Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform. Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform. Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform"

Transkript

1 Vägar: Bllgaste väg Bllgaste väg s t Indata: Rktad graf med bågkostnader c, start/slutnod s, t. Bllgaste väg-problemet: Fnn en väg från s tll t med mnmal kostnad. Kostnaden för en väg är summan av kostnaderna för de bågar som ngår vägen. Skcka en (odelbar) enhet från s tll t på bllgaste sätt. Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Bllgaste väg: Matematsk modell Varabeldefnton: x j = om båge (, j) ngår vägen. mn c j x j (,j) B j:(j,) B x j j:(,j) B x j = x j {0, } för alla (, j) B Nodjämvktsvllkor: (n - ut) = s = t för alla N Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Exempel 8 x x = () x +x x x = 0 () x x x x = 0 () x +x x = 0 () x +x +x = () Anslutnngsmatrs: A = Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8

2 Bllgaste väg: Matematsk modell vektor/matrsform Med x som bågvektor: = s b = = t A kallas anslutnngsmatrs. mn c T x Ax = b x {0, } m om båge k startar nod a k = om båge k slutar nod 0 för övrgt En kolumn A har ett element lka med -, ett lka med och resten nollor. Detta gäller även b. Summerng av Ax = b ger 0 = 0. Ax = b nnehåller ett redundant bvllkor (raderna är lnjärt beroende). Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Bllgaste väg Bllgaste väg: Matematsk modell vektor/matrsform Defnton En matrs A är fullständgt unmodulär om varje underdetermnant har värdet 0, eller -. Varje anslutnngsmatrs, A, är fullständgt unmodulär. Om A är en fullständgt unmodulär matrs och b är en heltalsvektor, så är alla extrempunkter tll mängden X = {x : Ax = b, x 0} heltalga. Ett LP-problem vars bvllkorsmatrs är en anslutnngsmatrs och vars högerled är heltalgt, har heltalg optmallösnng. Slutsats Bllgaste väg-problem kan betraktas som LP-problem. Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Lösnngsmetoder för bllgaste vägproblemet LP-formulerng: mn c j x j (,j) B j:(j,) B x j j:(,j) B x j 0 för alla (, j) B = s x j = = t för alla N y : dualvarabel, nodprs, för nod. LP-dualen: max y t y s y j y c j för alla (, j) Ett redundant bvllkor prmalen ger en frhetsgrad dualen. Sätt y s = 0. Slutsats Om LP-formulerngen av bllgaste väg-problemet har ändlgt optmum, så är alla x j lka med eller 0 optmallösnngen. LP-dualtet ger: Om y är en optmal duallösnng (med y s = 0), så är y k är lägsta kostnaden för att komma tll nod k från s. Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 8 / 8

3 Nodmärknngsmetoder LP-dual: max y t y j y c j för alla (, j) (samt y s = 0) Bvllkoren: y j c j + y. Målfunktonen: max y t öka alla nodprser så mycket som möjlgt. Slutsats: Sätt y j = mn (c j + y ). Prmal tolknng: V vll fnna bllgaste sättet att komma tll nod j. Märk nod j med (y j, p j ), där p j är det som gav mn (föregångaren). Praktsk fråga: I vlken ordnng skall v undersöka noderna? Tre olka fall:. Inga cykler.. Inga negatva kostnader.. Negatva kostnader och cykler. Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 9 / 8 Bllgaste väg: Djkstras metod Nodmärknngsmetoder Mål: y s = 0, y j = mn (c j + y ) för alla j. Acyklsk graf: Sortera noderna så att < j för alla bågar (, j) B. Märk noderna den ordnngen: y j = mn <j (c j + y ) för j =,..., n. (Bellmans ekvatoner. Används för dynamsk programmerng.) Frånvaron av cykler gör att nga nodmärknngar behöver göras om. Ickenegatva kostnader: Djkstras metod Ordnngen är ej känd. Märk (permanent) först den nod som ger lägst nodprs. Frånvaron av negatva kostnader gör att nga nodprser kan sänkas, dvs att nga permanenta nodmärknngar behöver ändras. (Försök nte ens.) Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 0 / 8 Djkstras metod för bllgaste väg: Exempel A: permanent märkta noder. 0. Sätt y s = 0 och y j = M för alla j s, samt A = {s}.. Fnn nod (k) med lägsta temporära nodprs: y k = mn j A y j. Lägg tll k tll A, dvs. gör märknngen permanent.. Om slutnoden (eller alla noder) permanent märkt: Stopp.. Uppdatera de temporära nodprser som blr lägre va y k, dvs. om c kj + y k < y j för j A.. Gå tll. (,) (,) (,) (,) Vktgt för effektvteten: Ttta nte på permanent märkta noder, j A, steg och. Komplextet O( N ). Bllgaste vägen nystas upp bakfrån med föregångare p j (börja med j = t). Obs: Först görs nodmärknngen helt färdgt. Sedan httar man vägen. Nysta upp vägen baklänges. Bllgaste väg: Kostnad:. Nodprserna ger optmal duallösnng. Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8

