Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Transkript

1 Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 21 augusti 2012 Tid: Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. För godkänt krävs 8 poäng. Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Resultat meddelas per e-post Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påstående Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget. 1

2 Uppgift 1 Ett klädföretag står inför uppgiften att planera sin produktion av tre olika plagg för de kommande två månaderna. För att tillverka ett klädesplagg behövs två resurser. Dels krävs en viss mängd tyg och dels en viss tid för att sy upp plagget. Åtgången av tyg och sytid är densamma för de båda månaderna, medan tillgången och produktionskostnaden däremot ändrar sig mellan månaderna. All information finns sammanställd i Tabell 1 nedan. Kostnad Efterfrågan Åtgång Lager Tyg Sytid plats Byxa ,5 Tröja ,9 Kavaj ,2 Tabell 1: Kostnader, efterfrågan, åtgång, och lagerplats för de olika plaggen. Företaget har möjlighet att överproducera plagg en månad och spara dessa till nästa månad i ett lagerutrymme. De olika plaggen tar upp olika mycket plats, enligt Tabell 1, och lagrets kapacitet är begränsat till 240 enheter varje månad. Vid början av första månaden är lagret helt tomt, och det ska även vara helt tomt vid den andra månadens slut. Formulera en linjär optimeringsmodell för företagets problem att bestämma den produktion av varor som minimerar tillverkningskostnaderna och tillgodoser den givna efterfrågan. (3p) Uppgift 2 a) Lös följande linjära optimeringsproblem med simplexmetoden. z = max z = 3x 1 +5x 2 +8x 3 då x 1 +4x 2 +2x 3 48 x 1 +2x 2 +4x 3 60 x 1, x 2, x 3 0 b) Antag att problemet utökas med en variabel x 4, med målfunktionskoefficient c 4 = 10 och bivillkorskoefficienter a 4 = (3,5) T. Visa att x 4 = 0. (1p) 2

3 Uppgift 3 a) Lös följande linjära heltalsproblem med trädsökning. z = max z = 3x 1 +2x 2 då 4x 1 +2x x 1 +6x 2 29 x 1, x 2 0 och heltal Förgrena över den fraktionella variabel som har lägst index. Använd djupförst-sökning och avsök mindre-än-grenen först. De LP-relaxationer som uppkommer får lösas grafiskt. b) Antag att vi till det ursprungliga problemets LP-relaxation vill lägga till en fasett-definierande giltig olikhet. Vi vill vidare välja denna olikhet så att LP-relaxation stärks så mycket som möjligt, i meningen att LP-relaxationens optimala målfunktionsvärde sjunker så mycket som möjligt. Vilken fasettdefinierande giltig olikhet ska vi i så fall välja att lägga till? (1p) Uppgift 4 a) Avgör om problemet min f(x,y) = e x 6 +x 2 +4y 2 4xy 6y { x 3 + y 4 2 då x 2 + y 2 6x 7y 18 är konvext eller ej. För funktioner med en variabel räcker det med grafiska funktionsstudier för att avgöra konvexitetsegenskaper. b) Visa med hjälp av definitionen av konvex mängd att om mängderna X 1 och X 2 är konvexa så är även skärningen X 1 X 2 konvex. (1p) 3

4 Uppgift 5 Givet det obegränsade konvexa problemet min f(x) = 8x2 x R x 1 x 2 +5x 2 2. a) Antag att problemet angrips med brantaste lutningsmetoden från startpunkten x 0 = ( 1, )T. Visa att brantaste lutningsriktningen inte pekar mot en stationär punkt för f. (1p) b) Gör variabeltransformationen { x1 = y 1 + 2y 2 x 2 = 2y 1 2y 2. Låt g(y) = f(x(y)) och betrakta problemet min g(y). y R 2 Visa att brantaste lutningsmetoden finner en stationär punkt till g(y) på en iteration, oberoende av startpunkt. Uppgift 6 Betrakta problemet max f(x) = λ( x 1 +x 2 )+(1 λ)(2x 1 +x 2 ) då x x x 1 +x 2 2 2x 2 4, där parametern λ [0, 1]. Observera att problemets målfunktion kan tolkas som en konvexkombination av två olika målfunktioner. a) Teckna Karush-Kuhn-Tucker-villkoren för problemet. (1p) b) Visa att för λ = 2 3 är x = (3,4)T en Karush-Kuhn-Tucker-punkt. (1p) c) För vilka värden på λ [0, 1] är x en Karush-Kuhn-Tucker-punkt? (1p) 4

5 Uppgift 7 Betrakta det linjära problemet z = min z = 5y då 6x 1 +4x 2 +3x 3 +6x 4 +3x 5 +4x 6 2+y (1) 4x 1 +5x 2 +4x 3 +4x 4 +4x 5 +6x 6 3+y (2) 2x 1 +3x 2 +4x 3 +3x 4 +5x 5 +3x 6 2+y (3) x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 = 3 x 1,...,x 6 = 0/1 15 y 0. Problemet kan tolkas som att vi vill välja ett lägsta värde på y som gör att det finns en tillåten lösning i x 1,...,x 6. Lagrange-relaxera villkoren (1) (3) med multiplikatorvärdena v = (2, 2, 1) och med v = (2, 3, 1). Bestäm utifrån de gjorda beräkningarna ett minsta möjliga intervall för z. Utnyttja att problemets struktur gör att det för givna värden på x 1,...,x 6 är enkelt att välja ett lägsta värde på y som gör att (1) (3) uppfylls. (3p) 5