LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

Transkript

1 Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1) (knappar) x 1 6 (2) (optik) 6x 1 + 4x 2 50 (3) (monteringstid) x 1 0 (4) x 2 0 (5) Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 LP-dualitet: Generellt LP-dualitet: Exempel Primal: Maximera vinsten, utan att använda för mycket råvaror. max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1) (y 1 ) x 1 6 (2) (y 2 ) 6x 1 + 4x 2 50 (3) (y 3 ) x 1, x 2 0 Dualvariabel: y i pris på råvara i. Minimera kostnaden för råvarorna. Balansera kostnad mot intäkt. min v = 30y 1 + 6y y 3 då 2y 1 + y 2 + 6y 3 4 (1) (x 1 ) 3y 1 + 4y 3 3 (2) (x 2 ) y 1, y 2, y 3 0 Priset är noll om råvaran inte används fullt ut. Produkten görs ej om kostnaden blir högre än intäkten. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 LP-dualitet: Relationer Primal: Exakt vilka relationer har primal och dual? max z = då Dual: c j x j a ij x j b i x j 0 i = 1,..., m j = 1,..., n max z = c T x då Ax b x 0 Svaga dualsatsen Om x är tillåten i primalen och y är tillåten i dualen så c T x b T y. (bevis) (rita) Följdsats Om x är tillåten i primalen, ȳ är tillåten i dualen och c T x = b T ȳ så är x optimal i primalen och ȳ optimal i dualen. min v = då m b i y i m a ij y i c j y i 0 j = 1,..., n i = 1,..., m min v = b T y då A T y c y 0 (se figur) Följdsats Om primalen (dualen) är obegränsad, så saknar dualen (primalen) tillåten lösning. Båda kan dock sakna lösning. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35

2 LP-dualitet: Komplementaritet En dualvariabel, y i, anger hur mycket primala bivillkor i tar emot. Ett bivillkor som inte är aktivt tar inte emot alls. Komplementaritet (i ord): Om primala bivillkor i inte är aktivt, måste y i = 0. Om duala bivillkor j inte är aktivt, måste x j = 0. Komplementaritetsvillkoren Primallösningen x och duallösningen y uppfyller komplementaritetsvillkoren om y i a ij x j b i = 0 i = 1,..., m ( m ) x j a ij y i c j = 0 j = 1,..., n LP-dualitet: Komplementaritet Komplementaritetsvillkoren kan skrivas som Sats y T (Ax b) = 0 x T (A T y c) = 0 Om x och y uppfyller komplementaritetsvillkoren, så är c T x = b T y. (peka på bevis) Följdsats Om x är tillåten i primalen, y är tillåten i dualen och x och y uppfyller komplementaritetsvillkoren, så är x optimal i primalen och y optimal i dualen. Åt andra hållet: Starka dualsatsen Om x och y är optimallösningar så gäller c T x = b T y. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 LP-dualitet: Slutsatser Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 LP-dualitet: Formulering Fullständiga dualsatsen Om primalen har en tillåten, begränsad optimallösning, x, så har även dualen en tillåten, begränsad optimallösning, y, och c T x = b T y. Om primalen är obegränsad, så saknar dualen tillåten lösning. Om primalen saknar tillåten lösning, så saknar dualen lösning eller har obegränsad lösning. (Symmetriskt i primal - dual.) Optimalitetsvillkor (KKT) Primal tillåtenhet + Dual tillåtenhet + Komplementaritet = Optimalitet Standard: Primal: Dual: max z = c T x min v = b T y då Ax b då A T y c x 0 y 0 Variationer: Primal Dual max min Ax b y 0 Ax b y 0 Ax = b y fri x 0 A T y c x 0 A T y c x fri A T y = c Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35

3 LP-dualitet: Formulering, symmetriskt Standard: Primal/dual: Dual/primal: max z = c T x min v = b T y då Ax b då A T y c x 0 y 0 Variationer: * * max min Ax b y 0 Ax b y 0 Ax = b y fri x 0 A T y c x 0 A T y c x fri A T y = c LP-dualitet: Formulering: Exempel Primal: max z = 2x 1 + 3x 2 5x 3 då 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 10 (1) (y 1 ) 7x 1 + x 2 x 3 16 (2) (y 2 ) 3x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 43 (3) (y 3 ) x 1 0, x 2 fri, x 3 0 min v = 10y y y 3 då 2y 1 + 7y 2 + 3y 3 2 (1) (x 1 ) 3y 1 + y 2 + 4y 3 = 3 (2) (x 2 ) 2y 1 y 2 + 4y 3 5 (3) (x 3 ) y 1 0, y 2 0, y 3 fri y 1 (2x 1 + 3x 2 + 2x 3 10) = 0 y 2 (7x 1 + x 2 x 3 16) = 0 x 1 (2y 1 + 7y 2 + 3y 3 2) = 0 x 3 (2y 1 y 2 + 4y 3 + 5) = 0 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Dualitet och baslösningar Primal: Dual: Kompl.: max z = c T x min v = b T y då Ax = b då A T y c x T (A T y c) = 0 x 0 y fri Baslösning: Primal: Dual: Kompl max z = cb T x B + cn T x N min v = b T y då Bx B + Nx N = b då B T y c B xb T (BT y c B ) = 0 x B, x N 0 N T y c N xn T (NT y c N ) = 0 y fri x B > 0 B T y = c B y = B 1T c B = (c T B B 1 ) T. Dual tillåtenhet: Sätt in y i N T y c N. Uppfyllt om ĉ N 0 där ĉ N = c N (c T B B 1 N) T. Primal och dual lösning: x B = B 1 b, x N = 0, y = B 1T c B. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Dualitet och baslösningar, forts Slutsats Dual tillåtenhet primal optimalitet. Vi har bevisat starka dualsatsen. Starka dualsatsen, version 2 Om primalen har en tillåten, begränsad optimallösning, x = B 1 b, så har även dualen en tillåten, begränsad optimallösning, som ges av y = B 1T c B. Både primalen och dualen har det optimala målfunktionsvärdet z = c T B B 1 b. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35

4 LP-dualitet: Exempel max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1) (y 1 ) x 1 6 (2) (y 2 ) 6x 1 + 4x 2 50 (3) (y 3 ) x 1, x 2 0 min v = 30y 1 + 6y y 3 då 2y 1 + y 2 + 6y 3 4 (1) (x 1 ) 3y 1 + 4y 3 3 (2) (x 2 ) y 1, y 2, y 3 0 y 1 (2x 1 + 3x 2 30) = 0 y 2 ( x 1 6) = 0 y 3 (6x 1 + 4x 2 50) = 0 x 1 (2y 1 + y 2 + 6y 3 4) = 0 x 2 (3y 1 + 4y 3 3) = 0 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 LP-dualitet och simplextablån Duallösningen återfinnes under slackvariablerna i optimaltablån. Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z /5 0 3/5 36 x /5 1-3/10 3 x /5 0 3/10 3 x /5 0-1/5 8 Dual optimallösning: y 1 = 1/5, y 2 = 0, y 3 = 3/5. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 LP-dualitet: Exempel Primal optimallösning: x 1 = 3, x 2 = 8, z = 36. Basvariabler x 1, x 2, x 4. Villkor 1 aktivt. Villkor 2 ej aktivt y 2 = 0. Villkor 3 aktivt. x 1 > 0 2y 1 + y 2 + 6y 3 = 4. x 2 > 0 3y 1 + 4y 3 = 3. Dual optimallösning: y 1 = 1/5, y 2 = 0, y 3 = 3/5. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 LP-dualitet: Kappsäcksproblem: Exempel max z = 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 7x 4 då 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 10 (y) x 1, x 2, x 3, x 4 0 min v = 10y då 2y 2 (1) (x 1 ) 2y 3 (2) (x 2 ) 2y 5 (3) (x 3 ) 4y 7 (4) (x 4 ) y 0 Skriv som: min v = 10y då y 1, y 3/2, y 5/2, y 7/4, y 0 Optimallösning: y = 5/2, v = 25. Endast duala bivillkor 3 aktivt. x 1 = 0, x 2 = 0, x 4 = 0. y > 0 2x 3 = 10 x 3 = 5. Problemet löst. Det blev en metod! max j (c j /a j ) ger bästa x j. Ta med den. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35