4 Bllgaste väg Bllgaste väg: Fords metod Negatva kostnader och cykler: Fords metod Fnns ngen ordnng så att nodmärknngar nte behöver göras om. Sklj ej på permanent och temporär märknng. Avsöknng av nod: Kolla utgående bågar. Uppdatera alla nodprser som blr lägre. Om nget nodprs kan sänkas är noden avsökt. Om en avsökt nod får lägre nodprs, blr den oavsökt. Stoppkrterum: Alla noder avsökta. (Sämre än Djkstra.) Cykel med negatv kostnad ger obegränsad lösnng. Nodprserna cykeln kommer att uppdateras ett oändlgt antal gånger. Man kan sluta efter N gånger. 0. Sätt y s = 0 och y j = M för alla andra noder.. Fnn oavsökt nod (k) med lägsta nodprs (mn j y j ).. Uppdatera de nodprser som blr lägre va y k. Om en avsökt nod får lägre nodprs, blr den oavsökt.. Markera nod k som avsökt.. Om all noder är avsökta: Stopp.. Gå tll. Bllgaste vägen nystas upp bakfrån mha p j. Alla nodprser kan ändras. I steg och beaktas alla noder: Komplextet O( N ). Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Fords metod för bllgaste väg: Exempel (,) (,) (,) (,) (8,) (,) Alla noder avsökta. Fnn väg baklänges. Bllgaste väg: Kostnad:. Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Fords metod för bllgaste väg: Exempel (,) (,) (,) (,) (8,) (,) (,) (,) (,) (,) V kommer att fortsätta sänka nodprserna för nod,,. Negatv cykel: Oändlgt bra prmal lösnng. Ingen tllåten duallösnng. Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8

5 Bllgaste väg Optmala nodmärknngar: (,s) (0,) (,) (,) s t (,s) (9,) (,) Alla noder har en märknng. Kan nysta upp från vlken nod som helst. s (,s) (,s) (0,) (,) (,) t (9,) (,) V får bllgaste väg från s tll alla andra noder. Bllgaste väg: Generalserngar Kan lösas med samma metoder. Bllgaste väg Dyraste väg Mn produkt Max produkt Mn max Max mn mn c j y j = mn(c j + y ) y s = 0 j max c j y j = max(c j + y ) y s = 0 j mn c j y j = mn(c j y ) y s = j max c j y j = max(c j y ) y s = j mn max c j y j = mn(max(c j, y )) j y s = 0 max mn c j y j = max(mn(c j, y )) j y s = M I de fyra ssta fallen förutsätts c j 0 för alla (, j). Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Bllgaste väg: Alla tll alla Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 8 / 8 Vägar: Maxflödesproblemet Floyd-Warshalls metod för att fnna bllgaste väg mellan alla nodpar: Sätt d j = c j för alla, j. För k =,..., N, för =,..., N, för j =,..., N sätt d j = mn(d j, d k + d kj ). Komplextet O( N ). Kan användas för att göra om ett TSPr tll ett TSP(r). Indata: Rktad graf G = (N, B) med bågkapacteter u, start/slutnod s, t. Skcka så mycket som möjlgt från s tll t. Varabeldefnton: x j = flöde båge (, j). max f j:(j,) B x j j:(,j) B 0 x j u j för alla (, j) B f fr f = s x j = f = t för alla N Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 9 / 8 Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 0 / 8

6 Lösnngsmetod för maxflödesproblemet Maxflödesproblemet Påfyllnadsmetoden (Edmonds-Karp) 0. Börja från noll.. Fnn maxmal flödesökande väg från s tll t. Avbryt om ngen väg fnns.. Skcka så mycket som möjlgt den vägen.. Ändra tllåtna rktnngar.. Gå tll. x j = 0: Framåt (öka). Tllåtna rktnngar: 0 < x j < u j : Framåt och bakåt. x j = u j : Bakåt (mnska). Varje tllåtet flöde ger en undre gräns på f. Kapacteten hos varje (s, t)-sntt ger en övre gräns på f. Kapacteten hos ett mnsntt är lka med den maxmala flödesstyrkan, f. Flödesstyrkan är maxmal (och lka med kapacteten hos ett mnsntt) om och endast om en flödesökande väg saknas. En flödesökande väg fnnes metodskt med Djkstras metod (max av mn). Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Maxflöde: Exempel Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Vägar: Dynamsk programmerng Bllgaste väg-problem acyklsk nvåndelad graf. Td! (,) (,) (M, ) (,) (,) (,) (,) (,) Maxflöde uppnått. Mnsnttet går mellan märkta och omärkta noder. Maxflöde: Nodmärknngsmetod (Bellmans ekvatoner): Ta en nvå, S k, taget: y = 0. För k =,..., N: För varje j S k : Sätt y j = mn S k (c j + y ). Ordnngen nom en nvå ovktg. Vägen kommer att passera en av noderna varje nvå. Vet ej vlken. Möjlga målfunktoner: mn, max, mn, max, mn max, max mn. Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8

7 Dynamsk programmerng: Lagerhållnngsproblem Dynamsk programmerng: Kappsäcksproblem Nod j man ska tll S k kallas tllstånd, s k. Noden man kommer från kallas styrnng, x k. Kan lösa allt som är ett väg-problem en acyklsk nvåndelad graf. mn j c j x j j a j x j b, 0 x j u j och heltal, för alla j Exempel: Lagerhållnngsproblem Tllstånd: s k = antal enheter lager efter perod k. Styrnng: x k = antal enheter som köps/produceras/säljs perod k. s k = Varje varabel ses som en nvå. Varje nvå nnebär ett ökat utnyttjande av den gemensamma resursen b. Tllstånd: s k = den del av högerledet b som får användas tll de k första varablerna. s k = Kopplng mellan nvåerna: s k = s k a k x k s k = 0 Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Dynamsk programmerng: Kappsäcksproblem Ex: max x + x + x x + x + x, x {0, }, x {0, }, x {0,, } Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Dynamsk programmerng: Beräknngar max x + x + x x + x + x, x {0, }, x {0, }, x {0,, } Kan göra beräknngarna en tabell p.g.a. strukturen hos nätverket. b = b = x s f (s ) 0 0 ˆx (s ) 0 0 x s f (s ) 0 0 ˆx (s ) b = b = b = 0 x s f (s ) 0 0 ˆx (s ) Uppnystnng: s =, x =, s =, x = 0, s =, x =, z =. Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 / 8 Kaj Holmberg (LU) TAOP88 Optmerng september 0 8 / 8

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK49 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 7 Nätverksoptimering Billigaste uppspännande träd (MST) Billigaste väg (SP) Projektnätverk Minkostnadsflödesproblem Agenda Terminologi för grafer/nätverk

Läs mer

Föreläsningsanteckningar F6

Föreläsningsanteckningar F6 Föreläsningsanteckningar F6 Martin Andersson & Patrik Falkman Kortaste vägen mellan en nod och alla andra noder Detta problem innebär att givet en graf G = (E,V) hitta den kortaste vägen över E från en

Läs mer

Lektion 8 Specialfall, del I (SFI) Rev 20151006 HL

Lektion 8 Specialfall, del I (SFI) Rev 20151006 HL Lekton 8 Specalfall, del I (SFI) Rev 0151006 HL Produktvalsproblem och cyklsk planerng Innehåll Nvå 1: Produktval (LP-problem) (SFI1.1) Cyklsk planerng, produkter (SFI1.) Nvå : Maxmera täcknngsbdrag (produktval)

Läs mer

Lösningar modul 3 - Lokala nätverk

Lösningar modul 3 - Lokala nätverk 3. Lokala nätverk 3.1 TOPOLOGIER a) Stjärna, rng och buss. b) Nät kopplas ofta fysskt som en stjärna, där tll exempel kablar dras tll varje kontorsrum från en gemensam central. I centralen kan man sedan

Läs mer

Hjälpmedel: Penna, papper, sudd, linjal, miniräknare, formelsamling. Ej tillåtet med internetuppkoppling: 1. Skriv ditt för- och efternamn : (1/0/0)

Hjälpmedel: Penna, papper, sudd, linjal, miniräknare, formelsamling. Ej tillåtet med internetuppkoppling: 1. Skriv ditt för- och efternamn : (1/0/0) Prov ellära, Fya Lugnetgymnaset, teknkprogrammet Hjälpmedel: Penna, papper, sudd, lnjal, mnräknare, formelsamlng. Ej tllåtet med nternetuppkopplng: Elektrsk laddnng. Skrv dtt för och efternamn : (/0/0).

Läs mer

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

FK2002,FK2004. Föreläsning 5

FK2002,FK2004. Föreläsning 5 FK00,FK004 Föreläsnng 5 Föreläsnng 5 Labbrapporter Korrelatoner Dmensonsanalys Denna föreläsnng svarar mot kap. 9 (Taylor) Labbrapporter Feedback+betyg skckas morgon. Några tps ett dagram hjälper alltd

Läs mer

Balansering av vindkraft och vattenkraft i norra Sverige. Elforsk rapport 09:88

Balansering av vindkraft och vattenkraft i norra Sverige. Elforsk rapport 09:88 Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport 09:88 Mkael Ameln, Calle Englund, Andreas Fagerberg September 2009 Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport

Läs mer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 9 april 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 20 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15- Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng

Läs mer

Riktlinjer för avgifter och ersättningar till kommunen vid insatser enligt LSS

Riktlinjer för avgifter och ersättningar till kommunen vid insatser enligt LSS Rktlnjer för avgfter och ersättnngar tll kommunen vd nsatser enlgt LSS Beslutad av kommunfullmäktge 2013-03-27, 74 Rktlnjer för avgfter och ersättnngar tll kommunen vd nsatser enlgt LSS Fnspångs kommun

Läs mer

Föreläsning 9. Specialfall inom produk1onsplanering: Cyklisk planering, kopplade lager

Föreläsning 9. Specialfall inom produk1onsplanering: Cyklisk planering, kopplade lager Föreläsnng 9 Specalfall nom produk1onsplanerng: Cyklsk planerng, kopplade lager Kursstruktur Innehåll Föreläsnng Lek1on Labora1on Introduk3on, produk3onsekonomska grunder, Lean produc3on, ABC-klassfcerng

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Projekt i transformetoder. Rikke Apelfröjd Signaler och System rikke.apelfrojd@signal.uu.se Rum 72126

Projekt i transformetoder. Rikke Apelfröjd Signaler och System rikke.apelfrojd@signal.uu.se Rum 72126 Projekt transformetoder Rkke Apelfröjd Sgnaler och System rkke.apelfrojd@sgnal.uu.se Rum 72126 Målsättnng Ur kursplanen: För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna använda transformmetoder nom något

Läs mer

Moment 2 - Digital elektronik. Föreläsning 2 Sekvenskretsar och byggblock

Moment 2 - Digital elektronik. Föreläsning 2 Sekvenskretsar och byggblock Moment 2 - gtal elektronk Föreläsnng 2 Sekvenskretsar och byggblock Jan Thm 29-3-5 Jan Thm F2: Sekvenskretsar och byggblock Innehåll: Sekvenser Latchar och vppor Regster Introdukton - byggblock Kodare

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 9 augusti 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Snabbguide. Kaba elolegic programmeringsenhet 1364

Snabbguide. Kaba elolegic programmeringsenhet 1364 Snabbgude Kaba elolegc programmerngsenhet 1364 Innehåll Informaton Förpacknngsnnehåll 3 Textförklarng 3 Ansvar 3 Skydd av systemdata 3 Frmware 3 Programmera Starta och Stänga av 4 Mnneskort 4 Exportera

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk

Läs mer

GRÄNSBETECKNINGAR _. --- --- ALLMÄN PLATS KVARTERSMARK :B,H ' =-'.=.' ~ 1-~.1-._. - J. K Ll_... +000,0 Föreskriven höjd över nollplanet.

GRÄNSBETECKNINGAR _. --- --- ALLMÄN PLATS KVARTERSMARK :B,H ' =-'.=.' ~ 1-~.1-._. - J. K Ll_... +000,0 Föreskriven höjd över nollplanet. DETALJPLAN FÖR DELAR AV Hötorget Hötorgsgatan och kv Sgyn SKARA TÄTORT SKARA KOMMUN UPPRÄTTAD DEN 3 FEBRUAR OCH REVDERAD DEN 10 MARS 1994 ÖSTEN ANDERSSON STADSARKTEKT Planbestämmelser ERK WESTLN PLANARKTEKT

Läs mer

Allmänt om korttidsplanering. Systemplanering 2011. Allmänt om korttidsplanering. Allmänt om vattenkraft. Det blir ett optimeringsproblem!

Allmänt om korttidsplanering. Systemplanering 2011. Allmänt om korttidsplanering. Allmänt om vattenkraft. Det blir ett optimeringsproblem! Sysemplanerng 2011 Allmän om kordsplanerng Föreläsnng 8, F8: Kordsplanerng av vaenkrafsysem Kapel 5.1-5.2.4 Innehåll: Allmän om kordsplanerng Allmän om vaenkraf Elprodukon Hydrologsk kopplng Planerngsprobleme

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Föreläsning 5: Dynamisk programmering

Föreläsning 5: Dynamisk programmering Föreläsning 5: Dynamisk programmering Vi betraktar en typ av problem vi tidigare sett: Indata: En uppsättning intervall [s i,f i ] med vikt w i. Mål: Att hitta en uppsättning icke överlappande intervall

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematsa Insttutonen KTH Lösnngar tll tentamenssrvnng på ursen Dsret Matemat, moment A, för D och F, SF1631 och SF1630, den 4 jun 009 l 08.00-13.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tllåtna på tentamenssrvnngen.

Läs mer

Del A Begrepp och grundläggande förståelse.

Del A Begrepp och grundläggande förståelse. STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrvnng Expermentella metoder, 12 hp, för kanddatprogrammet, år 1 Onsdagen den 17 jun 2009 kl 9-1. S.H./K.H./K.J.-A./B.S. Införda betecknngar bör förklaras och uppställda

Läs mer

Balansering av vindkraft och vattenkraft i norra Sverige. Elforsk rapport 09:88

Balansering av vindkraft och vattenkraft i norra Sverige. Elforsk rapport 09:88 Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport 09:88 Mkael Ameln, Calle Englund, Andreas Fagerberg September 2009 Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport

Läs mer

Partikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak.

Partikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak. Dynamk är läran om rörelsers orsak. Partkeldynamk En partkel är en kropp där utsträcknngen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan betraktas som en punktmassa utan rotaton. Massa kan defneras på två

Läs mer

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod. Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar

Läs mer

VALUE AT RISK. En komparativ studie av beräkningsmetoder. VALUE AT RISK A comparative study of calculation methods. Fredrik Andersson, Petter Finn

VALUE AT RISK. En komparativ studie av beräkningsmetoder. VALUE AT RISK A comparative study of calculation methods. Fredrik Andersson, Petter Finn ISRN-nr: VALUE AT RISK En komparatv stude av beräknngsmetoder VALUE AT RISK A comparatve study of calculaton methods Fredrk Andersson, Petter Fnn & Wlhelm Johansson Handledare: Göran Hägg Magsteruppsats

Läs mer

Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv. Alldeles innan studsen vet man att hastigheten är riktad

Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv. Alldeles innan studsen vet man att hastigheten är riktad 1 KOMIHÅG 6: --------------------------------- Momentlag Tröghetsmoment ---------------------------------- Föreläsnng 7: Impulslag Rörelsemängden defneras som en vektor: p = mv Newtons 2:a lag kan då skrvas

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Introduktionsersättning eller socialbidraghar ersättningsregim betydelse för integrationen av flyktingar? 1

Introduktionsersättning eller socialbidraghar ersättningsregim betydelse för integrationen av flyktingar? 1 UPPSALA UNIVERSITET Natonalekonomska Insttutonen Examensarbete D-uppsats, Ht-2005 Introduktonsersättnng eller socalbdraghar ersättnngsregm betydelse för ntegratonen av flyktngar? 1 Författare: Henrk Nlsson

Läs mer

Förklaring:

Förklaring: rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR ETIND SNNOLIKHET TOTL SNNOLIKHET OEROENDE HÄNDELSER ETIND SNNOLIKHET Defnton ntag att 0 Sannolkheten för om har nträffat betecknas, kallas den betngade sannolkheten och beräknas

Läs mer

Dödlighetsundersökningar på KPA:s

Dödlighetsundersökningar på KPA:s Matematsk statstk Stockholms unverstet Dödlghetsundersöknngar på KPA:s bestånd av förmånsbestämda pensoner Sven-Erk Larsson Eamensarbete 6: Postal address: Matematsk statstk Dept. of Mathematcs Stockholms

Läs mer

Tentamen (TEN2) Maskininlärning (ML) 5hp 21IS1C Systemarkitekturutbildningen. Tentamenskod: Inga hjälpmedel är tillåtna

Tentamen (TEN2) Maskininlärning (ML) 5hp 21IS1C Systemarkitekturutbildningen. Tentamenskod: Inga hjälpmedel är tillåtna Intellgenta och lärande system 15 högskolepoäng Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen (TEN2) Masknnlärnng (ML) 5hp 21IS1C Systemarktekturutbldnngen Tentamenskod: Tentamensdatum: 2017-03-24 Td:

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 5

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 5 Expermentella metoder 04, Räkneövnng 5 Problem : Två stokastska varabler, x och y, är defnerade som x = u + z y = v + z, där u, v och z är tre oberoende stokastska varabler med varanserna σ u, σ v och

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

En studiecirkel om Stockholms katolska stifts församlingsordning

En studiecirkel om Stockholms katolska stifts församlingsordning En studecrkel om Stockholms katolska stfts församlngsordnng Studeplan STO CK HOLM S K AT O L S K A S T I F T 1234 D I OECE S I S HOL M I ENS IS En studecrkel om Stockholm katolska stfts församlngsordnng

Läs mer

Performansanalys LHS/Tvåspråkighet och andraspråksinlärning Madeleine Midenstrand 2004-04-17

Performansanalys LHS/Tvåspråkighet och andraspråksinlärning Madeleine Midenstrand 2004-04-17 1 Inlednng Jag undervsar tyskar på folkhögskolan Nürnberg med omgvnngar. Inför uppgften att utföra en perforsanalys av en elevtext lät mna mest avancerade elever skrva en uppsats om vad de tyckte var svårt

Läs mer

Konsoliderad version av

Konsoliderad version av Konsolderad verson av Styrelsens för ackredterng och teknsk kontroll föreskrfter (STAFS 1993:16) om EEG-märknng av flaskor som tjänar som mätbehållare (STAFS 2011:7). Ändrng nförd t.o.m. STAFS 2011:7 Föreskrfternas

Läs mer

Sammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y

Sammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y F12: sd. 1 Föreläsnng 12 Sammanfattnng V har studerat ekonomn påp olka skt, eller mer exakt, under olka antaganden om vad som kan ändra sg. 1. IS-LM, Mundell Flemmng. Prser är r konstanta, växelkurs v

Läs mer

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00 (4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 Namn: Personnummer: Skrv tydlgt! Skrv namn och personnummer på alla nlämnade papper! Ma ett tal per papper.

