Del A Begrepp och grundläggande förståelse.

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrvnng Expermentella metoder, 12 hp, för kanddatprogrammet, år 1 Onsdagen den 17 jun 2009 kl 9-1. S.H./K.H./K.J.-A./B.S. Införda betecknngar bör förklaras och uppställda ekvatoner motveras. Resonemang, ekvatonslösnngar och uträknngar får nte vara så knapphändga att de blr svåra att följa. Fgurer skall rtas stora och tydlga med lnjal. Var noga med vektorbetecknngar. På varje problem skall anges ett tydlgt understruket eller nramat svar. När så är möjlgt skall svaret bestå av sffror med rätt enheter. Antalet värdesffror skall stå rmlg proporton tll texten angvna värdesffror. För godkända betyg (A-E) krävs mnst poäng på del A. För betyg E krävs mnst 1 poäng sammanlagt. Hjälpmedel : PHYSICS HANDBOOK, RÄKNEDOSA, TEFYMA Del A Begrepp och grundläggande förståelse. 1. I en textlndustr sker genomsntt 0,1 arbetsplatsolyckor under ett dygn. Antag att antalet arbetsplatsolyckor per dygn är en Possonfördelad varabel och beräkna därur sannolkheten att det skall ske två olyckor under en arbetsvecka om fem dagar. Beräkna sedan sannolkheten att det skall ske fyra olyckor under en perod om 2 arbetsveckor. (2p) Förslag tll lösnng: Under en femdagarsperod sker genomsntt 0, olyckor. V söker då sannolkheten att värdet av en Possonfördelad varabel är 2 om medelvärdet är 0,: P (ν 2; µ 0, ) e 0, 0, 2 2! 0, 078. För en tvåveckorsperod är medelvärdet 1,0 olyckor. V söker då P (4; 1) e 1,0 1,0 4 4! 0, För att bl antagen tll hundfrsörsubldnngen måste man göra ett antagnngsprov sökte 280 elever tll den utbldnngen. Provresultaten vsade sg vara normalfördelade med ett medelvärde om 6 och en standardavvkelse om 7. Hur hög poäng måste man ha på provet för att bl antagen, om skolan tar n 110 elever? (2p) Förslag tll lösnng: Andelen antagna elever är 110/280 0,0386. V söker tabell B det avstånd från medelvärdet, uttryckt sgma, som svarar mot ett sannolkhetsnnehåll om 3,860% och fnner att det svarar mot 1,768 σ över medelvärdet. Det krävdes alltså 6 + 1, (697,6) poäng för att komma n sökte 180 personer tll hundfrsörsubldnngen. Det året var resultaten på antagnngsprovet 82 med en standardavvkelse på 82. Kan man hävda att resultaten på antagnngsprovet, med % konfdensnvå har sjunkt mellan 197 och 1993? (2p) Förslag tll lösnng: V undersöker om µ 197 µ 1993 är sgnfkant större än noll: µ 197 µ Frågan nu är hur många standaravvkelser detta är från noll. V har σ µ(1993) , 40 och σ µ(197) , 11. Osäkerheten skllnaden µ µ 197 µ 1993 ges av σ σ σ , , , 29. Avvkelsen från noll är alltså 17 6,29 2, 70 σ. Enlgt tabell B motsvarar det en konfdensnvå om 0,3%. Man kan alltså med % konfdensnvå hävda att nvån har sjunkt mellan 197 och I en vetenskaplg rapport A Cross-Natonal Relatonshp Between Sugar Consumpton and Major Depresson, publcerad Depresson and Anxety (2002) dras slutsatsen att det fnns ett samband mellan genomsnttlg sockerkonsumton, mätt kalorer per dag per person från socker och antalet kraftga depressoner, mätt som antal depressoner per år och 100 nvånare. Slutsatsen grundades på följande mätdata:

2 Land Sockerkonsumton Antal depressoner Frankrke 30 4,4 Kanada 390,2 Korea 10 2,3 Nya Zeeland 480,7 Tyskland 37,0 USA 300 3,0 Undersök om data ger stöd för slutsatsen med % konfdensnvå. Förslag tll lösnng: V beräknar den lnjära korrelatonskoeffcenten: Medelvärdet för sockerkonsumton är 340,8 och 4.27 för antalet depressoner. (2p) Land S (S - S) D (D - D) (S - S) 2 (D - D) 2 (D - D) (S - S) Frankrke , Kanada , Korea , Nya Zeeland , Tyskland , USA , Detta ger r (S S)(D D) (S S) 2 (D D) Enlgt tabell C är sannolkheten att 6 okorrelerade talpar får så högt värde på r lägre än 1 %. Man kan alltså med % konfdensnvå dra slutsatsen att varablerna är korrelerade.. Vsa att varansen för N mätnngar av en varabel x kan skrvas s 2 N x2 ( x ) 2 N() och förklara varför denna formel kan vara användbar t.ex. när man programmerar en mnräknare. (2p) Förslag tll lösnng: V har s 2 (x x) 2 (x2 2 xx + x 2 ) x2 2 x x +N x 2 x2 2N x2 +N x 2 x2 N x2 x2 N{( x ) 2 /N 2 )} N x2 ( x ) 2 N() v.s.v. Den här formeln för varansen är bra när man t.ex. programmerar mnräknare, eftersom man har ett slutet uttryck för varansen efter varje nmatnng, man behöver nte först beräkna ett medelvärde för alla x. Del B: Fördjupande uppgfter. 6. Tabellen anger frekvenstabellen för mätnngar av kroppstemperaturen hos 100 personer. Mätnngarnas medelvärde var 37,2 grader med en standardavvkelse (defnerad som roten ur varansen) om 0,3 grader. T 36,1 36,3 36, 36,7 36,9 37,1 37,3 37, 37,7 37,9 38,1 Antal Rta på det medföljande mllmeterpappret ett hstogram över data och skssa n den korrekt normalserade normalfördelnngen med motsvarande medelvärde och standardavvkelse. Testa om temperaturen kan anses vara normalfördelad. (p)

3 Förslag tll lösnng: V börjar med att rta hstogrammet och samma fgur rta n normalfördelnngen med samma medelvärde och standardavvkelse som data (mnns att arean av hstogrammet är 20 om v har bnnar som är 0.2 enheter breda och har 100 mätnngar). Eftersom v vll göra en ch-kvadrat test måste v slå hop bnnarna för de högsta och lägsta värdena så att v får mnst 4 datapunkter varje bn. Den lägsta bnnen kommer då att täcka ntervallet [, 36.6] och den högsta [37.8, + ]. För dessa två bnnar beräknar v det förväntade antalet observatoner genom att beräkna sannolkhetsnnehållet normalfördelnngen bortom dessa gränser. För den första bnnen är bnngränsen på avståndet 37,2 36,6 0, standardavvkelser. Enlgt Tabell B kan v förvänta oss att 3,1% av alla datapunkter lgger så långt, eller längre bort, från medelvärdet. På samma sätt fnner v att den övre bnnen