Optimeringslära för T (SF1861)

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Optimeringslära för T (SF1861)"

Transkript

1 Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering

2 Kursinformation Kurs i grundläggande optimeringslära samt linjär algebra. Ämnet tillämpas inom till exempel Telekommunikation, t.ex. basstationsplacering Signalbehandling, t.ex. taligenkänning Reglerteknik, t.ex. banplanering Ekonomi, t.ex. portföljplanering Logistik, t.ex. product chain management Medicin, t.ex. strålningsterapiplanering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 2 Linjärprogrammering

3 Lärare Per Enqvist ( Johan Markdahl ( Johan Thunberg ( Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 3 Linjärprogrammering

4 Kursmaterial Följande material säljs på Matematiks studentexpedition, Lindstedtsv 25. Optimization, av Amol Sasane och Krister Svanberg. Exempelsamling i Optimeringslära för T. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 4 Linjärprogrammering

5 Kommentar till OH bilderna Till de flesta föreläsningarna kommer det att finnas OH-bilder (tillgängliga efter föreläsningen på hemsidan). Dessa sammanfattar föreläsningen samt ger vissa komplement till kurslitteraturen. Det finns också läsanvisningar längst bak i OH-häftet. OH-bilderna är inte ekvivalenta med föreläsningarna. Jag passar på att tacka Ulf Jönsson för arbetet han lagt ner på OH-bilderna. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 5 Linjärprogrammering

6 Kursens hemsida På kursens hemsida finns 1. preliminärt schema 2. läsanvisningar 3. hemtalen och information om inlämningsdatum kommer att anslås på kursens hemsida. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 6 Linjärprogrammering

7 Hemuppgifter (HEM1 1.5 hp) Tre frivilliga hemuppgifter i Matlab delas ut under kursens gång. Hemtal 1: Linjär algebra. Hemtal 2: Strukturoptimering. Hemtal 3: Ljuddämparoptimering - i samarbete med Ljud och Vibrationer. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 7 Linjärprogrammering

8 Regler för hemtalspoäng Belöning för 0 X 12 hemtalspoäng X < 5 ger ingen belöning. 5 X 8 medför att deluppgift 1.(a) ej behöver lösas på tentamen. De 5 tentamenspoängen för 1.(a) erhålls ändå. Denna bonus gäller under ett år. X 9 medför att uppgift 1 ej behöver lösas på tentamen. De = 9 tentamenspoängen för uppgift 1 erhålls ändå. Denna bonus gäller för all framtid. Den student som erhåller minst 9 hemtalspoäng blir inrapporterad godkänd på momentet HEM1. Den student som INTE erhåller minst 9 hemtalspoäng blir ändå inrapporterad godkänd på momentet HEM1 den dag han/hon blir godkänd på tentamen och får momentet TEN1 inrapporterat. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 8 Linjärprogrammering

9 Tentamen Maximalt resultat på tentamen är 50 poäng. Preliminära betygsgränser: Betyg A B C D E FX Poäng Vid tentamen delas en kortfattad formelsamling ut. Inga andra hjälpmedel är tillåtna. Ingen räknare på tentan! Ordinarie tentamen är Tisdagen den 24:e maj. Anmälan till tentamen är obligatorisk och kan göras via Mina Sidor mellan den 18:e april och 8:e maj. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 9 Linjärprogrammering

10 Kursmoment 1. Linjär optimering 2. Linjär algebra 3. Kvadratisk optimering 4. Olinjär optimering utan bivillkor 5. Olinjär optimering med bivillkor Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 10 Linjärprogrammering

11 Tre exempel på optimeringsproblem 1. Nätverksoptimering Linjärprogrammeringsproblem 2. Linjär regression (modellanpassing) Kvadratiskt optimeringsproblem 3. Trafikreglering i kommunikationssystem Olinjärt optimeringsproblem med bivillkor Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 11 Linjärprogrammering

12 Nätverksoptimering 40 1 x 13 /c x 35 /c 35 x 12 /c 12 x 23 /c 23 x 34 /c x 24 /c x 45 /c 45 Data skall skickas från datorer i nod 1 och 2 till datorer i nod 3, 4, och 5. Kostnaden för trafik i länken mellan nod i och j är c ij Kr/Kbyte. Datatrafiken från nod i till nod j betecknas x ij och mäts i Kbyte. Vi vill minimera kostnaden för datatrafiken. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 12 Linjärprogrammering

13 Nätverksoptimering Resulterande optimeringsproblem minimera c ij x ij alla bågar då x 12 + x 13 = 40 x 12 + x 23 + x 24 = 35 x 13 x 23 + x 34 + x 35 = 30 x 24 x 34 + x 45 = 25 x 35 x 45 = 20 x ij 0, alla bågflöde Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 13 Linjärprogrammering

14 Linjär regression (modellanpassing) e(t) s(t) y(t) System Problem: Anpassa en linjär regressionsmodell till mätdata. Regressionsmodellen : y(t) = n j=1 α j ψ j (t) ψ j (t), j = 1,...,n är regressorerna (kända funktioner) α j = j = 1,...,n är modellparametrarna (skall bestämmas) e(t) mätbrus (ej känd) s(t) observationer - uppmätta data. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 14 Linjärprogrammering

15 Idé för modellanpassning: Minimera kvadratsumman av prediktionsfelen minimera 1 2 m n ( i=1 j=1 α j ψ j (t) s(t i )) 2 Detta är ett minsta kvadratproblem. Speciell typ av kvadratiskt optimeringsproblem. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 15 Linjärprogrammering

16 Trafikreglering i kommunikationssystem Vi betraktar ett kommunikationsnätverk bestående av två länkar. Tre källor skickar data över nätverket till tre olika destinationer. Källa 1 Destination 1 Länk 1 Länk 2 Källa 2 Destination2 Källa 3 Destination 3 Källa 1 använder båda länkarna. Källa 2 använder länk 1. Källa 3 använder länk 2. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 16 Linjärprogrammering

17 Länk 1 har kapaciteten 2 (normaliserad storhet [datamängd/sek]) Länk 2 har kapaciteten 1 De tre källorna sänder med datahastigheterna x r, r = 1, 2, 3. De tre källorna har varsin nyttofunktion U r (x), r = 1, 2, 3. Ett vanligt val av nyttofunktion är U r (x r ) = w r log(x r ). För effektivt och rättvist uttnyttjande den tillgängliga kapaciteten väljer man datahastigheterna enligt följande optimeringskriterium maximera U 1 (x 1 ) + U 2 (x 2 ) + U 3 (x 3 ) då x 1 + x 2 2 x 1 + x 3 1 x 1 0, x 2 0, x 3 0 Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 17 Linjärprogrammering

18 Introduktion till linjärprogrammering (LP) 1. Formulering av exempelproblem 2. Tillåten lösning och optimalitet 3. Grafisk illustration av tillåtenhet och optimalitet 4. Introduktion av simplexmetoden 5. Några höjdpunkter inom LP teorin Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 18 Linjärprogrammering

19 Formulering av exempelproblem Ett företag producerar två produkter P 1 och P 2 Maskinerna M 1 och M 2 används vid produktion av såväl P 1 som P 2 Produktionskapaciteten för maskinerna [dygn/enhet]: M 1 a 11 = 1 40 a 12 = 1 60 M 2 P1 P2 a 21 = 1 50 a 22 = 1 50 Priset för produkterna [KKr/enhet]: produkt pris P 1 c 1 = 200 P 2 c 2 = 400 Mål: Bestäm produktionsvolymen så att företagets profit maximeras. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 19 Linjärprogrammering

20 Låt x k antal enheter av produkt P k som produceras per dygn, k = 1, 2. Den maximala profiten erhålls som lösningen till följande optimeringsproblem: maximera 200x x 2 då 1 40 x x x x x k 0, k = 1, 2 Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 20 Linjärprogrammering

21 Kompakt formulering: max c T x då Ax b, x 0 (1) där A = , b = 1, c = Optimeringsproblemet (1) är ett linjärprogrammeringsproblem: Linjär kostnadsfunktion c T x Linjära bivillkor Ax b och x 0 (komponentvisa olikheter) Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 21 Linjärprogrammering

22 Tillåten lösning och optimalitet Det tillåtna området till (1) ges av F = {x : Ax b; x 0} Varje punkt x F kallas tillåten Punkten ˆx F kallas optimal om c T ˆx c T x, för alla x F. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 22 Linjärprogrammering

23 Grafisk illustration av tillåtenhet och optimalitet En olikhet av typen a T k x b k, k = 1, 2 svarar mot ett halvplan a a T 1 x b x 2 = 3 2 x Här är a T 1 = [ 1 40 ] 1, b 60 1 = 1 Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 23 Linjärprogrammering

24 Tillåtna området till vårt exempelproblem blir en polyheder med fyra hörn 60 x x 1 Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 24 Linjärprogrammering

25 Målfunktionen illustreras bäst med isokostlinjer c T x = z. I vårt exempel svarar detta mot linjen x 2 = c 1 c 2 x 1 + z c 2 = 0.5x 1 + z x c x 2 = 0.5x x 1 Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 25 Linjärprogrammering

26 x 2 c ˆx x 2 = 0.5x x 1 Vi ser att optimum antages i hörnet ˆx = (0, 50) Optimalvärdet blir ẑ = c T ˆx = Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 26 Linjärprogrammering

27 Man kan visa följande sats Sats 1. Om det finns en optimal lösning till maximera c T x då Ax b, x 0 så finns det en optimal hörnlösning. Satsen visar att det räcker att leta bland hörnpunkterna när man löser optimeringsproblemet. Vi kommer senare att ge en precis algebraisk mening åt begreppet hörnpunkt. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 27 Linjärprogrammering

28 Introduktion till simplexmetoden Bestäm initial hörnpunkt Är hörnpunkten optimal? Ja KLART Nej Finn bättre intilliggande hörnpunkt I algoritmen söker man alltid utefter en kant som utgår från det hörn som man befinner sig i. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 28 Linjärprogrammering

29 60 x 2 60 x x x 1 Alternativ 1 Alternativ 2 Hur väljer man kortaste vägen? Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 29 Linjärprogrammering

30 Det finns ingen effektiv algoritm som garanterat hittar kortaste vägen till optimum. Simplexalgoritmen finner i allmänhet en kort väg till optimum. Väljer vad som (lokalt) verkar vara bästa vägen. Hur vet man att man hittat optimum? Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 30 Linjärprogrammering

31 Simplexalgoritmens val av riktning 60 x d 1 θ 2 c θ 1 d 2 x Det är lokalt bättre att gå längs kanten med enhetsrikting d 1 än att gå längs kanten med enhetsrikting d 2. Detta följer eftersom c T d 1 = c d 1 }{{} =1 cos(θ 1 ) > c d 2 cos(θ }{{} 2 ) = c T d 2 =1 Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 31 Linjärprogrammering

32 x Stoppkriterium c d 1 d x 1 Vi har nått optimala hörnpunkten då c T d 1 0 c T d 2 0 Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 32 Linjärprogrammering

33 Simplexalgoritmen: Höjdpunkter de kommande veckorna Vårt geometriska resonemang ger intuition men måste ersättas med linjär algebra för numerisk implementation. Hörnpunkter och kantriktingar erhålls som lösningar till linjära ekvationssystem. Dualitet: Till varje linjärt optimeringsproblem finns ett dualt linjärt optimeringsproblem. Dualen ger ny insikt och används för att härleda optimalitetsvillkor. Tillämpningar: Diet problem, transportproblem, lagerstyrning, nätverksoptimering. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 33 Linjärprogrammering

34 Kommentar Exemplet är taget från An Introduction to Linear Programming and the Simplex Algorithm En www kurs som finns på adressen spyros/lp/lp.html Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 34 Linjärprogrammering

35 LP-problem på standardform minimera då n c j x j j=1 n a ij x j = b i, i = 1,...,m j=1 x j 0, j = 1,...,n = minimera c T x då Ax = b x 0 där A = a a 1n., b = b 1., c = c 1., x = x 1. a m1... a mn b m c n x n Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 35 Linjärprogrammering

36 Det antages att A har linjärt oberoende rader. Annars kan man reducera problemet genom att ta bort rader. Vi antar att n > m, vilket betyder att linjära bivillkoret är underbestämt. Om n m finns i allmänhet antingen en unik lösning ingen lösning varvid optimeringsproblemet är ointressant Alla linjära optimeringsproblem kan överföras till standardformen. Vi kommer härleda en simplexalgoritm för LP på standardform. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 36 Linjärprogrammering

37 Knep för att transformera godtyckligt LP-problem till standardformen maxc T x = min( c) T x Inför slack- respektive surplusvariabler vid olikhetsbivillkor n n a ij x j b i ersätts av a ij x j + x n+1 = b i, j=1 j=1 där x n+1 0 är så kallade slack-variabler. n n a ij x j b i ersätts av a ij x j x n+1 = b i, j=1 j=1 där x n+1 0 är så kallade surplus-variabler. En variablel x k som inte är teckenbegränsad kan ersättas med differensen x k = x k x k, där x k,x k 0. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 37 Linjärprogrammering

38 Några vanliga former på LP-problem Form Primal Dual Standardformen minimera c T x då Ax = b maximera b T y då A T y c x 0 Kanoniska formen minimera c T x då Ax b x 0 maximera b T y då A T y c y 0 Pedagogiska formen minimera c T x då Ax b maximera b T y då A T y = c y 0 Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 38 Linjärprogrammering

39 Läsanvisningar Kapitel 1 (1.4 kursivt) Kapitel 2 Kapitel 3 Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 39 Linjärprogrammering

40 60 x x1 Starting point Givet startpunkten, om x 2 maximeras, var är då det globala optimat och vilken väg skulle Simplex Algoritmen välja? Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 40 Linjärprogrammering

41 Standard form Givet optimeringsproblemet maximize x 1 s.t. x 1 x 2, x 2 + 3x 3 = 2, x 1 0,x 3 0. Skriv det på standardform, min c T x, sådant att Ax = b och x 0. Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 41 Linjärprogrammering

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

TNSL05, Optimering, Modellering och Planering 6 hp, HT2-2011

TNSL05, Optimering, Modellering och Planering 6 hp, HT2-2011 ITN/KTS Stefan Engevall/Joakim Ekström Kursinformation TNSL05, Optimering, Modellering och Planering, HT2011 TNSL05, Optimering, Modellering och Planering 6 hp, HT2-2011 1 Kursmål & innehåll 1.1 Mål med

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008.

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. Anders Karlsson, Inst för Matematik, KTH January 22, 2008 Kursinnehåll: Grundläggande kurs i di erential- och integralkalkyl i era variabler.

Läs mer

TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS

TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 22 maj 2012 Tid: 8 12, TP56 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p.

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

Modellering och optimering av schemaläggning vid en ridskola

Modellering och optimering av schemaläggning vid en ridskola Modellering och optimering av schemaläggning vid en ridskola En fallstudie i heltalsprogrammering Kandidatarbete inom civilingenjörsutbildningen vid Chalmers Rasmus Einarsson Patrik Johansson Oskar Redlund

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Kursen avses ge dig kunskap om numeriska metoder, hur man kan använda dessa genom elementär programmering i MATLAB samt

Läs mer

IF1611 Ingenjörsmetodik (Engineering Fundamentals)

IF1611 Ingenjörsmetodik (Engineering Fundamentals) IF1611 Ingenjörsmetodik (Engineering Fundamentals) 7.5 hp HT 2007 KursPM Kursens hemsida http://www.kth.se/student/program-kurser/kurshemsidor/ict/map/if1611/ HT07-1 Mål, Krav, Innehåll och Schemaunderlag

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

TNIU66: Statistik och sannolikhetslära

TNIU66: Statistik och sannolikhetslära Institutionen för teknik och naturvetenskap TNIU66: Statistik och sannolikhetslära Kursinformation 2015 Kursens mål och förväntade läranderesultat Kursens mål är att ge en introduktion till matematisk

Läs mer

Kursledaren: Serguei Shimorin. Övningsledarna: Daniel Zavala Svensson, Shiva Samieinia, Nils Dalarsson.

Kursledaren: Serguei Shimorin. Övningsledarna: Daniel Zavala Svensson, Shiva Samieinia, Nils Dalarsson. Kursanalys av SF1624 för CINTE, vårtermin 2015 1 Kvantitativa data Moment TEN1 Poäng på moment 7.5hp Antal registrerade 83 Antal godkända på moment 33 Prestationsgrad 40% Antal med slutbetyg 33 Examinationsgrad

Läs mer

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng 1(5) KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng Mathematics för Teachers, 61-90 credits, 30 credits Kurskod: LMGN12 Fastställd av: Utbildningsledare 2012-06-15 Gäller fr.o.m.: HT

Läs mer

Optimering på dator. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet. Handledarens kommentarer.

Optimering på dator. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet. Handledarens kommentarer. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet Optimering på dator Namn Handledarens kommentarer Grupp Inskrivningsår Utförd den Godkänd den Signum Leif Gustafsson 1985 Thomas Persson

Läs mer

Kursinformation Grundkurs i programmering med Python

Kursinformation Grundkurs i programmering med Python Hösten 2009 Två kurser i en 5DV105 - Programmeringsteknik med Python och MATLAB Programmeringsteori Föreläsningar om Python Färdighetsövning Laborationer i Python 5DV106 - Programmering i Python Praktisk

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

MA/PROGR. www.kunda.nu/dennis VUXENUTBILDNINGEN. 2011-01-17 ÄLVKARLEBY KOMMUN Dennis Jonsson

MA/PROGR. www.kunda.nu/dennis VUXENUTBILDNINGEN. 2011-01-17 ÄLVKARLEBY KOMMUN Dennis Jonsson MA/PROGR. VT-2011 VUXENUTBILDNINGEN 2011-01-17 ÄLVKARLEBY KOMMUN Dennis Jonsson www.kunda.nu/dennis S i d a 2 INNEHÅLL INNEHÅLL... 2 KURSLITTERATUR... 3 BOKHANDEL PÅ INTERNET... 4 DENNIS... 5 SCHEMA VT-2011...

Läs mer

Kortsiktig produktionsplanering med hjälp av olinjär programmering

Kortsiktig produktionsplanering med hjälp av olinjär programmering Kortsiktig produktionsplanering med hjälp av olinjär programmering S. Velut, P-O. Larsson, J. Windahl Modelon AB K. Boman, L. Saarinen Vattenfall AB 1 Kortsiktig produktionsplanering Introduktion Optimeringsmetod

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS

TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 18 december 2006 Tid: 14 18 Hjälpmedel: Ett A4-blad med egna anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: ; Vardera uppgift kan ge p. Poängkrav:

Läs mer

Motivation & Emotion Anvisningar och Schema

Motivation & Emotion Anvisningar och Schema Stockholms universitet Psykologiska institutionen Motivation & Emotion (7.5 hp) Psykologi II HT 2010 Delkursansvarig: Mats Najström Motivation & Emotion Anvisningar och Schema 8 november 11 januari 2011

Läs mer

Kursdesign som aktiverar studenter under HELA kursen

Kursdesign som aktiverar studenter under HELA kursen Kursdesign som aktiverar studenter under HELA kursen Olle Hage Lektor ETS - Nationalekonomi Luleå tekniska universitet 971 87 Luleå Sverige 0920-49 23 36 Olle.Hage@ltu.se Bakgrund (1) A-kursen i nationalekonomi

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

TTIT33 Scenario för Tema 3 i Termin 3

TTIT33 Scenario för Tema 3 i Termin 3 LINKÖPINGS UNIVERSITET Institutionen för datavetenskap / Matematiska institutionen TTIT33 Scenario för Tema 3 i Termin 3 Du befinner dig vid företaget Posten Data AB, där man löpande uppmärksammar behov

Läs mer

Lokala studieregler vid Göteborgs universitet

Lokala studieregler vid Göteborgs universitet Styrdokument dnr G2011/323 1 / 5 Lokala studieregler vid Göteborgs universitet Publicerad Beslutsfattare www.styrdokument.adm.gu.se Rektor Beslutsdatum 130408 Giltighetstid Revideringsdatum Från och med

Läs mer

EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK

EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY EL1000/1120/1110 Reglerteknik AK Henrik Sandberg (hsan@kth.se) Reglerteknik EES Osquldas väg 10, plan 6 Dagens program Kursinformation Reglerteknik konsten att styra Inledande

Läs mer

Resultat av kursvärdering

Resultat av kursvärdering DAT 501: Diskret matematik vt 2003 Resultat av kursvärdering Antal svar: 19 av 37. Kursvärderingsblanketter delades ut på tentan och kunde lämnas in separat då eller efteråt i kursskåpet. Tycker du att

Läs mer

Välkommen till Elektromagnetisk fältteori F3 (ETE055) & Π3 (ETEF01)

Välkommen till Elektromagnetisk fältteori F3 (ETE055) & Π3 (ETEF01) Välkommen till Elektromagnetisk fältteori F3 (ETE055) & Π3 (ETEF01) Institutionen för elektro- och informationsteknik Vi som håller i kursen Kursansvarig, föreläsare, assisterande övningsledare: Gerhard

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

Objektorienterad programmering, analys och design med Java, 5p 2D4135, vt 2004. Kursprogram

Objektorienterad programmering, analys och design med Java, 5p 2D4135, vt 2004. Kursprogram Objektorienterad programmering, analys och design med Java, 5p 2D4135, vt 2004 Kursprogram Kursens mål är att ge dig kunskaper om begreppen och principerna inom objektorienterad programmering och design

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Miljö och hållbar utveckling i Chalmers utbildningar. Ulrika Lundqvist Universitetslektor, Pedagogisk utvecklingsledare Chalmers tekniska högskola

Miljö och hållbar utveckling i Chalmers utbildningar. Ulrika Lundqvist Universitetslektor, Pedagogisk utvecklingsledare Chalmers tekniska högskola Miljö och hållbar utveckling i Chalmers utbildningar Ulrika Lundqvist Universitetslektor, Pedagogisk utvecklingsledare Chalmers tekniska högskola Nationella examensordningen för civilingenjörsexamen Färdighet

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012)

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) 2013-10-01 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng MSTA33 Ingrid Svensson TENTAMEN 2004-01-13 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistik för Teknologer, 5 poäng Tillåtna

Läs mer

Systemanalys, Modellbyggnad och simulering, 3p Molekylär Bioteknik

Systemanalys, Modellbyggnad och simulering, 3p Molekylär Bioteknik Systemanalys, Modellbyggnad och simulering, 3p Molekylär Bioteknik vt 99 Kursansvarig lärare: Håkan Lanshammar avd f systemteknik tel: 471 30 33 e-mail: hl@syscon.uu.se www.syscon.uu.se GRUNDUTBILDNING

Läs mer

TDDC30 Programmering i Java, Datastrukturer och Algoritmer Lektion 5. Laboration 4 Lådplanering Exempel på layout, ett GUI-baserat program Frågor

TDDC30 Programmering i Java, Datastrukturer och Algoritmer Lektion 5. Laboration 4 Lådplanering Exempel på layout, ett GUI-baserat program Frågor TDDC30 Programmering i Java, Datastrukturer och Algoritmer Lektion 5 Laboration 4 Lådplanering Exempel på layout, ett GUI-baserat program Frågor 1 Laboration 5 - Introduktion Syfte: Öva på självständig

Läs mer

Kompletterande instruktioner, tips samt principer för bedömning av Laboration 2 Magnetiska fält (Elektromagnetism 12 hp)

Kompletterande instruktioner, tips samt principer för bedömning av Laboration 2 Magnetiska fält (Elektromagnetism 12 hp) Kompletterande instruktioner, tips samt principer för bedömning av Laboration 2 Magnetiska fält (Elektromagnetism 12 hp) I. Allmänt. 1. Du studerar noggrant labinstruktionen för att förstå den, och löser

Läs mer

TNSL011 Kvantitativ Logistik

TNSL011 Kvantitativ Logistik TENTAMEN TNSL011 Kvantitativ Logistik Datum: 24 augusti 2010 Tid: 08-12 Hjälpmedel: Hjälpmedel av alla slag, förutom kommunikationsutrustning (telefoner, datorer, och andra saker som kan ta emot signaler

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015 2015-09-29 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015 Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,

Läs mer

Nedan följer en guide till hur ansökningsblanketten ska fyllas i. Vänligen följ detta för att underlätta handläggningen.

Nedan följer en guide till hur ansökningsblanketten ska fyllas i. Vänligen följ detta för att underlätta handläggningen. Nedan följer en guide till hur ansökningsblanketten ska fyllas i. Vänligen följ detta för att underlätta handläggningen. Spara din ifyllda ansökan som Förnamn_Efternamn.docx Spara ej som pdf. Som en liten

Läs mer

Databashantering och beslutsstöd 7,5 hp. Kursbeskrivning

Databashantering och beslutsstöd 7,5 hp. Kursbeskrivning Databashantering och beslutsstöd 7,5 hp Kursbeskrivning Högskolan i Halmstad LP3 2012 Välkommen! Kursbeskrivningen hjälper dig att få en uppfattning av vad du kommer att göra i kursen. Det är viktigt att

Läs mer

E D C B. F alt. F(x) 80% 80p. 70% 70p

E D C B. F alt. F(x) 80% 80p. 70% 70p Institutionen för Samhällsvetenskap Nationalekonomi Campus i Sundsvall Dick Svedin den 19 augusti 2011 Mikroekonomisk teori A, 7,5hp: Skriftlig omtentamen 2011 08-19 Tentamen består av sammanlagt 8 uppgifter

Läs mer

Tentamen i: Affärssystem och tjänsteorienterad arkitektur

Tentamen i: Affärssystem och tjänsteorienterad arkitektur Tentamen i: Affärssystem och tjänsteorienterad arkitektur Kurskod: DSK2:SOA1 Datum: 20 december 2013 Tid: 15:00 19:00 Examinator: Elin Uppström Information Hjälpmedel: Omfång: Poängkrav: Utförande: Inga

Läs mer

Stockholms Universitet Statistiska Institutionen VT-2009. Kursbeskrivning. Statistisk Teori I, grundnivå, 15 högskolepoäng

Stockholms Universitet Statistiska Institutionen VT-2009. Kursbeskrivning. Statistisk Teori I, grundnivå, 15 högskolepoäng Stockholms Universitet Statistiska Institutionen VT-2009 Kursbeskrivning Statistisk Teori I, grundnivå, 15 högskolepoäng Allmänt Kursen består av två moment: Moment 1. Grundläggande statistisk teori, 12hp.

Läs mer

Mål. Kursmoment. Laborationer i python. LAB1: Laboration 1-5 (1.5hp) LAB2: Datorprov (1.5hp) LAB3: P-del (3hp)

Mål. Kursmoment. Laborationer i python. LAB1: Laboration 1-5 (1.5hp) LAB2: Datorprov (1.5hp) LAB3: P-del (3hp) Föreläsning 1 Programmeringsteknik DD1310 Kursinformation Introduktion till Linux Emacs Python En central informationskälla mellan kursledningen och dig Uppdateras kontinuerlig Adressen är: http://www.csc.kth.se/dd1310/prgomed14

Läs mer

Dagens föreläsning (F15)

Dagens föreläsning (F15) Dagens föreläsning (F15) Problemlösning med datorer Carl-Mikael Zetterling bellman@kth.se KP2+EKM http://www.ict.kth.se/courses/2b1116/ 1 Innehåll Programmering i Matlab kap 5 EKM Mer om labben bla Deluppgift

Läs mer

Profilansvarig: Lasse Alfredsson lasse@isy.liu.se. www.isy.liu.se/edu/profiler/kommunikation. se även länk från programmets profilwebbsida:

Profilansvarig: Lasse Alfredsson lasse@isy.liu.se. www.isy.liu.se/edu/profiler/kommunikation. se även länk från programmets profilwebbsida: Profilen för Y, D & IT Kommunikation Profilansvarig: Lasse Alfredsson lasse@isy.liu.se www.isy.liu.se/edu/profiler/kommunikation se även länk från programmets profilwebbsida: LiU > LiTH > Civilingenjörsutbildning

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer

En metod för aktiv redovisning av matematikuppgifter

En metod för aktiv redovisning av matematikuppgifter En metod för aktiv redovisning av matematikuppgifter Magnus Jacobsson och Inger Sigstam Matematiska institutionen 1. Introduktion Matematik på grundnivå är till stor del ett övningsämne, man lär sig matematik

Läs mer

Stockholms Universitet Sociologiska Institutionen. Delkursplan till specialkursen Samhällsproblem (6 hp) Sociologi I&II VT15 (13/4 30/4 2015)

Stockholms Universitet Sociologiska Institutionen. Delkursplan till specialkursen Samhällsproblem (6 hp) Sociologi I&II VT15 (13/4 30/4 2015) Stockholms Universitet Sociologiska Institutionen Delkursplan till specialkursen Samhällsproblem (6 hp) Sociologi I&II VT15 (13/4 30/4 2015) Kursansvarig lärare: Sohlberg 1. Innehåll och allmän information

Läs mer

Formelsamling finns sist i tentamensformuläret. Ämnesområde Hörselvetenskap A Kurs Akustik och ljudmiljö, 7,5hp Kurskod: HÖ1004 Tentamenstillfälle 1

Formelsamling finns sist i tentamensformuläret. Ämnesområde Hörselvetenskap A Kurs Akustik och ljudmiljö, 7,5hp Kurskod: HÖ1004 Tentamenstillfälle 1 Ämnesområde Hörselvetenskap A Kurs Akustik och ljudmiljö, 7,5hp Kurskod: HÖ1004 Tentamenstillfälle 1 Datum 2011-06-01 Tid 4 timmar Kursansvarig Åsa Skagerstrand Tillåtna hjälpmedel Övrig information Resultat:

Läs mer

Tekniska högskolan vid Linköpings universitet Uppdaterad 2010-01-22 ITN DT2/ELE2/BI3. Kursinformation. TNIU03 Industriella styrsystem, 6 hp VT1 2010

Tekniska högskolan vid Linköpings universitet Uppdaterad 2010-01-22 ITN DT2/ELE2/BI3. Kursinformation. TNIU03 Industriella styrsystem, 6 hp VT1 2010 Tekniska högskolan vid Linköpings universitet Uppdaterad 2010-01-22 ITN DT2//BI3 Kursinformation TNIU03 Industriella styrsystem, 6 hp VT1 2010 Mål Kursen skall ge grundläggande kunskaper i styrteknik och

Läs mer

HI1024 Programmering, grundkurs TEN2 2014-03-13

HI1024 Programmering, grundkurs TEN2 2014-03-13 HI1024 Programmering, grundkurs TEN2 2014-03-13 KTH STH Haninge 13.15-18.00 Tillåtna hjälpmedel: En A4 handskriven på ena sidan med egna anteckningar Kursboken C PROGRAMMING A Modern Approach K. N. King

Läs mer

TDIU01 (725G67) - Programmering i C++, grundkurs

TDIU01 (725G67) - Programmering i C++, grundkurs TDIU01 (725G67) - Programmering i C++, grundkurs Introduktion till kursen och programmering Eric Elfving Institutionen för datavetenskap 2 september 2014 Översikt Kursinformation Personal Kursmål Upplägg

Läs mer

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter.

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Kurskod: MATMAT02a Kursen matematik 2a omfattar punkterna 1 7 under rubriken Ämnets syfte. Centralt innehåll Kommentar Begrepp i kursen matematik 2a Metoder för beräkningar vid budgetering. Budgetering

Läs mer

b) NY KURS (Ange kursnamn, årskurs, önskad läsperiod, schemablocksplacering. Bifoga utkast till kursplan.)

b) NY KURS (Ange kursnamn, årskurs, önskad läsperiod, schemablocksplacering. Bifoga utkast till kursplan.) LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Tekniska fakultetskansliet FÖRSLAG TILL PROGRAMNÄMND INFÖR ÅR NÄMND/NÄMNDER: Förslagsställare (Namn, funktion, Inst/Enhet) FÖRSLAGET GÄLLER: a) EXISTERANDE KURS (Ange kurskod

Läs mer

Ekonomisk Analys: Ekonomisk Teori

Ekonomisk Analys: Ekonomisk Teori LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Avdelningen för Produktionsekonomi TENTAMEN I Ekonomisk Analys: Ekonomisk Teori LÖRDAGEN DEN 22 MARS 2014, KL 14-19 SAL:

Läs mer

MIOF01 Marknadsföring och globalisering

MIOF01 Marknadsföring och globalisering Avd. för produktionsekonomi Inst. för Teknisk ekonomi och Logistik Ola Alexanderson KURSPROGRAM MIOF01 Marknadsföring och globalisering HT 2013 / VT 2014 oktober 2013 Ola Alexanderson Ulf Silbersky Per

Läs mer

TNIU66: Statistik och sannolikhetslära

TNIU66: Statistik och sannolikhetslära Institutionen för teknik och naturvetenskap Michael Hörnquist, 1 februari 2013 TNIU66: Statistik och sannolikhetslära Kursinformation 2013 Mål och innehåll Kursens mål och förväntade läranderesultat enligt

Läs mer

TENTAMENSUPPGIFTER i MIKROTEORI Från Peter Lohmander 2010-03-02

TENTAMENSUPPGIFTER i MIKROTEORI Från Peter Lohmander 2010-03-02 1 File = EK_GK_OM_Tentafragor Lohmander Peter 010_03_0 TENTAMENSUPPGIFTER i MIKROTEORI Från Peter Lohmander 010-03-0 UPPGIFT 1: Det finns ett särskilt samand mellan ATC s minpunkt och MC, som gäller under

Läs mer

= 7. + x 2 = 6 = 5 S 1 = 8. x 1. + 2x 2. 3x 1 = 12

= 7. + x 2 = 6 = 5 S 1 = 8. x 1. + 2x 2. 3x 1 = 12 NumeriskLinjarAlgebra LinjarProgrammering DVL2 ErikElmroth pakursen 7 6 5 4 3 2 1 S 1 2 Erik.Elmroth@cs.umu.se 3 4 5 6 7 8 Institutionenfordatavetenskap UmeaUniversitet UmeaUniversitet Institutionenfordatavetenskap

Läs mer

TENTAMEN: Design och konstruktion av grafiska gränssnitt DAT215/TIG091

TENTAMEN: Design och konstruktion av grafiska gränssnitt DAT215/TIG091 TENTAMEN: Design och konstruktion av grafiska gränssnitt DAT215/TIG091 DAG: 5 mars, 2012 TID: 8.30 12.30 SAL: Hörsalsvägen Ansvarig: Olof Torgersson, tel. 772 54 06. Institutionen för tillämpad informationsteknologi.

Läs mer

Välkomstbrev. Ekonom Online 180 hp

Välkomstbrev. Ekonom Online 180 hp E Välkomstbrev Ekonom Online 180 hp Välkommen Välkommen till Ekonom Online vid BTH. Terminen börjar måndagen den 1 september. Vi inleder med ett introduktionsmöte på distans tisdagen den 2 september. Tid

Läs mer

Byggnadsmekanik, LTH MATERIAL, FORM OCH KRAFT

Byggnadsmekanik, LTH MATERIAL, FORM OCH KRAFT Byggnadsmekanik, LTH MATERIAL, FORM OCH KRAFT KURSPROGRAM 2008 Material, form och kraft (VSM131, 9hp) Mål Målet med kursen är en fördjupad formförståelse; en förståelse om samspelet mellan material, form

Läs mer

Flervariabel reglering av tanksystem

Flervariabel reglering av tanksystem Flervariabel reglering av tanksystem Datorövningar i Reglerteori, TSRT09 Denna version: oktober 2008 1 Inledning Målet med detta dokument är att ge möjligheter att studera olika aspekter på flervariabla

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod Kursnamn T0008N Operations management Datum LP3 10-11 Material Kursexaminator Tentamen Diana Chronéer Betygsgränser 3 = 30-39,5 ; 4 = 40-49,5 ; 50 = 50-60

Läs mer

Profilen Kommunikation

Profilen Kommunikation Profilen Kommunikation för Y, D & IT Profilansvarig: Lasse Alfredsson lasse@isy.liu.se www.isy.liu.se/edu/profiler/kommunikation 1 Kommunikation =? Sändare Information Mottagare Telekommunikation (telekom)

Läs mer

MAKROEKONOMI, 10hp SPREK

MAKROEKONOMI, 10hp SPREK MAKROEKONOMI, 10hp SPREK Kursens struktur är ett resultat av aktiva studenters konstruktiva och övervägande positiva utvärderingar Vi koncentrerar oss på och fördjupar oss i en huvudbok, Blanchard m.fl..

Läs mer

Användarmanual NeverLOST webbokning

Användarmanual NeverLOST webbokning Användarmanual NeverLOST webbokning INNAN DU KOMMER IGÅNG... 2 SCHEMAN... 2 INLOGGNING... 2 EFTER INLOGGNING... 3 LÄGGA SCHEMA OCH BOKA TENTAMEN... 4 Val av kurs... 4 BOKA NY (LÄGGA SCHEMA OCH BOKA TENTAMEN)...

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

Fastställande. Allmänna uppgifter. Kursens mål. Samhällsvetenskapliga fakulteten

Fastställande. Allmänna uppgifter. Kursens mål. Samhällsvetenskapliga fakulteten Samhällsvetenskapliga fakulteten LSMA12, Verksamheters karaktär och förutsättningar ur ett logistikperspektiv, 15 högskolepoäng Business Processes from a Logistics Perspective, 15 credits Grundnivå / First

Läs mer

Fakulteten för teknik- och naturvetenskap. Utbildningsplan TGHEL, TGHME, TGHML

Fakulteten för teknik- och naturvetenskap. Utbildningsplan TGHEL, TGHME, TGHML Fakulteten för teknik- och naturvetenskap Utbildningsplan Programkod: Beslut om inrättande: Programmets benämning: TGHEL, TGHME, TGHML Utbildningsplanen är fastställd av fakultetsnämnden för teknik- och

Läs mer

Tilldelas efter registrering

Tilldelas efter registrering Institutionen för sjöfart och marin teknik Kurs-PM Kursnamn: Kurskod: Omfattning: Kursmoment: Program: Kandidatarbete för sjöfart och logistik SJOX09 15 hp 0109 Nollmoment, 0 hp; 0209 Kandidatarbete, 15

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Tentamen i TSKS10 Signaler, information och kommunikation

Tentamen i TSKS10 Signaler, information och kommunikation Tentamen i TSKS10 Signaler, information och kommunikation 1(8) Provkod: TEN1 Tid: 2015-06-01 Kl: 14:00 19:00 Lokal: KÅRA, U1, U3, U4 Lärare: Mikael Olofsson, tel: 281343 Besöker salen: 15 och 17 Administratör:

Läs mer

F alt. F(x) E D C B. 80% 80p. 70% 70p

F alt. F(x) E D C B. 80% 80p. 70% 70p Institutionen för Samhällsvetenskap Nationalekonomi Campus i Sundsvall Dick Svedin den 7 april 2011 Mikroekonomisk teori A, 7,5hp: Skriftlig omtentamen 2011 04-07 Tentamen består av sammanlagt 9 uppgifter

Läs mer

CEQ-kommentarer Kurser år 2. CEQ-kommentarer Kurser år 2

CEQ-kommentarer Kurser år 2. CEQ-kommentarer Kurser år 2 CEQ-kommentarer Kurser år 2 Innehåll LP1... 2 Introduktion till mikroekonomisk teori, EXTA40... 2 Logistik, MTTF01... 2 LP2... 3 Matematisk statistik, allmän kurs, FMS012... 3 LP3... 3 Programmeringsteknik,

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod T0002N Kursnamn Logistik 1 Datum 2012-10-26 Material Fördjupningsuppgift Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Försättsblad inlämningsuppgift

Läs mer

PROJEKTLEDNING: LEDNING OCH STYRNING AV PROJEKT. ME 2015 (6 poäng) Kursanvisningar, ver 1 (080902)

PROJEKTLEDNING: LEDNING OCH STYRNING AV PROJEKT. ME 2015 (6 poäng) Kursanvisningar, ver 1 (080902) PROJEKTLEDNING: LEDNING OCH STYRNING AV PROJEKT ME 2015 (6 poäng) Kursanvisningar, ver 1 (080902) Period 1, HT-2008 Kursbeskrivning Projekt som arbetsform blir allt vanligare i snart sagt alla samhällssektorer,

Läs mer

Linköpings Universitet. Matematiska institutionen/optimeringslära 140915 Kaj Holmberg IT Termin 5. IT Termin 5 2014. Vinjetter

Linköpings Universitet. Matematiska institutionen/optimeringslära 140915 Kaj Holmberg IT Termin 5. IT Termin 5 2014. Vinjetter Linköpings Universitet Vinjetter Matematiska institutionen/optimeringslära 0915 Kaj Holmberg IT Termin 5 IT Termin 5 20 Vinjetter Inledning Miljöaspekter blir allt viktigare att ta med i beräkningen vid

Läs mer

Datateknik A, Datornätverk, 7,5 högskolepoäng

Datateknik A, Datornätverk, 7,5 högskolepoäng Till dig som är antagen till kursen Datateknik A, Datornätverk, 7,5 högskolepoäng Kurskod: DT024G. Anmälningskod: MIU 24806 (Distans halvfart). Välkommen som deltagare i ovan nämnda distanskurs under våren

Läs mer

F alt. F(x) E D C B. 80% 40p. 70% 35p

F alt. F(x) E D C B. 80% 40p. 70% 35p Institutionen för Samhällsvetenskap Nationalekonomi Campus i Sundsvall Dick Svedin den 8 april 2010 Mikroekonomisk teori A, 7,5hp: Skriftlig tentamen 2010 04 08 Tentamen består av sammanlagt 8 uppgifter

Läs mer

Kursutvärdering NEK A1 Moment 3: Makroekonomi, vt-11

Kursutvärdering NEK A1 Moment 3: Makroekonomi, vt-11 Kursutvärdering NEK A1 Moment 3: Makroekonomi, vt-11 Ansvarig lärare: Andréa Mannberg 1. Deskriptiv statistik Descriptive Statistics N Min Max Mean Std. Deviation Vilket betyg vill du ge kursen som helhet?

Läs mer

Objektorienterad programmering, analys och design med Java, 5p 2D4135, vt 2005. Kursprogram

Objektorienterad programmering, analys och design med Java, 5p 2D4135, vt 2005. Kursprogram Objektorienterad programmering, analys och design med Java, 5p 2D4135, vt 2005 Kursprogram Kursens mål är att ge dig kunskaper om begreppen och principerna inom objektorienterad programmering och design

Läs mer

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik A1, 15 hp Antal uppgifter: 6 Krav för G: 13 Lärare:

Läs mer

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Hur jag lärde mig att älska Datavetenskap

Hur jag lärde mig att älska Datavetenskap Hur jag lärde mig att älska Datavetenskap Vad tänker ni på just nu? Vad tänker ni på just nu? Är det svårt? Vad tänker ni på just nu? Är det svårt? Det bestämmer du! Vad tänker ni på just nu? Är det svårt?

Läs mer