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 24 oktober 204 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i

Läs mer

Monterings- och bruksanvisning. VideoTerminal 2600..

Monterings- och bruksanvisning. VideoTerminal 2600.. Monterngs- och bruksanvsnng VdeoTermnal 2600.. Innehållsförtecknng Beskrvnng...3 Montage...4 Demontage av glasplattan...5 Användnng...5 Vanlga samtal...6 Ta mot samtal... 6 Genomsläppsfunkton... 7 Avsluta

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsnng -2 732G70 Statstk A Kaptel 2 Populatoner, stckprov och varabler Sd -46 2 Populaton Den samlng enheter (exempelvs ndvder) som v vll dra slutsatser om. Populatonen defneras på logsk väg med utgångspunkt

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Chalmers, Data- och informationsteknik 2011-10-19. DAI2 samt EI3. Peter Lundin. Godkänd räknedosa

Chalmers, Data- och informationsteknik 2011-10-19. DAI2 samt EI3. Peter Lundin. Godkänd räknedosa LET 624 (6 hp) Sd nr 1 TENTAMEN KURSNAMN PROGRAM: namn REALTIDSSYSTEM åk / läsperod DAI2 samt EI3 KURSBETECKNING LET 624 0209 ( 6p ) EXAMINATOR TID FÖR TENTAMEN Onsdagen den 19/10 2011 kl 14.00 18.00 HJÄLPMEDEL

Läs mer

Beställningsintervall i periodbeställningssystem

Beställningsintervall i periodbeställningssystem Handbok materalstyrnng - Del D Bestämnng av orderkvantteter D 41 Beställnngsntervall perodbeställnngssystem Ett perodbeställnngssystem är ett med beställnngspunktssystem besläktat system för materalstyrnng.

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

Mätfelsbehandling. Lars Engström

Mätfelsbehandling. Lars Engström Mätfelsbehandlng Lars Engström I alla fyskalska försök har de värden man erhåller mer eller mndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en mätnng fullständgt försumbar förhållande tll den precson man

Läs mer

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 6. Regression & Korrelation. (LLL Kap 13-14) Inledning till Regressionsanalys

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 6. Regression & Korrelation. (LLL Kap 13-14) Inledning till Regressionsanalys Fnansell Statstk (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsnng 6 Regresson & Korrelaton (LLL Kap 3-4) Department of Statstcs (Gebrenegus Ghlagaber, PhD, Assocate Professor) Fnancal Statstcs (Basc-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

TAOP61 Projekt 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14

TAOP61 Projekt 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14 TAOP61 Projekt 2 Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober 2016 1 / 14 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61

Läs mer

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring PROMEMORIA Datum 01-06-5 Fnansnspektonen Författare Bengt von Bahr, Younes Elonq och Erk Elvers Box 6750 SE-113 85 Stockholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35 fnansnspektonen@f.se www.f.se

Läs mer

Modellering av antal resor och destinationsval

Modellering av antal resor och destinationsval UMEÅ UNIVERSITET Statstska nsttutonen C-uppsats, vt- 2005 Handledare: Erlng Lundevaller Modellerng av antal resor och destnatonsval Aron Arvdsson Salh Vošanovć Sammanfattnng V har denna uppsats analyserat

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

PPU207 HT15. Skruvförband. Lars Bark MdH/IDT 2015-12-08

PPU207 HT15. Skruvförband. Lars Bark MdH/IDT 2015-12-08 Sruvörband ar Bar MdH/IDT 1 Innebär att: - olla att ruvarna håller - olla att örbandet håller hop vd pålagd lat ar Bar MdH/IDT 2 Sruven - σ = a / A - a : p.g.a. lat och örpännng - A E : pännngarea nn bland

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TSTE20 Elektronik 01/24/ :24. Dagens föreläsning. Praktiska saker. Repetition, storheter. Repetition kretselement och samband Tvåpolssatsen

TSTE20 Elektronik 01/24/ :24. Dagens föreläsning. Praktiska saker. Repetition, storheter. Repetition kretselement och samband Tvåpolssatsen 0/4/04 :4 Dagens föreläsnng Repetton kretselement och samband Tvåpolssatsen TST0 lektronk ffektanpassnng Operatonsförstärkaren (nför labb ) Nodanalys Föreläsnng Kent Palmkvst S, SY 3 Praktska saker Repetton,

Läs mer

Med funktioner som en lcd display med 10 olika träningsprogram, erbjuder denna cykel en variationsrik träning.