5 LP-dualitet: Exempel LP-dualitet: Exempel max z = 2x 1 + 3x då x 1 + x 2 + 2x 3 5 (y 1 ) 2x 1 x 2 + x 3 3 (y 2 ) x 1, x 2, x 3 0 min v = 5y 1 + 3y 2 då y 1 + 2y 2 2 (1) (x 1 ) y 1 y 2 3 (2) (x 2 ) 2y 1 + y 2 4 (3) (x 3 ) y 1, y 2 0 LP-dualen 2-dimensionell. Lös grafiskt. (1) (3) (2) Dual optimalpunkt: y 1 = 3, y 2 = 0. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 LP-dualitet: Exempel max z = 2x 1 + 3x då x 1 + x 2 + 2x 3 5 (y 1 ) 2x 1 x 2 + x 3 3 (y 2 ) x 1, x 2, x 3 0 min v = 5y 1 + 3y 2 då y 1 + 2y 2 2 (1) (x 1 ) y 1 y 2 3 (2) (x 2 ) 2y 1 + y 2 4 (3) (x 3 ) y 1, y 2 0 LP-dualen 2-dimensionell. Lös grafiskt. Optimallösning: y 1 = 3, y 2 = 0, v = 15. Duala bivillkor 1 och 3 inte aktiva. x 1 = 0, x 3 = 0. y 1 > 0 x 2 = 5. Problemet löst. (Kolla gärna primala bivillkor 2.) Lösning: x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 0, z = 15. (Kolla gärna z.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Skuggpriser Hur mycket förändras det optimala målfunktionsvärdet av en liten ändring av ett högerled? Detta mått kallas skuggpris (eller marginalpris). Starka dualsatsen: z = c T x = b T y eller z = j Derivatan av z med avseende på b i är y i. Slutsats Skuggpriserna ges av den optimala duallösningen. I exemplet: Dual målfunktion: v = b 1 y 1 + b 2 y 2. c j x j = i Stoppa in dual optimallösning: y 1 = 3, y 2 = 0 ger v = 3b 1. En enhets ökning av b 1 ger 3 enheters ökning av v, dvs. z. En enhets ökning av b 2 ger ingen ändring av v, dvs. z. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 b i y i

6 Skuggpriser Känslighetsanalys I en viss baslösning har vi x B = B 1 b och y = B 1T c B. Skuggpriserna är oförändrade så länge som B 1 och c B är oförändrade, dvs. så länge som samma baslösning är optimal. Om ändringen i b ger B 1 b 0, ändras optimal baslösning/skuggpriser. B 1 b 0 ger gränser på b för oförändrad optimallösning. Har optimallösning. Indata ändras. Vad händer? Är optimallösningen helt oförändrad? Är optimala baslösningen oförändrad? För hur stora ändringar ändras inte (bas)lösningen? Om optimal baslösning inte ändras blir alla förändringar lätta att räkna ut, för då ändras inte B 1. Stoppa in nya b och/eller c i x B = B 1 b, y = B 1T c B och z = c T B x B. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Känslighetsanalys Vi beaktar ändringar av: Högerled, b. Kolla tillåtenhet, x B = B 1 b 0. Målfunktionskoefficient, c. Kolla optimalitet = dual tillåtenhet. För ickebasvariabel, c N : c N N T y. (Ändringen i ĉ blir lika stor som ändringen i c.) För basvariabel, c B : Beräkna y = B 1T c B och kolla N T y c N. Addition av nytt bivillkor, a T i x b i. Kolla tillåtenhet, a T i x b i. Addition av ny variabel, x k, med kolumn a k och målfunktionskoefficient c k (dvs. dualt bivillkor, a T k y c k). Kolla optimalitet = dual tillåtenhet. Primal optimalitet: ĉ k = c k a T k y 0. Alternativ: Kolla dual tillåtenhet: a T k y c k. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Vårt musexempel max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1) (y 1 ) (knappar) x 1 6 (2) (y 2 ) (optik) 6x 1 + 4x 2 50 (3) (y 3 ) (monteringstid) x 1, x 2 0 min v = 30y 1 + 6y y 3 då 2y 1 + y 2 + 6y 3 4 (1) (x 1 ) (Optimus) 3y 1 + 4y 3 3 (2) (x 2 ) (Rullmus) y 1, y 2, y 3 0 Optimaltablå: Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z /5 0 3/5 36 x /5 1-3/10 3 x /5 0 3/10 3 x /5 0-1/5 8 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35

