Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)"

Transkript

1 Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade föreläsningsanteckningar från kapitel 3, 4 och 5 i Hillier & Lieberman. Dessa anteckningar är inte fullständiga på något sätt och ersätter därmed ej kursboken. Vanligaste applikationen: Verktyg för att allokera begränsade resurser mellan konkurrerande aktiviteter på bästa sätt. Alla samband (funktioner) i modellen måste vara linjära, både målfunktion och bivillkor. Med programmering menas här planering LP-problem av storlek större löses mha den så kallade simplex algoritmen. Exempel 1 Ett stålverk köper in skrot och annan metall och smälter samman detta till olika produkter. Till en speciell produkt som består av 1000 kg metall ingår de tre metallerna: Nickel, Krom och Molybden. Metallblandningen består av fyra olika sorters skrot samt de tre metallerna. Antag att vi har följande specifikation. 1 1 Detta exempel är hämtat från Lundgren, Rönnqvist, Värbrand: Linjär och icke-linjär optimering. 1

2 2 Nr Komponent Kol Nickel Krom Molybden Kostnad per kg 1 Skrot Skrot Skrot Skrot Nickel Krom Molybden Undre gräns Övre gräns Det gäller även att skrot 1 och 2 är begränsade till 75 respektive 250 kg. Målet är alltså att minimera inköpskostnaden. Lösning: Matematisk modell: x j = antal kg av sort j som ingår i blandningen, j = 1,...,7. då minz = 16x 1 +10x 2 +8x 3 +9x 4 +48x 5 +60x 6 +53x 7 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 75 x x 1,x 2,...,x 7 0 Detta ger en optimal lösning x = (75,90.9,672.3,137.3,13.6,0,10.9) med optimalt målfunktionsvärde Z = kr. Exempel 2 Vi ska i detta exemplet studera ett transport problem. Antag att ett företag har m st. anläggningar (fabriker) S 1,S 2,...,S m som distribuerar

3 3 till n st. stora kunder D 1,D 2,...,D n. Problemet är att hitta vilka anläggningar som ska skicka till vilka kunder, samt hur mycket som ska skickas. Definiera S1 D1 S2 D2 Sm Dn Figur 1: Flöde från fabriker S i till kunder D j. c ij = kostnad för att transportera från S i till D j s i = tillgång (kapacitet) vid S i, i = 1,...,m d j = kundefterfrågan vid D j, j = 1,...,n x ij = flödet från S i till D j Detta ger LP-problemet minz = m c ij x ij i=1 då x ij s i, i = 1,...,m m x ij = d j, j = 1,...,n alla x ij 0 Den första olikheten i bivillkoren betyder helt enkelt att man inte kan skicka mer än det som finns vid varje fabrik. Det andra villkoret (den med likhet) säger att efterfrågan vid varje kundcentra D j skall mötas exakt.

4 1 LP-PROBLEMS MATEMATISKA KARAKTÄR 4 1 LP-problems matematiska karaktär LP-problem på standardform: max Z = c i x i i=1 (eng: objective function, sv: målfunktion) då a ij x j b i, i = 1,...,m (eng: functional constraints, sv: bivillkor) x j 0, j = 1,...,n. (eng: non-negative functional constraints) LP-problem på matrisform: max Z = c T x då Ax b x 0 (1) där c = (c 1 c 2 c n ) T, x = (x 1 x 2 x n ) T, b = (b 1 b 2 b m ) T, och a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Andra varianter på formuleringar 1. minc T x 2. n a ijx j b i 3. n a ijx j = b i 4. x i fri, dvs x i tillåts både vara negativ och positiv Senare då simplex algoritmen ska formuleras matematiskt är det en fördel om det tillåtna området är uttryckt som ekvationer (inte olikheter) och även att alla variabler är icke-negativa. Problemtransformationer 1. n a ijx j b i n a ijx j + s i = b i, s i 0. Den införda variablen s i kallas för slackvariabel. Slackvariabeln är ett mått på icke utnyttjade resurser.

5 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 5 2. n a ijx j b i n a ijx j s i = b i, s i n a ijx j = b i n a ijx j b i och n a ijx j b i. 4. max i=1 c ix i = min i=1 ( c ix i ). Detta betyder att: maxz = c T x med bivillkor Ax b, x 0 är ekvivalent med miny = c T y med bivillkor Ay b, y 0. Alltså är Z = Y och x = y. 2 Linjärprogrammeringens fundamentalsats Sats 1 Antag att det tillåtna området X = {x ; Ax b, x 0} är begränsat och icke-tomt, dvs det finns en begränsad optimal lösning till LP-problemet. Då gäller att maxc T x och minc T x antas i (minst) en extrempunkt x (k) i X. För beviset behövs först några definitioner. Definition 1 En mängd X R n är konvex om X = {y ; y = λx (1) +(1 λ)x (2) X, x (1), x (2) X, 0 λ 1} X. I Figur 2 finns ett exempel på en konvex- och en icke-konvex mängd. konvex ej konvex Figur 2: Exempel på en konvex- och en icke-konvex mängd. Lemma 1 Det tillåtna området i ett LP-problem utgör en konvex mängd. Bevis: Tag två punkter x och y som båda är tillåtna map bivillkor i, dvs a ij x j b i, a ij y j b i.

6 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 6 Betrakta en godtycklig punkt på linjen mellan x och y, dvs en punkt w = λx + (1 λ)y, 0 λ 1. Multiplicera första olikheten med λ och andra olikheten med 1 λ. = λ a ij x j +(1 λ) a ij y j λb i +(1 λ)b i = b i a ij (λx+(1 λ)y) b i. Detta betyder att även alla punkter w på linjen mellan x och y är tillåten map bivillkor i, vilket är definition på en konvex mängd. Definition 2 En konvex kombination av punkterna x (1), x (2),...,x (p) är en punkt sådan att p x = λ j x (j), p λ j = 1, λ j 0 för alla j. Definition 3 Punkten x (k) är en extrempunkt i X om x (k) ej kan skrivas som en strikt konvex kombination av två punkter i X, dvs givet x (1), x (2) X så gäller att x (k) = λx (1) +(1 λ)x (2) endast om x (1) = x (2) = x (k). Bevis av fundamentalsatsen: Antag motsatsen, dvs att x (inre punkt eller randpunkt) minimerar c T x och att ingen extrempunkt i X ger samma målfunktionsvärde, dvs, c T x < c T x (k), k = 1,...,p. Eftersom X är konvex kan x skrivas som p x = λ k x (k) där k=1 p λ k = 1, λ k 0 för alla k. k=1 = c T x = p λ k c T x (k) > k=1 p λ k c T x = c T x k=1 p λ k = c T x vilket är en motsägelse. Alltså kan vi dra slutsatsen att x måste vara en extrempunkt. k=1

7 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 7 Grundläggande terminologi Ett LP-problem på standardform har formen maxz = c i x i (2) i=1 då a ij x j b i, i = 1,...,m x j 0, j = 1,...,n. I detta allmäna fall har vi alltså n beslutsvariabler samt m bivillkor. Här följer några definitioner Definition 4 Med en hörnpunktslösning till (2) menas en punkt där minst n bivillkor är uppfyllda med likhet. Definition 5 Med en tillåten hörnpunktslösning till (2) menas en punkt där samtliga bivillkor är uppfyllda, samt att minst n bivillkor är uppfyllda med likhet. Vi ska nu beskriva en metod som på ett systematiskt sätt söker efter optimum (om det existerar) till problem (2). Låt oss i fortsättningen antaga att problem (2) har en begränsad lösning. Intuitivt vore det en god idé att enbart söka i tillåtna hörnpunktslösningar eftersom vi vet att en lösning garanterat finns i en sådan enligt fundamentalsatsen. Detta är precis vad simplexalgoritmen gör. Algoritmen beskrivs enklast genom ett exempel. Betrakta följande exempel. Exempel 1: max Z = 3x 1 + 5x 2 då x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x j 0 j. (3) Det skuggade området i figuren nedan utgöt det tillåtna området för (3). I figuren markerar ringarna hörnpunktslösningar. Låt oss skriva problemet i form av likheter i bivillkoren istället för olikheter. Detta görs genom att

8 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 8 x Figur 3: Tillåtet område. x 1 införa s.k. slackvariabler x 3, x 4 och x 5. max Z = 3x 1 + 5x 2 då x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 x j 0 j. (4) En lösning till (3) kallas en hörnpunktslösning, medan en lösning till (4) kallas en baslösning. Skillnaden är att i en baslösning inkluderas värdena på slackvariablerna. T ex betyder x 3 = 0 att bivillkor 1 är aktivt, dvs uppfyllt med likhet. Vi är nu mogna för en definition av en baslösning. Låt n vara antal variabler, och m antal bivillkor i ett system på kanonisk form (likhet i bivillkoren). Definition 6 En baslösning till ekvationssystemet Ax = b erhålles om n m variabler sätts till 0 och resterande variabler får de unika värden då det kvarvarande (m m) ekvationssystemet löses. De variabler som sätts till noll kallas icke-bas variabler, medan resterande m variablerkallas bas variabler.ivårtexempeläralltsån = 5ochm = 3.Detta betyder att vi alltid kommer att ha 3 basvariabler, och 2 icke-basvariabler.

9 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 9 Basbyten Antag att vi har hittat en tillåten lösning till ett LP-problem. Frågan är hur vi ska söka efter andra lösningar som resulterar i ett bättre målfunktionsvärde. Givet att vi står i en punkt, säg x 0, så är en idé att kontrollera vilken närliggande punkt till x 0 som ger den största förbättringen av målfunktionsvärdet och förflytta sig till denna. Vi upprepar förförandet genom att återigen förflytta oss till den närliggande punkt som ger den största förbättringen av målfunktionsvärdet. Till slut, då det inte finns någon närliggande hörnpunkt som ger ett bättre målfunktionsvärde har vi hittat optimum. Kan vi vara säkra på att detta förfaringssätt kommer att fungera? Ja, vi nöjer oss medatt konstateraatt; ärbaradettillåtna området konvextsåärdet säkert! Med ett basbyte menar vi att en basvariabel byts ut mot en icke-basvariabel. På detta sätt förflyttar vi oss till en närliggande hörnpunkt. Vi fortsätter nu vårt exempel. 0. Hitta en tillåten startpunkt: I ett LP-problem på standardform är alltid origo en tillåten lösning. Låt oss därför alltid ta origo som startlösning för enkelhets skull. Vi startar alltså i punkten x = (0,0,4,12,18). Detta är vår ingående baslösning. Notera att alla slackvariabler är basvariabler här eftersom alla ursprungliga variabler är satta till noll. 1. Testa optimalitet: Vi har målfunktionen Z = 3x 1 + 5x 2. För tillfället är både x 1 och x 2 icke-basbasvariabler, de har alltså värdet noll. Genom att låta antingen x 1 eller x 2 få ett postivt värde kan vi öka Z. Alltså har vi ej hittat optimum. 2. Basbyte: Gör ett basbyte, d v s byt ut exakt en basvariabel mot en icke-basvariabel. Ingående basvariabel: Vi väljer att låta x 2 få ett positivt värde eftersom Z ökar mest då. På detta sätt gör vi x 2 till en basvariabel. Utgående basvariabel: Vi vill öka den ingående basvariabeln så mycket som möjligt utan att hamna utanför det tillåtna området. Uttryck basvariablerna som funktion av icke-basvariablerna. Vi får x 3 = 4 (eftersom x 1 = 0) x 4 = 12 2x 2 0 x 2 6 minst x 5 = 18 2x 2 0 x 2 9.

10 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 10 Alltså, vi kan öka x 2 till 6 utan att komma ur det tillåtna området. Då x 2 ökas till 6 så minskar samtidigt x 4 till 0, och därmed blir x 4 den utgående basvariabeln. 3. Gausselimination: Skriv om problemet på ny form så att vi lätt kan utföra en ny iteration. Tänk på att basvariablerna nu är x 2, x 3, och x 5. max Z 3x 1 5x 2 = 0 då x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 x j 0 j. max Z 3x x 4 = 30 då x 1 + x 3 = 4 x x 4 = 6 3x 1 x 4 + x 5 = 6 x j 0 j. Märk hur lätt det nu är att se baslösningen x = (0,6,4,0,6). I figur 4 ses förflyttningen från x = (0,0,4,12,18) till punkten x = (0,6,4,0,6). x x 1 Figur 4: Förflyttning från x = (0,0,4,12,18) till punkten x = (0,6,4,0,6). 1. Testa optimalitet: Vi har målfunktionen Z = 3x x Vi kan fortfarande öka Z genom att öka x 1. Därför har optimum ej ännu uppnåtts.

11 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM Basbyte: Ingående basvariabel: x 1 blir alltså ingående basvariabel. Utgående basvariabel: Uttryck basvariablerna som funktion av icke-basvariablerna. Vi får x 3 = 4 x 1 0 x 1 4 x 2 = 6 (eftersom x 4 = 0) x 5 = 6 3x 1 0 x 1 2 minst Detta betyder att x 5 får värdet 0 då x 1 ökas till 2. x 5 blir alltså utgående basvariabel. 3. Gausselimination: max Z 3x x 4 = 30 då x 1 + x 3 = 4 x x 4 = 6 3x 1 x 4 + x 5 = 6 x j 0 j. max Z 3x x 4 + x 5 = 36 då x x x 5 = 2 x x 4 = 6 x x x 5 = 2 x j 0 j. Här ses lätt att vi för tillfället befinner oss i punkten x = (2,6,2,0,0). 1. Testa optimalitet: Vi har målfunktionen Z = 3 2 x 4 x Här ses att om vi ökar antingen x 4 eller x 5 från 0 till ett positivt värde, så kommer målfunktionsvärdet att försämras. Detta betyder att vi nått optimum. I figur 5 nedan syns alla förflyttningar (två stycken). 3 Simplexmetoden i matrisform Vi ska i detta avsnitt generalisera simplex algoritmen. Metoden kan ganska enkelt beskrivas algebraiskt, vilket är en fördel när man väl ska implementera algoritmen. Istället för att skilja på ursprungliga varibler och slackvariabler som i Hillier & Lieberman, så ska vi istället skilja på bas och ickebasvariabler. Detta ska visa sig vara smidigt då man vill avgöra om en baslösning är

12 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM 12 x 2 optimum x 1 Figur 5: Förflyttning från x = (0,0,4,12,18) till x = (0,6,4,0,6), och slutligen till x = (2,6,2,0,0). optimal eller inte. Antag att vi har ett system på kanonisk form (kan fås genom att lägga till slackvariabler i standardproblemet), dvs Max Z = cx = c 1 x c n x n då Ax = b, x 0 (5) Här är c definierad som en radvektor medan x och b är kolonnvektorer. Vi benämner Z som målfunktionen och säger att x är en tillåten lösning då x L där L = {x R n ; Ax = b, x 0}. Idén är( att dela ) upp i basrespektive ickebasvariabler, dvs A = (B N) och x = x B x N. Här består B av kollonner i A som hör till basvariablerna och på motsvarande sätt för N. Påsamma sätt delas även c upp,c = (c B c N ). System (5) kan nuskrivas som Max Z = c B x B +c N x N då Bx B +Nx N = b, x B, x N 0. Bivillkoret i (6) kan enkelt skrivas som (B inverterbar) (6) x B = B 1 b B 1 Nx N. (7) Här har vi alltså uttryckt basvariablerna som funktion av ickebasvariablerna. Detta gör vi för att kunna uttrycka målfunktionen Z som funktion av endast

13 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM 13 ickebasvariablerna. Målfunktionen kan nu skrivas som Z = c B x B +c N x N = c B (B 1 b B 1 Nx N )+c N x N = c B B 1 b+(c N c B B 1 N) }{{} x N. (8) = c N Här ses tydligt att så länge det finns positiva element i c N så kan vi öka målfunktionen ytterliggare genom att låta motsvarande ickebasvariabel gå in som ny basvariabel. Uttrycket c B B 1 b är endast en konstant term som läggs till målfunktionen. Eftersom x N = 0 i extrempunkten så blir Z = c B B 1 b och x B = B 1 b. Vi kan nu sammanfatta resultaten i tabellform. Låt b beteckna högerledet. Ursprungligen har vi tabellen Z x B x N b 1 c B c N 0 0 B N b Enligt resonemangen ovan kan vi uttrycka målfunktionen och basvariabler som funktion av ickabasvariablerna i tabellform Z x B x N b 1 0 c B B 1 N c N c B B 1 b 0 I B 1 N B 1 b I raden för målfunktionen ser vi att c N återkommer fast med omvänt tecken. Alltså, så länge det finns negativa koefficienter i raden för målfunktionen så har vi inte nått den optimala lösningen. Exempel Betrakta följande maximeringsproblem max 3x 1 +4x 2 x 3 +2x 4 +x 5 då 2x 1 +x 2 2x 3 +4x 4 x 5 4 2x 1 +3x 2 +x 3 +2x 4 +x 5 8 x j 0 j. Lös problemet med simplex-algoritmen i matrisform. Ange den optimala baslösningen samt målfunktionens maximala värde.

14 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM 14 Lösning: Problemet skall lösas på matrisform och efter att ha infört slackvariablerna x 6 och x 7 som blir de initiala basvariablerna så får vi att c B = (0 0) = c B B 1 N c N = c N = ( ). Iteration ( 1: ) Detta betyder att x 2 går in som ny basvariabel. Enligt uppgift 4 är b =. För att avgöra vilken variabel som ska lämna som basvariabel 8 gör vi divisionstestet. Eftersom b 1 /a 12 = 4 > b 2 /a 22 = 8/3 så ska x 7 lämna som basvariabel. De nya basvariablerna är alltså x B = (x 6 x 2 ) T och c B = (0 4). Det betyder att ( ) ( ) 1 1 B = = B 1 = 1 3 1, samt att N = ( ) (, c N = ). Kontrollera optimalitet enligt c B B 1 N c N = 1 3 ( ). Då det finns negativa element kvar i c B B 1 N c N så är lösningen inte optimal. x 1 blir den nya basvariablen. Iteration 2: Kom ihåg att vi har basvariablerna x B = (x 6 x 2 ) T i just den ordningen. En av dessa ska gå ut som basvariabel när x 1 går in, men vilken? Först måste vi uppdatera högerledet b till b och bivillkors-koefficienterna A 1 till à 1 för den ingående basvariabeln, se ekvation (7) (dessa koefficienter ändras klart när man utför Gausselimination). Vi får alltså ( )( ) ( ) Nytt högerled: b = B 1 b = /3 = /3 ( ) ( )( ) ( ã 11 Nya koeff. för x 1 : à 1 = = B 1 A 1 = = ã Enligt samma resonemang som tidigare så tar vi reda på vilken nuvarande basvariabel som begränsar x 1 :s ökning mest Ska x 6 gå ut? b1 /ã 11 = 4 3 /4 3 = 1 minst Ska x 2 gå ut? b2 /ã 21 = 8 3 /2 3 = 4. 4/3 2/3 )

15 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM 15 Alltså blir x 6 utgående variabel vilket betyder att ( ) ( 2 1 B = = B 1 = ), c B = (3 4). ( ) ( ) N =, c N = ( ) och att c B B 1 N c N = vilket betyder att vi har nått optimum. Det optimala värdet ( är: ) z = c B B 1 b = 11, och den optimala baslösningen är: x B = 1 B 1 b =. 2 Det överlåtes åt läsaren att implementera simplex-algoritmen i Matlab. T ex: A=[ ; ]; b=[4 8] ; c=[ ]; [optbasevector,optbasevalues,optz] = simplexalg(a,b,c) ITERATION: 1 Ingående basvariabel: 2 Utgående basvariabel: 7 ITERATION: 2 Ingående basvariabel: 1 Utgående basvariabel: 6 Vi har nått optimal lösning, ÄNTLIGEN (som Fylking säger)! optbasevector = 1 2 optbasevalues =

16 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM optz = 11

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?

Läs mer

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering

Läs mer

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder

Läs mer

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST:

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: 2015 TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: OSKQV953@STUDENT.LIU.SE Innehållsförteckning Allmänt... 2 Om optimering... 3 Matematiska formuleringar av optimeringsproblem... 3 Linjärprogrammering

Läs mer

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills

Läs mer

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Optimeringslära för T (SF1861)

Optimeringslära för T (SF1861) Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation

Läs mer

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen.

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Betrakta kvadratiska delmatriser av storlek n n, dar n m, och anvand induktion med avseende

Läs mer

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Krister Svanberg, april 2012 1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Ett nätverk består av en given mängd noder numrerade från 1 till m (där m är antalet noder) samt en given mängd riktade bågar mellan vissa

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016 Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, 3 Juni, 6 Uppgift (a) We note that each column in the matrix A contains one + and one, while all the other elements in the column are zeros We also note that

Läs mer

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska

Läs mer

Föreläsning 6: Nätverksoptimering

Föreläsning 6: Nätverksoptimering Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem

Läs mer

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:

Läs mer

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner Linköpings Tekniska Högskola Institutionen för Teknik och Naturvetenskap/ITN TENTAMEN TNE 05 OPTIMERINGSLÄRA Datum: 008-05-7 Tid: 4.00-8.00 Hjälpmedel: Boken Optimeringslära av Lundgren et al. och Föreläsningsanteckningar

Läs mer

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

1 Ickelinjär optimering under bivillkor Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod Kursnamn T7005N Operationsanalys Datum LP2 13/14 Material Kursexaminator Sammanfattning Björn Samuelsson Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i

Läs mer

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Föreläsning 6: Transportproblem (TP)

Föreläsning 6: Transportproblem (TP) Föreläsning 6: Transportproblem (TP) 1. Transportproblem 2. Assignmentproblem Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Transportproblem Transportproblem Varor ska transporteras från fabriker till varuhus:

Läs mer

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 9 april 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 21 augusti 2012 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 2: Forts. introduktion till matematisk modellering

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 2: Forts. introduktion till matematisk modellering TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 2: Forts. introduktion till matematisk modellering 2017-11-01 2 Dagordning Matematisk modellering, Linjära Problem (LP) Terminologi Målfunktion

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 9 augusti 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 2 oktober 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

Läs mer

Lösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015

Lösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015 Lösningar till tentan i SF86/5 Optimeringslära, 3 juni, 25 Uppgift.(a) Första delen: The network is illustrated in the following figure, where all the links are directed from left to right. 3 5 O------O

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Stokastiska processer

Stokastiska processer Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 1 november 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

Extrempunkt. Polyeder

Extrempunkt. Polyeder Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den. Dvs. finna en optimal lösning, x, till modellen. Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan bättre. Upprepa, tills

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 6 Det duala problemet Relationer primal dual Optimalitetsvillkor Nätverksoptimering (introduktion) Agenda Motivering av det duala problemet (kap 6.)

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod. Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar

Läs mer

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013 Optimering Optimering av transportproblem Campusveckan VT2013 Linköpings universitet SL 1 Optimering - Distributionsproblem Företaget Kulprodukter AB producerar sina kulor vid fyra olika fabriksanläggningar

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722)

Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722) Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722) Februari 2004 Avdelningen för Optimeringslära och Systemteori Institutionen för Matematik Kungliga Tekniska Högskolan Stockholm Allmän information

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS

TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 22 maj 2012 Tid: 8 12, TP56 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p.

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 24 oktober 204 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Tentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära

Tentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära Tentamen TMA946/MAN80 tillämpad optimeringslära 01081 1. Uppgift: min z 3x 1 + x Då x 1 + x 6 x 1 + x x 1, x 0 Skriv på standardform m.h.aṡlackvariabler min z 3x 1 + x Då x 1 + x s 1 6 x 1 x + s x 1, x,

Läs mer

1. Vad är optimering?

1. Vad är optimering? . Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst, men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. För att kunna jämföra olika fall samt avgöra vad som är bäst måste man

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 19 mars 2011 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Optimering med hjälp av Lego. Mathias Henningsson

Optimering med hjälp av Lego. Mathias Henningsson Optimering med hjälp av Lego Mathias Henningsson Vem är jag? Mathias Henningsson Lärare Optimeringslära 1996-2007 Produktionsekonomi 2008- Bokförfattare Optimeringslära övningsbok (Studentlitteratur) Arbetar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 maj 2014 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: oktober 01 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Föreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer

Föreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer Föreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer Många av de NP-fullständiga problemen är från början optimeringsproblem: TSP, Graph Coloring, Vertex Cover etc. Man tror att P NP och att det alltså inte går

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 1 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 5. Flöden. Reduktioner. Förändrat flöde

Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 5. Flöden. Reduktioner. Förändrat flöde Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 5 Flöden. Reduktioner Förändrat flöde a) Beskriv en effektiv algoritm som hittar ett nytt maximalt flöde om kapaciteten längs en viss kant ökar med en enhet. Algoritmens

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10

Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10 Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer