MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Transkript

1 Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Datum:... Fredag 9/ kl Plats:... Gasquesalen Antal uppgifter:... 6 Poäng: Namn:... Personnummer:... Sektion och åk:... Kontrollera att Du fått rätt skrivning! Skrivningen består av 5 sidor (exklusive försättsblad och formelsamling). Kontrollera att du fått samtliga sidor! Betygsgränser: Betyg p Betyg p Betyg p Alla lösningar skall vara väl motiverade. Varje uppgift ska skrivas på separat papper. Skriv namn och årskurs överst på varje papper. Uppgifterna är inte anordnade efter svårighetsgrad. Tillåtna hjälpmedel: Ej förprogrammerad miniräknare, utdelad formelsamling LYCKA TILL! Resultat anslås:... Senast Måndag 26 mars 2007 i M-husets entré, norra delen Kl Tisdag 27:e mars 2007 i M:3145 Tentamensvisning:... Eventuella klagomål på rättningen skall lämnas in skriftligen i anslutning till visningen. Skrivningen delas ut 30 dagar efter visningen. Inga synpunkter beaktas efter att skrivningen delats ut.

2 Uppgift 1 (10p) Företaget VäskExperten tillverkar väskor i läder och har tre olika produkter i sitt sortiment: en handväska, en axelväska och en ryggsäck. När man tillverkar väskorna så måste varje väska genomgå två tillverkningsprocedurer: Sömnad och efterbehandling. Man har dessutom begränsat råmaterial. Resurserna och begränsningarna beskrivs i tabellen nedan. Inga andra begränsningar behöver beaktas, förutom att antalet tillverkade väskor alltid är större än eller lika med 0. Vid studerandet av tabellen nedan notera att: TB = Täckningsbidrag. Resursbehov per enhet Resurser Handväska Axelväska Ryggsäck Tillgänglighet /dag Läder (dm 2 ) Sömnad (h) Efterarbete (h) TB (kr) a) Formulera en LP-modell som beskriver problemet och använd denna för att bestämma den produktmix som maximerar TTB (Totalt täckningsbidrag) under en dag. Använd Simplex-metoden för att bestämma optimallösningen.(5p) b) Vad är skuggpriserna för de olika resurserna. (1p) c) Antag att det minst måste tillverkas 6 väskor av typ Axelväska eller Ryggsäck, d.v.s., vi lägger till bivillkoret X A +X R 6, där X A = antalet tillverkade axelväskor, X R = antalet tillverkade ryggsäckar. En konsekvens av detta är att origo ej längre utgör en tillåten startlösning till problemet. Formulera lämpligt Fas 1 problem för att bestämma en tillåten startlösning. För full poäng krävs att ni anger starttablån för Fas 1 problemet på kanonisk form (=proper form for Gaussian elimination). OBS! LÖS EJ FAS 1 PROBLEMET. (4p). 1

3 Uppgift 2 (10p) Vi ställs inför följande optimeringsproblem. Max Z = CX Då AX b X 0 Det är känt att X är en kolumnvektor med komponenterna X 1 och X 2 samt att CX = 5X 1 +4X 2 Vi har dessutom tillgång till följande optimaltablå: X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 Lösning Z 0 0 3/4 1/ X 1 X 2 S 3 S /4-1/ /8 3/ /8-5/ /8-3/ /2 5/2 1/2 a) Bestäm hur mycket kan man ändra bivillkorsgränsen för bivillkor 1 utan att den optimala baslösningen (=uppsättningen basvariabler) ändras. Använd optimaltablån och principerna för känslighetsanalys. (2p) b) Bestäm hur mycket kan man ändra koefficienten framför X 1 i målfunktionen utan att den optimala baslösningen (=uppsättningen basvariabler) ändras. Använd optimaltablån och principerna för känslighetsanalys. (3p) c) Antag att följande bivillkor läggs till problemet ovan: 2X 1 +3X 2 8. Är ovanstående optimallösning fortfarande optimal? (2p) d) Antag att en ny variabel, X 3, läggs till orginalproblemet. Vår nya målfunktion ser då ut på följande sätt: Z ny = 5X 1 +4X 2 +7X 3. Låt A 3,k vara koefficienten till variabel X 3 i bivillkor k. Vi vet att A 3,1 =4, A 3,2 =2, A 3,3 =4, A 3,4 =5 i våra nya bivillkor. D.v.s., A ny = [A, [4,2,4,5] T ] Är ovanstående optimala lösning (angiven i tablån ovan) fortfarande giltig? (3p). 2

4 Uppgift 3 (10p) Betrakta nedanstående LP problem (P) Min z = 8x x 2 +30x 3 + 2x 4 då 4x x 2 + 6x 3 4 (1) 1x 1 + 2x 2 + 2x 4 8 (2) x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 a) Formulera LP-dualen till (P) och lös det duala problemet grafiskt. (4p) b) Använd lösningen till det duala problemet för att bestämma optimallösningen till det primala problemet. Både målfunktionsvärde och värdena på samtliga primalvariabler, skall anges. (4p) c) Vilket är skuggpriset för bivillkor (2) i det primala problemet och för vilka värden på högerledskoefficienten i (2) är detta fortfarande giltigt. (2p) 3

5 Uppgift 4 (10p) Anna Analys är ekonomichef på företaget KP (Kvalitetsprodukter) AB. Företaget har just skrivit under ett inköpsavtal rörande ny maskinutrustning på kr. Kontraktet anger en betalning på kr om två månader (vi står nu vid kontraktsskrivandet i början av månad 1 så denna betalning förfaller i början av månad 3). Återstoden om kr skall betalas vid leverans i början av månad 7 (=i slutet av månad 6). Anna tänker omedelbart avsätta medel till en investeringsfond för att klara de planerade utbetalningarna. Det finns ett antal placeringsalternativ som kan generera avkastning på de avsatta pengarna innan de behöver betalas ut. Anna inser därför att hon kan starta fonden med mindre än kr. Hur mycket som behöver avsättas beror på avkastningen hos de olika placeringsalternativen samt den placeringsstrategi hon använder. De placeringsalternativ Anna bestämt sig för att beakta finns angivna i Tabell 1. Placeringsalt. Tillgänglig i början av månad.. Antal månader till utfall Avkastning Riskindex 1 1, 2, 3, 4, 5 and % 1 2 1, 3 and % and % % 9 Tabell 1. Information om de tillgängliga investeringsalternativen För att tydliggöra hur Tabell1 ska tolkas kan vi betrakta raden för placeringsalternativ 3. Den säger oss att: (i) Placering 3 är möjlig att göra en gång i början av period 1 och ytterliggare en gång i början av månad 4. (ii) Varje krona investerad i 3 vid något av dessa två tillfällen utfaller efter förräntning 3 månader senare som 1.06 kr (dessa betalningar utfaller således i början av månad 4 och 7 beroende på när investeringen gjordes). De 1.06 kr som utfaller kan omedelbart återinvesteras i början av samma månad som utfallet sker (gäller för alla placeringsalternativ). (iii) Anna graderar risken för de olika placeringsalternativen på en 10- gradig skala, där 1 motsvarar låg risk och 10 hög risk. Givet de möjliga placeringsalternativen och de planerade utbetalningarna är Annas målsättning att bestämma en placeringsstrategi som minimerar den nödvändiga initiala avsättningen till investeringsfonden. Strategin måste också uppfylla de krav KP AB har på placeringarnas genomsnittliga riskindex. Riktvärdet är att placeringarnas genomsnittliga riskindex inte ska överstiga 6. Placeringarnas genomsnittliga riskindex beräknas som ett viktat medelvärde över de olika placeringarnas riskgradering, där vikterna motsvarar placeringens relativa andel av det investerade kapitalet. För att exemplifiera, antag att X kr investeras i placering A och Y kr placeras i alternativ B. Denna placering ha ett genomsnittligt riskindex på 1*X/(X+Y)+4*Y/(X+Y). a) Formulera en LP-modell som kan vara Anna behjälplig i att hitta en optimal investeringsstrategi, vilken minimerar det kapital, I 0, som initialt måste avsättas till nyinvesteringsfonden. OBS! Lös EJ LP-modellen! (6p) b) Komplettera modellen i a) genom att inkludera villkor som reglerar följande: (i) Placering i alternativ 3 kan endast göras om placeringsalternativ 1 eller 2 också utnyttjas samtidigt. (ii) Till placeringsalternativ 4 är kopplat en fast startavgift om K kr att betalas då placering görs. Den resulterande modellen skall vara en MIP modell med binära heltalsvariabler. (4p) OBS! I både uppg. a), b) och c) gäller att alla variabler och beteckningar måste definieras och ev. antaganden motiveras. Gör inga formuleringsavvägningar baserat på de numeriska värdena givna i uppgiften! Poängavdrag ges för svårtydbara lösningar! 4

6 Uppgift 5 (10p) Betrakta ett kösystem av födelse-döds typ med exponentialfördelade tider mellan kundankomster samt exponentialfördelade betjäningstider. Låt λ, 0 k N λ k = 2λ, N < k samt μ k = μ, k = 1,2,3, (som vanligt är parametern λ kopplad till ankomstprocessen och μ till betjäningsprocessen) a) Ta fram ett uttryck för de stationära tillståndssannolikheterna, P k, k 0. (Förenkla så långt som möjligt. Det slutliga uttrycket ska inte innehålla några summatecken.) (8p) b) Vilket förhållande mellan λ och μ måste råda för att en jämviktslösning skall existera? Motivera ditt svar! (2p) Uppgift 6 (10p) I en liten frisörssalong jobbar endast en frisör med enbart en plats för en väntande kund då frisören är upptagen med att klippa någon annan. Kunder som anländer och finner väntplatsen upptagen antas alltså gå förlorade. Klipptiden antas vara Erlang-2 fördelad med medelvärde 20 minuter. Vidare antas kunder ankomma till salongen för att bli klippta enligt en Poissonprocess med intensitet 3 stycken per timme. Beräkna de stationära sannolikheterna för antalet kunder i systemet. (10p) 5