Med funktioner som en lcd display med 10 olika träningsprogram, erbjuder denna cykel en variationsrik träning. Motorstyrd mgnetbroms 6 kg Tränngsdtor Belyst LCD Mster B-4135 Mgnetc Med funktoner som en lcd dsply med 10 olk tränngsprogrm, erbjuder denn cykel en vrtonsrk tränng. Funktoner Td, Dstns, Hstghet, Energförbruknng,

Läs mer

Steg 1 Arbeta med frågor till filmen Jespers glasögon

Steg 1 Arbeta med frågor till filmen Jespers glasögon k r b u R pers s e J n o g ö s gla ss man m o l b j a M 4 l 201 a r e t a m tude teg tre s g n n v En ö Steg 1 Arbeta med frågor tll flmen Jespers glasögon Börja med att se flmen Jespers glasögon på majblomman.se.

Läs mer

Lab 1, MATLAB som grafritande räknare

Lab 1, MATLAB som grafritande räknare Matematska nsttutonen Carl-Henrk Fant 24 oktober 2000 Lab 1, MATLA som grafrtande räknare (Utdrag ur Matematk med Matlab kompendum för M1 och TD1 1999/2000 av Carl-Henrk Fant) Allmänt. MATLA är ett nteraktvt

Läs mer

2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg

2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg Jämvkt Jämvkt. Inlednng I detta kaptel skall v studera jämvkten för s.k. materella sstem. I ett materellt sstem kan varje del, partkel eller materalpunkt beskrvas med hjälp av dess koordnater. Koordnatsstemet

Läs mer

N A T U R V Å R D S V E R K E T

N A T U R V Å R D S V E R K E T 5 Kselalger B e d ö m n n g s g r u vattendrag n d e r f ö r s j ö a r o c h v a t t e n d r a g Parameter Vsar sta hand effekter Hur ofta behöver man mäta? N på året ska man mäta? IPS organsk Nngspåver

Läs mer

Handlingsplan. Grön Flagg. Stensjöns förskola

Handlingsplan. Grön Flagg. Stensjöns förskola Handlngsplan Grön Flagg Stensjöns förskola Kommentar från Håll Sverge Rent 2015-07-30 13:40: Vlken fn och spännande blå tråd n har era utvecklngsområden. N kan säkert få både barn och pedagoger ntresserade

Läs mer

Handlingsplan. Grön Flagg. Hamregårds förskola

Handlingsplan. Grön Flagg. Hamregårds förskola Handlngsplan Grön Flagg Hamregårds förskola Kommentar från Håll Sverge Rent 2016-03-30 08:43: Vlket härlgt vattentema n ska arbeta med tllsammans med barnen och strålande att n utgått från barnens ntresse

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 2010 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15-10 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng

Läs mer

Laborationsinformation

Laborationsinformation Linköpings Tekniska Högskola 2015 08 25 Matematiska institutionen/optimeringslära Kaj Holmberg Laborationsinformation 1 VINEOPT: Visual Network Optimization 1.1 Introduktion VINEOPT är ett program för

Läs mer

INLEDNING. inom sitt område utarbeta och uppdatera en sådan plan för utvecklandet av vattentjänsterna som täcker dess område.

INLEDNING. inom sitt område utarbeta och uppdatera en sådan plan för utvecklandet av vattentjänsterna som täcker dess område. 1 INLEDNING Upprättandet av en utvecklngsplan för vattentjänsten grundar sg på lagen om vattentjänster som trädde kraft 1.3.2001. Syftet med denna lag är att trygga vattentjänster som, tll skälga kostnader,

Läs mer

www.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din steg-för-steg guide till den nya Online Rapporten (OLR) Online Rapport

www.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din steg-för-steg guide till den nya Online Rapporten (OLR) Online Rapport Onlne Rapport Introdukton Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn steg-för-steg gude tll den nya Onlne Rapporten (OLR) Vktg nformaton tll alla kyrkor och organsatoner som har en CCLI-lcens Inga mer program som

Läs mer

Kvalitetssäkring med individen i centrum

Kvalitetssäkring med individen i centrum Kvaltetssäkrng med ndvden centrum TENA har tllsammans med äldreboenden Sverge utvecklat en enkel process genom vlken varje enskld ndvd får en ndvduell kontnensplan baserad på hans eller hennes unka möjlgheter

Läs mer

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring PROMEMORIA Datum 007-1-18 FI Dnr 07-1171-30 Fnansnspektonen Författare Bengt von Bahr, Younes Elonq och Erk Elvers P.O. Box 6750 SE-113 85 Stockholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35

Läs mer

socialen.info 1 of 14 Antal svar i procent Antal svar Mycket viktigt 81,6% 40 Ganska viktigt 18,4% 9 Mindre viktigt 0,0% 0 Oviktigt 0,0% 0

socialen.info 1 of 14 Antal svar i procent Antal svar Mycket viktigt 81,6% 40 Ganska viktigt 18,4% 9 Mindre viktigt 0,0% 0 Oviktigt 0,0% 0 socalen.nfo 1. Artklar om socalpoltk mm Socaltjänsten.nfo har en egen redakton som skrver och publcerar artklar om socalpoltk, socalförsäkrngar, arbetsmarknad, ntegraton mm. Artklarna publceras på nätet

Läs mer

Skoldemokratiplan Principer och guide till elevinflytande

Skoldemokratiplan Principer och guide till elevinflytande Skoldemokratplan Prncper och gude tll elevnflytande I Skoldemokratplan Antagen av kommunfullmäktge 2012-02-29, 49 Fnspångs kommun 612 80 Fnspång Telefon 0122-85 000 Fax 0122-850 33 E-post: kommun@fnspang.se

Läs mer

på två sätt och därför resultat måste vara lika: ) eller ekvivalent

på två sätt och därför resultat måste vara lika: ) eller ekvivalent Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR SYMMERISKA MARISER Defnton (Smmetrsk matrs) En kadratsk matrs kallas smmetrsk om A A V upprepar defntonen a en ortogonal matrs Defnton ( Ortogonal matrs ) En kadratsk matrs kallas

Läs mer

Konstruktionsuppgift 1 G7006B. Sofi Isaksson Lea-Friederike Koss Henrik Silfvernagel

Konstruktionsuppgift 1 G7006B. Sofi Isaksson Lea-Friederike Koss Henrik Silfvernagel Kontruktonuppgft 1 G7006B Sof Iakon Lea-Frederke Ko Henrk Slfvernagel 1 1. Inlednng... 3 2. Beräknngar... 4 2.1 Metod 1, töd 2... 4 2.2 Metod 1, töd 3... 5 2.3 Metod 2, töd 2... 5 2.4 Metod 2, töd 3...

Läs mer

Beräkning av Sannolikheter för Utfall i Fotbollsmatcher

Beräkning av Sannolikheter för Utfall i Fotbollsmatcher Natonalekonomska Insttutonen Uppsala Unverstet Examensarbete D Författare: Phlp Jonsson Handledare: Johan Lyhagen VT 2006 Beräknng av Sannolkheter för Utfall Fotbollsmatcher Oddsen på dn sda Sammanfattnng

Läs mer

Föreläsning 2. Kortaste vägar i grafer.

Föreläsning 2. Kortaste vägar i grafer. Föreläsning 2. Kortaste vägar i grafer. Problem: KORTASTE VÄGAR Den enklaste varianten är om vi inte har kantvikter och kortaste väg är en väg med såfåkanter som möjligt. Indata: En riktad graf G och en

Läs mer

BERGVÄRME HOS KUNG JOHAN

BERGVÄRME HOS KUNG JOHAN RAPPOR 2015:3 ARKEOLOGISK FÖRUNDERSÖKNING BERGVÄRME HOS KUNG JOHAN RAÄ 14 KV KUNG JOHAN 3 SÖDERKÖPINGS SAD OCH KOMMUN ÖSERGÖLANDS LÄN VIKORIA BJÖRKHAGER Bergvärme hos Kung Johan Innehåll Sammanfattnng.........................................................

Läs mer

Förberedelse INSTALLATION INFORMATION

Förberedelse INSTALLATION INFORMATION Förberedelse 1 Materalet tll Pergo lamnatgolv levereras med llustrerade anvsnngar. I texten nedan ger v förklarngar tll llustratonerna, som kan delas upp tre områden: Förberedelser, Läggnng och Rengörng.

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C är lika med q ( t)

Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C är lika med q ( t) Tllämnngar av dfferentalekvatoner, LR kretsar TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER LR KRETSAR Låt vara strömmen nedanstående LR krets (som nnehåller element en sole med nduktansen L henry, en motstånd

Läs mer

Attitudes Toward Caring for Patients Feeling Meaninglessness Scale

Attitudes Toward Caring for Patients Feeling Meaninglessness Scale Atttudes Toward Carng for Patents Feelng Meannglessness Scale Detta frågeformulär handlar om olka exstentella känslor, tankar, förståelse samt stress som kan uppstå vården av patenter lvets slutskede.

Läs mer

Algoritmkomplexitet. Komplexitet Teoretisk bas för frågorna: Är en viss metod bra eller dålig? Är ett visst problem lätt eller svårt?

Algoritmkomplexitet. Komplexitet Teoretisk bas för frågorna: Är en viss metod bra eller dålig? Är ett visst problem lätt eller svårt? Komplexitet Teoretisk bas för frågorna: Är en viss metod bra eller dålig? Är ett visst problem lätt eller svårt? Teori och praktik inte alltid överens, men i stort sett... Algoritmkomplexitet: Hur många

Läs mer