7 Känslighetsanalys i simplextablån Känslighetsananlys i simplextablån Optimaltablå för vårt exempel: Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z /5 0 3/5 36 x /5 1-3/10 3 x /5 0 3/10 3 x /5 0-1/5 8 Optimallösning: x 1 = 3, x 2 = 8, z = 36. Skuggpriser: y 1 = 1/5, y 2 = 0, y 3 = 3/5. Vad skulle vi tjäna på en ökning av tillgången av knappar? Det är en ökning av b 1, så vi tjänar y 1 = 1/5 per enhets ökning. För hur stor ökning gäller detta? Kolla B 1 b 0. Kan läsa av B 1 under slackvariablerna i optimaltablån. Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z /5 0 3/5 36 x /5 1-3/10 3 x /5 0 3/10 3 x /5 0-1/5 8 B 1 b = 2/5 1 3/10 2/5 0 3/10 3/5 0 1/5 vilket ger 22.5 b b = 2b 1 /5 9 2b 1 / b 1 /5 10 Så vi tjänar 1/5 kr per ytterligare knapp, för b 1 upp till Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Exempel: Ny variabel Ska Mickey AB göra en ny sorts mus, SuperGamer, som består av en knapp och två optiska enheter, kräver 5 min för montering och ger intäkten 3 kr/enhet? Ny variabel, x 6 : kolumn: a 6 = målfunktionskoefficient: c 6 = 3. Dual optimallösning (skuggpriser) : y 1 = 1/5, y 2 = 0, y 3 = 3/5. Reducerad kostnad (dual tillåtenhet): ĉ 6 = c 6 a6 T y = 3 (1/5 + 3) = 1/5 0. Slutsats: Låt x 6 förbli noll. Gör inga SuperGamer. Mickey vill justera priset så att SuperGamer blir lönsam. Bestäm c 6 så att ĉ 6 > 0: ĉ 6 = c 6 a T 6 y = c 6 (1/5 + 3) = c > 0 om c 6 > 3.2. För att få lite marginal sätter man priset så att intäkten blir 3:50 kr. Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Exempel: Ny variabel Ny optimallösning? ĉ 6 = c 6 a6 T y = 7/2 (1/5 + 3) = 3/10. Inför nya kolumnen i optimaltablån: â 6 = B 1 a 6. 2/5 1 3/10 1 9/10 â 6 = 2/5 0 3/10 2 = 11/10 3/5 0 1/5 5 2/5 Inför i optimaltablån: Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 z /5 0 3/5-3/10 36 x /5 1-3/10 9/10 3 x /5 0 3/10 11/10 3 x /5 0-1/5-2/5 8 Fortsätt med simplexmetoden. x 6 inkommande. Utgående? Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35

8 Känslighetsananlys från koder Indatafil: (GMPL) var x1 >= 0; var x2 >= 0; maximize obj: 4*x1 + 3*x2; subject to con1: 2*x1 + 3*x2 <= 30; subject to con2: x1 <= 6; subject to con3: 6*x1 + 4*x2 <= 50; end; Lösning av problemet: Skriv glpsol -m lp-ko1.mod -o lp-ko1.sol Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Känslighetsananlys från koder I utdatafilen lp-ko1.sol (rensat): Problem: lp Rows: 4 Columns: 2 Non-zeros: 7 Status: OPTIMAL Objective: obj = 36 (MAXimum) No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal obj B 36 2 con1 NU con2 B con3 NU No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal x1 B x2 B 8 0 Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions: Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Känslighetsananlys från koder På skärmen (rensat): Reading model section from lp-ko1.mod lines were read Model has been successfully generated GLPK Simplex Optimizer, v rows, 2 columns, 7 non-zeros Preprocessing... 2 rows, 2 columns, 4 non-zeros Scaling... A: min aij = 2.000e+00 max aij = 6.000e+00 ratio = 3.000e+00 Problem data seem to be well scaled Constructing initial basis... Size of triangular part = 2 * 0: obj = e+00 infeas = 0.000e+00 (0) * 3: obj = e+01 infeas = 0.000e+00 (0) OPTIMAL SOLUTION FOUND Time used: 0.0 secs Memory used: 0.1 Mb ( bytes) Writing basic solution to lp-ko1.sol... Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Känslighetsananlys från koder Lösning av problemet med känslighetsanalys: Skriv glpsol -m lp-ko1.mod --bounds lp-ko1.bnd I utdatafilen lp-ko1.bnd (rensat): GLPK SENSITIVITY ANALYSIS REPORT Problem: lpluma Objective: obj = 36 (MAXimum) No. Row name St Activity Slack Lower bound Activity O Marginal Upper bound range obj BS Inf Inf con1 NU Inf con2 BS Inf con3 NU Inf Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35

9 Känslighetsananlys från koder LP-dualen till ett strukturerat problem Sida 2 i utdatafilen lp-ko1.bnd (rensat): GLPK SENSITIVITY ANALYSIS REPORT Page 2 Problem: lpluma Objective: obj = 36 (MAXimum) då No. Column name St Activity Obj coef Activity Obj coef Obj value at Limiting Marginal range range break point variable x1 BS Inf con con1 x ij 0 2 x2 BS con con3 End of report Tillordningsproblemet: Varje person i skall tilldelas en uppgift j. min c ij x ij LP-dualen: max x ij = 1 i = 1,... n (α i ) x ij = 1 j = 1,... n (β j ) α i + β j för alla i, j då α i + β j c ij för alla (i, j) (x ij ) x ij (α i + β j c ij ) = 0 för alla (i, j) Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35 Vileopt Att tänka på inför lab 2: Skuggpris? Reducerad kostnad? Vad händer om man gör fel i simpexmetoden? Kaj Holmberg (LiU) TAOP88 Optimering 24 augusti / 35