som börjar vd 37,8 grader lgger ,349 1, 76 sgma från medelvärdet, vlket svarar mot ett sannolkhetsnnehåll om,6%. För att beräkna det förväntade antalet datapunkter de övrga bnnarna använder v värdet för den korrekt normalserde normalfördelnngen bn-mtten. För varje temperaturbn beräknar v χ 2 som och får följande tabell: (O F )2 F T < 36,6 36,7 36,9 37,1 37,3 37, 37,7 >37,8 Antal Förväntat 3,1 8,2 1,8 21,9 21,9 1,8 8,2,6 χ 2 0,26 0,08 2,93 0,38 1,10 16,61 0,9 0,46 V har alltså en ch-kvadratsumma om 22,4. Antalaet frhetsgrader är N 8-3 (8 mätpunkter, tre parametrar bestämda ur data; N, µ och σ ). Den reducerade chkvadratsumman blr då 4,48 för DOF. Enlgt tabell D är sannolkheten att få så hög reducerad ch-kvadrat mndre än 0,1%, det fnns alltså nte så starka skäl att hävda att data är normalfördelade. 7. En varabel x kan antas vara normalfördelad krng ett värde µ med standardavvkelsen σ. Vsa genom att använda Maxmum Lkelhood metoden att den bästa uppskattnngen av parametern σ ges av ˆσ (x µ) 2 N. Förklara dessutom hur v modferar denna formel, och varför, de fall då µ nte är känd utan måste uppskattas från data. (p) Förslag tll lösnng: V har för annolkheten för att erhålla mätseren x 1,x 2,... P (x 1,x 2,x 3... x N )P (x 1 ) P lx 2 ) P (x 3 ) P (x N )

4 Alltså: ( { 1 P (x 1,x 2,x 3... x N ) exp (x1 µ) 2 2πσ 2 ( { 1 exp (xn µ) 2 2πσ 2 2σ 2 }) 2σ 2 }) ( { 1 exp (x2 µ) 2 2πσ 2 2σ 2 }) V vll nu bestmma det värde på σ som maxmerar denna sannolkhet och sätter dervatan tll noll: { } { } P σ N 4πσ 2 exp (2πσ 2 ) N/2+1 (x µ) σ 2 (2πσ 2 ) N/2 (x µ) 2 exp σ 3 (x µ) 2 2σ 2 { } { } N σ + (x µ) 2 1 exp σ 3 (2πσ 2 ) N/2 (x µ) 2 2σ 2 Vlket ger: P σ 0 ˆσ 2 1 N (x µ) 2 Om v nte känner µ utan måste uppskatta det från ˆµ x så förloras en frhetsgrad och v får stället uttrycket ˆσ 2 1 (x x) 2 8. För att mäta denssteten hos magnesum mätte man vkt och volym hos en provbt. För att kunna uppskatta mätnogrannheten mättes både massa och volym av sex olka laboratorer, man fck då följande resultat: Lab no. Vkt (g) Volym (cm 3 ) Bestäm med utgångspunkt från dessa mätvärden den bästa uppskattnngen av magnesums denstet. Det fnns två ekvvalenta sätt att få detta resultat. Dels kan man först beräkna en uppskattnng av värdet och osäkerheten för provbtens massa och volym. Ur dessa värden kan man sedan beräkna denssteten och osäkerheten den genom felfortplantnng. Dels kan man beräkna densteten separat för de värden som varje laboratorum ger och mäta sprdnngen av dessa värden. Vsa att dessa två metoder ger dentska resultat för värdet på densteten och osäkerheten denna. (p) Förslag tll lösnng: För att metoderna skall ge samma svar krävs att v tar hänsyn tll ev. korrelatoner och använder den fullständga formeln för felfortplantnng: ( ) σ ρ ρ 2 ( ) V σ V + ρ 2 ( )( ) m σ m +2 ρ ρ V m σ Vm där σ Vm 1 V får: (x x)(y ȳ).

5 Lab. V (V- V) (V- V) 2 m (m- m) (m- m) 2 (V- V)(m- m) Summa Ur vlket v beräknar: σ V 1031, 14.36, σ m 4902,8 31, 31 och σ Vm 202, 40, 1. V har då V 141, 0 ± 14, 36 cm 3, m 243, 83 ± 31, 31 g, vlket ger ρ 1, 72 g/cm 3. För att ρ beräkna osäkerheten behöver v dervatorna: V m 1, V 2 och ρ 2 m 1 V 7, ( ) V får då: σ ρ ρ 2 ( ) V σ V + ρ 2 ( )( ) m σ m +2 ρ ρ V m σ Vm (1, ) 2 14, (7, ) 2 31, ( 1, ) 7, , 1 0,099. Om v stället beräknar ρ för varje laboratorum så får v medelvärdet 1,721 g/cm 3. V tar sprdnngen som ett mått på osäkerheten och får: Lab. ρ (g/cm 3 ) ρ ρ (ρ ρ) 2 1 1,741 0,020 0, ,616-0,10 0, ,86-0,13 0, ,83 0,114 0,0130 1,801 0,080 0, ,748 0,027 0,0007 Summa 0,0498 Vlket ger σ ρ 0,0498 0, Bägge metoderna ger alltså ρ 1, 72 g/cm 3 med en sprdnng om ±0, 10 g/cm 3. Osäkerheten värdet på ρ ges av σ µ σ N 0, 04 g/cm När en rymdfärja skjuts upp så drvs den under de första 12 sekunderna dels av huvudmotorn, dels av de externa starthjälpsraketerna (Sold Fuel Rocket Boosters). I tabellen nedan ser v vlken höjd en rymdfärja typskt har vd en gven td efter uppskjutnngen (här data för STS-30 uppskjutnngen). Använd dessa data för att undersöka om en rymdfärja har konstant acceleraton under dessa 12 sekunder. (Ansätt att v(t) 0 för t 0 och v(t) > 0 för t > 0 och lnearsera problemet genom att betrakta h ). td (s) höjd (fot) Osäkerhet höjd (fot)

6 (p) Förslag tll lösnng: Vd t0 är både höjd och hastghet lka med noll. Om acceleratonen är konstant så kommer alltså höjden att bero av tden som h 1 2 at2. Roten ur höjden kommer då att bero av tden enlgt h a 2t och växa lnjärt med tden. V går därför över tll roten ur h. Gvet osäkerheten h kan v beräkna σ h h h σ h σ h 2. h V får då: xt yh 1/2 σ h w wx wy wxy wx ,82 0,449 4,960 44, , , , ,1 0,470 4,27 76,99 240, , , ,09 0,263 14,47 433, , , , ,44 0,267 14, , , , , ,09 0,29 14, , , , , ,67 0,128 61, , , , ,87 Σ 113, , , , ,733 Anpassnng tll en rät lnje ger: 113, , , , 1, A (107423, , , , 388)/ , 1 0, 8217 och B (113, , , , 0)/ , 13, 127. V använder denna anpassnng för att beräkna förväntade värden på h och jämför dessa med de observerade en ch-kvadrat test: t Förv. h Obs. h σ h χ ,42 27,82 0,449 1,8 17 3,44 3,1 0,470 0, ,09 9,09 0,263 14, ,77 187,44 0,267 99, ,16 193,09 0,29 16, ,16 391,67 0,128 16,1 Summa 149,3 V har sex mätpunkter och har bestämt två parametrar från data, alltså fyra frhetsgrader. Den reducerade ch-kvadratsumman blr då 37,32 för fyra frhetsgrader. Ur tabell D kan v se att sannolkheten att få så hög reducerad ch-kvadrat om data följer hypotesen bakom anpassnngen är mndre än 0,0 %. V kan alltså nte säga att acceleratonen är konstant. Ltet kurosa: Man kan tänka sg flera orsaker tll att en rymdfärjas acceleraton nte är konstant: vartefter bränsle förbrukas blr raketen lättare, dragkraften en raketmotor varerar något med lufttrycket och en del annat. Men det här fallet är förklarngen en annan: efter ca. 60 sekunder går rymdfärjan genom ljudvallen, för att nte vbratonerna skall bl för stora drar man av ltet på dragkraften ljust då och mnskar alltså temporärt acceleratonen där. När man väl gått genom ljudvallen drar man på gen. Om man gör en anpassnng tll punkterna t.o.m den vd 9 sekunder ser man att punkterna lgger nästan perfekt på en rät lnje.