Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)"

Transkript

1 Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade föreläsningsanteckningar från kapitel 3, 4 och 5 i Hillier & Lieberman. Dessa anteckningar är inte fullständiga på något sätt och ersätter därmed ej kursboken. Vanligaste applikationen: Verktyg för att allokera begränsade resurser mellan konkurrerande aktiviteter på bästa sätt. Alla samband (funktioner) i modellen måste vara linjära, både målfunktion och bivillkor. Med programmering menas här planering LP-problem av storlek större löses mha den så kallade simplex algoritmen. Exempel 1 Ett stålverk köper in skrot och annan metall och smälter samman detta till olika produkter. Till en speciell produkt som består av 1000 kg metall ingår de tre metallerna: Nickel, Krom och Molybden. Metallblandningen består av fyra olika sorters skrot samt de tre metallerna. Antag att vi har följande specifikation. 1 1 Detta exempel är hämtat från Lundgren, Rönnqvist, Värbrand: Linjär och icke-linjär optimering. 1

2 2 Nr Komponent Kol Nickel Krom Molybden Kostnad per kg 1 Skrot Skrot Skrot Skrot Nickel Krom Molybden Undre gräns Övre gräns Det gäller även att skrot 1 och 2 är begränsade till 75 respektive 250 kg. Målet är alltså att minimera inköpskostnaden. Lösning: Matematisk modell: x j = antal kg av sort j som ingår i blandningen, j = 1,...,7. då minz = 16x 1 +10x 2 +8x 3 +9x 4 +48x 5 +60x 6 +53x 7 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 75 x x 1,x 2,...,x 7 0 Detta ger en optimal lösning x = (75,90.9,672.3,137.3,13.6,0,10.9) med optimalt målfunktionsvärde Z = kr. Exempel 2 Vi ska i detta exemplet studera ett transport problem. Antag att ett företag har m st. anläggningar (fabriker) S 1,S 2,...,S m som distribuerar

3 3 till n st. stora kunder D 1,D 2,...,D n. Problemet är att hitta vilka anläggningar som ska skicka till vilka kunder, samt hur mycket som ska skickas. Definiera S1 D1 S2 D2 Sm Dn Figur 1: Flöde från fabriker S i till kunder D j. c ij = kostnad för att transportera från S i till D j s i = tillgång (kapacitet) vid S i, i = 1,...,m d j = kundefterfrågan vid D j, j = 1,...,n x ij = flödet från S i till D j Detta ger LP-problemet minz = m c ij x ij i=1 då x ij s i, i = 1,...,m m x ij = d j, j = 1,...,n alla x ij 0 Den första olikheten i bivillkoren betyder helt enkelt att man inte kan skicka mer än det som finns vid varje fabrik. Det andra villkoret (den med likhet) säger att efterfrågan vid varje kundcentra D j skall mötas exakt.

4 1 LP-PROBLEMS MATEMATISKA KARAKTÄR 4 1 LP-problems matematiska karaktär LP-problem på standardform: max Z = c i x i i=1 (eng: objective function, sv: målfunktion) då a ij x j b i, i = 1,...,m (eng: functional constraints, sv: bivillkor) x j 0, j = 1,...,n. (eng: non-negative functional constraints) LP-problem på matrisform: max Z = c T x då Ax b x 0 (1) där c = (c 1 c 2 c n ) T, x = (x 1 x 2 x n ) T, b = (b 1 b 2 b m ) T, och a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Andra varianter på formuleringar 1. minc T x 2. n a ijx j b i 3. n a ijx j = b i 4. x i fri, dvs x i tillåts både vara negativ och positiv Senare då simplex algoritmen ska formuleras matematiskt är det en fördel om det tillåtna området är uttryckt som ekvationer (inte olikheter) och även att alla variabler är icke-negativa. Problemtransformationer 1. n a ijx j b i n a ijx j + s i = b i, s i 0. Den införda variablen s i kallas för slackvariabel. Slackvariabeln är ett mått på icke utnyttjade resurser.

5 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 5 2. n a ijx j b i n a ijx j s i = b i, s i n a ijx j = b i n a ijx j b i och n a ijx j b i. 4. max i=1 c ix i = min i=1 ( c ix i ). Detta betyder att: maxz = c T x med bivillkor Ax b, x 0 är ekvivalent med miny = c T y med bivillkor Ay b, y 0. Alltså är Z = Y och x = y. 2 Linjärprogrammeringens fundamentalsats Sats 1 Antag att det tillåtna området X = {x ; Ax b, x 0} är begränsat och icke-tomt, dvs det finns en begränsad optimal lösning till LP-problemet. Då gäller att maxc T x och minc T x antas i (minst) en extrempunkt x (k) i X. För beviset behövs först några definitioner. Definition 1 En mängd X R n är konvex om X = {y ; y = λx (1) +(1 λ)x (2) X, x (1), x (2) X, 0 λ 1} X. I Figur 2 finns ett exempel på en konvex- och en icke-konvex mängd. konvex ej konvex Figur 2: Exempel på en konvex- och en icke-konvex mängd. Lemma 1 Det tillåtna området i ett LP-problem utgör en konvex mängd. Bevis: Tag två punkter x och y som båda är tillåtna map bivillkor i, dvs a ij x j b i, a ij y j b i.

6 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 6 Betrakta en godtycklig punkt på linjen mellan x och y, dvs en punkt w = λx + (1 λ)y, 0 λ 1. Multiplicera första olikheten med λ och andra olikheten med 1 λ. = λ a ij x j +(1 λ) a ij y j λb i +(1 λ)b i = b i a ij (λx+(1 λ)y) b i. Detta betyder att även alla punkter w på linjen mellan x och y är tillåten map bivillkor i, vilket är definition på en konvex mängd. Definition 2 En konvex kombination av punkterna x (1), x (2),...,x (p) är en punkt sådan att p x = λ j x (j), p λ j = 1, λ j 0 för alla j. Definition 3 Punkten x (k) är en extrempunkt i X om x (k) ej kan skrivas som en strikt konvex kombination av två punkter i X, dvs givet x (1), x (2) X så gäller att x (k) = λx (1) +(1 λ)x (2) endast om x (1) = x (2) = x (k). Bevis av fundamentalsatsen: Antag motsatsen, dvs att x (inre punkt eller randpunkt) minimerar c T x och att ingen extrempunkt i X ger samma målfunktionsvärde, dvs, c T x < c T x (k), k = 1,...,p. Eftersom X är konvex kan x skrivas som p x = λ k x (k) där k=1 p λ k = 1, λ k 0 för alla k. k=1 = c T x = p λ k c T x (k) > k=1 p λ k c T x = c T x k=1 p λ k = c T x vilket är en motsägelse. Alltså kan vi dra slutsatsen att x måste vara en extrempunkt. k=1

7 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 7 Grundläggande terminologi Ett LP-problem på standardform har formen maxz = c i x i (2) i=1 då a ij x j b i, i = 1,...,m x j 0, j = 1,...,n. I detta allmäna fall har vi alltså n beslutsvariabler samt m bivillkor. Här följer några definitioner Definition 4 Med en hörnpunktslösning till (2) menas en punkt där minst n bivillkor är uppfyllda med likhet. Definition 5 Med en tillåten hörnpunktslösning till (2) menas en punkt där samtliga bivillkor är uppfyllda, samt att minst n bivillkor är uppfyllda med likhet. Vi ska nu beskriva en metod som på ett systematiskt sätt söker efter optimum (om det existerar) till problem (2). Låt oss i fortsättningen antaga att problem (2) har en begränsad lösning. Intuitivt vore det en god idé att enbart söka i tillåtna hörnpunktslösningar eftersom vi vet att en lösning garanterat finns i en sådan enligt fundamentalsatsen. Detta är precis vad simplexalgoritmen gör. Algoritmen beskrivs enklast genom ett exempel. Betrakta följande exempel. Exempel 1: max Z = 3x 1 + 5x 2 då x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x j 0 j. (3) Det skuggade området i figuren nedan utgöt det tillåtna området för (3). I figuren markerar ringarna hörnpunktslösningar. Låt oss skriva problemet i form av likheter i bivillkoren istället för olikheter. Detta görs genom att

8 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 8 x Figur 3: Tillåtet område. x 1 införa s.k. slackvariabler x 3, x 4 och x 5. max Z = 3x 1 + 5x 2 då x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 x j 0 j. (4) En lösning till (3) kallas en hörnpunktslösning, medan en lösning till (4) kallas en baslösning. Skillnaden är att i en baslösning inkluderas värdena på slackvariablerna. T ex betyder x 3 = 0 att bivillkor 1 är aktivt, dvs uppfyllt med likhet. Vi är nu mogna för en definition av en baslösning. Låt n vara antal variabler, och m antal bivillkor i ett system på kanonisk form (likhet i bivillkoren). Definition 6 En baslösning till ekvationssystemet Ax = b erhålles om n m variabler sätts till 0 och resterande variabler får de unika värden då det kvarvarande (m m) ekvationssystemet löses. De variabler som sätts till noll kallas icke-bas variabler, medan resterande m variablerkallas bas variabler.ivårtexempeläralltsån = 5ochm = 3.Detta betyder att vi alltid kommer att ha 3 basvariabler, och 2 icke-basvariabler.

9 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 9 Basbyten Antag att vi har hittat en tillåten lösning till ett LP-problem. Frågan är hur vi ska söka efter andra lösningar som resulterar i ett bättre målfunktionsvärde. Givet att vi står i en punkt, säg x 0, så är en idé att kontrollera vilken närliggande punkt till x 0 som ger den största förbättringen av målfunktionsvärdet och förflytta sig till denna. Vi upprepar förförandet genom att återigen förflytta oss till den närliggande punkt som ger den största förbättringen av målfunktionsvärdet. Till slut, då det inte finns någon närliggande hörnpunkt som ger ett bättre målfunktionsvärde har vi hittat optimum. Kan vi vara säkra på att detta förfaringssätt kommer att fungera? Ja, vi nöjer oss medatt konstateraatt; ärbaradettillåtna området konvextsåärdet säkert! Med ett basbyte menar vi att en basvariabel byts ut mot en icke-basvariabel. På detta sätt förflyttar vi oss till en närliggande hörnpunkt. Vi fortsätter nu vårt exempel. 0. Hitta en tillåten startpunkt: I ett LP-problem på standardform är alltid origo en tillåten lösning. Låt oss därför alltid ta origo som startlösning för enkelhets skull. Vi startar alltså i punkten x = (0,0,4,12,18). Detta är vår ingående baslösning. Notera att alla slackvariabler är basvariabler här eftersom alla ursprungliga variabler är satta till noll. 1. Testa optimalitet: Vi har målfunktionen Z = 3x 1 + 5x 2. För tillfället är både x 1 och x 2 icke-basbasvariabler, de har alltså värdet noll. Genom att låta antingen x 1 eller x 2 få ett postivt värde kan vi öka Z. Alltså har vi ej hittat optimum. 2. Basbyte: Gör ett basbyte, d v s byt ut exakt en basvariabel mot en icke-basvariabel. Ingående basvariabel: Vi väljer att låta x 2 få ett positivt värde eftersom Z ökar mest då. På detta sätt gör vi x 2 till en basvariabel. Utgående basvariabel: Vi vill öka den ingående basvariabeln så mycket som möjligt utan att hamna utanför det tillåtna området. Uttryck basvariablerna som funktion av icke-basvariablerna. Vi får x 3 = 4 (eftersom x 1 = 0) x 4 = 12 2x 2 0 x 2 6 minst x 5 = 18 2x 2 0 x 2 9.

10 2 LINJÄRPROGRAMMERINGENS FUNDAMENTALSATS 10 Alltså, vi kan öka x 2 till 6 utan att komma ur det tillåtna området. Då x 2 ökas till 6 så minskar samtidigt x 4 till 0, och därmed blir x 4 den utgående basvariabeln. 3. Gausselimination: Skriv om problemet på ny form så att vi lätt kan utföra en ny iteration. Tänk på att basvariablerna nu är x 2, x 3, och x 5. max Z 3x 1 5x 2 = 0 då x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 x j 0 j. max Z 3x x 4 = 30 då x 1 + x 3 = 4 x x 4 = 6 3x 1 x 4 + x 5 = 6 x j 0 j. Märk hur lätt det nu är att se baslösningen x = (0,6,4,0,6). I figur 4 ses förflyttningen från x = (0,0,4,12,18) till punkten x = (0,6,4,0,6). x x 1 Figur 4: Förflyttning från x = (0,0,4,12,18) till punkten x = (0,6,4,0,6). 1. Testa optimalitet: Vi har målfunktionen Z = 3x x Vi kan fortfarande öka Z genom att öka x 1. Därför har optimum ej ännu uppnåtts.

11 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM Basbyte: Ingående basvariabel: x 1 blir alltså ingående basvariabel. Utgående basvariabel: Uttryck basvariablerna som funktion av icke-basvariablerna. Vi får x 3 = 4 x 1 0 x 1 4 x 2 = 6 (eftersom x 4 = 0) x 5 = 6 3x 1 0 x 1 2 minst Detta betyder att x 5 får värdet 0 då x 1 ökas till 2. x 5 blir alltså utgående basvariabel. 3. Gausselimination: max Z 3x x 4 = 30 då x 1 + x 3 = 4 x x 4 = 6 3x 1 x 4 + x 5 = 6 x j 0 j. max Z 3x x 4 + x 5 = 36 då x x x 5 = 2 x x 4 = 6 x x x 5 = 2 x j 0 j. Här ses lätt att vi för tillfället befinner oss i punkten x = (2,6,2,0,0). 1. Testa optimalitet: Vi har målfunktionen Z = 3 2 x 4 x Här ses att om vi ökar antingen x 4 eller x 5 från 0 till ett positivt värde, så kommer målfunktionsvärdet att försämras. Detta betyder att vi nått optimum. I figur 5 nedan syns alla förflyttningar (två stycken). 3 Simplexmetoden i matrisform Vi ska i detta avsnitt generalisera simplex algoritmen. Metoden kan ganska enkelt beskrivas algebraiskt, vilket är en fördel när man väl ska implementera algoritmen. Istället för att skilja på ursprungliga varibler och slackvariabler som i Hillier & Lieberman, så ska vi istället skilja på bas och ickebasvariabler. Detta ska visa sig vara smidigt då man vill avgöra om en baslösning är

12 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM 12 x 2 optimum x 1 Figur 5: Förflyttning från x = (0,0,4,12,18) till x = (0,6,4,0,6), och slutligen till x = (2,6,2,0,0). optimal eller inte. Antag att vi har ett system på kanonisk form (kan fås genom att lägga till slackvariabler i standardproblemet), dvs Max Z = cx = c 1 x c n x n då Ax = b, x 0 (5) Här är c definierad som en radvektor medan x och b är kolonnvektorer. Vi benämner Z som målfunktionen och säger att x är en tillåten lösning då x L där L = {x R n ; Ax = b, x 0}. Idén är( att dela ) upp i basrespektive ickebasvariabler, dvs A = (B N) och x = x B x N. Här består B av kollonner i A som hör till basvariablerna och på motsvarande sätt för N. Påsamma sätt delas även c upp,c = (c B c N ). System (5) kan nuskrivas som Max Z = c B x B +c N x N då Bx B +Nx N = b, x B, x N 0. Bivillkoret i (6) kan enkelt skrivas som (B inverterbar) (6) x B = B 1 b B 1 Nx N. (7) Här har vi alltså uttryckt basvariablerna som funktion av ickebasvariablerna. Detta gör vi för att kunna uttrycka målfunktionen Z som funktion av endast

13 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM 13 ickebasvariablerna. Målfunktionen kan nu skrivas som Z = c B x B +c N x N = c B (B 1 b B 1 Nx N )+c N x N = c B B 1 b+(c N c B B 1 N) }{{} x N. (8) = c N Här ses tydligt att så länge det finns positiva element i c N så kan vi öka målfunktionen ytterliggare genom att låta motsvarande ickebasvariabel gå in som ny basvariabel. Uttrycket c B B 1 b är endast en konstant term som läggs till målfunktionen. Eftersom x N = 0 i extrempunkten så blir Z = c B B 1 b och x B = B 1 b. Vi kan nu sammanfatta resultaten i tabellform. Låt b beteckna högerledet. Ursprungligen har vi tabellen Z x B x N b 1 c B c N 0 0 B N b Enligt resonemangen ovan kan vi uttrycka målfunktionen och basvariabler som funktion av ickabasvariablerna i tabellform Z x B x N b 1 0 c B B 1 N c N c B B 1 b 0 I B 1 N B 1 b I raden för målfunktionen ser vi att c N återkommer fast med omvänt tecken. Alltså, så länge det finns negativa koefficienter i raden för målfunktionen så har vi inte nått den optimala lösningen. Exempel Betrakta följande maximeringsproblem max 3x 1 +4x 2 x 3 +2x 4 +x 5 då 2x 1 +x 2 2x 3 +4x 4 x 5 4 2x 1 +3x 2 +x 3 +2x 4 +x 5 8 x j 0 j. Lös problemet med simplex-algoritmen i matrisform. Ange den optimala baslösningen samt målfunktionens maximala värde.

14 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM 14 Lösning: Problemet skall lösas på matrisform och efter att ha infört slackvariablerna x 6 och x 7 som blir de initiala basvariablerna så får vi att c B = (0 0) = c B B 1 N c N = c N = ( ). Iteration ( 1: ) Detta betyder att x 2 går in som ny basvariabel. Enligt uppgift 4 är b =. För att avgöra vilken variabel som ska lämna som basvariabel 8 gör vi divisionstestet. Eftersom b 1 /a 12 = 4 > b 2 /a 22 = 8/3 så ska x 7 lämna som basvariabel. De nya basvariablerna är alltså x B = (x 6 x 2 ) T och c B = (0 4). Det betyder att ( ) ( ) 1 1 B = = B 1 = 1 3 1, samt att N = ( ) (, c N = ). Kontrollera optimalitet enligt c B B 1 N c N = 1 3 ( ). Då det finns negativa element kvar i c B B 1 N c N så är lösningen inte optimal. x 1 blir den nya basvariablen. Iteration 2: Kom ihåg att vi har basvariablerna x B = (x 6 x 2 ) T i just den ordningen. En av dessa ska gå ut som basvariabel när x 1 går in, men vilken? Först måste vi uppdatera högerledet b till b och bivillkors-koefficienterna A 1 till à 1 för den ingående basvariabeln, se ekvation (7) (dessa koefficienter ändras klart när man utför Gausselimination). Vi får alltså ( )( ) ( ) Nytt högerled: b = B 1 b = /3 = /3 ( ) ( )( ) ( ã 11 Nya koeff. för x 1 : à 1 = = B 1 A 1 = = ã Enligt samma resonemang som tidigare så tar vi reda på vilken nuvarande basvariabel som begränsar x 1 :s ökning mest Ska x 6 gå ut? b1 /ã 11 = 4 3 /4 3 = 1 minst Ska x 2 gå ut? b2 /ã 21 = 8 3 /2 3 = 4. 4/3 2/3 )

15 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM 15 Alltså blir x 6 utgående variabel vilket betyder att ( ) ( 2 1 B = = B 1 = ), c B = (3 4). ( ) ( ) N =, c N = ( ) och att c B B 1 N c N = vilket betyder att vi har nått optimum. Det optimala värdet ( är: ) z = c B B 1 b = 11, och den optimala baslösningen är: x B = 1 B 1 b =. 2 Det överlåtes åt läsaren att implementera simplex-algoritmen i Matlab. T ex: A=[ ; ]; b=[4 8] ; c=[ ]; [optbasevector,optbasevalues,optz] = simplexalg(a,b,c) ITERATION: 1 Ingående basvariabel: 2 Utgående basvariabel: 7 ITERATION: 2 Ingående basvariabel: 1 Utgående basvariabel: 6 Vi har nått optimal lösning, ÄNTLIGEN (som Fylking säger)! optbasevector = 1 2 optbasevalues =

16 3 SIMPLEXMETODEN I MATRISFORM optz = 11

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?

Läs mer

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering

Läs mer

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning

Läs mer

Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07

Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07 Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna

Läs mer

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t. 1(8) (5p) Uppgift 1 Företaget KONIA tillverkar mobiltelefoner I en stor fabrik med flera parallella produktionslinor. För att planera produktionen de kommande T veckorna har KONIA definierat följande icke-negativa

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder

Läs mer

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013

Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013 Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,

Läs mer

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST:

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: 2015 TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: OSKQV953@STUDENT.LIU.SE Innehållsförteckning Allmänt... 2 Om optimering... 3 Matematiska formuleringar av optimeringsproblem... 3 Linjärprogrammering

Läs mer

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012 Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,

Läs mer

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3. TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal

Läs mer

Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som

Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som Linjärprogrammering Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som Minimera n j=1 c jx j x j 0 n j=1 a ijx j b i i =1, 2,...,m Variant: Vi kan vilja maximera istället. Vi kommer att studera

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten

Läs mer

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills

Läs mer

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3. TNSL05 2(8) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F2. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal

Läs mer

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017 Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, juni 7 Lösningarna är på svenska, utom lösningen av (a som är på engelska (a The considered network is illustrated in FIGURE below, where the supply at the

Läs mer

Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08

Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08 Lösningar till SF8 Optimeringslära för E, 6/ 8 Uppgift (a) Problemet är ett transportproblem, ett specialfall av minkostnadsflödesproblem Nätverket består av 7 st noder A,B,C,P,Q,R,S, alternativt kallade,,,7,

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK09 Optimeringslära Clas Rydergren ITN Föreläsning Simplemetoden på tablåform och algebraisk form Fas I (startlösning) Känslighetsanalys Tolkning av utdata Agenda Halvtidsutvärdering Simplemetoden (kap..8)

Läs mer

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

Optimeringslära för T (SF1861)

Optimeringslära för T (SF1861) Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10 TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 21 april 2017 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

TENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12

TENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12 1( 9) TENTAMEN Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12 Provkod: TEN1 Kursnamn: Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p, betyg kräver

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016 Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, 3 Juni, 6 Uppgift (a) We note that each column in the matrix A contains one + and one, while all the other elements in the column are zeros We also note that

Läs mer

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Krister Svanberg, april 2012 1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Ett nätverk består av en given mängd noder numrerade från 1 till m (där m är antalet noder) samt en given mängd riktade bågar mellan vissa

Läs mer

Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering

Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 29 januari 2017 Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering Den första delen av laborationen

Läs mer

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen.

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Betrakta kvadratiska delmatriser av storlek n n, dar n m, och anvand induktion med avseende

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång.

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång. Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF och Nätverkssimplex Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter:

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.1. Optimering med bivillkor Låt f(x) vara en funktion av x R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g(x) =C (eller bivllkoren g 1 (x) =C 1,..., g k (x) =C

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 (6) TENTAMEN Datum: augusti 07 Tid: 8- Provkod: TEN Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt p, betyg kräver

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 17 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder 5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 7 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 7 5B1817 2006/2007 Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor

Läs mer

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska

Läs mer

Föreläsning 6: Nätverksoptimering

Föreläsning 6: Nätverksoptimering Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem

Läs mer

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:

Läs mer

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: augusti 017 Tid: 8-1 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 1 p, betyg

Läs mer

Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg

Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2017-08-22 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Variabeldefinition:

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s

Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta s Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2014-01-15 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: (Detta problem

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: 6 april 2018 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 0 augusti 201 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,

Läs mer

z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet

z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet Bendersdekomposition Blandade heltalsproblem med ett stort antal kontinuerliga variabler och få heltalsvariabler. Mycket lättare att lösa om heltalsvariablerna fixeras. Bendersdekomposition (primal dekomposition)

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 2 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 13 januari 2018 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner Linköpings Tekniska Högskola Institutionen för Teknik och Naturvetenskap/ITN TENTAMEN TNE 05 OPTIMERINGSLÄRA Datum: 008-05-7 Tid: 4.00-8.00 Hjälpmedel: Boken Optimeringslära av Lundgren et al. och Föreläsningsanteckningar

Läs mer

MICROECONOMICS Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 2) Peter Lohmander &

MICROECONOMICS Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 2) Peter Lohmander   & MICROECONOMICS 2018 Mid Sweden University, Sundsvall (Lecture 2) Peter Lohmander www.lohmander.com & Peter@Lohmander.com NYTT MÖTE: Diskutera Ert förslag till lämpligt problem med kursledaren (Peter Lohmander)

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 8 januari 201 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod Kursnamn T7005N Operationsanalys Datum LP2 13/14 Material Kursexaminator Sammanfattning Björn Samuelsson Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning

Läs mer

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

1 Ickelinjär optimering under bivillkor Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH VT 2018 1 Dagens program Extremvärdesproblem (största och minsta värde) kap 13.2 Extremvärdesproblem med bivillkor Lagranges multiplikatormetod kap 13.3 (+ev

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta

Läs mer

Uppgift 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Uppgift 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Uppgift a) Här ses direkt att kan ökas obegränsat utan att bryta mot några bivillkor vilket i sin tur betyder att problemet har obegränsad lösning. b) Lös med Simple-algoritmen (t.e. med matris-metoden).

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 15 januari 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 april 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: april 2018 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 4

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 4 TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 4 2018-11-14 2 Kursmål: idag Studenten ska efter avslutad kurs kunna: Analysera och formulera optimeringsmodeller inom ekonomiska tillämpningsområden

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6 TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 6 Agenda Kursens status Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(11) TENTAMEN Datum: 14 januari 2017 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12

Läs mer