settg the mosture of the batch to a specfc percetage. The model shows that f we set the batch mosture to 46,5 %, 99,76 % of products ready for sale are gog to be wth the rght mosture percetage. I a cotrol pla for the varable weght we wat the probablty that a box cotas a smaller amout of suff to be small, ths s called cosumer rsk, ad the probablty that a box cotas too much suff should also be small, ths s called producer rsk. We decde what sze the radom sample should be ad the model show 19 observatos ad that we should dscard the batch f the weght s less tha 20,15 gram. 2

3 Sammafattg Uppsatses syfte är att beskrva varatoe, utarbeta e kotrollpla och styrdagram för produkte Metropol Kaktus frå sustllverkare Fedler & Ludgre. För att kotrollera varatoe, skapa ett styrdagram och e kotrollpla som stämmer överes med de krav som Fedler & Ludgre eftersträvar aväder v produktdatabladet. I produktdatabladet står de specfka krav som är uppsatta för att garatera e produkt med hög kvaltet. Metropol Kaktus är e produkt med hög kvaltet. Medelvkte, 20,023 gram, är mycket ära det vkt som eftersträvas, 20 gram. Varatoe vkt är mdre ä vad som ages produktdatabladet och mmvkte är över Lvsmedelsverkets krav. Medelfuktghete är e procetehet för låg, 44,03 %. Sprdge för fuktghete är specell, de varerar mdre då fuktghete batche ökar. Ett styrdagram syftar på att uder produktoe kotrollera så att processe är uder kotroll. Detta görs med hjälp av ett medelvärdesdagram och/eller ett R- dagram som kotrollerar varatosbredde. Ett medelvärdesdagram aväder medelvärdet för att hålla processe statstsk jämvkt. Övre och udre gräs skattas med hjälp av stadardavvkelse och medelvärdet frå datamateralet. För vkt aväder v 6-sgma-gräser och får e övre gräs som är 20,278 gram och e udre gräs som är 19,796 gram. För fuktghet så får v e övre gräs som är 48 % och e udre som är 44 %. Ett R-dagram aväder d2σ som jämvkt, där d2 är e kostat som edast beror på storleke på stckprovet. Tyvärr så ka v te skatta dessa gräser då stckprove är olka stora. E kotrollpla syftar på a processe startas kotrollera vd vlka värde v får e produkt med hög kvaltet. För skapadet av e kotrollpla för vkt aväder v de vktade regressoe och aväder modelle att progostsera vd vlke fuktghet batche v får e portossus med eftersträvad fuktghet. Det vsar sg att om har v e fuktghet batche på 46,5 % så kommer 99,76 % av de färdga portossuse ha rätt fuktghet. I kotrollplae för vkt vll v att rske att e dosa väger för lte ska vara låg, kosumetrske, och v vll att rske att e dosa väger för mycket ska vara låg, producetrske. V bestämmer vlke stckprovsstorlek v behöver och vd vlket vkt v ska förkasta e batch. 3

4 Iehåll 1 Iledg Bakgrud Syfte 6 2 Data datasamlg 6 3 Metod Styrdagram Medelvärdesdagram Val av styrgräser s-metode R-metode Kotrollpla Z-test Ljär regresso 15 4 Aalys av Metropol Kaktus Aalys av vkt Aalys av fuktghet Aalys av lägd och bredd Aalys av produktosljer Aalys av operatörer Styrdagram Medelvärdesdagram R-dagram Kotrollpla Kotrollpla för fuktghet Kotrollpla för vkt 27 5 Sammafattade dskusso Slutsatser 28 6 Refereser Ltteratur Artklar 30 7 Blagor 31 4

5 1 Iledg 1.1 Bakgrud Fedler & Ludgre AB tllverkar sus och har vd skrvadet sju produkter på de sveska markade. Produktportfölje består för tllfället av följade produkter; Mocca (Mocca Mt, Mocca As och Mocca Vtergröa), Metropol (Metropol Lakrtsrot & Metropol Kaktus) samt Grat (Grat porto & Grat stor porto). Produktosehete har futs Malmö drygt 3 år och de första 4 produktera laserades på markade aprl 2004 och ytterlgare tre produkter höste Uppsatses ehåll dskuterades fram tllsammas med Qualty ad Hygee Maager Ael Ldell, Produktosgejöre Dael Wramborg, Process Developmet Maager Adam Berggre och Seor Vce Presdet Lef Hasso. Jag fck som uppdrag att utvärdera de löpade kvaltetskotrolle produktoe hos Fedler & Ludgres produktgrupp Metropol. V kom fram tll att följade skulle udersökas: Vlka skllader fs det de fyskalska mätgara om varje produkt och om e produktgrupp? Vad ka det bero på? Fs det skllader kvaltete (fyskalska mätgar) av de färdga vara mella skfte, eller mella operatörer? Vlka är dessa? Ka adra sambad eller varatoer upptäckas? Jämföra produktosmedelvärde och sprdg mot de specfkatoer som fs produktdatabladet, se blaga 1 5

6 1.2 Syfte Syftet är att beskrva varatoe, utarbeta ett styrdagram och e kotrollpla för produkte Metropol Kaktus. Vdare syftar uppsatse tll att hjälpa Fedler & Ludgre att framtde på ege had göra e kvaltetsbedömg, utarbeta kotrollplaer och styrdagram för de produkter som te behadlas dea uppsats. 2 Data 2.1 Datasamlg All data kommer frå Fedler & Ludgre, de är skrve på checklstor som maskoperatöre fyller varje tmme uder produktoe (Se blaga 2). Data är frå de 10 september 2004 tll de 8 aprl Vd det första mötet med F & L lämades data ut som var frå de 10 september tll de 15 februar, detta kompletterades seare med data tll och med de 8 aprl då det te fas tllräcklgt med observatoer för vlke produktoslje som producerat produkte. Atalet observatoer blev efter detta 154 st totalt. Varabel vkt10 är vkte av 10 st portossus vd e mätg, dosa är vkt10 multplcerad med 2,5, detta gör v för att beräka varatoe e dosa, då e dosa ehåller 25 stycke portossus. V skattar σ 2 med e varasskattg ( Y Y ) 2 V ( Y ) = 1 v skattar te σ elgt ormal skattg dvs D ( Y) = V( Y), skattge får stället följade utseede Y Y = = 10 = 1 25 = 1 X X V ( Y V ( Y ) = ) = 10 = 1 25 = 1 V ( X V ( X ) = 10V ( X ) = 25V ( X ) D( Y ) D( Y ) = ) = 10V ( X) 2,5V ( Y 10 ) Fuktsput är de fuktghete som är uppmätt sputke, e sputk är e mdre behållare med sus som fästs vd maske vd tllverkg av portossus. Fuktbot är de fuktghete som är uppmätt botteplatta, e behållare som slussar er sus lagom stora portoer tll förpackgsmaske. Fuktsus är fuktghete e portossus. All fuktghet mäts procet. Lägd och bredd på e portossus mäts med ljal med mllmeter som msta ehet. 6

7 3 Metod Neda så preseteras de statstska metoder som kommer avädas för att kotrollera kvaltete och metoder för att försöka styra de Styrdagram Ett styrdagram ebär att ma med vssa tdsmellarum tar ut ett atal observatoer frå produktosprocesse och frå dessa beräkar e kvaltetsdkator som sätts ett dagram. Idkator är alltså e storhet som är beräkad på de erhålla värdea. Det ka vara deras medelvärde eller stadardavvkelse. Det är valgt att ma har flera kvaltetsdkatorer som kotrollerar samma tllverkgsprocess. Så läge de uppmätta kvaltetsdkatorera håller sg om föreskrva gräser ases produktosprocesse vara statstsk jämvkt och på så sätt håller ma god kotroll på tllverkgsprocesse. Om kvaltetsdkatorera plötslgt skulle över- eller uderskrda de föreskrva gräsera stoppar ma tllverkgsprocesse och söker aledge tll detta. Dessa gräser kallas styrgräser och ofta markeras äve e dealvå, mella styrgräsera som kallas cetrallje, CL. Övre och udre gräs förkortas Sö och Su, se exempel eda. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] Fgur 1 7

8 Ett styrdagram bör uppfylla följade krav elgt Bergma & Klefsjö: Med dess hjälp ska ma sabbt kua upptäcka systematska förädrgar och därgeom bdra tll att ma fer urskljbara källor tll varato. Det ska te ge falskt alarm, dvs rske ska vara lte att e pukt hamar utaför styrgräsera är ge systematsk förädrg skett. Ma ska styrdagrammet kua uppskatta tdpukte för förädrg och slaget av förädrg för att få hjälp felsökgsarbetet. Det ska kua fugera som ett kvtto på att processe vart stabl. Det ska fugera som ett kvtto på att förbättrgsarbetat har vart lyckosamt Det ska tjäa som uderlag för värderg av sprdge hos processe, dvs dess duglghet och för förädrgar framtda styrdagram. Det två första puktera ger upphov tll ett avväggsproblem. Om ma ökar käslghete hos dagrammet tederar rske för falskt alarm, dvs att ett utslag ges trots att det te skett e systematsk förädrg att öka. Me mskar ma de slumpmässga sprdge hos de studerade kvaltetsdkator geom att basera beräkgar på flera observatoer stället för ett estaka värde så blr rske för falskt alarm mdre. 8

9 3.1.2 Medelvärdesdagram Ett medelvärdesdagram baseras på geomsttsvå av e vss egeskap. Med vssa tdsmellarum tar ma ut e provgrupp om observatoer frå processe. V beräkar seda medelvärdet på dessa observatoer och aväder det som kvaltetsdkator styrdagrammet. Ata att kvaltetsvarabel har vätevärdet µ och stadardavvkelse σ som båda är käda vd statstsk jämvkt. Då är medelvärdet, x, e observato frå e fördelg med samma vätevärde me stadardavvkelse är σ. V har då större chas att upptäcka e avvkelse frå geomsttsvå är v betraktar medelvärdet ä då v betraktar e estaka observato. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] Val av styrgräser Val av styrgräser ska göras så saolkhete för falskt alarm blr lte. V ka ata att x är ormalfördelad elgt Cetrala gräsvärdessatse, då är saolkhete att medelvärdet avvker mer ä 3σ / frå stt vätevärde edast 0,0027. Det betyder att v staar processe oöda 0,27 % av falle, vlket ases allmähet vara e rmlg rsk, ma aväder därför ofta ett dagram med 3-sgma-gräser. Hur stor rsk ma är vllg att ta måste sättas relato tll hur svårt det är att bedöma om ett utslag är ett falskt alarm eller te. Om det är lätt ka ma ta e större rsk för falskt alarm och på så sätt öka käslghete hos dagrammet, dvs få sabbare utslag då e systematsk förädrg verklge träffat. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] Detta förutsätter dock att µ och σ är käda. Om ma ska starta e process är µ och σ oftast okäda. Ma måste då skatta dessa parametrar. Ett valgt sätt [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] är att ma låter processe gå ett tag och tar ut ett atal provgrupper, k provgrupper om observatoer. E tumregel är att k är mst 20-25, helst uppemot 40. Detta beror på att rske för falskt alarm påverkas av atalet provgrupper. Skattg av µ görs seda med medelvärdet för de k provgruppera, dvs x = x 1 + x 2 + x k x k eller x = x 11 + x 12 + x x21 + x22 k x k 9

10 Om v käer σ ka v aväda styrgräsera S ö = x + 3σ S u 3σ = x Me är σ okäd måste v med hjälp av våra mätvärde äve skatta σ. Detta gör v med s-metode eller R-metode s-metode V beräkar först stadardavvkelsera för våra k provgrupper, seda gör v e σ-skattg. σ = s + s + s s k 1 k c 4 = s c 4 där c4 är e kostat, som ebart beror på stckprovsstorleke. Aledg tll detta är att medelvärdet av de k vätevärdesrktga skattgara s1/c4, s2/c4, s3/c4... sk/c4 på σ också är e vätevärdesrktg skattg av σ me med mdre sprdg. Där c4 ges av 1 1Γ 2 2Γ 2 Värdet på kostate c4 för olka storlek på fs tabell 1. Med dea skattg får v styrgräsera 3s x ± c 4 3 Iför v beteckge A3 = ser v att A3 är e kostat som edast beror på c4 som fs tabell 1. Detta förutsätter att stckprove är lka stora för de k gruppera. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] 10

11 3.1.5 R-metode Aväder v R-metode för att skatta σ beräkar v varatosbredde, dvs skllade mella det största och det msta värdet provgruppe för var och e av de olka provgruppera. Med hjälp av dessa varatosbredder, R1, R2 Rk skattar v seda σ med R1/d2+ R2/d2+ R3/d2+ +Rk/d2 / k där d2 är e kostat som gör skattg vätevärdesrktg och som edast beror på atalet observatoer provgruppera. Aledge tll kostruktoe är, som s-metode yss, att medelvärdet av de k vätevärdesrktga skattgara R1/d2, R2/d2, R3/d3 är e y vätevärdesrktg skattg av σ me med mdre sprdg. Värdet på kostate för olka storleke på fs tabell 1. Med dea skattg får v styrgräsera 3R x ± d 2 Fördele med dea skattg är att de te kräver så mycket beräkg. Däremot så kräver de mer av stckprovet, de kräver att v har lka måga observatoer stckprove. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] R-dagram Ett R-dagram aväder varatosbredde som mått på kvaltetsvarabels sprdg. Eftersom fördelge tll R har vätevärdet d2σ och stadardavvkelse d3σ där d2 och d3 är kostater som ebart beror på, se R-metode, måste ma prcka R/d2 om ma vll ha σ som cetrallje styrdagrammet. Värde för d2 och d3 fs tabell 1. För att slppa dvdera med d2 prckar ma stället R dagrammet och aväder d2σ som cetrallje. Ett R-dagram med 3-sgma-gräser får då styrgräsera Sö = (d2+d3) σ CL=d2 σ Su = (d2-d3) σ V ser tabell 1 att för 5 blr d2-3d3 < 0. V sätter därför Su tll 0 eftersom det alltd gäller att σ > 0. Iför v kostatera D1 = max(0, d2-3d3) och D2 = d2 + 3d3 får v gräsera Sö = D2σ och Su = D1σ Olka värde på D1 och D2 fs tabell 1. 11

12 Är σ okäd ersätter ma σ med skattge R/d2, där R är medelvärdet av varatosbredde tll de k provgruppera. Det ger Sö = D4 R och Su = D3 R där kostatera är D 4 d + 3d = 2 3 d och 2 3 D = 3 max 0, 2 d 2 d 3d som fs tabell 1. I praktke är det ofta lämplgt att ma komberar styrdagram för vätevärde och för sprdg. E kombato av medelvärdesdagram och R-dagram är valgt, ma talar då om ett x -R-dagram. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] 12

13 3.2 Kotrollpla E kotrollpla som äve tar häsy tll producetrsk, α, och kosumetrsk, β, kostrueras på ett aorluda sätt jämfört med ett styrdagram. E kotrollpla vsar te om kvaltetskrave följs uder tllverkgsprocesse som ett styrdagram. Istället styr ma rskera för att produkte te ska produceras med oacceptabel kvaltet. V ka bestämma hur stora rskera ska vara för producete och kosumete att få e produkt med oacceptabel låg kvaltet, och på så sätt kostruera gräser som är tllfredsställade. E såda kotrollpla bygger på µ = E(X) som bekat skattas med medelvärdet hos de uppmätta observatoera x1, x2, x3...x. Om µa represeterar e acceptabelt geomsttlg vå frå produceteras sy bör saolkhete att de ska godkäas vara hög. Om µo represeterar e oacceptabelt låg geomsttlg vå ur kosumeteras sy bör saolkhete att de avskljs äve vara hög. E kotrollpla ka se ut på följade sätt: Om x L godkä partet x < L avsklj partet V vll bestämma gräse L, medelvärdet för att godkäa eller förkasta ett part, så att kosumetrsk och producetrsk blr som v öskar. Det ebär om µ = µa så vll v att P( x < L) α är lte och om µ = µo så vll v att P( x < L) 1- β är stor. Hur gräse L och stckprovsstorleke ska väljas beror på hur varatoe ser ut. V atar att varatoe är ormalfördelad elgt cetrala gräsvärdessatse, då är x är approxmatvt N (µ, σ / ). Vlket leder tll följade. Om µ = µa så gäller L P ( x L ) = 1 Φ σ µ α och om µ = µo så gäller L P ( x L ) = 1 Φ σ µ 0 13

14 L µ Det ger α L µ 1 Φ α σ 1 och 0 1 Φ β σ Lösge på dessa relatoer blr σ Φ (1 β ) Φ ( α) µ µ α 0 2 och σ Φ 1 ( α) L P = µ α + 1 σ Φ (1 β ) L K = µ 0 + Där Φ -1 är de stadardserade ormalfördelgs vers, Φ -1 är tabellvärdet för ett gvet p. V ser att stckprovsstorleke,, här är beroede av varatoe och vlka värde v väljer på producet- och kosumetrske tll skllad frå ett styrdagram där v valde storleke på. [Björ Holmqvst; Acceptaskotroll geom mätg] 14

15 Test av medelvärde För att v ska kua beräka saolkhete att v uderskrder eller överskrder ett vsst värde så aväder v oss av ett Z-test. Om X är N(µ, σ 2 ) då är σ ( µ) = X Z N(0,1) för ) ( ) ( µ σ σ µ + = = z X P z X P z Z P V ka då testa saolkhete att e observato uderskrder ett gvet värde. För att udersöka saolkhete att X befer sg mella två värde så aväder v Φ = Φ = σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ a b b X a P b X a P ) ( [Probablty ad statstcal ferece; Hogg &Tas] 3.4 Ljär Regresso För att bestämma sambadet mella olka varabler så kommer v aväda oss av e vägd ekel ljär regresso. Ekel ljär regresso har följade utseede y=a+bx E vägd ljär regresso får samma utseede me kostatera skattas på följade vss = = = X X w Y Y X X w b 1 1 ) ( ) )( ( och = = = = = w w X b w w Y a Där w är de vkt v aväder för att vkta varabel. [Itroductory ecoometcs wth applcatos; Ramu Ramaatha]

16 4 Aalys av Metropol kaktus Aalys av vkt Metropol Kaktus är ett portossus med smak av kaktus. E dosa ehåller 25 stycke portossus och agve ettovkt för e dosa är 20 gram. E portossus ska väga 0,8 gram och tllåts varera 0,03 gram uppåt och edåt. Som v ser tabell 2 eda så överskrder medelvkte för e dosa agve ettovkt. Lvsmedelsverket har bl a två krav på producete för varabel vkt, det första är att medelvärdet måste vara högre ä agve ettovkt. Det adra kravet är att edast 2 % av produktera får avvka vkt edåt mella 9 tll 18 % av agve ettovkt. 56 stycke av 154 dosor, 36 %, har e vkt uder 20 gram. Av dessa 56 dosor så är det ge som uderskrder 91 % av agve ettovkt. V ser att mmvärdet är 18,5 gram vlket är 7,5 % mdre ä agve ettovkt, vlket är större ä 18,2 gram som är de övre gräse för Lvsmedelsverkets krav. Sprdge är däremot större ä vad de tllåts att vara, e sus får varera 0,03 gram edåt och 0,03 gram uppåt elgt produktdatabladet. 25 sus som alla har e mmvkt eller e maxmvkt elgt produktdatabladet väger 19,25 gram och 20,75, mmvkte är 18,50 gram och maxmvkte är 21,5 gram. Sprdge skljer sg alltså frå produktdatabladets maxm-, mmvkter. V atar att vkte är ormalfördelad, v ka då aväda oss av x ± Z σ för att göra ett kofdestervall för vkte av e dosa. Ett 95 % kofdestervall får e udre gräs som är 19,97 gram och e övre gräs som är 20,07 gram. Kofdestervallet går geom 20 gram vlket säger oss att det te är sgfkat skljt frå 20. Kaktus M Max mea s varas vkt10st 154 7,4 8,6 8,01 0,21 0,04 Dosa ,5 21,5 20,02 0,33 0,28 Tabell 2 Skulle v beräka saolkhete att e observato uderskrder 20 gram så är de P(X< 20 Dosa ~ N(20,02, 0,33)) => Φ(20 20,02 / 0,33) = = Φ(-0,07) = 1 - Φ(0,07) = 1-0,5279 = 0,47 = 47 % V ser att saolkhete att få e dosa som uderskrder agve ettovkt är hög, 47 %, vlket v kude förväta oss med e medelvkt så ära 20 gram. 16

17 Saolkhete att få e dosa som uderskrder 91 % av agve ettovkt det vll säga 18,2 gram som är de övre gräse frå Lvsmedelsverkets krav, gvet att medelvkte är 20,02, är P(X< 18,2 Dosa ~ N(20,02, 0,33)) = Φ( 18,2-20,02 / 0,33) = = Φ (-5,49) = 1 - Φ(5,49) = 1-0, = 0,00001 V får ett P-värde som är väldgt ltet och saolkhete att få e dosa som te uppfyller kravet på 9-18 % är mdre ä 0,01 %, vlket ka ases vara e acceptabel rsk. Skulle v beräka saolkhete att få e dosa som väger mdre ä 82 % av ettovkte skulle v få Φ (-10,91)= vlket ger ett P-värde som är mycket ltet. 17

18 4.1.2 Aalys av fuktghet Fuktghete e portossus av produkte Metropol kaktus ska vara ca 45 %. Dea tllåts varera 1 procetehet edåt och 3 proceteheter uppåt. Medelvärdet för fuktghete e färdg portossus är 44,03 %, vlket är lågt med take på vad som eftersträvas. V får ett mmvärde som är 40,52 % och ett maxmvärde som är 46,31 %, fuktghete varerar mer edåt ä uppåt, edast 39 av 149 observatoer har e fuktghet högre ä 45 %. Ett 95 % kofdestervall för medelfuktghete e portossus får e udre gräs som är 43,81 och e övre som är 44,25, tervallet går te geom det eftersträvade värdet 45 % vlket tyder på att fuktghete är sgfkat skljt frå 45 %. Kaktus M Max mea s varas fuktsput 82 44,43 46,85 45,61 0,74 0,55 fuktbot ,29 47,05 44,78 1,14 1,30 fuktsus ,52 46,31 44,03 1,37 1,89 Tabell 3 Varas och stadardavvkelse tabell 3 bör aalyseras med e vss försktghet, v ser på sprdgsdagrammet, se fgur 2, att varatoe är olka för varje sputk, e poolad skattg av varas och stadardavvkelse ger e bättre bld av materalet ä e ormal skattg. s Pool = k = 1 ( 1) s 1 2 Med e poolad skattg så får v e varas som är 0,607 och e stadardavvkelse som är 0,779. Jämför v dessa skattgar med de valga skattgara tabell 3 så ser v varatoe u ästa är hälfte så stor FUKT SNUS ,0 44,5 45,0 45,5 46,0 46,5 47,0 Fgur 2 FUKTSPUT 18

19 Udersöker v sprdgsdagrammet ge, fgur 2, så ser v att varatoe e färdg portossus är mskar om fuktghete sputke ökar. I och med varatoe portossuse mskar om fuktghete sputke ökar så måste v ta häsy tll detta är v skattar varas och stadardavvkelse. E vktad regresso är e lösg, se tabell 4, 5 och 6, vktar v regressoe med x 44 där x är fuktghete sputke så blr varase 0,915 ( x 44) och stadardavvkelse 0,915 ( x 44). V ka äve skatta y för varje esklt värde på x. Regressoe får följade utseede: y = 22,77 + 1, 4727x Tabellerar v y då x går frå 44,43 tll 47,63 med e ökg på 0,2 taget så får v följade tabell. y=a+bx x s 2 s x 1, 96 s x + 1, 96 s 42,660 44,43 2,128 1,459 38,490 47,289 42,955 44,63 1,452 1,205 40,108 46,992 43,249 44,83 1,102 1,050 41,089 46,888 43,544 45,03 0,888 0,943 41,803 46,877 43,838 45,23 0,744 0,862 42,380 46,920 44,133 45,43 0,640 0,800 42,879 46,998 44,427 45,63 0,561 0,749 43,327 47,098 44,722 45,83 0,500 0,707 43,742 47,216 45,017 46,03 0,451 0,671 44,133 47,346 45,311 46,23 0,410 0,641 44,507 47,485 45,606 46,43 0,377 0,614 44,868 47,633 45,900 46,63 0,348 0,590 45,218 47,786 46,195 46,83 0,323 0,569 45,561 47,944 46,489 47,03 0,302 0,550 45,897 48,107 46,784 47,23 0,283 0,532 46,228 48,273 47,078 47,43 0,267 0,516 46,555 48,442 47,373 47,63 0,252 0,502 46,879 48,614 V ser att modelle fugerar, stadardavvkelse och varas mskar då fuktghete sputke ökar. Kofdestervallet är väldgt brett är fuktghete sputke är låg och mskar allt eftersom fuktghete sputke ökar. E fuktghet sputke på 46 % ger e förvätad fuktghet e portossus på 45 % och ett tervall som är 44,13 % < y < 47,35 % som förvätas täcka 95 % av portossuse som produceras. Vd e fuktghet uder 46 % sputke produceras sus som har e lägre fuktghet ä vad som eftersträvas. 19

20 4.1.3 Aalys av lägd och bredd Lägd och bredd mäts med e ljal med mllmeterskala, e portossus med smak av kaktus ska vara 33 mm låg och 17 mm bredd elgt produktdatabladet. V ser tabell 7 att medelvärdet för lägd är 33,5 mm och för bredd 17,3 mm. Kaktus M Max mea s varas lägd ,53 0,70 0,49 bredd ,29 0,54 0,29 Tabell 7 E frekvestabell får följade utseede LÄNGD mm Frequecy Percet Vald , , , , ,65 Total ,00 Tabell 8 V ser att alla utom 16 observatoer är mm låga. Med de mätmetod som lgger tll grud för dessa resultat så är lägde vå med de krav som fs produktdatabladet. BREDD mm Frequecy Percet Vald , , , ,47 Total ,00 Tabell 9 V ser att alla utom 4 observatoer har bredde mm. Äve bredde är vå med de kravs som ställts produktdatabladet. 20

21 4.1.4 Aalys av produktosljer Om v jämför medelvkte mella de fyra olka ljera ser v tabell 10 att lje 3 har lägst medelvkt, 19,99 gram och lje 2 har högst medelvkt, 20,26 gram. V ka te vsa ett sambad mella e särsklt låg medelvkt och e särskld lje. Om v tttar på stadardavvkelse ka v te se att e särskld lje varerar mer vkt ä ågo aa. E varasaalys vsar att det te fs ågo skllad mella ljera, se tabell 11. Vad gäller fuktghet så får v lkartade resultat, v ka te se ågo skllad på medelvärdet och stadardavvkelse mella ljera. E varasaalys för fuktghete suse är te sgfkat, se tabell 12. V ka te vsa att fuktghete beror på vlke lje som producerat portossuse. De skllader som fs beror trolge på slumpe, v ka te påvsa ågot sambad mella särsklt låga eller höga medelvärde, frå tabell 9 ser v ge skllad på mm- maxmvärde mella ljera Aalys av operatörer Tyvärr ka v te aalysera operatöres påverka på produktoe, det fs te tllräcklg data tll e såda aalys. Det verkar te fas e uttalad operatör, de som tar stckprovet regstreras som operatör trots att de kaske te sköter ställge av maske. V får på detta vs väldgt måga operatörer och måga av dessa har edast ett fåtal observatoer regstrerade stt am. 21

22 4.2 Styrdagram Medelvärdesdagram Om v skulle kostruera ett styrdagram som bygger på medelvärdet så måste gräsera vara tllfredställade, Bergma & Klefsjö föreslår 3-sgma-gräser. V sakar µ och σ så v skattar dessa. V tar k provgrupper och beräkar medelvärdet på dessa observatoer. Skattg av µ görs seda med medelvärdet för de k provgruppera. x = x 1 + x 2 + x k x k F & L s stckprov har te det utseedet att v ka aväda de metod som beskrvs ova. V måste smulera dessa k grupper. Dea smulerg sker på följade sätt: x 1 är medelvärdet för batch 1, x2 är medelvärdet för batch 2... x k är medelvärdet för batch k. V betraktar batcharas medelvärde som observatoer 1 tll k, så x blr medelvärdet frå batchara. Om v skattar medelvkte på detta sätt blr de 20,037 gram och medelfuktghete blr 44,36. V skattar σ på samma sätt, dvs σ = s + s + s s k 1 k c 4 = s c 4 Om v tar medelvärdet för stadardavvkelsera och multplcerar med kostate 1/c4 som v får frå tabell 1 så får v e vätevärdesrktg skattg på σ. För fuktghete blr σ= 0,7731, stadardavvkelse blr mdre ä om v skattar de på valgt vs. För vkte av e dosa blr σ=0,499, detta värde är också mdre ä de urspruglga skattge. Om v ska skapa styrgräser som håller kvaltete på e hög vå så måste v bestämma hur måga stadardavvkelser som v tllåter varabel att varera. V vet att tre stadardavvkelser är praxs elgt Bergma & Klefsjö. Med dea skattg får v styrgräsera 3s = x + och C S Ö 4 3s S U = x C4 3 ka ersättas med A3, se tabell 1, som edast beror på, styrgräsera ka då c 4 skrvas S ö 3 = x + A s och = x A s. S u 3 22

23 För att dea kostrukto ska vara möjlg så måste v ha stckprov som är lka stora. V har olka stora stckprov, v ka därför te välja e kostat. V ka te aväda kostate A3, v måste aväda oss av de urspruglga skattge σ = s + s + s s k 1 k c 4 = s c 4 V ka u kostruera ett styrdagram för vkte på e dosa med e övre gräs och e udre som är 3s 3 0,499 S Ö = x + = 20,037 + = 20, s 3 0,499 S U = x = 20,037 = 19, V ser att de udre gräse uderskrder de agva ettovkte vlket är ett problem. V vet att det är tllåtet att uderskrda agve ettovkt så läge medelvkte överskrder ettovkte me att ha e gräs som uderskrder agve ettovkte är e fråga som måste dskuteras. Problemet är att med dessa gräser har v ett styrdagram som ger utslag väldgt ofta. Ökar v bredde på gräsera så kommer v få e äu lägre udre gräs, vlket leder tll samma frågeställg som tdgare. Som gräsera ser ut u så passerar te mer ä ca 20 % geom kotrolle. Breddar v gräsera tll 6 stadardavvkelser så får v gräsera SÖ=20,278 och SU=19,796 och då kommer ca 60 % att passera. Om v skulle kostruera gräser som avser vkte för 10 stycke portossus så skulle de få följade utseede 3s 3 0,199 S Ö = x + = 8,015 + = 8, s 3 0,199 S U = x = 8,015 = 7, Styrgräsera för fuktghete ka ata olka värde beroede på hur v resoerar. V vet att fuktghete tllåts varera 1 procetehet edåt och 3 proceteheter uppåt. V ka på ågot vss försöka ta häsy tll dea skllad och skapa gräser som te är samma för varato edåt som uppåt. Medelfuktghete är 44,355 och stadardavvkelse är 0,773. Så v sätter de udre gräse tll S U sp = x och de övre S Ö 3sP = x + 23

24 Gräsera blr då SU=44,292 och SÖ=44,545, v ser att dessa gräser är alldeles för smala. V måste bredda tervallet, v vet att det får varera 3 procetehete uppåt och lstar v atalet stadardavvkelser ser v att v får aväda ett stort atal stadardavvkelser för att å e fuktghet på 48 %. Atal stadaravvkelser (x) s x s 3 0,0633 0, ,0633 0, ,0633 0, ,0633 0, ,0633 0, ,0633 1, ,0633 1, ,0633 1, ,0633 1, ,0633 1,8998 Tabell 13 För att å eftersträvad vå på +3 proceteheter, dvs 48 %, måste addera 45 stadardavvkelser på medelfuktghete. Aalyse sakar då värde, aväder v te ett stort atal stadardavvkelser så kommer dagrammet ge utslag då sprdge är mycket stor trots det stora atalet observatoer. Ett sätt vore att sätta gräsera 44 och 48 som udre och övre gräs. Om v skulle aväda varatosbredde, R, och med hjälp av de skatta σ så aväder v följade metod: R1/d2+ R2/d2+ R3/d2+ +Rk/d2 / k där d2 är e kostat som gör skattg vätevärdesrktg och som edast beror på atalet observatoer provgruppera, se avstt V ka te beräka dea stadardavvkelse då v har olka stora stckprov R-dagram Om v vll aväda oss utav varatosbredde och med hjälp av dea kotrollera kvaltete så aväder v sprdge som cetrallje, dvs att sprdge te får varera mer ä förutbestämda gräser. För att styrdagrammet ska fylla s fukto måste v veta värdet på kostatera D1, D2, D3 och D4 som beror på stckprovsstorleke. V ka te heller detta fall välja kostater för att v äve här har olka stora stckprov. 24

25 4.3 Kotrollpla Kotrollpla för fuktghet Om v skulle försöka skapa e kotrollpla för fuktghete e färdg portossus så vet v att fuktghete e portossus är starkt korrelerad med de fuktghet som är batche, se fgur 2. Ka v på ågot sätt försöka skatta hur dea fuktghet förädras uder produktoe så ka v skapa e ekel kotrollpla som mmerar rske att v producerar med e för låg eller för hög fuktghet. V vet seda tdgare att regressosmodelle y = 22,77 + 1, 4727x ger e bra skattg av hur fuktghete och varatoe förädras. Om v producerar e batch med e fuktghet som är 46 % så får v 95 % av de producerade portossuse om ett tervall som är mella 44,13 % tll 47,35 %. Detta ger e produkto som stämmer överes med produktdatabladets krav. Att producera sus som har exakt 46 % fuktghet är svårt, ett tervall är att föredra. Om v skapar ett dagram, fgur 4, och plottar för vlka sputkvärde v får e färdg portossus som är om föreskrva gräser ser v att det skuggade partet ger e portossus som lgger mella %. Fgur 4 Så att producera e sputk med e fuktghet mella % ger oss e bra portossus. Om v producerar e batch med 46,5 % fuktghet så får v e saolkhet att de uderskrder 44 % som är P(X< 44 Dosa ~ N(45,71, 0,915 (46,5 44) )) => Φ (44 45,71/ 0,915 (46,5 44) ) = Φ(-2,83) = 1 - Φ(2,83) 1 0,9977 = 0,0023 = 0,23 % 25

26 Saolkhete att v producerar e portossus som har lägre fuktghet ä 44 % är 0,23% är v har e batchfuktghet som är 46,5 %. Aledge tll att v väljer 46,5 % är att då maxmerar v tervallet där fuktghete får varera. Om v testar saolkhete att v producerar e sus med för hög fuktghet gvet att batche är 46,5 % är P(X>48 Dosa~N(45,71, 0,915 (46,5 44) )) => 1 - Φ (48 45,71/ 0,915 (46,5 44) ) = 1 - Φ(3,78) = 1 0,9999 = 0,0001. V ser att saolkhete att få e portossus med för hög fuktghet är väldgt lte, edast 0,001%. Producerar v med e fuktghet batche på 46,5 % så är saolkhete att v överskrder e fuktghet på 48 % eller uderskrder e fuktghet på 44 % e färdg portossus P( 44 < X < 48) Dosa ~ N(45,71, 0,915 (46,5 44) )) = Φ (48 45,71 / 0,915 (46,5 44) ) - Φ (44 45,71 / 0,915 (46,5 44) ) = Φ(3,78) - Φ(-2,83) = Φ(3,78) 1- Φ(2,83) = 0,9999 (1 0,0023) = 0,9976 = 99,76 % Sätter v fuktghete batche tll 46,5 % så kommer 99,76 % av de producerade suse hama om de satta gräsera vlket är ett mycket bra resultat. 26

27 4.3.2 Kotrollpla för vkt För att skapa e kotrollpla för vkte e färdg portossus så måste v bestämma kosumet- och producetrske. Kosumetrske är att e dosa väger mdre ä agve ettovkt, producetrske är att e dosa väger mer ä agve ettovkt. Saolkhete att få e dosa som väger mdre ä agve ettovkt är 47 % gvet att medelvkte är 20,023 och stadardavvkelse är 0,332. Om medelvkte ökar så mskar rske att få e dosa som väger mdre ä 20 gram me då ökar producetrske. V måste bestämma kosumet- och producetrske så de både är låga och acceptabla. Av kofdestervallet vet v att 95 % av alla dosor lgger om tervallet 19,97 gram tll 20,07 gram. Om v aväder kofdestervallet för att bestämma producetrske så sätter v rske att v överskrder 20,07 gram tll 10 % och rske att v uderskrder 19,97 tll 5 % Φ (1 β ) Φ ( α) σ = µ α µ ,2816 ( 1,6449 0,276 = 20,07 19,97 2,9265 = 0,276 = 237 0,1 V ser att stckprovsstorleke blr stor, =237. V måste täka om för att få er stckprovsstorleke. Om v aväder oss av våra gräser frå styrdagrammet så vet v att de övre gräse är 20,278 och de udre är 19,796. Sätter v rske att v överskrder de övre gräse tll 5 % och rske att v uderskrder de udre tll 2,5 % så får v ett stckprov om 19 observatoer. Detta ger oss 2 L = µ α Φ σ 1 (0,05) 1,6449 = 20,278 0,332 = 20, Tar v ut 19 dosor och mäter medelvkte på dessa så förkastar v partet om medelvkte är mdre ä 20,15 gram. 27

28 5 Sammafattade dskusso 5.1 Slutsatser Om ma ser tll helhete så producerar F&L e bra produkt med hög kvaltet. Medelvkte lgger över agve ettovkt och ga observatoer lgger uder 91 % av ettovkte som är Lvsmedelsverkets krav, de msta observatoe är 92,5 % av ettovkte, Lvsmedelsverkets krav är alltså uppfyllda. Stadardavvkelse för e dosa är 0,332 gram. Sprdge för vkt är om e vå som v aser vara rmlg. Ett 95-procetgt kofdestervall får gräsera 19,97 x 20,07. Detta vsar att vkte te är sgfkat skljd frå 20. Ett styrdagram som kotrollerar medelvärdet med 3-sgma-gräser för varabel vkt ger oss gräsera SÖ=20,158 och SU=19,916. Gräsera för vkte av 10 stycke portossus blr SÖ=8,063 SU=7,967. Dessa gräser atas kotrollera produktoe och hålla kvaltete på e hög vå. Problemet är att dessa gräser är alldeles för smala. Med de varato som fs produktoe så kommer detta styrdagram att ge utslag väldgt ofta, edast 20 % av dosora passerar kotrolle. Breddar v gräsera tll 6 stadardavvkelser så får v gräsera SÖ=20,278 och SU=19,796 och då kommer ca 60 % att passera. Om v breddar gräsera så mskar v medvetet kvaltetskrave. Elgt produktdatabladet så är de maxmala tllåta vkte 20,75 gram och de msta tllåta vkte 19,25 gram. V ser att 6-sgma-gräsera ger oss ett bra styrdagram som lgger om de gräser som F&L s föreskrva krav. Fuktghete e portossus är ågot lägre ä de 45 % som ages produktdatabladet, medelfuktghete är 44,03 %. Medelfuktghete sputke är 45,61% och fuktghete sjuker stt med 1,266 proceteheter mella sputk och färdg portossus. Detta är mdre ä vad som ages produktdatabladet, me det är om de uppsatta gräsera. Varatoe e färdg portossus är beroede av fuktghete sputke, är fuktghete ökar sputke så mskar varatoe de färdga portossuse. Detta gör att är v ska skatta stadardavvkelse och varas så måste v ta häsy tll de fuktghet v har sputke. För att skatta dea varato och hur fuktghete förädras aväder v oss av e regressosmodell som är vktad med x 44 där x är fuktghete sputke. Modelle ger oss e varas som är 0,915 ( x 44) och stadardavvkelse som är 0,915 ( x 44). Ett styrdagram som kotrollerar medelfuktghete får ett aorluda utseede ä för vkt. I och med att v har e varato som tllåts varera uppåt mer ä edåt så försöker v kompesera detta geom att skapa gräser som är tar häsy tll detta. Ett försök är att edast tllåta e stadardavvkelse edåt och tre uppåt. Gräsera blr då SU=44,292 och SÖ=44,545, dessa gräser är väldg smala och att htta gräser som är acceptabla med take på varato och krav är väldgt svårt. V vet äve att varatoe beror på fuktghete sputke så ett sätt är att aväda sg av de skattge av stadardavvkelse stället. 28

29 Aväder v oss av 0,915 ( x 44) är v skapar gräser för styrdagrammet så ka v bestämma gräser som tar häsy tll de varato v har för tllfället. Ett styrdagram som kotrollerar varatosbredde går tyvärr te att skapa. Styrdagrammet förutsätter lka stora stckprov och så är tyvärr te fallet med de data som fs tllgäglg. Lägd och vkt är om de gräser som F&L har satt upp. Edast 16 observatoer, ca 10%, skljer sg frå de krav som är uppsatta för lägd och edast 4 skljer frå krave för bredd. Mätmetode är te särsklt exakt me fugerar alldeles utmärkt för att kotrollera lägd och bredd. Aalyse av produktosljera vsar att det te fs ågot sambad mella ett särsklt högt eller lågt medelvärde eller e specell varato mella ljera. Ett kotrollerat expermet kaske skulle vsa motsatse me ge specell lje producerar med sämre kvaltet. Tyvärr så ka v te aalysera operatöres påverka på produktoe, det te fs tllräcklg data tll e såda aalys. Det verkar te fas e uttalad operatör, de som tar stckprovet regstreras som operatör trots att de kaske te sköter ställge av maske. Detta är ågot som borde förädras för att ma ska kua mäta skllader mella operatörer. När v skapar e kotrollpla för fuktghete aväder v oss av regressosmodelle y = 22,77 + 1, 4727x. Ser v seda på fgur 4 så ser v att e fuktghet mella % ger oss e färdg portossus som är om de satta gräsera, %. Producerar v e batch med 46,5 % fuktghet så kommer 99,76 % av de färdga portossuse vara mella 44 % och 48 %. När v skapar e kotrollpla för vkt så aväde v först kofdestervallet för att bestämma gräser och rsker, detta gav oss ett stckprov om 236 observatoer. Detta aser v vara för måga observatoer så ya gräser och rsker bestämdes. Gräsera frå styrdagrammet aväds u, övre gräs 20,278 udre gräs 19,796, och rske att v överskrder de övre gräse är satt tll 5 % och rske att v uderskrder de udre är satt tll 2,5 %. V får då ett stckprov om 19 observatoer och tar v ut 19 dosor och mäter medelvkte på dessa så förkastar v om medelvkte är mdre ä 20,15 gram. 29

30 6 Refereser 6.1 Ltteratur Bo Bergma, Bo Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg Första upplaga 1991 Studetltteratur Robert V. Hogg, Ellot A. Tas; Probablty ad statstcal ferece Sjätte upplaga 2001 Pretce Hall Ramu Ramaatha; Itroductory ecoometcs wth applcatos Femte upplaga 2002 South-Wester 6.2 Artklar Björ Holmqvst; Acceptaskotroll geom mätg Kaptel 5.4 ur Matematsk statstk för M och V Komplettergar och tllämpgar 1991 Isttutoe för matematsk statstk Luds uverstet 30

31 7 Blagor Blaga 1 31

32 Blaga 2 32

33 Tabell 1 Medelvärdesdagram R-dagram Stckprovsstorlek A A2 A3 C4 d2 d3 D1 D2 D3 D4 2 2,121 1,880 2,659 0,7979 1,128 0, , , ,732 1,023 1,954 0,8862 1,693 0, , , ,500 0,729 1,628 0,9213 2,059 0, , , ,342 0,577 1,427 0,9400 2,326 0, , , ,225 0,483 1,287 0,9515 2,534 0, , , ,134 0,419 1,182 0,9594 2,704 0,833 0,205 5,203 0,076 1, ,061 0,373 1,099 0,9650 2,847 0,820 0,387 5,307 0,136 1, ,000 0,337 1,032 0,9693 2,970 0,808 0,546 5,394 0,184 1, ,949 0,308 0,975 0,9727 3,078 0,797 0,687 5,469 0,223 1, ,905 0,285 0,927 0,9754 3,173 0,787 0,812 5,534 0,256 1, ,866 0,266 0,886 0,9776 3,258 0,778 0,924 5,592 0,284 1, ,832 0,249 0,850 0,9794 3,336 0,770 1,026 5,646 0,308 1, ,802 0,235 0,817 0,9810 3,407 0,762 1,121 5,693 0,329 1, ,775 0,223 0,789 0,9823 3,472 0,755 1,207 5,737 0,348 1, ,750 0,212 0,763 0,9835 3,532 0,749 1,285 5,779 0,364 1, ,728 0,203 0,739 0,9845 3,588 0,743 1,359 5,817 0,379 1, ,707 0,194 0,718 0,9854 3,640 0,738 1,426 5,854 0,392 1, ,688 0,187 0,698 0,9862 3,689 0,733 1,490 5,888 0,404 1, ,671 0,180 0,680 0,9869 3,735 0,729 1,548 5,922 0,414 1, ,655 0,173 0,663 0,9876 3,778 0,724 1,606 5,950 0,425 1, ,640 0,167 0,647 0,9882 3,819 0,720 1,659 5,979 0,434 1, ,626 0,162 0,633 0,9887 3,858 0,716 1,710 6,006 0,443 1, ,612 0,157 0,619 0,9892 3,895 0,712 1,759 6,031 0,452 1, ,600 0,153 0,606 0,9886 3,931 0,709 1,804 6,058 0,459 1,541 33

34 Tabell 4 Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estmate 1 0,764 0,584 0,578 0,957 a Predctors: (Costat), FUKTSPUT b Depedet Varable: FUKTSNUS c Weghted Least Squares Regresso - Weghted by ETTD3SP Tabell 5 ANOVA Model Sum of Squares df Mea Square F Sg. 1 Regresso 96, , ,266 3,9339E-18 Resdual 68, ,915 Total 165, a Predctors: (Costat), FUKTSPUT b Depedet Varable: FUKTSNUS c Weghted Least Squares Regresso - Weghted by ETTD3SP Tabell 6 Coeffcets Ustadardzed Coeffcets Stadardzed Coeffcets t Sg. Model B Std. Error Beta 1 (Costat) -22,770 6,562-3,470 0, FUKTSPUT 1,473 0,144 0,764 10,260 3,9339E-18 a Depedet Varable: FUKTSNUS b Weghted Least Squares Regresso - Weghted by ETTD3SP 34

35 Tabell 10 Kaktus Lje 1 Kaktus m max mea s varas Vkt10st 17 7,6 8,4 8,01 0,20 0,04 Dosa ,01 0,49 0,24 fuktsput 17 44,43 46,85 45,59 0,73 0,53 fuktbot 16 44,03 46,91 45,29 0,78 0,61 fuktsus 16 40,52 46,2 44,01 1,71 2,92 Kaktus Lje 2 m max mea s varas Vkt10st 19 7,8 8,6 8,11 0,17 0,03 Dosa 19 19,5 21,5 20,26 0,43 0,18 fuktsput 19 44,43 46,85 45,71 0,72 0,52 fuktbot 18 44,32 46,64 45,36 0,58 0,34 fuktsus 18 42,23 46,08 44,64 1,04 1,07 Kaktus Lje 3 m max mea s varas Vkt10st 23 7,5 8,4 8,00 0,20 0,04 Dosa 23 18, ,99 0,50 0,25 fuktsput 23 44,43 46,85 45,65 0,77 0,60 fuktbot 21 42,39 47,05 45,22 0,88 0,78 fuktsus 22 41,47 46,31 44,50 1,34 1,79 Kaktus Lje 4 m max mea s varas Vkt10st 23 7,5 8,3 8,00 0,16 0,03 Dosa 23 18,75 20,75 20,01 0,40 0,16 fuktsput 23 44,43 46,85 45,49 0,78 0,61 fuktbot 21 41,29 46,38 44,70 1,02 1,05 fuktsus 21 40,56 46,27 43,91 1,63 2,66 35

36 Tabell 11 Uvarate Aalyss of Varace Tests of Betwee-Subjects Effects Depedet Varable: DOSA Source Itercept Hypothess 32480,633 1, , ,789 0,000 Error 0,999 3,043 0,328 STATION Hypothess 0,989 3,000 0,330 1,583 0,200 Error 16,238 78,000 0,208 a,989 MS(STATION) + 1,129E-02 MS(Error) b MS(Error) Tabell 12 Uvarate Aalyss of Varace Tests of Betwee-Subjects Effects Depedet Varable: FUKTSPUT Source Type III Sum of Squares df Mea Square F Sg. Itercept Hypothess ,999 1, , ,108 0,000 Error 0,629 3,206 0,196 STATION Hypothess 0,576 3,000 0,192 0,338 0,798 Error 44,286 78,000 0,568 a,989 MS(STATION) + 1,129E-02 MS(Error) b MS(Error) 36

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är

Läs mer

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata Sesorer och elektrok Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätresultat är behäftade med e vss osäkerhet

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå

Läs mer

Något om beskrivande statistik

Något om beskrivande statistik Något om beskrvade statstk. Iledg I de flesta sammahag krävs fakta som uderlag för att komma tll rmlga slutsatser eller fatta vettga beslut. Exempelvs ka det på ett företag ha uppstått dskussoer om att

Läs mer

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 64 Orderkvatteter vd begräsgar av atal order per år Olka så kallade partformgsmetoder aväds som uderlag för beslut rörade val av lämplg orderkvattet

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 04--6 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 9.00-15.00 Tllåta hjälpmedel: Utdelad

Läs mer

Lycka till och trevlig sommar!

Lycka till och trevlig sommar! UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 07-05-3 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 09.00-5.00 Tllåta hjälpmedel: Tabellsamlg,

Läs mer

Parametriska metoder. Icke-parametriska metoder. parametriska test. Icke-parametriska test. Location Shift. Vilket test ersätts med vilket?

Parametriska metoder. Icke-parametriska metoder. parametriska test. Icke-parametriska test. Location Shift. Vilket test ersätts med vilket? Icke-parametrska test Icke-parametrska metoder Parametrska metoder Fördelge för populatoe som stckprovet togs frå är käd så ära som på ett atal parametrar, t.ex: N med okäda och Icke-parametrska metoder

Läs mer

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s. Vätevärde, stadardavvkelse och varas Ett statstskt materal ka sammafattas med medelvärde och stadardavvkelse (varas, och s. På lkade sätt ka e saolkhetsfördelg med käda förutsättgar sammafattas med vätevärde,,

Läs mer

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14)

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14) AMMANFATTNING AV KUR 6 TATITIK (Newbold katel [7], 8, 9,, 3, 4) INLEDNING 3 Proortoer 3 Proortoer 4 Poulatosvaras 5 KONFIDENINTERVALL 6 Itutv förklarg 6 Arbetsgåg vd beräkg av kofdestervall 7 Tfall. ök

Läs mer

b) Om du nu hade oturen att du köpt en trasig dator, vad är sannolikheten att den skulle ha tillverkats i Litauen?

b) Om du nu hade oturen att du köpt en trasig dator, vad är sannolikheten att den skulle ha tillverkats i Litauen? UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematk och matematsk statstk MSTA, Statstk för tekska fysker A Peter Ato TENTAMEN 005-0-03 ÖSNINGSFÖRSAGTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för tekska fysker, 4 oäg.

Läs mer

Fördelningen för populationen som stickprovet togs ifrån är känd så nära som på ett antal parametrar, t.ex: N med okända

Fördelningen för populationen som stickprovet togs ifrån är känd så nära som på ett antal parametrar, t.ex: N med okända we Mezel, 7 we.mezel@sl.se; we.mezel@matstat.de www.matstat.de Parametrska metoder Fördelge för poplatoe som stckprovet togs frå är käd så ära som på ett atal parametrar, t.ex: N med okäda Icke-parametrska

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04 Prs Lösgsförslag tll tetame 73G7 Statstk B, 009--04. a) 340 30 300 80 60 40 0 0.5.0.5.0 Avståd.5 3.0 3.5 b) r y y y y 4985.75 7.7 830 0 39.335 7.7 0 80300-830 0 3.35 0.085 74.475 c) b y y 4985.75 7.7 830

Läs mer

Enkel linjär regression

Enkel linjär regression Ekel ljär regresso Ekel ljär regresso Kap Ekel ljär regressosmodell: = β + β + ε Sstematsk del Stokastsk (slumpmässg) del där är beroede varabel, de varabel som v vll förklara eller predktera De kallas

Läs mer

Variansberäkningar KPI

Variansberäkningar KPI STATISTISKA CENTRALBYRÅN Slutrapport (9) Varasberäkgar KPI Varasberäkgar KPI Iledg Grov varasskattg Detaljerade varasskattgar av tuga produktgrupper 5 Rätekostader 5 Charter 6 Böcker 8 Utrkesflyg 0 Iträdesbljetter

Läs mer

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2 Ljär regresso aolkhet och statstk Regressosaalys VT 2009 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Fgur: Mätpukter: x, y Ljär regresso - kalbrerg av e våg Modell för ljär regresso Modell: y α +

Läs mer

Tentamen STA A15 delkurs 1 (10 poäng): Sannolikhetslära och statistisk slutledning 3 november, 2005 kl

Tentamen STA A15 delkurs 1 (10 poäng): Sannolikhetslära och statistisk slutledning 3 november, 2005 kl Tetame STA A5 delkurs ( poäg): Saolkhetslära och statstsk slutledg 3 ovember 5 kl. 8.5-3.5 Tllåta hjälpmedel: Räkedosa bfogade formel- och tabellsamlgar vlka skall retureras. Asvarg lärare: Ja Rudader

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL x + y, där x, y R (rektagulär form r(cosθ + sθ (polär form r (cos θ + s θ De Movres formel y O x + x y re θ (potesform eller expoetell form θ e cosθ + sθ Eulers

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

Medelvärde. Repetition. Median. Standardavvikelse. Frekvens. Normerat värde. z = x x

Medelvärde. Repetition. Median. Standardavvikelse. Frekvens. Normerat värde. z = x x Medelvärde Reetto mb9 Medelvärdet är summa av alla observatoer dvderat med deras atal. x 873+85+8385+83+8+83+8087+808+80 = 70 70 = 89 9 Meda Medae är de mttersta observatoe. = 8 Eller medelvärdet av de

Läs mer

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression Matematsk statstk Stockholms uverstet Flexbel kokursrskestmerg med logstsk sple-regresso Erk vo Schedv Examesarbete 8: Postadress: Matematsk statstk Matematska sttutoe Stockholms uverstet 6 9 Stockholm

Läs mer

FÖRSÖKSPLANERING. och utvärdering av försöksresultat med den matematiska statistikens metoder. av Jarl Ahlbeck

FÖRSÖKSPLANERING. och utvärdering av försöksresultat med den matematiska statistikens metoder. av Jarl Ahlbeck FÖRSÖKSPLNERING och utvärderg av försöksresultat med de matematska statstkes metoder av Jarl hlbeck Åbo kadem Laboratoret för alägggstekk I a sstem whch varable quattes chage, t s of terest to eame the

Läs mer

Kontingenstabell (Korstabell) 2. Oberoende-test. Stickprov beror av slumpen. Vad vi förvf. är r oberoende: kriterier är r oberoende: kriterier

Kontingenstabell (Korstabell) 2. Oberoende-test. Stickprov beror av slumpen. Vad vi förvf. är r oberoende: kriterier är r oberoende: kriterier . Oberoede-test Kotgestabell (Korstabell) Oberoedet av två rterer för lassfato udersöes xempel: V vll veta om röadet är beroede av ö V tar ett stcprov ur befolge (=50) och lassfcera persoera elgt dessa

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen

Centrala gränsvärdessatsen Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse Cetrala gräsvärdessatse Vätevärdet och varase för e ljär kombato av stokastska varabler beräkas elgt följade: S Låt c, c,, c vara kostater,,,, stokastska

Läs mer

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin Strukturell utvecklg av arbetskostad och prser de sveska ekoom Alek Markowsk Krsta Nlsso Marcus Wdé WORKING PAPER NR 06, MAJ 0 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET gör aalyser och progoser

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel?

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel? Tentamenskrvnng: TMS45 - Grundkurs matematsk statstk och bonformatk, 7,5 hp. Td: Onsdag den 9 august 2009, kl 08:30-2:30 Väg och vatten Tesen korrgerad enlgt anvsngar under tentamenstllfället. Examnator:

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg

Läs mer

Specialfall inom produktionsplanering: Avslutning Planerings- Le 8-9: Specialfall (produktval, kopplade lager, cyklisk planering, mm) system

Specialfall inom produktionsplanering: Avslutning Planerings- Le 8-9: Specialfall (produktval, kopplade lager, cyklisk planering, mm) system Föreläsg Specalfall om produktosplaerg: Produktvalsplaerg, cyklsk plaerg, alteratva partformgsmetoder Avslutg Plaergssystem Fast posto Fö 6a: Projektplaerg (CPM, PERT, mm) Le 3: Projektplaerg (CPM/ PERT,

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor Mätbar vetskap om uläget och tydliga målbilder om framtide Geomför e INDICATOR självvärderig och ulägesaalys iom tre veckor Självvärderig e del av dokumetatioskravet i ya skollage Skollage ställer också

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Informationsåtervinning på webben Sökmotorernas framtid

Informationsåtervinning på webben Sökmotorernas framtid Iformatosåtervg på webbe Sökmotoreras framtd Semarum 4-9- Iformatosåtervg på webbe Sökmotoreras framtd Ge sprato tll forskg att skapa ya affärsmölgheter smart avädg av sökverktyg de ega orgasatoe Belysa

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Lösning till TENTAMEN

Lösning till TENTAMEN Isttutoe för Sjöfart oh Mar Tekk ös tll TENTAMEN 0706 KURSNAMN Termodyamk oh strömslära ROGRAM: am Sjöejörsrorammet åk / läserod KURSBETECKNING //auusterode SJO050 005 el A Strömslära EXAMINATOR Mats Jarlros

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

En jämförande studie av GLM, Jungs metod och Tweedie-modell för premiesättning av multiplikativ tariff.

En jämförande studie av GLM, Jungs metod och Tweedie-modell för premiesättning av multiplikativ tariff. atematk tattk Stockholm uvertet E ämförade tude av GL, Jug metod och Teede-modell för premeättg av multplkatv tarff. El Laro Eamearete 4: Potal addre: atematk tattk Dept. of athematc Stockholm uvertet

Läs mer

Primär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08

Primär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08 Prmär- och sekundärdata Undersöknngsmetodk Prmärdataundersöknng: användnng av data som samlas n för första gången Sekundärdata: användnng av redan nsamlad data Termeh Shafe ht01 F1-F KD kap 1-3 Olka slag

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (=TECKENINTERVALL )

KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (=TECKENINTERVALL ) Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tecetervall KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (TECKENINTERVALL ) För att bestämma ett ofdestervall för medae tll e otuerlg s.v. ξ aväder v ett stcprov ξ ξ ξ3 ξ av storlee som

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 6. Regression & Korrelation. (LLL Kap 13-14) Inledning till Regressionsanalys

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 6. Regression & Korrelation. (LLL Kap 13-14) Inledning till Regressionsanalys Fnansell Statstk (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsnng 6 Regresson & Korrelaton (LLL Kap 3-4) Department of Statstcs (Gebrenegus Ghlagaber, PhD, Assocate Professor) Fnancal Statstcs (Basc-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s. Dg. Remsummor och tegrler Rekommederde uppgfter 5.. Del upp tervllet [, 3] lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området uder = +, över =, smt mell = och = 3. V

Läs mer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5 Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsig 5 HYPOTESPRÖVNING (LLL Kap 11) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

Vinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( )

Vinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( ) Tentamen Matematsk statstk Ämneskod-lnje S1M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgfter) Poäng totalt för del 3 (3 uppgfter) Tentamensdatum 9-3-5 Kerstn Vännman Lärare: Robert Lundqvst Mkael Stenlund Skrvtd

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su.

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su. ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÁÒ Ø ÓÒ Ò ÒÚ Ö ÒÔ ÒÔ ÖÚ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ Ò ØÖ Ò Ð Ö Ð ÒÊÓÓ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½½ Postadress: Matemats statst Matematsa sttutoe Stocholms uverstet 06 9 Stocholm Sverge Iteret:

Läs mer

FK2002,FK2004. Föreläsning 5

FK2002,FK2004. Föreläsning 5 FK00,FK004 Föreläsnng 5 Föreläsnng 5 Labbrapporter Korrelatoner Dmensonsanalys Denna föreläsnng svarar mot kap. 9 (Taylor) Labbrapporter Feedback+betyg skckas morgon. Några tps ett dagram hjälper alltd

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Mätfelsbehandling. Lars Engström

Mätfelsbehandling. Lars Engström Mätfelsbehandlng Lars Engström I alla fyskalska försök har de värden man erhåller mer eller mndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en mätnng fullständgt försumbar förhållande tll den precson man

Läs mer

Välkommen in i konfirmandens egen bibel!

Välkommen in i konfirmandens egen bibel! L Välkoe kofrades ege bbel! Upptäck Bbel tllsaas ed kofrade! Lbrs ya kofradutgåva av Bbel har två huvudpersoer: Jesus so är Bbels kära och stjära och de uga äska so ärar sg Bbel och tro. Ordet kofrad äs

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 2010 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15-10 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Geodetisk och fotogrammetrisk mätnings- och beräkningsteknik

Geodetisk och fotogrammetrisk mätnings- och beräkningsteknik Formelamlg tll Geodetk och fotogrammetrk mätg- och beräkgtekk Vero 015-03-04 Geodetk och fotogrammetrk mätg- och beräkgtekk by Latmäteret m.fl. lceed uder a Creatve Commo Erkäade-Ickekommerell-Igaearbetgar

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

0 Testvariabel t, x s n. Lite historia om t-testett. testet. Ett stickprov: Hur räknar r. testet. ett stickprov

0 Testvariabel t, x s n. Lite historia om t-testett. testet. Ett stickprov: Hur räknar r. testet. ett stickprov -ee Le hora om -ee ee ude -e "ude," peudom om aväd av Wllam Goe (bld) Jobbade på Gue brggere Dubl börja av 9-ale allmä beecka alla e om aväder - fördelge om -e uwe.mezel@mah.uu.e Defo för f r -fördelge

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Sammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y

Sammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y F12: sd. 1 Föreläsnng 12 Sammanfattnng V har studerat ekonomn påp olka skt, eller mer exakt, under olka antaganden om vad som kan ändra sg. 1. IS-LM, Mundell Flemmng. Prser är r konstanta, växelkurs v

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Visst kan man faktorisera x 4 + 1 Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Har du sett till att du:

Har du sett till att du: jua b r t t u a lr r l a r r a å l g P rä t r g u s p u m h a c tt val? t bo s F Rock w S Du har tt stort asvar! Som fastghtsägar m hyra gästr llr campg trägår är u otrolgt vktg aktör! Självklart för att

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 och EPI2 den 15 december 2010

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 och EPI2 den 15 december 2010 Tentamen Tllämpad matematsk statstk för MI och EPI den december Uppgft : Ett företag som tllverkar batterer av en vss typ har tllverknng förlagd tll två olka fabrker. Fabrk A står för 7% av tllverknngen

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer? Datastrukturer och algoritmer Föreläsig 2 Aalys av Algoritmer Aalys av algoritmer Vad ka aalyseras? - Exekverigstid - Miesåtgåg - Implemetatioskomplexitet - Förstålighet - Korrekthet - - 29 30 Varför aalysera

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 20 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15- Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng

Läs mer

TRIBECA Finansutveckling

TRIBECA Finansutveckling TRIBECA Rådgivare iom fiasiella helhetslösigar TRIBECA a s k r e i v g S f a s k r i e v g S f g g r r e e a r a r e e i i f f TRIBECA s målsättig är att bidra med råd & produkter som hela tide gör att

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Kan asymmetriska prisindex approximera superlativa? - en studie av prisindex i producent- och importled.

Kan asymmetriska prisindex approximera superlativa? - en studie av prisindex i producent- och importled. INSTITUTIONEN FÖR INFORMATIONSVETENSKAP Ehee för Sask Uppsala Uverse Uppsas C Vårerme 25 Förfaare: Da Hjörered Haa Holm Hadledare: Joha Lyhage (UU) Mas Haglud (SCB) Ka asymmerska prsdex approxmera superlava?

Läs mer