Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016

Transkript

1 Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016 Examinator: Krister Svanberg, tel: , Labassistent: David Ek, Lämnas in till någon av oss senast tisdag 19 april 2016 kl 15:00, dvs vid föreläsningens slut. I denna uppgift är samarbete tillåtet, men varje student ska själv genomföra de beräkningar som krävs samt, med egna ord, redovisa sina resultat och hur uppgiften lösts där så anges nedan. Varje student lämnar in sin egen rapport, som i denna hemuppgift endast ska bestå av detta frågehäfte med för hand ifyllda svar, förklaringar och motiveringar. Vissa studenter kommer att väljas ut för enskild muntlig redovisning av uppgifterna. Kallelse sker via e-post, så kontrollera regelbundet denna. Korrekt löst och redovisad uppgift ger fyra hemtalspoäng. Namn:... Personnummer:... E-postadress:... Jag har använt matris nr:...(se uppgift 1 nedan) Personer jag samarbetat med: (om du inte löst uppgiften helt på egen hand) Denna hemuppgift kommer främst att vara en övning i linjär algebra och syftar till att ge en ökad förståelse för begrepp som linjära underrum, bildrum, nollrum, ortogonala komplement, och hur man kan arbeta med dessa. Ett underrum i IR n är en mängd M i IR n sådan att om v 1 M och v 2 M så gäller att även t 1 v 1 + t 2 v 2 M för alla reella t 1 och t 2. Speciellt så tillhör nollvektorn varje underrum. I IR 3 är ett underrum antingen hela rummet, ett plan genom origo, en linje genom origo, eller det triviala underrummet som bara består av nollvektorn. För att beskriva ett underrum använder man oftast en bas av vektorer. Exempel: Om v 1,v 2,v 3 är linjärt oberoende vektorer i IR 5 så spänner de upp ett (tredimensionellt) underrum M = { v IR 5 v = t 1 v 1 +t 2 v 2 +t 3 v 3, t k IR, k = 1,2,3. }. Ett konkret sätt att representera ett underrum är alltså att ange en bas för detta, t ex genom att skapa en matris med basvektorerna som kolonner, V = [v 1, v 2, v 3 ]. Varje vektor x M kan då skrivas på formen x = Vt, där t = (t 1,t 2,t 3 ) T IR 3. 1

2 Sid 2 av 7 Hemuppgift 1, optimeringslära SF Välj en 7 5 matris A på följandesätt. Låt d {1,2,...,31} varaden dag i månaden som du är född och låt k {0,1,...,14} vara den rest som erhålls när man dividerar d med 15. Som matris A ska du välja den av matriserna A k på sidan 5 som svarar mot denna rest k och ringa in den. (Exempel: Om du är född den 19:e ska du välja matrisen A 4 och om du är född den 8:e ska du välja matrisen A 8.) Matrisen kan hämtas på kursens hemsida (a) Transformera matrisen A till reducerad trappstegsform med hjälp av funktionen rref i Matlab (dvs Gauss-Jordans metod) och fyll i nedan. Redovisa samtliga svar med två decimaler. Använd inte format rat i matlab. T =. Bestäm därefter, med metodiken som beskrivs i optimeringskompendiet i kapitel 26, två matriser V 1, och V 2 sådana att kolonnerna i V 1 utgör en bas till underrummetr(a), och kolonnerna i V 2 utgör en bas till underrummetn(a). Använd inte matlabs kommando null! Fyll i nedan: (stryk de rutor du inte behöver) V 1 =, V 2 = Förklara hur du bestämmer V 1 och V 2 från A och T....

3 SF1861 Hemuppgift 1, optimeringslära Sid 3 av 7 (b) Transformera matrisen A T till reducerad trappstegsform med hjälp av funktionen rref i Matlab. T =. Bestäm därefter två matriser W 1, W 2 sådanaatt kolonnerna i W 1 utgör en bas till underrummet R(A T ), och kolonnerna i W 2 utgör en bas till underrummet N(A T ). Använd inte matlabs kommando null! W 1 =, W 2 = (c) Beräkna V T 1 W 2 och W T 1 V 2 samt verifiera att resultaten stämmer med teorin. Resultat:... Varför blir det så?...

4 Sid 4 av 7 Hemuppgift 1, optimeringslära SF1861 (d) Låt x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) T där x i = den i:te siffran i ditt personnummer. Tillhör x nollrummet till A?... Motivering:... Tillhör x bildrummet till A T?... Motivering:... Vi vet att R(A T ) och N(A) är varandras ortogonala komplement i IR 5, så en godtycklig vektor i IR 5 kan skrivas som en summa av en vektor i bildrummet till A T och en vektor i nollrummet till A. Skriv din vektor x på formen x = y+z, där y R(A T ) och z N(A). Använd dig av matriserna W 1 och V 2 ovan. Kolonnerna i dessa matriser bildar tillsammans en bas för IR 5. Ange x, y och z samt kontrollera att y T z = 0. x =, y =, z =

5 SF1861 Hemuppgift 1, optimeringslära Sid 5 av A 0 = A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = A 6 = A 7 = A 8 = A 9 = A 10 = A 11 = A 12 = A 13 = A 14 =