min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:"

Transkript

1 Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j =. Obs: Tillåtna mängden ej konvex. Logiska beslut: x = om vi väljer alternativ, x 2 = om vi väljer alternativ 2. Alternativ kostar c, alternativ 2 kostar c 2. Vi måste göra ett av dem. min c x + c 2 x 2 då x + x 2 =, x {0, }, x 2 {0, } plus andra bivillkor. Vi måste göra minst ett av dem: x + x 2. Vi får göra högst ett av dem: x + x 2. Vi måste göra k st av n alternativ: x j = k. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november 206 / 47 Speciell användning av heltalsvariabler Antingen-eller-villkor: Ex: I ord: Antingen 2x + 3x 2 5 eller 5x + 2x 2 6. Formulera som följer (med M >> x) 2x + 3x M( y ), 5x + 2x M( y 2 ), y + y 2 =, y {0, }, y 2 {0, }. Utvidgning: minst k av m bivillkor skall gälla. y j = k. j Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Antingen-eller-villkor: Exempel Antingen 2x + 3x 2 5 eller 5x + 2x 2 6. M = 5: 2x + 3x ( y ), 5x + 2x ( y 2 ), y + y 2 =, y {0, }, y 2 {0, }. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

2 Speciell användning av heltalsvariabler Speciell användning av heltalsvariabler Icke-konvexa tillåtna områden, t ex villkorliga undre gränser: I ord: x = 0 eller x L. Formulera som Ly x My, y {0, }. Ett icke-konvext område. (Unionen av två konvexa områden.) y + y 2 =, y {0, }, y 2 {0, } ger x X X 2 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Speciell användning av heltalsvariabler Logik: x = betyder sant, x = 0 betyder falskt. Icke : x blir ( x). Eller : x x 2 blir x + x 2 ( betyder också sant). Och : x x 2 blir x, x 2 (båda bivillkoren måste ju gälla). Satisfieringsproblemet: Ex: Finns det värden på x så att följande blir sant: (x x 2 ) (x x 3 ) ( x x 2 ) ( x 2 x 3 )? Finn tillåten lösning till: (x + x 2 ) x + x 2 (x + ( x 3 )) x x 3 0 ( x ) + x 2 ) x + x 2 0 ( x 2 ) + x 3 ) x 2 + x 3 0 (Vi återkommer till lösningen.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Speciell användning av heltalsvariabler Fasta kostnader: I ord: Kostnaden är 0 om x = 0, men K + cx om x > 0. f(x) K x { 0 om x = 0 I ord: Fast kostnad: f (x) = K + cx om x > 0 Modellera som: f (x) = cx + Ky där x My, y {0, } Förutsätter minimering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

3 Heltalsprogrammering: Speciella problem Kappsäcksproblemet: max z = då c j x j a j x j b 0 x j u j, heltal j =,..., n Ett bivillkor. (Ickenegativa koefficienter.) LP-relaxationen kan lösas med en greedy-metod: Sortera enligt max j (c j /a j ). Fyll på bäst först. (Härled med LP-dualitet.) Övertäckningsproblemet Vilka åtgärder skall göras för att varje effekt skall erhållas? { om effekt i ges av åtgärd j Indata: a ij = 0 om inte Åtgärd j kostar c j. Minimera totalkostnaden. { om åtgärd j utförs Variabeldefinition: x j = 0 om inte min z = c j x j då a ij x j x j {0, } i =,..., m j =,..., n Uppdelningsproblemet (partioneringsproblemet): Likhet i bivillkoren. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Lokaliseringsproblemet Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Lokaliseringsproblemet Anläggning i: Fast kostnad f i, kapacitet s i. Kund j: Efterfrågan d j. Transportkostnad från anläggning i till kund j: c ij per enhet. Vilka anläggningar skall byggas? Hur mycket ska varje anläggning skicka till varje kund? Minimera totala byggkostnader och transportkostnader. Variabeldefinition: { om anläggning i byggs y i = 0 om inte. x ij = antal enheter som skickas från anläggning i till kund j min då m i= c ij x ij + m f i y i i= x ij s i y i för alla i () m x ij = d j för alla j (2) i= x ij s i y i 0 för alla i, j (3) x ij 0 för alla i, j (4) y i {0, } för alla i (5) Behövs bivillkor 3? (se lab 4) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november 206 / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

4 Nätverksdesignproblemet Noder: N. Möjliga länkar: A. Trafikbehov k: startnod o(k), slutnod d(k), behov r k. Kostnad för länk (i, j): Fast kostnad: f ij, rörlig kostnad: cij k. Maxkapacitet för länk (i, j): u ij. Uppfyll trafikbehoven till minsta kostnad. Variabeldefinition: xij k = flöde från o(k) till d(k) i länk (i, j), { om länk (i, j) används y ij = 0 om inte. Nätverksdesignproblemet min då k C (i,j) A j:(j,i) A x k ji c k ij x k ij + j:(i,j) A (i,j) A f ij y ij x k ij = b k i för alla i N, k C () xij k u ij y ij för alla (i, j) A (2) k C där dij k = min(r k, u ij ) och r k om i = o(k) bi k = r k om i = d(k) 0 annars. xij k dij ky ij för alla (i, j) A, k C (3) xij k 0 för alla (i, j) A, k C (4) y ij {0, } för alla (i, j) A (5) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Heltalsprogrammering: Exempel max z = 30x +8x 2 då 8x +5x 2 3 (A) x +2x 2 6 (B) x, x 2 0 x, x 2 heltal x A B Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Heltalsprogrammering: Exempel LP-relaxationen: x = 3.875, x 2 = 0 och z LP = Sats LP-relaxationen ger en optimistisk uppskattning av z. För max-problem: z LP z. Alltså z 6.25 Alla koefficienter i målfunktionen är heltal. Alla variabler skall vara heltal. z heltal. Avrunda z LP neråt. z x LP-relaxationen: x = 3.875, x 2 = 0 och z LP = Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

5 Heltalsprogrammering: Exempel Heltalsprogrammering: Exempel x A B x LP-relaxationen: x = 3.875, x 2 = 0 och z LP = Avrundning: x = 4, x 2 = 0. Ej tillåten. Avrundning till närmaste tillåtna punkt: x = 3, x 2 = 0. z = 90. Sats Varje tillåten lösning ger en pessimistisk uppskattning av z. För maxproblem: z z. 90 z 6 x 2 A B x Förbättra gränserna: Enkel lokal sökning: Ändra en variabel i taget. Tillåtet att öka x 2 till. z = 08. Ingen enkel ändring ger förbättring: Lokalt optimum. 08 z 6 (Optimum: x = 2, x 2 = 3 och z = 4.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Heltalsprogrammering: Vägval Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Heltalsprogrammering: Metodprinciper Optimerande metod: Finner garanterat optimum (och bevisar det). Optimerande / heuristisk? LP-baserad / kombinatorisk? Trädsökning / plansnittning? Fullständig uppräkning av alla möjliga lösningar: Nej! Ofullständig uppräkning kan vara bra. Kan dock aldrig garantera polynomisk lösningstid. Heuristik: Snabbare. Inga garantier. Bevisar ej optimalitet. Konstruktiva metoder. Sökmetoder. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

6 Heltalsprogrammering: Metodprinciper LP-baserad metod: Lös LP-relaxationen. Modifiera LP-problemet. Lös om. Kombinatorisk metod: Utgå från problemets kombinatoriska struktur. (0/) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Heltalsprogrammering: LP-baserad trädsökning Heltalsprogrammering: Metodprinciper Trädsökning: Relaxation. Förgrening: Dela upp problemet i flera (disjunkta) problem. Rekursivt. Kapa grenar. Avsöka hela trädet. Övre och undre gränser (för z ). Branch-and-bound Plansnittning: Lägg till bivillkor som skär bort LP-optimum, men inte någon tillåten heltalslösning. Ett LP-problem. Ökande storlek. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Heltalsprogrammering: Land-Doig-Dakins metod Land-Doig-Dakins metod: Relaxation: LP-relaxationen. Förgrening: Skapa två nya problem: Ett där x j x j och ett där x j x j = x j +. Kapa grenar som: Inte kan ge någon tillåten lösning. Inte kan ge någon bättre lösning. Ger heltalslösning. Varje ny förgrening innebär ytterligare begränsningar. Optimistiska uppskattningen z LP kan ej bli bättre, när vi går djupare i trädet. Undersökning av LP-problem: Om tillåten lösning saknas: Kapa grenen. Om z LP är sämre än känd lösning z: Kapa grenen. Om lösningen är heltalig och z LP är bättre än känd lösning z: Spara lösningen. Kapa grenen. Om lösningen inte är heltalig och z LP är bättre än känd lösning z: Förgrena. Varje tillåten lösning ger en pessimistisk uppskattning, z, som gäller i hela trädet. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

7 Heltalsprogrammering: Land-Doig-Dakins metod Algoritm (max):. Om inget oavsökt problem återstår: Stopp. Annars välj ett oavsökt problem. 2. Lös LP-relaxationen (simplexmetoden). Om den saknar tillåten lösning: Kapa grenen. Gå till. 3. Om z LP z: Kapa grenen. Gå till. 4. Om lösningen är heltalig: Spara lösningen och kapa grenen. Gå till. 5. Förgrena: Välj en variabel, x j, som ej är heltal, x j. Skapa två nya problem: Ett där x j x j och ett där x j x j = x j +. Gå till. Heltalsprogrammering: Land-Doig-Dakins metod Specificera: Förgreningsstrategi (vilken variabel först). Nodavsökningsstrategi (vilken nod/problem först). Exempel: Djup-först. Förgrena över variabeln med störst fraktionell del först. Gå ner i ( )-grenen först. Förgrena över variabeln med minst fraktionell del först. Gå ner i ( )-grenen först. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Land-Doig-Dakins metod: Exempel max z = 30x + 8x 2 då 8x + 5x 2 3 (A) x + 2x 2 6 (B) x, x 2 0 heltal LP-relaxationen P0: x = 3.875, x 2 = 0 och z LP = z = 6. Valfritt: Avrunda neråt: x = 3, x 2 = 0 och z = 90. z = 90. Förgrena: Skapa P: P0 + (x 3) och P2: P0 + (x 4). Lös P: x = 3, x 2 =.4 och z = 6. z = 6. Förgrena: Skapa P3: P + (x 2 ) och P4: P + (x 2 2). Lös P3: x = 3, x 2 = och z = 08. Heltal. z = 08. Kapa. Lös P4: x = 2.625, x 2 = 2 och z = z = 4. Förgrena: Skapa P5: P4 + (x 2) och P6: P4 + (x 3). Lös P5: x = 2, x 2 = 3 och z = 4. Heltal. z = 4. Kapa. P6 har z = 4. Kapa. (Saknar tillåten lösning.) Lös P2: Saknar tillåten lösning. Kapa. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Land-Doig-Dakins metod: Exempel x2 <= P3 _ z=08 x <=3 P <=2 P5 _ z=6 P0 (z=90) _ x2>=2 P4 x x _ z=4 _ z=6 >=4 P2 Ingen _ z=4 x >=3 P6 Dålig Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

8 Kombinatoriskt baserad trädsökning Kombinatoriskt baserad trädsökning: Bivillkorsfixering Balas metod för 0/-problem: (Constraint Programming) Relaxera kopplingen mellan bivillkoren, inte heltalskraven. Undersök ett bivillkor i taget. Observation: Det som är förbjudet i ett bivillkor är inte tillåtet. Ta bort förbjudna möjligheter (variabelvärden), genom att fixera variabler. Kapa grenar som inte kan ge någon tillåten lösning. Gör om målfunktionen till ett bivillkor: Kräv bättre lösning, för max-problem: c T x z +. Förgrening: Skapa två problem: Ett med x j = 0 och ett med x j =. Undersökning av delproblem (bivillkor): Om tillåten lösning saknas: Kapa grenen. Om tillåten lösning saknas då x j = : Fixera x j till 0. Om tillåten lösning saknas då x j = 0: Fixera x j till. Om inget av ovanstående för något bivillkor: Förgrena. Fixering av variabel innebär att vi slipper en av två grenar. Constraint Programming: Samma princip, krångligare bivillkor. (Bivillkor = subrutin.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Bivillkorsfixering: Exempel 3x + 4x 2 + 8x 3 5x 4 0 () 5x + 6x 2 + 5x 3 + 0x 4 4 (2) 2x 4x 2 3x 3 + 3x 4 2 (3) Inga fixeringar. Förgrena över x. P: x = : (): 3 + 4x 2 + 8x 3 5x 4 0: 4x 2 + 8x 3 5x 4 7. Ger inget. (2): 5 + 6x 2 + 5x 3 + 0x 4 4: 6x 2 + 5x 3 + 0x 4 9. Fixera x 4 = 0. (3): 2 4x 2 3x 3 2: 4x 2 3x 3 4. Fixera x 2 =. (): x 3 0: 8x 3 3. Fixera x 3 = 0. Allt fixerat. Kolla alla bivillkor en gång till. (2): : OK. (3): 2 4 2: OK. (): : OK. Tillåten lösning funnen: x =, x 2 =, x 3 = 0, x 4 = 0. (Nu har vi grenen med x = 0 kvar.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Bivillkorsfixering: Exempel Satisfieringsproblemet: Finns det värden på x så att följande blir sant: (x x 2 ) (x x 3 ) ( x x 2 ) ( x 2 x 3 )? Finn tillåten lösning till: x + x 2 () x x 3 0 (2) x + x 2 0 (3) x 2 + x 3 0 (4) Antag x = 0. () ger x 2 =. (2) ger x 3 = 0. (3) ger inget. (4) kan ej uppfyllas. Kapa grenen. Antag x =. () ger inget. (2) ger inget. (3) ger x 2 =. (4) ger x 3 =. () är uppfylld. (2) är uppfylld. (3) är uppfylld. (4) är uppfylld. Färdig: Lösning funnen: x =, x 2 =, x 3 = (alla sanna). Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

9 Bivillkorsfixering: Exempel Fler än man skulle tro använder bivillkorsfixering... Bivillkorsfixering: Exempel: Sudoku Variabeldefinition: x ijk = om siffran k ska stå i position (i, j). Bivillkor: x ijk = för alla i, k (siffra k en gång i rad i) j x ijk = för alla j, k (siffra k en gång i kolumn j) i x ijk = för alla i, j (en siffra i position (i, j)) k x ijk = för p =,..., 3, q =,..., 3, alla k 3p 2 i 3p, 3q 2 j 3q x ijk {0, } för alla i, j, k. x ijk = x ijk för vissa givna i, j, k. (siffra k en gång i mindre kvadrat (p, q)) Ingen målfunktion. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Bivillkorsfixering: Exempel: Sudoku Givna siffror: Om x i j k = så fixeras alla andra variabler i samma bivillkor till noll. Ingen mer siffra k i rad i. Ingen mer siffra k i kolumn j. Ingen annan siffra i position (i, j ). Ingen mer siffra k i mindre kvadrat (p, q). När siffra k bara har en möjlighet kvar i en rad/kolumn/mindre kvadrat: Lås den och fixera på ovanstående sätt. När position (i, j) bara har en möjlighet kvar: Lås den och fixera på ovanstående sätt. För lätt sudoku ger detta alltid en unik lösning. Metod: Låt X ij vara alla siffror som kan placeras i position (i, j). Först X ij = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ta sedan bort de som inte kan vara där. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Bivillkorsfixering: Utvidgade tester för speciella strukturer Utvidgade tester för Sudoku: Två siffror ska vara i två positioner, men vi vet inte vilken. T.ex. x + x 32 = 2 (siffra och 2 ska vara i pos (,) och (,3)). Eliminera siffra och 2 från alla andra positioner i rad, och lilla kvadrat (,), samt eliminera alla andra siffror från pos (,) och (,3). Bygger på strukturen hos problemet. Övertäckningsproblemet: min c T x då Ax, x binär. Reduktionstester: En rad endast nollor: Ingen tillåten lösning. Kolumn j endast nollor: Sätt x j = 0 och stryk kolumn j. Rad i endast en etta, i kolumn j: Sätt x j =, stryk kolumn j. Stryk alla rader med ettor i kolumn j. Rad i dominerar rad k (dvs. a ij a kj för alla j): Stryk rad i. Kolumn j dominerar kolumn k (dvs. a ij a ik för alla i och c j c k ): Sätt x k = 0 och stryk kolumn k. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

10 Kombinatoriskt baserad trädsökning för TSP Kombinatoriskt baserad trädsökning för TSP Relaxation : Billigaste uppspännande -träd. Motsvarar relaxation av valensvillkoren för alla noder utom en, samt av vissa subtursförbjudande villkor. Ger en cykel genom nod som kan vara för liten. Nod får rätt valens, alla andra noder kan få fel. Finn billigaste uppspännande träd för noderna 2 - n. Addera de två billigaste bågarna till nod. Relaxation 2: Tillordningsproblemet. Motsvarar relaxation av subtursförbjudande/sammanhängande villkoren. Alla noder får rätt valens. Lösningen ej säkert sammanhängande/kan innehålla mindre cykler. Lös med ungerska algoritmen. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kombinatoriskt baserad trädsökning för TSP Förgrening : Syftar till att ge alla noder rätt valens. Förbjud en av de bågar som går in till en nod med för hög valens. Förgrening: För varje båge som ansluter till noden: Skapa ett problem där bågen är förbjuden (x ij = 0). Minst en av grenarna måste innehålla optimum. För att få optimum i exakt en, tvinga med tidigare förbjudna bågar. Valensen skall vara 2, vilket ger följande tre möjligheter. Gren : Förbjud första bågen. Gren 2: Förbjud andra bågen och tvinga med första bågen. Gren 3: Tvinga med första och andra bågarna samt förbjud alla andra bågar till noden. (Fungerar ej med tillordningsrelaxationen.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kombinatoriskt baserad trädsökning för TSP Förgrening 2: Syftar till att förbjuda för små cykler. Förbjud en båge i cykeln. Förgrening: För varje båge i cykeln: Skapa ett problem där bågen är förbjuden (x ij = 0). Gren : Förbjud första bågen. Gren 2: Förbjud andra bågen och tvinga med första bågen. Gren 3: Förbjud tredje bågen och tvinga med första och andra bågarna. Gren 4:... Många grenar. (Kan ej användas för TSPr.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

11 Kombinatoriskt baserad trädsökning för TSP Förgrening 3: Kombinatoriskt baserad trädsökning för TSP: Exempel VINEOPT Syftar till att göra lösningen sammanhängande. 5 Tvinga med en båge mellan separata delar Förgrening: För varje båge i snittet mellan två separata delar: Skapa ett problem där bågen är med (x ij = ) Minst en av dessa grenar måste innehålla optimum. För att få optimum i exakt en, förbjud tidigare medtvingade bågar Gren : Tvinga med första bågen. Gren 2: Tvinga med andra bågen och förbjud första bågen. Gren 3: Tvinga med tredje bågen och förbjud första och andra bågarna. Gren 4:... (Fungerar ej med -trädsrelaxationen.) 8 6 -träd, kostnad: Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Plansnittning Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Plansnittning Övergång från icke-konvext problem till konvext: Skapa konvexa höljet B 3 2 A x Algoritm:. Lös LP-relaxationen. 2. Om lösningen är heltal: Stopp. Optimum. 3. Konstruera ett linjärt bivillkor som skär bort LP-optimum, men inga tillåtna heltalspunkter. Gå till. Hur konstruera bivillkor? Helst fasetter. Gomorys metod (simplextablå). Problemspecifikt: Kappsäcksproblem: Minimala övertäckningar. TSP: (forskning) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

12 Gomorysnitt Plocka en rad ur optimala simplextablån: j a ij x j = b i Minimala övertäckningar Minsta mängden som är för stor. Bivillkor: a j x j b, x j {0, } för alla j. j Avrunda alla koefficienter i vänsterledet neråt. Vänsterledet blir mindre och heltal. Avrunda högerledet neråt. En övertäckning, S, är för stor, a j > b. j S Giltigt bivillkor: x j S. (Alla i S får inte plats.) j S Resulterande bivillkor, Gomorysnitt: j a ij x j b i Välj helst den minsta mängd som inte får plats. Exempel: 0.3x + 4.5x 2 3.2x 3 + x 4 = 6.7 Gomorysnitt: 4x 2 4x 3 + x 4 6 Baslösning: x = 0, x 2 = 0, x 3 = 0,x 4 = 6.7. Den lösningen skärs bort. Exempel: 7x + 5x 2 + 6x 3 + 3x 4 2. Minimala övertäckningar: 7x + 5x 2 + 6x 3 + 3x 4 2, {, 3}: x + x 3. 7x + 5x 2 + 6x 3 + 3x 4 2, {2, 3, 4}: x 2 + x 3 + x x + 5x 2 + 6x 3 + 3x 4 2, {, 2, 4}: x + x 2 + x 4 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47 Heltalsprogrammering Kombinerade metoder: Trädsökning + plansnittning + förbehandling. För att lösa riktigt stora problem, måste man utnyttja flera verktyg. Förbehandling: Försök reducera problemstorleken eller omformulera problemet på ett bättre sätt. Avlägsna redundanta bivillkor: Jämför möjliga värden på vänsterledet med högerledet. (Mindre LP.) Fixera variabler: Balas metod, constraint programming. (Mindre LP, mindre träd.) Modifiera koefficienter: Minska övre gränser, anpassa bivillkorskoefficienter. (Mindre träd.) Addera logiska bivillkor: T ex minimala övertäckningar. (Mindre träd.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP33 Optimering 25 november / 47

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och

Läs mer

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod. Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen.

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Betrakta kvadratiska delmatriser av storlek n n, dar n m, och anvand induktion med avseende

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 11 mars 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 17 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:

Läs mer

z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet

z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet Bendersdekomposition Blandade heltalsproblem med ett stort antal kontinuerliga variabler och få heltalsvariabler. Mycket lättare att lösa om heltalsvariablerna fixeras. Bendersdekomposition (primal dekomposition)

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 2 oktober 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: juni 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering. Kaj

Läs mer

Algoritmkomplexitet. Komplexitet Teoretisk bas för frågorna: Är en viss metod bra eller dålig? Är ett visst problem lätt eller svårt?

Algoritmkomplexitet. Komplexitet Teoretisk bas för frågorna: Är en viss metod bra eller dålig? Är ett visst problem lätt eller svårt? Komplexitet Teoretisk bas för frågorna: Är en viss metod bra eller dålig? Är ett visst problem lätt eller svårt? Teori och praktik inte alltid överens, men i stort sett... Algoritmkomplexitet: Hur många

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 2 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: oktober 08 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 1 oktober 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 8 januari 201 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 08 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 9 april 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 19 mars 2011 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 19 april 2017 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 18 januari 2019 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: oktober 01 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 1 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 21 augusti 2012 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

Läs mer

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 april 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: oktober 08 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 0 augusti 201 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Laboration 2 - Heltalsoptimering

Laboration 2 - Heltalsoptimering Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 2 Optimeringslära 4 februari 203 Laboration 2 - Heltalsoptimering Problemställning Synande av cellprover När

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP6/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 19 oktober 2017 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: oktober 08 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg

Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2017-08-22 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Variabeldefinition:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 08 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 13 januari 2018 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: april 2018 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 9 augusti 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK49 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 7 Nätverksoptimering Billigaste uppspännande träd (MST) Billigaste väg (SP) Projektnätverk Minkostnadsflödesproblem Agenda Terminologi för grafer/nätverk

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 1 november 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 24 oktober 204 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Krister Svanberg, april 2012 1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Ett nätverk består av en given mängd noder numrerade från 1 till m (där m är antalet noder) samt en given mängd riktade bågar mellan vissa

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10 TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s

Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta s Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2014-01-15 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: (Detta problem

Läs mer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 maj 2014 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Optimering. Optimering

Optimering. Optimering TAOP88 Optimering för ingenjörer Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se Kurshemsida: http://courses.mai.liu.se/gu/taop88 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Oleg Burdakov, William

Läs mer

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t. 1(8) (5p) Uppgift 1 Företaget KONIA tillverkar mobiltelefoner I en stor fabrik med flera parallella produktionslinor. För att planera produktionen de kommande T veckorna har KONIA definierat följande icke-negativa

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 11 januari 2017 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 08 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Optimering. TAOP88 Optimering för ingenjörer. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering?

Optimering. TAOP88 Optimering för ingenjörer. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering? TAOP88 Optimering för ingenjörer Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se Kurshemsida: http://courses.mai.liu.se/gu/taop88 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Oleg Burdakov Roghayeh

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: 6 april 2018 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Extrempunkt. Polyeder

Extrempunkt. Polyeder Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den. Dvs. finna en optimal lösning, x, till modellen. Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan bättre. Upprepa, tills

Läs mer

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen

Läs mer

Föreläsning 6: Nätverksoptimering

Föreläsning 6: Nätverksoptimering Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Optimering. TAOP86 Kombinatorisk optimering med miljötillämpningar. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering?

Optimering. TAOP86 Kombinatorisk optimering med miljötillämpningar. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering? TAOP86 Kombinatorisk optimering med miljötillämpningar Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se http://courses.mai.liu.se/gu/taop86 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Björn Morén

Läs mer

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång.

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång. Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF och Nätverkssimplex Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter:

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod Kursnamn T7005N Operationsanalys Datum LP2 13/14 Material Kursexaminator Sammanfattning Björn Samuelsson Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer