Lösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015
|
|
- Emilia Samuelsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösningar till tentan i SF86/5 Optimeringslära, 3 juni, 25 Uppgift.(a) Första delen: The network is illustrated in the following figure, where all the links are directed from left to right. 3 5 O------O -6 \ / \ / \/ /\ / \ / \ 4 O------O Let x = ( x 3, x 4, x 23, x 24 ) T, where the variable x ij stands for the flow in the link from node i to node j, and let c = ( c 3, c 4, c 23, c 24 ) T. Then the total cost for the flow is given by c T x. The flow balance conditions in the nodes can be written Ax = b, where A = and b = Finally, the given directions of the links imply the constraints x. Then the minimum cost network flow problem can be formulated as: minimize c T x subject to Ax = b and x. (It is possible, and often recommended, to remove the last row in A and the corresponding last component in b to get a system without redundant equations.)
2 Uppgift.(a) Andra delen: The four different spanning trees are shown in the following figure, together wih the unique link flows which satisfy Ax = b O------O O------O O------O O O \ / \ / \ / 3\ / \ / 5\ / \/ -\ / \/ /\ \ / /\ 4/ \ \ / 6/ \ / \ \ / / \ O O O------O O------O O------O Spanning Spanning Spanning Spanning tree tree 2 tree 3 tree 4 The link flows in the first spanning tree are calculated as follows: The only way to satisfy the supply constraint in node 2 is to let x 23 = 4. Then the only way to satisfy the demand constraint in node 3 is to let x 3 = 2. Then the only way to satisfy the supply constraint in node is to let x 4 = 3. Then the demand constraint in node 4 is also satisfied. The link flows in the second spanning tree are calculated as follows: The only way to satisfy the demand constraint in node 3 is to let x 3 = 6. Then the only way to satisfy the supply constraint in node is to let x 4 =. The only way to satisfy the supply constraint in node 2 is to let x 24 = 4. Then the demand constraint in node 4 is also satisfied. The link flows for the third and fourth spanning trees are calculated in a similar way. We see that in the spanning trees and 3, all the link flows are non-negative, so these two spanning trees correspond to feasible basic solutions, x = (2, 3, 4, ) T and x = (5,,, 3) T, respectively. which satisfy both Ax = b and x. But in the spanning trees 2 and 4, the flows are not non-negative in all links, so these two spanning trees correspond to infeasible basic solutions which satisfy Ax = b but not x. 2
3 Uppgift.(b) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = 2 2 Efter några enkla radoperationer erhålls matrisen = T. Nu är A överförd till trappstegsform med två trappstegsettor. En bas till R(A) = N (A T ) erhålls genom att som basvektorer välja de kolonner i A som svarar mot trappstegsettor i T, dvs kolonnerna nummer och 2 i A. De två vektorerna och utgör alltså en bas till N (A T ) Observera att de bägge ekvationssystemet Ax = och Tx = har exakt samma lösningsmängd, eftersom de enkla radoperationerna inte ändrar denna. Men den allmänna lösningen till Tx = erhålls genom att först sätta den variabel som inte svarar mot trappstegsettor, dvs x 3, till ett godtyckligt tal t, dvs x 3 = t, och därefter bestämma hur trappstegsvariablerna x och x 2 måste bero av t för att Tx = ska bli uppfyllt. Detta ger att den allmänna lösningen till Tx =, och därmed även till Ax =, är x = 2t, y 2 = t, y 3 = t, som kan skrivas x = Av detta framgår att vektorn x x 2 x 3 = 2 utgör en bas till N (A). 2 t, för t IR. Vi upprepar nu ovanstående metodik på matrisen A T =. 2 Efter några enkla radoperationer erhålls matrisen = T. Nu är A T överförd till trappstegsform med två trappstegsettor, i kolonnerna och 2. De två vektorerna och utgör alltså en bas till R(A T ) = N (A). Slutligen ges den allmänna lösningen till Ty =, och därmed även till A T y =, av y = t, y 2 = t, y 3 = t, så att vektorn utgör en bas till N (A T ). T T T T 2 2 Kontroll: = = = =.. 3
4 Uppgift 2.(a) Vi har ett LP-problem på standardformen där A = [ ] 2 2, b = minimera c T x då Ax = b, x, ( ) och c 4 T = (5, 6, 7, 8). Den förslagna lösningen har basvariablerna x och x 4, dvs β = (, 4) och δ = (2, 3). [ ] [ ] 2 2 Motsvarande basmatris ges av A β =, medan A δ =. Basvariablernas värden i baslösningen ges av x β = b, där vektorn b beräknas ur ekvationssystemet A β b = b, [ ] ) ( ) ) ( ) 2 ( b ( b 3 dvs =, med lösningen b = =, b2 4 b2 dvs x = 3 och x 4 =, vilket stämmer med förslaget. Vektorn y med simplexmultiplikatorerna värden erhålls ur systemet A [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) T β y = c β, y 5 y dvs =, med lösningen y = = y 2 Reducerade kostnaderna för icke-basvariablerna [ ] ges av 2 r T δ = ct δ yt A δ = (6, 7) (, 6) = (6, 7) (4, 5) = (2, 2). Eftersom reducerade kostnaderna är icke-negativa så är den föreslagna lösningen optimal. x = 3, x 4 =, övriga x j =, med optimalvärdet = 23. y 2 4
5 Uppgift 2.(b) Efter införande av slackvariabler x 5 och x 6 får vi ett nytt LP-problem på standardformen där nu A = minimera [ ] 2 2, b = c T x då Ax = b, x, ( ) och c 4 T = (5, 6, 7, 8,, ). Vi startar från baslösningen ovan, med β = (, 4) och δ = (2, 3, 5, 6), som är en tillåten baslösning även till detta nya problem. Vektorerna b och y blir desamma som ovan. Reducerade kostnaderna för icke-basvariablerna [ ges nu av] 2 r T δ = ct δ yt A δ = (6, 7,, ) (, 6) = (2, 2,, 6). Eftersom r δ3 = r 5 = är minst, och <, ska vi låta x 5 bli ny basvariabel. Då behöver vi beräkna vektorn ā 5 ur systemet A β ā 5 = a 5, [ ] ) ( ) ) ( ) 2 (ā5 (ā5 /3 dvs =, med lösningen ā = =. /3 ā 25 Det största värde som den nya basvariabeln x kan ökas till ges av { } bi t max = min ā i5 > = i ā i5 /3 = b 2. ā 25 Minimerande index är i = 2, varför x β2 = x 4 inte längre får vara kvar som basvariabel. Dess plats tas av x 5. Nu är alltså β = (, 5) och δ = (2, 3, 4, 6). Motsvarande basmatris ges av A β = [ ā 25 ] [ ] 2 2, medan A δ =. Basvariablernas värden i baslösningen ges av x β = b, där vektorn b beräknas ur ekvationssystemet A β b = b, [ ] ) ( ) ) ( ) ( b ( b 4 dvs =, med lösningen b = =. b2 4 b2 3 Vektorn y med simplexmultiplikatorerna värden erhålls ur systemet A [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) T β y = c β, y 5 y dvs =, med lösningen y = =. 5 y 2 Reducerade kostnaderna för icke-basvariablerna [ ges nu] av 2 2 r T δ = ct δ yt A δ = (6, 7, 8, ) (, 5) = (, 2, 3, 5). Eftersom reducerade kostnaderna är icke-negativa så är den aktuella lösningen optimal. x = 4, x 5 = 3, övriga x j =, med optimalvärdet = 2. y 2 5
6 Uppgift 2.(c) Det primala problemet P2 är på formen minimera c T x då Ax b och x. Det motsvarande duala problemet D2 är då på formen som utskrivet blir: maximera b T y då A T y c och y, maximera y + 4y 2 då y + y 2 5, 2y + y 2 6, y + y 2 7, 2y + y 2 8, y i, i =, 2. En noggrann figur ger att det tillåtna området är en fyrhörning med hörnen i pukterna (3, ), (, 4), (, 5) och (, ). Nivåkurvorna till målfunktionen y + 4y 2 är parallella linjer vinkelräta mot vektorn (, 4), med växande värden uppåt i figuren. Den nivåkurva som svarar mot det maximala värdet på målfunktionen i det tillåtna området ges ur figuren av linjen y + 4y 2 = 2 som går genom hörnpunkten (y, y 2 ) = (, 5). Denna hörnpunkt är alltså den optimala lösningen till det duala problemet D2. Duala målfunktionsvärdet är 2, vilket överensstämmer med optimalvärdet till P2. 6
7 Uppgift 3.(a) 2 The objective function is f(x) = 2 xt Hx + c T x, with H =, c = 2. 2 All the three given problems are QP problem with linear equality constraints, i.e. problems of the form: minimize f(x) subject to Ax = b, with f(x) as above. In the first problem, QP, A = [ ] and b = 3. Then the general solution to Ax = b, i.e. to x + x 2 + x 3 = 3, is given by x 3 ( ) x 2 = + v = x + Zv, for arbitrary values on v v and v 2. x 3 2 After the variable change x = x + Zv, we should solve the system (Z T HZ)v = Z T (H x + c), provided that Z T HZ is positive semidefinite. [ ] 2 Z T HZ = is positive definite (2 >, 2 >, 2 2 > ), and the system 2 [ ]( ) ( ) ( ) 2 (Z T HZ)v = Z T v 3 (H x+c) becomes =, with unique solution ˆv =. 2 v 2 3 This implies that ˆx = x + Zˆv = is the unique global optimal solution to QP. [ ] ( ) 2 In the second problem, QP2, A =, and b =. 2 The general solution to Ax = b is now (after some simple calculations) x x 2 = + v = x + z v, for arbitrary value on v. After the variable change x 3 x = x + z v, we should solve the system (z T Hz) v = z T (H x + c), provided that z T Hz is positive semidefinite. But z T Hz = 6 <, so z T Hz is not positive semidefinite. Thus, there is no global optimal solution to QP2. In the third problem, QP3, f(x) should be maximized, which is equivalent to minimize f(x) = 2 xt ( H)x + ( c) T x. Further, A = [ ] and b =. The general solution to Ax = b, i.e. to x 3 =, is given by x x 2 = + x 3 ( v v 2 ) = x + Zv, for arbitrary values on v and v 2. After the variable change x = x + Zv, we should solve the system (Z T ( H)Z)v = Z T (( H) x + ( c)), provided that Z T ( H)Z is positive semidefinite. [ ] But Z T ( H)Z = is not positive semidefinite, since <. Thus, there is no global optimal solution to QP3. 7
8 Uppgift 3.(b) v Låt, i QP2, x(v) = v = v Speciellt är x() = = ˆx (= den givna punkten). v Vidare är Ax(v) = b för alla v IR, och f(x(v)) = 3v 2 + 6v, som har en unik maxpunkt i v =. Det medför att varje punkt x(v) med v är en bättre tillåten lösning än ˆx. Välj exempelvis x = x() =. Då är x en tillåten lösning till QP2 med f( x) = < 3 = f(ˆx). ) v Låt, i QP3, x(v, v 2 ) = + ( v = v v 2. Speciellt är x(, ) = = ˆx. 2 Vidare är Ax(v, v 2 ) = b för alla v och v 2 IR, och f(x(v, v 2 )) = 2 + v + v 2 v v 2. Speciellt är f(ˆx) = f(x(, )) = 3, men detta är inte maxvärdet. Låt exempelvis x = x(2, ) = (2,, ) T. Då är x en tillåten lösning till QP3 med f( x) = f(x(2, )) = 4 > 3 = f(x(, )) = f(ˆx). Uppgift 3.(c) Några välkända fakta:.) Den kvadratiska funktionen f(x) = 2 xt Hx + c T x är konvex om och endast om matrisen H är positivt semidefinit. 2.) Den symmetriska matrisen H är positivt semidefinit om och endast om y T Hy för alla vektorer y. 3.) Den kvadratiska funktionen f(x) = 2 xt Hx + c T x är konkav om och endast om den kvadratiska funktionen f(x) är konvex, vilket enligt ovan är fallet om och endast om matrisen H är positivt semidefinit, dvs om och endast om y T Hy för alla vektorer y. I vårt fall är y T Hy = 2y y 2 2y 2 y 3 2y 3 y. Inspirerade av QP2 i (a)-uppgiften kan vi välja exempelvis y = z = (,, ) T. Då blir y T Hy = z T Hz = 6 <, vilket visar att f ej är en konvex funktion. Inspirerade av QP i (a)-uppgiften kan vi välja exempelvis y = (,, ) T = den första kolonnen i matrisen Z. Då blir y T Hy = 2 >, vilket visar att f ej är en konkav funktion. Slutsatsen är att den givna funktionen f varken är konvex eller konkav på IR 3. 8
9 Uppgift 4.(a) Ändra beteckningarna och låt variabelvektorn heta x, dvs x = (x, x 2, x 3 ) T = (x, y, r) T. m Då är f(x) = 2 h i (x) 2 = 2 h(x)t h(x), där i= h i (x) = (x a i ) 2 + (x 2 b i ) 2 x 3 och h(x) = (h (x),..., h m (x)) T. Gradienten av h i ges av ( h i (x) = x a i (x a i ) 2 + (x 2 b i ) 2, x 2 b i (x a i ) 2 + (x 2 b i ) 2, ), och h(x) betecknar m 3 matrisen med ovanstående gradienter till rader. Med givna data erhålls att f(x) = 2 (h (x) 2 + h 2 (x) 2 + h 3 (x) 2 + h 4 (x) 2 ), där h (x) = (x 2) 2 + x 2 2 x 3, h 2 (x) = x 2 + (x 2 ) 2 x 3, h 3 (x) = (x + ) 2 + x 2 2 x 3, h 4 (x) = x 2 + (x 2 + 8) 2 x 3. Startpunkten ska vara x () = (,, ) T. Då blir 2 h(x () ) =, f(x() ) = 4 och h(x () ) = 2 I Gauss-Newtons metod ska vi lösa systemet h(x () ) T h(x () )d = h(x () ) T h(x () ), 2 d 2 som här blir 2 d 2 = 2, med lösningen d () =. 4 d 3 Vi testar först t =, så att x (2) = x () + t d () = x () + d () = (,, ) T. Då blir h(x (2) ) = ( , , , ) T = ( 22, 82, 22, 82 ) T (,,, ) T, så att f(x (2) ) = 2 h(x(2) ) T h(x (2) ) 2 ( ) = 2 < 4 = f(x() ). Steglängden t = accepteras alltså, och x (2) = (,, ) T blir nästa iterationspunkt.. 9
10 Uppgift 4.(b) Låt (x, x 2 ) = koordinaterna för den gemensamma mittpunkten till C och C 2, z = kvadraten på radien för den mindre cirkeln C, och z 2 = kvadraten på radien för den större cirkeln C 2. Då kan problemet formuleras enligt följande i variablerna x, x 2, z och z 2 : minimera πz 2 πz då (x a i ) 2 + (x 2 b i ) 2 z, i =,..., m, (x a i ) 2 + (x 2 b i ) 2 z 2, i =,..., m.
11 Uppgift 5. Lagrangefunktionen kan skrivas L(x, y) = f(x) + y g (x) + y 2 g 2 (x) = = 2 (x2 + x2 2 + x2 3 + x2 4 ) + y (4 x x 2 x 3 x 4 ) + y 2 (k x 2x 2 3x 3 4x 4 ). KKT-villkoren kan delas upp i fyra grupper enligt följande. (KKT ) x L(x, y) = T : x T y (,,, ) y 2 (, 2, 3, 4) = (,,, ). (KKT 2) Tillåten punkt, dvs g i (x) för i =, 2 : (KKT 3) 4 (,,, ) T x och k (, 2, 3, 4) T x. Lagrangemultiplikatorerna icke-negativa: y och y 2. (KKT 4) Komplementaritetsvillkor, dvs y i g i (x) = för i =, 2 : y (4 (,,, ) T x) = och y 2 (k (, 2, 3, 4) T x) =. (KKT-3) medför att vi kan dela upp problemlösningen i fyra olika fall. Fall : y = och y 2 =. Här medför (KKT-) att x = (,,, ) T, vilket strider mot (KKT-2). Det finns alltså ingen KKT-punkt under Fall. Fall 2: y > och y 2 =. Här medför (KKT-) att x = y (,,, ) T, medan (KKT-4) medför att (,,, ) T x = 4. Tillsammans ger detta att y = och x = (,,, ) T, som uppfyller (KKT-2) om och endast om k. Om k = eller k = 5 så finns alltså ingen KKT-punkt under Fall 2. Men om k = 9 så uppfyller x = (,,, ) T, tillsammans med y = (, ) T, samtliga KKT-villkor. Fall 3: y = och y 2 >. Här medför (KKT-) att x = y 2 (, 2, 3, 4) T, medan (KKT-4) medför att (, 2, 3, 4) T x = k. Tillsammans ger detta att y 2 = k/3 och x = (k/3)(, 2, 3, 4) T, som uppfyller (KKT-2) om och endast om k 2. Om k = 9 eller k = så finns alltså ingen KKT-punkt under Fall 3. Men om k = 5 så uppfyller x = (.5,.,.5, 2.) T, tillsammans med y = (,.5) T, samtliga KKT-villkor. Fall 4: y > och y 2 >. Här medför (KKT-) att x = y (,,, ) T + y 2 (, 2, 3, 4) T, medan (KKT-4) medför att (,,, ) T x = 4 och (, 2, 3, 4) T x = k. Tillsammans ger detta att y = 6 k/2 och y 2 = 2 + k/5, som uppfyller y > och y 2 > om och endast om < k < 2. Om k = 9 eller k = 5 så finns alltså ingen KKT-punkt under Fall 3. Men om k = så uppfyller x = (.7,.9,.,.3) T, tillsammans med y = (.5,.2) T, samtliga KKT-villkor.
12 Målfunktionen är en kvadratisk funktion med Hessianen H = I = enhetsmatrisen som är positivt definit. Därmed är målfunktionen (strikt) konvex. Bivillkorsfunktionerna är linjära, och därmed konvexa. Alltså har vi ett konvext optimeringsproblem, och då utgör varje KKT-punkt en globalt optimal lösning till problemet. Således gäller följande: (a): Om k = 9 så är x = (,,, ) T en globalt optimal lösning. (b): Om k = så är x = (.7,.9,.,.3) T en globalt optimal lösning. (c): Om k = 5 så är x = (.5,.,.5, 2.) T en globalt optimal lösning. 2
Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, 3 Juni, 6 Uppgift (a) We note that each column in the matrix A contains one + and one, while all the other elements in the column are zeros We also note that
Läs merLösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, juni 7 Lösningarna är på svenska, utom lösningen av (a som är på engelska (a The considered network is illustrated in FIGURE below, where the supply at the
Läs merLösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08
Lösningar till SF8 Optimeringslära för E, 6/ 8 Uppgift (a) Problemet är ett transportproblem, ett specialfall av minkostnadsflödesproblem Nätverket består av 7 st noder A,B,C,P,Q,R,S, alternativt kallade,,,7,
Läs merLösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07
Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen
Läs merLösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012
Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +
Läs merSolutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014
Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 14 1.(a) The considered problem may be modelled as a minimum-cost network flow problem with six nodes F1, F, K1, K, K3, K4, here called 1,,3,4,5,6, and
Läs merLösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x
Läs mer1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs mer1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor
Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax
Läs mer1 Ickelinjär optimering under bivillkor
Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller
Läs merLösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.
Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merOlinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i
Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:
Läs mer1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk
Krister Svanberg, april 2012 1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Ett nätverk består av en given mängd noder numrerade från 1 till m (där m är antalet noder) samt en given mängd riktade bågar mellan vissa
Läs merTentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära
Tentamen TMA946/MAN80 tillämpad optimeringslära 01081 1. Uppgift: min z 3x 1 + x Då x 1 + x 6 x 1 + x x 1, x 0 Skriv på standardform m.h.aṡlackvariabler min z 3x 1 + x Då x 1 + x s 1 6 x 1 x + s x 1, x,
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 3 Problemklassificering Global/lokal optimalitet Konvexitet Generella sökmetoder Agenda Problemklassificering (kap 1.4, 2.1 2.3) Lokalt/globalt optimum
Läs merLP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter
LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder
Läs merFöreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta
Läs mer1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Läs merFöreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.
Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten
Läs merPre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.
Pre-Test : M3M - Linear Algebra. Test your knowledge on Linear Algebra for the course M3M by solving the problems in this test. It should not take you longer than 9 minutes. M3M Problem : Betrakta fyra
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p
Läs merDe optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera
Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T
Läs mer12.6 Heat equation, Wave equation
12.6 Heat equation, 12.2-3 Wave equation Eugenia Malinnikova, NTNU September 26, 2017 1 Heat equation in higher dimensions The heat equation in higher dimensions (two or three) is u t ( = c 2 2 ) u x 2
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs merHemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T Examinator: Per Enqvist, tel: 790 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Amol Sasane, sasane@math.kth.se, Mikael Fallgren, werty@kth.se. Lämnas in till någon
Läs merExtrempunkt. Polyeder
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den. Dvs. finna en optimal lösning, x, till modellen. Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan bättre. Upprepa, tills
Läs merHemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017 Examinator: Krister Svanberg, tel: 790 7137, krille@math.kth.se. Labassistent: David Ek, daviek@kth.se, Lämnas i Matematiks svarta postlåda (SF) för inlämningsuppgifter,
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och
Läs merLinjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)
Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade
Läs merFöreläsning 6: Nätverksoptimering
Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem
Läs merIsometries of the plane
Isometries of the plane Mikael Forsberg August 23, 2011 Abstract Här följer del av ett dokument om Tesselering som jag skrivit för en annan kurs. Denna del handlar om isometrier och innehåller bevis för
Läs merLP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs mer1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs mer1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)
UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor.
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 2 Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor. A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 2 5B1817 2006/2007 Optimalitetsvillkor för ickelinjära programmeringsproblem
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 2010-01-12 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
Läs merVårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merand u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, EITA50, LP4, 209 Inlämningsuppgift av 2, Assignment out of 2 Inlämningstid: Lämnas in senast kl
Läs merTAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Läs merLaboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering
Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen
Läs merKurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version
Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 5 June 217, 14:-18: Examiner: Zhenxia Liu (Tel: 7 89528). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use a calculator, the formula and
Läs mer8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA150 Vektoralgebra TEN1 Datum: 9januari2015 Skrivtid:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merTAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST:
2015 TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: OSKQV953@STUDENT.LIU.SE Innehållsförteckning Allmänt... 2 Om optimering... 3 Matematiska formuleringar av optimeringsproblem... 3 Linjärprogrammering
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merTentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära
Läs merMVE500, TKSAM Avgör om följande serier är divergenta eller konvergenta. Om konvergent, beräkna summan. (6p) ( 1) n x 2n+1 (a)
Chalmers tekniska högskola Datum: 7--9 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Milo Viviani MVE5, TKSAM- Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs mer6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = 0 2 0 0 0 0 1 1, och ange motsvarande
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA5 Vektoralgebra TEN2 Datum: juni 25 Skrivtid: 3
Läs merSF1545 Laboration 1 (2015): Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: SF1545 Laboration 1 (215: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa
Läs merTentamen i Matematik 3: M0031M.
Tentamen i Matematik 3: M0031M. Datum: 2009-10-26 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
Läs merTentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering
KTH Matematik Tentamen del 2 SF1511, 2018-03-16, kl 8.00-11.00, Numeriska metoder och grundläggande programmering Del 2, Max 50p + bonuspoäng (max 4p). Rättas ast om del 1 är godkänd. Betygsgränser inkl
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK09 Optimeringslära Clas Rydergren ITN Föreläsning Simplemetoden på tablåform och algebraisk form Fas I (startlösning) Känslighetsanalys Tolkning av utdata Agenda Halvtidsutvärdering Simplemetoden (kap..8)
Läs merOptimeringslära för T (SF1861)
Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation
Läs merModule 1: Functions, Limits, Continuity
Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 1: Functions, Limits, Continuity This module includes Chapter P and 1 from Calculus by Adams and Essex and is taught in three lectures,
Läs merKurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00. English Version
Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00 Examinator/Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765) a. You are permitted to bring: a calculator; formel -och tabellsamling i matematisk statistik
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 2(8) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F2. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs mer1 Find the area of the triangle with vertices A = (0,0,1), B = (1,1,0) and C = (2,2,2). (6p)
Divsion of Mathematics Examination Vector algebra and applied mathematics MAA150 - TEN2 Mälardalen University Date: 2015-11-06 Examiner: Mats Bodin Exam aids: not any All solutions should be presented
Läs merAlgoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 6. NP-problem
Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 6 NP-problem Frekvensallokering Inom mobiltelefonin behöver man lösa frekvensallokeringsproblemet som lyder på följande sätt. Det finns ett antal sändare utplacerade.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4
Läs mer1. Varje bevissteg ska motiveras formellt (informella bevis ger 0 poang)
Tentamen i Programmeringsteori Institutionen for datorteknik Uppsala universitet 1996{08{14 Larare: Parosh A. A., M. Kindahl Plats: Polacksbacken Skrivtid: 9 15 Hjalpmedel: Inga Anvisningar: 1. Varje bevissteg
Läs merOptimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper
CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)
Läs merThis exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum
Examiner Linus Carlsson 016-01-07 3 hours In English Exam (TEN) Probability theory and statistical inference MAA137 Aids: Collection of Formulas, Concepts and Tables Pocket calculator This exam consists
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 9 Icke-linjär optimering Konveitet Metoder ör problem utan bivillkor Optimalitetsvillkor ör icke-linjära problem Icke-linjär programmering Non-linear
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta s Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2014-01-15 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: (Detta problem
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merLaboration 1: Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem
Läs merNP-fullständighetsbevis
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet, hösten 2016 Uppgifter till övning 9 NP-fullständighetsbevis På denna övning är det också inlämning av skriftliga lösningar av teoriuppgifterna till labb 4 och
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merFöreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång.
Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF och Nätverkssimplex Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter:
Läs merHemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016 Examinator: Krister Svanberg, tel: 790 7137, krille@math.kth.se. Labassistent: David Ek, daviek@kth.se, Lämnas in till någon av oss senast tisdag 19 april
Läs merStyrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1
Styrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1 Digitala kursmoment D1 Boolesk algebra D2 Grundläggande logiska funktioner D3 Binära tal, talsystem och koder Styrteknik :Binära tal, talsystem och koder
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underänd, där 5 är högsta betyg. För godänt betyg rävs minst 4 poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter an ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merTentamen MMG610 Diskret Matematik, GU
Tentamen MMG610 Diskret Matematik, GU 2017-01-04 kl. 08.30 12.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU Telefonvakt: Peter Hegarty, telefon: 0766 377 873 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel,
Läs mer1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,
Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +
Läs meroch v = 1 och vektorn Svar 11x 7y + z 2 = 0 Enligt uppgiftens information kan vi ta vektorerna 3x + 2y + 2z = 1 y z = 1 6x + 6y + 2z = 4
Kursen bedöms med betyg, 4, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merOptimering med bivillkor
Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =
Läs merModule 6: Integrals and applications
Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important
Läs mer