a) B är oberoende av A. (1p) b) P (A B) = 1 2. (1p) c) P (A B) = 1 och P (A B) = 1 6. (1p) Lösningar: = P (A) P (A B) = 1

Transkript

1 Lösnngar tll tentamen: Matematsk statstk och sgnalbehandlng (ESS0), den 4/-009 Examnator: Serk Sagtov (Kursansvarg: Ottmar Crone) Tllåtna hjälpmedel: Tabell "Beta", utdelad formelsamlng, valfr räknedosa(mnnestömd) Betygsgränser: p Betyg 3, 8p Betyg 4, 4p Betyg 5 Maxpoäng: 30p Antag att du kastar en rättvs sex-sdg tärnng (alla sdor har lka sannolkhet). Betrakta nu händelsen A = {5, 6}, dvs händelsen att v ett vsst slag får åtmnstone 5. Ange var och ett av fallen nedan en händelse B sådan att a) B är oberoende av A. (p) b) P (A B) =. (p) c) P (A B) = och P (A B) = 6. (p) a) B = {,, 3, 4, 5, 6} A B = A, P (A B) = 6 = P (A)P (B) b) B = {3, 4, 5, 6} P (A B) = P (A B) P (B) = P (A) P (B) = /6 4/6 = c) B = {,, 3, 4, 5} A B = {5}, A B = {,, 3, 4, 5, 6} P (A B) = 6, P (A B) = Antag att den stokastska varabeln X är normalfördelad med väntevärde 3 och varans 9. Låt nu Y = 3 X. a) Vad har Y för typ av fördelnng och vad är dess väntevärde och varans? (.5p) b) Vad är sannolkheten att Y är åtmnstone? (p) c) Beräkna Cov(X, Y ). (.5p) a) E[Y ] = 3 E[X] = 0, Var(Y ) = (/3) Var(X) = Y N(0, ) b) Pga att N(0, )-förd. är symmetrsk 0 får v P (Y ) = P (Y ) = c) Cov(X, Y ) = Cov(X, 3 X ) = 3 Cov(X, X) = 3 Var(X) = 3

2 3 Besvara följande små frågor: a) Vad är defntonen av ett typ I-fel respektve ett typ II-fel? (p) b) Vad skall gälla för att en funkton f(x) skall vara en täthetsfunkton för en kontnuerlg stokastsk varabel Y? (p) c) Låt X Exp(π). Vad är P (X = 5)? (p) a) Typ I-fel är slh att förkasta H 0 gvet att H 0 är sann. Typ II-fel är slh att acceptera H 0 gvet att mothypotesen är sann b) f(x) 0, f(x)dx =, P (a Y b) = b a f(x)dx c) P (X = 5) = 0 eftersom X är en kontnuerlg stokastsk varabel 4 Företaget "Däck som bara den AB" får varje dag n en låda med ventler tll de däck som tllverkas fabrken. Varje låda består av 00 ventler och från varje låda som nkommt plockar man slumpmässgt ut 0 stycken som testas för läckage. Om någon av de testade ventlerna läcker skckar man tllbaka hela lådan med ventler tll underleverantören. En vss dag får man n en låda som totalt nnehåller 5 trasga ventler. a) Låt Z beteckna antalet trasga ventler som man stöter på. Vad har Z för sannolkhetsfunkton? (p) b) Hur många av de undersökta ventlerna förväntas vara trasga? (p) c) Vad är sannolkheten att lådan nte skckas tllbaka? (p) d) Vad är sannolkheten att man fnner mer än en trasg ventl? (p) a) Z är hypergeometrskt fördelad med parameter (N, n, m) = (00, 0, 5), f Z (k) = P (Z = k) = k)( (m N m n k ) ( N n) b) E[Z] = mn/n = / c) P (Z = 0) = (5 0)( ) ( 00 0 ) = d) P (Z > ) = P (Z ) = P (Z = ) P (Z = 0) = = Låt X,..., X n vara ett stckprov på X N(µ, σ ). a) Härled och skrv fullständgt ut log-lkelhoodfunktonen (bara den ckelogartmerade lkelhood-funktonen ger nga poäng). (p) b) Fnn maxmum-lkelhoodskattaren för σ. (.5p) c) Är detta en väntevärdesrktg (unbased) skattare för σ (vsa)? (.5p)

3 a) l(µ, σ) = log ( n = ) /σ πσ e (x µ) = n log(σ) σ (x µ) = b) l(µ, σ) σ nσ = = n σ + n σ 3 (x µ) = 0 = ˆσ (X,..., X n ) = = (x µ) = 0 = n (X µ) = c) E[ˆσ (X,..., X n )] = n E[(X µ) ] = n = Var(X ) = = }{{} =σ n nσ = σ 6 Koncentratonen av en aktv ngredens ett flytande tvättmedel förmodas påverkas av typen av katalysator som används tllverknngsprocessen. Man har gjort ett antal mätnngar av koncentratoner med de två katalysatorer som fnns tllgänglga (där enheten är gram aktv ngredens per 00kg tvättmedel) och fått följande data: Katalysator Katalysator n = 6 n = 4 x = 650 x = 550 s = 80 s = 75 a) Konstruera ett tvåsdgt 99%-gt konfdensntervall för den förväntade koncentratonsdfferensen. (.5p) b) Vad drar du för slutsats a)? (motvera) (0.5p) c) Använd ett ensdgt hypotestest (sgnfkansnvå 0.0) för att se om katalysatorerna ger upphov tll någon skllnad förväntad koncentraton. (.5p) d) Ge och motvera de antaganden som du har gjort a) och c)? (0.5p) a) Om varanserna antas vara lka: Konfdensntervallet ges av X X ± t (n+n ) ( α)/ S p S p = (n )S +(n )S n +n n + n 3

4 (6 )80 och v får s p = +(4 ) = = samt t (8).763 Insättnng ger ntervallet ± dvs µ µ (8, 979) Om varanserna antas vara olka: Konfdensntervallet ges av X X ± t (γ) S ( α)/ n + S n (S γ = /n+s /n) (S /n) /(n )+(S /n) /(n ) V får γ = = = 7 (80 /6+75 /4) (80 /6) /(6 )+(75 /4) /(4 ) = = 900±79, och därmed t (7) = Insättnng ger ntervallet ± = 900 ± 78, dvs µ µ (8, 978) b) Katalysator är att föredra då den ger upphov tll mer av den aktva ngredensen slutprodukten. Hade 0 funnts med ntervallet hade det ej gått att göra något uttalande. c) V testar H 0 : µ = µ mot H : µ > µ. Om varanserna antas vara lka: =0 {}}{ Teststatstkan (under H 0 ) ges av T = ( X X ) (µ µ ) S p n + n och den förkastas om T > t (8) 0.99 =.467. Eftersom den observerade teststatstkan T obs = 3.64 >.467 kan v förkasta H 0 på sgnfkansnvån 0.0. Om varanserna antas vara olka: =0 {}}{ Teststatstkan (under H 0 ) ges av T = ( X X ) (µ µ ) S n + S n och den förkastas om T > t (7) 0.99 =.473. Eftersom den observerade teststatstkan T obs = 3.78 >.473 kan v förkasta H 0 på sgnfkansnvån 0.0. I fallet H 0 : µ = µ mot H : µ µ använder man de krtska gränser som ges av kvantlerna uppgft a). d) Förutom antagandet om huruvda de underlggande varanserna är lka eller ej så måste de två stckproven vara oberoende och normalfördelade. 7 En forskare hävdar att åtmnstone 0% av alla hockeyhjälmar har ett vsst tllverknngsfel som skulle kunna ge upphov tll skador hos bäraren. Då man kontrollerar 00 hjälmar upptäcker man att 6 av dessa har det påtalade felet. a) Ta reda på, mha ett lämplgt hypotestest med sgnfkansnvån 0.0, om detta stödjer forskarens påstående. (.5p) 4

5 b) Fnn testets p-värde. (.5p) c) Vad skulle ett 99%-gt konfdensntervall baserat på nformatonen ovan ha för bredd? (.5p) Lösnng: a) V testar H 0 : p = 0. mot H : p 0.. Då antalet (n = 00) oberoende Bernoull-försök som görs (ger oss en Bnomalfördelnng) är stort gäller det att X (antalet trasga hjälmar) är approxmatvt normalfördelat enlgt centrala gränsvärdessatsen. ˆp p app. Teststatstkan ges av T = N(0, ) (under H 0 ). p( p)/n V förkastar H 0 om T > z α/ ˆp = 6/00 = 0.08 Eftersom den observerade teststatstkan T obs = = <.576 kan v ej förkasta H 0 på sgnfkansnvån 0.0 b) Låt Z N(0, ). p värdet = P (Z < 0.943) + P (Z > 0.943) = P (0.943 < Z < 0.943) = (Φ(0.943) Φ(0)) = ( ) = c) z α/ ˆp( ˆp)/n = Vkt (X) (pounds) och systolskt blodtryck (Y ) (blodtryck vd hjärtats sammandragnng) hos 6 slumpmässgt utvalda (och oberoende) män åldrarna 5-30 vsas tabellen nedan. Patentnr Vkt Blodtryck Patentnr Vkt Blodtryck Antag nu att vkt och blodtryck är bvarat normalfördelade. Från värdena ovan får v att x = 4743 y = 3786 x = y = x y = a) Utför en lnjär regresson (där alla koeffcenter samt regressonslnjens slutlga form anges) med blodtryck som svarsvarabel. (p) b) Tolka koeffcenterna (uttryckt termer relaterade tll problemet). (0.5p) c) Skatta korrelatonskoeffcenten. (0.5p) 5

6 d) Testa hypotesen att korrelatonen är 0 på sgnfkansnvån (p) a) µ = E[Y X = x ] = β 0 + β x där X anger vkten och Y blodtrycket. n = 6. ˆβ = S xy x y n xȳ x y = n x y S xx x n x = x n ( x ) = ˆβ 0 = ȳ ˆβ x = Ŷ x = ˆβ 0 + ˆβ x = x b) Då man nte har någon vkt (låter konstgt) ger sambandet att man har blodtryck och det ökar med enheter per pound. c) R = ˆρ = S xy Sxx S yy = x y n x y ( x n ( x ) ) ( = y n ( ) y ) d) V testar H 0 : ρ = 0 mot H : ρ 0. Teststatstkan ges av T = R n som under H R 0 är t-fördelad med n frhetsgrader. V förkastar H 0 om T obs > t (n ) α/ = t(4) =.064. V får T obs = = och kan därmed förkasta H