Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin"

Transkript

1 Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1

2 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2

3 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering av vatten- och värmekraftsystem är en tillämpning av matematisk programmering (optimeringslära). I den här kursen lär vi ut hur man formulerar optimeringsproblem, men inte hur man löser dem. Lösningsmetoder lärs ut av Matematikinstitutionen, t.ex. - SF1811 Optimeringslära, 6 hp - SF2812 Tillämpad linjär optimering, 7,5 hp - SF2822 Tillämpad ickelinjär optimering, 7,5 hp För att formulera optimeringsproblem behöver man vara bekant med grundläggande koncept inom matematisk programmering. 3

4 Optimering Optimeringslära (kallas också matematisk programmering) är en gren av tillämpad matematik. Generellt exempel: minimera f(x) då x X, där x = vektor av optimeringsvariabler, X = mängd av tillåtna lösningar. 4

5 Tillåtna lösningar Mängden av tillåtna lösningar definieras med olika matematiska uttryck. Bivillkor (definierar samband mellan optimeringsvariabler) Exempel: g(x) b. Variabelgränser Exempel: x x x, x heltal. 5

6 Minimering eller maximering Observera att man alltid kan växla mellan minimerings- och maximeringsproblem, eftersom Exempel: minimera f(x) maximera f(x) minimera x maximera x då 0 x 10. då 0 x 10. 6

7 Linjärprogrammering (LP) Klass av optimeringsproblem med linjär målfunktion och linjära bivillkor. Standardform: minimera c T x då Ax = b, 0 x. Man kan relativt snabbt lösa även stora LP problem med fler än variabler! Kommersiell programvara finns tillgänglig - GAMS, Matlab, Excel 7

8 Exempel A.1 Formulera LP problem på standardform Alice ska köpa något till hennes mammas fest. 2 liter frukt behövs för att fylla fruktskålen. Alices mamma vill att var och en av de fem gästerna ska få minst två var av det som Alice köper, d.v.s. Alice behöver köpa minst 10 saker. Alice får 100 kr och kan behålla växeln. Ett päron kostar 3 kr, varje päron har en volym på 1/6 liter. Ett äpple kostar 5 kr, varje päron har en volym på 0,3 liter. 8

9 Exempel A.1 LP-formulering Inför x 1 = antal päron, x 2 = antal äpplen. Formulera optimeringsproblemet: maximera 100 3x 1 5x 2 {vinst} då 1 --x ,3x 2 2, x 1 + x 2 10, x 1 0, x 2 0. {volymbivillkor} {kvantitetsbivillkor} {variabelgränser} 9

10 Exempel A.1 Minimering Ett LP-problem på standardform formuleras som ett minimeringsproblem. Maximera vinst Minimera kostnad maximera 100 3x 1 5x 2 {vinst} minimera 3x 1 + 5x 2 {kostnad} Observera att den konstanta termen i målfunktionen inte har någon inverkan på lösningen, eftersom den inte påverkas av vilka värden vi väljer på optimeringsvariablerna! Inför z = målfunktion. 10

11 Exempel A.1 Slackvariabler Ett LP-problem på standardform formuleras med likhetsbivillkor. Inför slackvariabler: x 3 = extra volym, x 4 = extra kvantitet. Formulera om bivillkoren: 1 --x x 2 x 3 = 2, {volymbivillkor} x 1 + x 2 x 4 = 10, {kvantitetsbivillkor} Lägg till variabelgränser: x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0. {variabelgränser} 11

12 Exempel A.1 LP-formulering på standardsform min z = 3x 1 + 5x 2 {kostnad} då 1 --x x 2 x 3 = 2, x 1 + x 2 x 4 = 10, {volymbivillkor} {kvantitetsbivillkor} x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0. {variabelgränser} 12

13 Exempel A.1 Optimal lösning Optimum: x 1 = 7,5 x 2 = 2,5 Optimalt värde på målfunktionen: z = 35 13

14 Extrempunkter Hörnen i det tillåtna området kallas extrempunkter. Den optimala lösningen till ett LP-problem kan alltid hittas i en av extrempunkterna. 14

15 Standardform Standardformen är användbar för matematisk analys. Dessutom förutsätter vissa lösare att LP-problemet är formulerat på standardform. Inom ingenjörskonsten är det viktigare med en tydlig problemformulering, d.v.s. optimeringsproblem ska formuleras så att det är lätt att känna igen det bakomliggande ingenjörsproblemet. - Använd tydligare beteckningar än x 1, x 2, - Välj mellan maximering och minimering utifrån vad som är naturligt för ingenjörsproblemet. - Välj mellan likhets- och olikhetsbivillkor utifrån vad som är naturligt för ingenjörsproblemet. 15

16 Exempel A.2 Ingen tillåten lösning Alices pappa säger Köp inte mer än 1 kg. Ett päron väger 1/6 kg. Ett äpple väger 0,3 kg. Lösning Lägg till ytterligare ett bivillkor: 1 --x ,3x 2 1. {viktbivillkor} 16

17 Exempel A.2 Optimal lösning Det finns inga tillåtna lösningar. (Eng.: infeasible problem). 17

18 Inga tillåtna lösningar Om ett problem saknar tillåten lösning så finns motstridiga bivillkor som inte kan vara uppfyllda samtidigt. Korttidsplaneringsproblem ska under normal omständigheter ha en tillåten lösning! Hur hittar man felet? - Vissa lösare kan ange vilka bivillkor som inte går att uppfylla. - Lägg till slackvariabler. I exempel A.2 kan vi t.ex. formulera det nya bivillkoret så här i stället: 1 --x {viktbivillkor} x 2 + x 5 x 6 1. x 5 0, x

19 Exempel A.3 Icke bindande bivillkor Det finns bara 13 päron kvar i affären. Lösning Lägg till ytterligare ett bivillkor: x {päronbegränsning} 19

20 Exempel A.3 Optimal lösning Optimum: x 1 = 7,5 x 2 = 2,5 Optimalvärde: z = 35 Det nya bivillkoret ändrar inte den optimala lösningen! 20

21 Exempel A.4 Problem utan ändlig lösning Alices mamma säger: Du får 1 kr för varje sak du köper i affären. Lösning Ny målfunktion: max z = x 1 + x 2 {inkomst} 21

22 Exempel A.4 Optimal lösning Optimum: x 1 = x 2 = Optimalvärde: z = 22

23 Problem utan ändlig lösning Ett problem utan ändlig lösning innebär att det inte finns tillräckligt med bivillkor. Korttidsplaneringsproblem ska inte sakna lösning! Hur hittar man felet? - Det troligaste är att några bivillkor saknas eller är felaktigt formulerade! - Titta på de optimala värdena på variablerna! Är det någon variabel som ligger utanför det intervall man kan förvänta sig? - Lägg till tillfälliga bivillkor. 23

24 Exempel A.5 Ändring i målfunktionen Ett päron kostar 4 kr i stället för 3 kr. Lösning Ny målfunktion: min z = 4x 1 + 5x 2 {kostnad} 24

25 Exempel A.5 Optimal lösning Optimum: x 1 = 7,5 x 2 = 2,5 Optimalvärde: z = 42,5 Samma lösning, men nytt optimal värde på målfunktionen! 25

26 Exempel A.6 Degenererad lösning Ett päron kostar 5 kr i stället för 3 kr. Lösning Ny målfunktion: min z = 5x 1 + 5x 2 {kostnad} 26

27 Exempel A.7 Optimal lösning Optimum: x 1 [0, 7,5] x 2 = 10 x 1 Optimalvärde: z = 50 Många lösningar med samma optimalvärde! 27

28 Degenererade problem Ett degenererat problem har ingen unik optimal lösning. Många korttidsplaneringsproblem är degenererade! Lösningen till ett degenererat problem kan skilja sig från lösare till lösare och kan t.o.m. bero på i vilken ordning man angett variabler och bivillkor! För att kontrollera om två lösningar till ett degenererat problem är likvärdiga måste man studera målfunktionsvärdet, inte de optimala värdena på optimeringsvariablerna! 28

29 Exempel A.7 Flackt optimum Jämför lösningen till följande två fall: - Ett päron kostar 4,90 kr och ett äpple kostar 5 kr. - Ett päron kostar 5 kr och ett äpple kostar 4,90 kr. 29

30 Exempel A.7 Optimal lösning Optimum: x 1 = 7.5 x 2 = 2.5 eller x 1 = 0 x 2 = 10 Optimalvärde: z = eller z = 49 30

31 Flackt optimum Ett flackt optimum innebär att det finns extrempunkter som inte är optimal, men som resulterar i ett målfunktionsvärde som är väldigt nära det optimala värdet. Vissa lösare söker inte alltid efter den exakt optimala lösningen, utan nöjer sig med en lösning som är tillräckligt bra. 31

32 LP-dualitet Alla LP problem (primalt problem) har ett motsvarande dualt problem. Primalt problem Dualt problem min c T x max b T då Ax = b, då A T c. x 0, ( obegränsad) där x = primalvariabler, = dualvariabler. 32

33 Stark dualitet Sats: Om ett primalt problem har en optimal lösning så har även det duala problemet en optimal lösning och de optimala målfunktionsvärdena är desamma. Beviset överlämnas till lämplig matematikkurs Den praktiska nyttan av LP-dualitet är att dualvariablerna (vars värde ändå beräknas då man löser LP-problemet) kan användas för känslighetsanalyser av den optimala lösningen. 33

34 Marginalvärden Högerledet i det primala problemet återfinns som målfunktion i det duala problemet. En liten ändring i målfunktionen till det duala problemet ändrar inte lösningen till det duala problemet (jfr exempel A.5)T lätt att beräkna nytt optimalt värde på målfunktionen. Tack vare den starka dualiteten så är det nya optimala målfunktionsvärdet för det primala problemet lika med det nya värdet för det duala problemet. Vi kan således använda dualvariablerna för att beräkna hur en liten ändring i högerledet på ett LP-problem påverkar det optimala målfunktionsvärdet. Dualvariablerna kan tolkas som marginalvärdet för högerledet i ett bivillkor, eftersom de anger hur målfunktionen kommer att ändras för en liten ändring i högerledet: z = T b. 34

35 Exempel A.9 Tillämpning av dualvariabler Antag att Alice skulle lura sin mamma och endast köpa 1,9 liter frukt. Hur mycket extra skulle hon kunna tjäna på detta bedrägeri?* * Föreläsaren önskar betona att syftet med detta exempel absolut inte är att uppmuntra ett sådant beteende! 35

36 Exempel A.9 Lösning Det duala problemet lyder max då , 0, , 1 0, 2 0. Att dualvariablerna måste vara icke-negativa beror på att olikhetsbivillkoren i Alices primala problem då det formuleras utan slackvariabler. 36

37 Exempel A.9 Optimal lösning Optimum: 1 = 15 2 = 0.5 Optimalvärde: z = 35 37

38 Exempel A.9 Känslighetsanalys Om Alice köper 1,9 liter frukt så ändras högerledet till volymbivillkoret med 0,1. Det optimala målfunktionsvärdet ändras då 0,1 1 = 1,5. Detta innebär att Alice sparar in en kostnad på 1,5 kr. 38

39 Blandad heltalsprogrammering (MILP) Klass av optimeringsproblem med linjär målfunktion och linjära bivillkor, där några variabler endast kan anta heltalsvärden. minimera c T x då Ax = b, x {0, 1, } Snälla MILP-problem kan lösas relativt fort. Besvärliga MILP-problem tar betydligt längre tid att lösa en ett LP-problem av samma storlek! Undvik heltalsvariabler om de inte är nödvändiga! 39

40 Exempel A.10 Heltalslösning Kunderna kan enbart köpa hela frukter. Lösning Lägg till variabelgränser: x 1, x 2 heltal. 40

41 Exempel A.10 Optimal lösning Optimum: x 1 = 7 x 2 = 3 Optimalvärde: z = 36 41

42 Styckvis linjära funktioner Ibland behöver man approximera en ickelinjär funktion i ett LP-problem. I en styckvis linjär funktion delas variabeln in i olika segment. Det lägsta värdet i varje segment är lika med 0, vilket ger oss att x = x j, j där x j är värdet i det j:e segmentet. Observera att vi inte tillåter vilka kombinationer av x j som helst; vi kan inte börja använda ett segment innan det föregående segmentet är fullt utnyttjat, d.v.s. om x j > 0 så är x j = x j 1, där x j 1 är det maximala värdet i segment j 1. 42

43 Exempel A.10 Mängdrabatt De första fem päronen kostar 5 kr/st. För ytterligare päron utöver detta får Alice rabatt och betalar bara 3 kr/st. 43

44 Exempel A.10 Lösning Omformulera problemet med en styckvis linjär funktion och introducera en binär variabel: min 5x 1, 1 + 3x 1, 2 + 5x 2 {kostnad} 1 1 då --x {volymbivillkor} x ,3x 2 2, x 1, 1 + x 1, 2 + x 2 10, {kvantitetsbivillkor} x 1, 1 5s, x 1, 2 M s, x 1, 1 0, x 1, 2 0, x 2 0, s {0, 1}. {variabelgränser} där M är ett godtyckligt, stort tal. 44

45 Exempel A.10 Den binära variabelns funktion Antag M = 100. Det är optimalt att undvika att använda x 1, 1 och i stället använda x 1, 2 så mycket som möjligt, eftersom kostnaden för x 1, 2 är lägre! För s = 0 erhålls x 1, 1 5s x 1, 1 0 x 1, 1 0 x 1, 2 M s x 1, 2 0 x 1, 2 = 0 För s = 1 erhålls x 1, 1 5s x 1, 1 5 x 1, 1 5 x 1, 2 M s x 1, x 1,

46 Exempel A.11 Begränsat erbjudande Affären erbjuder rabatt (3 kr/st) på upp till fem päron. Köper Alice ytterligare päron får hon betala fullt pris, d.v.s. 5 kr/st. 46

47 Exempel A.10 Lösning Omformulera problemet med en styckvis linjär funktion. min 3x 1, 1 + 5x 1, 2 +5x 2 {kostnad} 1 1 då --x {volymbivillkor} x ,3x 2 2, x 1, 1 + x 1, 2 + x 2 10, {kvantitetsbivillkor} x 1, 1 5, x 1, 1 0, x 1, 2 0, x 2 0. {variabelgränser} I det här fallet är det fördelaktigt att använda x 1, 1 i stället för x 1, 2 och därför är det tillräckligt att ange en övre gräns för x 1, 1 ingen binär variabel behövs! 47

48 Ickelinjär programmering (NLP) Klass av optimeringsproblem där åtminstone ett bivillkor eller målfunktionen är ickelinjär. Vissa snälla NLP-problem kan lösas relativt snabbt. Andra NLP-problem kan ta lång tid att lösa och det är inte säkert att vi hittar ett globalt optimum. Undvik ickelinjära problem om det inte är nödvändigt! Globalt minimum Lokala minimum 48

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

Optimeringslära för T (SF1861)

Optimeringslära för T (SF1861) Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 6 Det duala problemet Relationer primal dual Optimalitetsvillkor Nätverksoptimering (introduktion) Agenda Motivering av det duala problemet (kap 6.)

Läs mer

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?

Läs mer

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade

Läs mer

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 1 november 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722)

Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722) Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722) Februari 2004 Avdelningen för Optimeringslära och Systemteori Institutionen för Matematik Kungliga Tekniska Högskolan Stockholm Allmän information

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk

Läs mer

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 13 januari 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST:

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: 2015 TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: OSKQV953@STUDENT.LIU.SE Innehållsförteckning Allmänt... 2 Om optimering... 3 Matematiska formuleringar av optimeringsproblem... 3 Linjärprogrammering

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: oktober 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen

Läs mer

1. Vad är optimering?

1. Vad är optimering? . Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst, men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. För att kunna jämföra olika fall samt avgöra vad som är bäst måste man

Läs mer

Modellering och optimering av schemaläggning vid en ridskola

Modellering och optimering av schemaläggning vid en ridskola Modellering och optimering av schemaläggning vid en ridskola En fallstudie i heltalsprogrammering Kandidatarbete inom civilingenjörsutbildningen vid Chalmers Rasmus Einarsson Patrik Johansson Oskar Redlund

Läs mer

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 2 oktober 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar

Läs mer

Laboration 1: Optimalt sparande

Laboration 1: Optimalt sparande Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 24 oktober 204 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Optimering på dator. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet. Handledarens kommentarer.

Optimering på dator. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet. Handledarens kommentarer. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet Optimering på dator Namn Handledarens kommentarer Grupp Inskrivningsår Utförd den Godkänd den Signum Leif Gustafsson 1985 Thomas Persson

Läs mer

Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 21 augusti 2012 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 maj 2014 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner Linköpings Tekniska Högskola Institutionen för Teknik och Naturvetenskap/ITN TENTAMEN TNE 05 OPTIMERINGSLÄRA Datum: 008-05-7 Tid: 4.00-8.00 Hjälpmedel: Boken Optimeringslära av Lundgren et al. och Föreläsningsanteckningar

Läs mer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i

Läs mer

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

Tentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära

Tentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära Tentamen TMA946/MAN80 tillämpad optimeringslära 01081 1. Uppgift: min z 3x 1 + x Då x 1 + x 6 x 1 + x x 1, x 0 Skriv på standardform m.h.aṡlackvariabler min z 3x 1 + x Då x 1 + x s 1 6 x 1 x + s x 1, x,

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 14 januari 2015 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 19 mars 2011 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Heltalsoptimering av Mårten Knutsson 2007 - No 17 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 10691 STOCKHOLM Heltalsoptimering

Läs mer

När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.

När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst. Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 9 april 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 2006

Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 2006 Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 Uppgift a) svar: 9 8 b) Svar: Δ b < c) Svar : 5 Δ c < d) Svar: ma st 8 8 Uppgift a) Dualen (D) till det primala problemet (P) är: Ma y 5y y y

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 1 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013 Optimering Optimering av transportproblem Campusveckan VT2013 Linköpings universitet SL 1 Optimering - Distributionsproblem Företaget Kulprodukter AB producerar sina kulor vid fyra olika fabriksanläggningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: oktober 01 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

Optimering. TAOP86 Kombinatorisk optimering med miljötillämpningar. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering?

Optimering. TAOP86 Kombinatorisk optimering med miljötillämpningar. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering? TAOP86 Kombinatorisk optimering med miljötillämpningar Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se http://courses.mai.liu.se/gu/taop86 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Björn Morén

Läs mer

Optimering. Optimering

Optimering. Optimering TAOP88 Optimering för ingenjörer Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se Kurshemsida: http://courses.mai.liu.se/gu/taop88 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Oleg Burdakov, William

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A

Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Första delen av övningen handlar om begreppet funktion. Syftet är att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss på tre viktiga

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

Exempelsamling. Optimeringslära 1 januari 2013. TAOP07 Optimeringslära grundkurs för Y

Exempelsamling. Optimeringslära 1 januari 2013. TAOP07 Optimeringslära grundkurs för Y Linköpings tekniska högskola Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Exempelsamling Optimeringslära 1 januari 2013 Exempelsamling TAOP07 Optimeringslära grundkurs för Y 1. Låt mängderna

Läs mer

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod. Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 9 augusti 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS

TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 22 maj 2012 Tid: 8 12, TP56 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p.

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

TNSL05, Optimering, Modellering och Planering 6 hp, HT2-2011

TNSL05, Optimering, Modellering och Planering 6 hp, HT2-2011 ITN/KTS Stefan Engevall/Joakim Ekström Kursinformation TNSL05, Optimering, Modellering och Planering, HT2011 TNSL05, Optimering, Modellering och Planering 6 hp, HT2-2011 1 Kursmål & innehåll 1.1 Mål med

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen.

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Betrakta kvadratiska delmatriser av storlek n n, dar n m, och anvand induktion med avseende

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

Lektion isoperimetrisk optimering

Lektion isoperimetrisk optimering Lektion isoperimetrisk optimering Lektionens namn: Isoperimetrisk optimering Kurs: Ma2a, Ma2b, Ma2c Längd: 85 min Inledning Lektionen behandlar ett klassiskt maximeringsproblem (Euklides och Zenodorus):

Läs mer

Laboration 2 - Heltalsoptimering

Laboration 2 - Heltalsoptimering Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 2 Optimeringslära 4 februari 203 Laboration 2 - Heltalsoptimering Problemställning Synande av cellprover När

Läs mer

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008.

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret 2007.2008. Anders Karlsson, Inst för Matematik, KTH January 22, 2008 Kursinnehåll: Grundläggande kurs i di erential- och integralkalkyl i era variabler.

Läs mer

En algoritm för linjära optimeringsproblem

En algoritm för linjära optimeringsproblem D-UPPSATS 2005:04 En algoritm för linjära optimeringsproblem PER BERGSTRÖM Luleå tekniska universitet Institutionen för Matematik TEKNISK MAGISTEREXAMEN Matematik Vetenskaplig handledare: Hans Johansson

Läs mer

FÖRSVARSHÖGSKOLAN C-UPPSATS :2074. Hur kan effektiviteten i planeringen av svensk pilotutbildning ökas?

FÖRSVARSHÖGSKOLAN C-UPPSATS :2074. Hur kan effektiviteten i planeringen av svensk pilotutbildning ökas? Mj Robert Persson 2005-11-23 FÖRSVARSHÖGSKOLAN C-UPPSATS Författare Förband Mj Robert Persson F 7 FHS handledare Stefan Johansson (MTI), övlt Folke Sundqvist (MTI) Uppdragsgivare Beteckning FHS, KVI 19

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

Laborationsinformation

Laborationsinformation Linköpings Tekniska Högskola 2017 03 16 Matematiska institutionen/optimeringslära Kaj Holmberg Laborationsinformation 1 Information om GLPK/glpsol 1.1 Introduktion till GLPK GLPK (GNU Linear Programming

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

Korttidsplanering. EG2205 Föreläsning 8 10, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Korttidsplanering. EG2205 Föreläsning 8 10, vårterminen 2015 Mikael Amelin Korttidsplanering EG2205 Föreläsning 8 10, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Generellt korttidsplaneringsproblem för elproduktion

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Något om Linjärprogrammering och Mathematica

Något om Linjärprogrammering och Mathematica HH/ITE/BN Linjärprogrammering och Mathematica Något om Linjärprogrammering och Mathematica Bertil Nilsson 0-08- max får 7kor får g får g får kor g då får kor g kor 7 g får 0 g kor 0 g 7 kor 070 90 0 8

Läs mer

4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4.1 Dynamisk programmering.

4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4.1 Dynamisk programmering. . Optimal styrning. Optimal styrning. Optimal styrning Vad är optimal styrning? I allmänna termer kan reglertekniska problem formleras på följande sätt: Välj styrsignaler så att systemet beter sig så bra

Läs mer

MIO310 Optimering & Simulering. Kursansvarig: Universitetslektor Fredrik Olsson Produktionsekonomi Lunds tekniska högskola

MIO310 Optimering & Simulering. Kursansvarig: Universitetslektor Fredrik Olsson Produktionsekonomi Lunds tekniska högskola MIO310 Optimering & Simulering 2015 Kursansvarig: Universitetslektor Fredrik Olsson Produktionsekonomi Lunds tekniska högskola Antal poäng: 6 hp. Obligatorisk för: Industriell Ekonomi åk 3. Nivå: G2 Rek.

Läs mer

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 10 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

Monte Carlo-simulering. EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Monte Carlo-simulering. EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin Monte Carlo-simulering EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Tillämpa Monte Carlo-simulering för att beräkna förväntad driftkostnad och risk för effektbrist på en elmarknad,

Läs mer

Föreläsning 6: Transportproblem (TP)

Föreläsning 6: Transportproblem (TP) Föreläsning 6: Transportproblem (TP) 1. Transportproblem 2. Assignmentproblem Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Transportproblem Transportproblem Varor ska transporteras från fabriker till varuhus:

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer