Föreläsning 6: Nätverksoptimering

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Föreläsning 6: Nätverksoptimering"

Transkript

1 Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

2 Minkostnadsflödesproblem i nätverk 40 x /c 0 x 5 /c 5 x /c x /c x 4 /c x 4 /c x 45 /c 45 Data skall skickas från servrar i nod och till terminaler i nod, 4, 5. Kostnaden för trafik i länken mellan nod i och j är c ij Kr/Kbyte. Vi vill minimera kostnaden för den totala datatrafiken. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

3 Resulterande optimeringsproblem minimera c ij x ij alla bågar då x + x = 40 x + x + x 4 = 5 x x + x 4 + x 5 = 0 x 4 x 4 + x 45 = 5 x 5 x 45 = 0 x ij 0, för alla bågar i grafen Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

4 Vi kommer att behandla följande frågor Modellering av nätverksflödesproblem Grafer, träd, cykler (slingor), uppspännande träd. Hur kan man utnyttja grafens speciella struktur i simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 4 Nätverksoptimering

5 Modellering och grafteori 5 4 En riktad graf G = (N, B) består av en mängd noder N = {,...,m} och en mängd bågar B Bågen från nod i till nod j betecknas (i,j). Vi skiljer på bågen (i,j) och bågen (j,i). I grafen ovan är N = {,...,5} B = {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 4), (, 5), (4, 5)} Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 5 Nätverksoptimering

6 Om vi ordnar bågarna i B i någon ordning, t.e.x. B = {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 4), (, 5), (4, 5)} () ρ ρ ρ ρ 4 ρ 5 ρ 6 ρ 7 då definieras grafens anslutningsmatris (incidensmatris) Ã R m n som, båge ρ j startar i nod i a ij =, båge ρ j slutar i nod i () 0, annars [ ] Man ser enkelt att e T Ã = 0, där e T =.... Raderna är därmed linjärt beroende och man kan stryka sista raden och få den reducerade anslutningsmatrisen A. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 6 Nätverksoptimering

7 För vårt exempel får vi à = A = Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 7 Nätverksoptimering

8 Vägar och cykler En väg från nod s till nod t i en riktad graf är en sammanhängande sekvens av bågar ρ,...,ρ N där ρ k = (i k,i k ), eller ρ k = (i k,i k ), och i 0 = s, i N = t En riktad väg från nod s till nod t i en riktad graf är en sammanhängande sekvens av bågar ρ,...,ρ N där ρ k = (i k,i k ), och i 0 = s, i N = t En (riktad) cykel är en (riktad) väg från en nod till sig själv. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 8 Nätverksoptimering

9 En graf kallas sammanhängande om det existerar en väg mellan varje par av noder. En graf kallas acyklisk om den saknar cykler. Ett träd utgörs av en sammanhängande delmängd av bågarna i en graf som saknar cykler. I en graf med n noder utgör ett träd med n bågar ett uppspännande träd. Sammanhängande graf Ej acyklisk Acyklisk graf Ej sammanhängande Träd Uppspännande träd Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 9 Nätverksoptimering

10 Om en båge adderas till ett uppspännande träd uppstår en unik cykel. Om en båge tas bort från ett uppspännande träd då sönderfaller trädet i två nya träd. Om båge adderas uppstår en unik cykel Om båge tas bort sönderfaller trädet i två nya träd Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 0 Nätverksoptimering

11 Flödesbalans b b x x x x 4 x 5 5 b 5 b x 4 4 x 45 b 4 x ij betecknar flödet (datatrafik, olja, e.t.c.) i båge (i,j) Om flödet x ij går i riktningen i j så är x ij 0. Annars x ij 0. b i betecknar externt in/ut flöde till nod i. Inflöde om b i 0 och utflöde om b i 0. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

12 Flödesbalans i nod i (utflödet = inflödet): n a ij x ij = b i, i =,...,n Ãx = b j= I ovanstående balansekvation är à grafens anslutningsmatris definierad i ekvation () och x är en kolonnvektor med bågflödena x ij sorterade i samma ordning som bågarna i ekvation (). Slutligen är [ ] T. b = b... b n För att balansekvationen ska kunna lösas krävs det att e T b = n i= b i = 0. Under detta antagandet kan vi reducera flödesbalansekvationen genom att stryka sista raden i à och b, d.v.s. balansekvation nr. n är redundant. [ ] T. Vi får då ekvationssystemet Ax = b, där b = b... b n Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

13 Simplexalgoritmen (påminnelse) Initial TBL β = β,..., β m ) ν = (ν,..., ν l ) Beräkna (y,r ν, b) A T β y = c β r ν = c ν A T ν y A β b = b r ν 0 Nej Ja Optimal lösning x = b, x ν = 0 z = y T b Tag ν q så att r ν q < 0 Lös A β ā k = a ν q ā k 0 Obegränsat problem Lösning saknas ( ) bi t max = min ā ik > 0 ā ik ν = ν q, ν q = β p, β p = ν = b p ā pk Kvottest Pivotering Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

14 För nätverksproblem förenklas simplexalgoritmen enligt följande. Bågarna svarande mot en basindexvektor svarar mot ett uppspännande träd. Basvariablerna som ges av A β x β = b kan enkelt bestämmas med hjälp av flödesbalanser i det uppspännande trädet.. Simplexmultiplikatorerna som ges av A T β y = c β bestäms enkelt med hjälp av det uppspännande trädet. 4. Kvottestet sker genom att studera flödet i en cykel (slinga). 5. Pivoteringen (byte av bas) sker genom att byta ut en båge i det uppspännande trädet. Vi illustrerar med det inledande exemplet. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 4 Nätverksoptimering

15 Basmatriser svarar mot uppspännande träd Sats. m kolonner ur (m ) n matrisen A i ett MKF-problem är linjärt oberoende om och endast om motsvarande m bågar bildar ett uppspännande träd. Figuren visar två baser och motsvarande uppspännande träd i grafen. x 5 x x 5 x x 5 x 4 x 45 x B β = {(, ), (, ), (, 4), (4, 5)} B β = {(, ), (, ), (, 4), (, 5)} A β = A β = Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 5 Nätverksoptimering

16 Beräkning av baslösning A β x = b b b x x 5 b 5 b x 4 x 45 4 b 4 Basvariablerna kan bestämmas genom flödesbalanser i det uppspännande trädet, där de externa flödena ges av (b,b,b,b 4 ) = (40, 5, 0, 5). x = b = b x = b = 0 0 b x = x 4 = b + x x = b x 45 = x 4 + b 4 = b 4 Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 6 Nätverksoptimering

17 Vi kan även beräkna basflödet genom flödesbalanser nedströms x 45 = b 5 = 0 x 4 = x 45 b 4 = 45 x = b = 0 x = x + x 4 b = b = 40 Förstår du varför? Vi noterar att x β = b = b b b4 b45 = så vi har en tillåten baslösning. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 7 Nätverksoptimering

18 Beräkning av simplexmultiplikatorerna y T A β = c T β Simplexmultiplikatorena bestäms av ekvationen y T A β = c T β. Till nod,...,m svarar simplexmultiplikator y k, k =,...,m. Om vi sätter vi y m = 0 får vi att y i y j = c ij, för all (i,j) B β (alla basbågar) Därmed ser vi att simplexmultiplikatorerna enkelt kan beräknas ur nätverket y y c c 5 y5=0 y c 4 c 45 4 y 4 Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 8 Nätverksoptimering

19 y y c c 5 y5=0 y c 4 c 45 4 y 4 Med c T = (c,c,c,c 4,c 4,c 5,c 45 ) = (, 5,,,,, ) får vi (i denna ordning p.g.a. y 5 = 0) y 4 y 5 = c 45 y 4 = c 45 = y y 4 = c 4 y = y 4 + c 4 = + = 4 y y = c y = y c = 4 = y y = c y = y + c = 4 + = 6 Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 9 Nätverksoptimering

20 Beräkning av de reducerade kostnaderna r ν = c T ν y T A ν Formeln för de reducerade kostnaderna r ν = c T ν y T A ν resulterar i ekvationerna (y m = 0) r ij = c ij y i + y j för alla (i,j) B ν (dvs för alla icke-basbågar) I vårt exempel har vi B ν = {(, ), (, 4), (4, 5)} A ν = 0 0 Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 0 Nätverksoptimering

21 Vi kan göra beräkningarna med hjälp av nätverket y r /c y r 5/c 5 r 4 /c 4 5 y5=0 y 4 y 4 r = c y + y = = r 4 = c 4 y + y 4 = + = r 5 = c 5 y + y 5 = + 0 = Vi noterar att r 5 < 0 och den aktuella tillåtna baslösningen är ej optimal. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

22 Kvottest Eftersom r 5 < 0 sätter vi x 5 = t, dvs bågen (, 5) skall in i basen. Frågan är nu vilken båge som skall tas bort för att vi åter skall få ett uppspännande träd som svarar mot en ny basmatris. b b x 5 = t x x 5 b 5 b x 4 x 45 { } bi Den vanliga testen i simplexmetoden t max = min ā ik > 0 = b p ā ik ā pk förenklas genom att vi kan betrakta flödesbalans i slingan som bildats. 4 b 4 Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

23 0 40 x = b x = b + t x 5 = t x 4 = b 4 t 4 x 45 = b 45 t 5 x = b + t = 0 + t x 4 = b 4 t = 45 t x 45 = b 45 t = 0 t Vi ser att t kan ökas till t max = 0 varvid x 45 = 0. x 45 utgår ur basen. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

24 40 x = 40 Pivotering (basbyte) 0 x 5 = 0 x = x 4 = Vi har B β = {(, ), (, ), (, 4), (, 5)} och vilket är en ny tillåten baslösning x β = b β = 0 5 Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 4 Nätverksoptimering 0

25 Nästa iteration Om vi upprepar ovanstående steg får vi y 5 y y = =, r y ν = y 4 r r 4 r 45 = 0 Eftersom samtliga reducerade kostnader är positiva så är den aktuella tillåtna baslösningen optimal. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 5 Nätverksoptimering

26 Sammanfattning av nätverkssimplexmetoden För nätverksoptimering förenklas flera av stegen i simplexmetoden (i) En basindexvektor B β svarar mot bågarna i ett uppspännande träd. (ii) Baslösningen svarande mot B β kan beräknas ur flödesbalanser i ett uppspännande träd. Baslösningen är tillåten om flödet i samtliga basbågar är positivt. (iii) Simplexmultiplikatorerna beräknas som (y m = 0) y i y j = c ij, för all (i,j) B β (alla basbågar) (iv) De reducerade kostnaderna beräknas som (y m = 0) r ij = c ij y i + y j för alla (i,j) B ν (dvs för alla icke-basbågar) (v) Om alla r ij 0 så har vi funnit en optimal baslösning. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 6 Nätverksoptimering

27 (vi) Om någon reducerad kostnad r ij är negativ (tag den mest negativa) så adderar vi bågen (i,j) till det uppsännande trädet som svarar mot basen B β. En slinga bildas och vi lägger på ett flöde x ij = t 0. Genom att studera flödesbalanser i slingan ser man hur mycket t kan ökas innan något av basflödena blir noll. Om t kan ökas obegränsat så är lösningen till optimeringsproblemet obegränsad. (vii) Uppdatera det uppspännande trädet genom att lägga till bågen (i,j) till B β samtidigt som bågen svarande mot det flöde som blev noll tas bort. Vi har nu fått en ny bas (dvs ett nytt uppspännande träd) och en ny tillåten baslösning. (viii) Gå tillbaka till (iii). Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 7 Nätverksoptimering

28 De fyra fundamentala underrummen för anslutningsmatrisen Detta avsnitt läses kursivt. Vi diskuterar här de fyra fundamentala underrummen för anslutningsmatrisen à och tolkar dem med hjälp av den associerade grafen G = (N, B). Vi betraktar vårt exempel: y x y x 5 y 5 x x x 4 x 45 5 x 4 4 y y 4 Till varje nod associerar vi en potential y j, j =,...,m. Till varje båge associerar vi ett flöde (ström) x ij. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 8 Nätverksoptimering

29 Vi noterar att nätverket svarar mot nedanstående elektriska krets u x y x y x 4 x 5 u 5 u u 4 y 5 x u y x 4 u 4 y 4 x 45 u 45 y j, j =,...,5 betecknar potentialen i nod j. x ij betecknar strömmen genom båge (i,j). u ij betecknar spänningen över resistorn i båge (i,j). Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 9 Nätverksoptimering

30 Vänstra nollrummet Tolkning: Ekvationen ỹ T Ã = u svarar mot krav på spänningarna över bågarna y i y j = u ij spänning = differens mellan potentialer Det finns ingen unik lösning: En godtycklig konstant till samtliga nodpotentialer utan att förändra spänningarna över bågarna. y T A = u svarar mot att potentialen y 5 är fixerad till noll (jordad). N(Ã T ) = span e = Om ỹ N(Ã T ), då gäller u = 0. d.v.s., om alla potentialer är lika så är alla spänningar noll. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 0 Nätverksoptimering

31 Nollrummet N(Ã) = { x R 7 : Ãx = 0 } = span , , = N(A) Tolkning: Nollrummet svarar mot tre slingor i grafen. 5 4 Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

32 Övriga slingor i grafen erhålls som linjärkombinationer av de tre basslingorna i föregående figur Basslinga basslinga Basslinga basslinga + basslinga Basslinga basslinga Flödet in/ut ur kretsen påverkas inte av strömmen x i en cykel eftersom à x = 0. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

33 Radrummet R(Ã T ) = { } u = Ã T ỹ (= { u = A T y } ) = N(Ã) (= N(A) ) = { } u R 7 : u = u + u ; u 4 = u + u 4 ; u 5 = u 4 + u 45 Tolkning: Summan av spänningarna över en cykel (slinga) är lika med noll. Detta kallas också Kirchoff s spänningslag. Notera att det finns fler slingor, t.e.x. har vi villkoret u + u 4 = u + u 4, men dessa villkor erhålls linjär kombinationer av de övriga (se föregående OH-bild). Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering

34 Bildrummet R(Ã) = N(Ã T ) = {b R m : e T b = 0} m = {b R m : b k = 0} Om b j tolkas som en extern ström som matas in i nod j så säger resultatet att summan av dessa strömmar måste vara noll. k= Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 4 Nätverksoptimering

35 Kirchoff s lagar b x x u b x 4 x 5 u 5 u u 4 b 5 x u b x 4 u 4 x 45 b 4 u 45 Kirchoff s strömlag: Summan av strömmarna in till en nod är noll. För kretsen i figuren kan detta skrivas Ãx = b. Ett krav är naturligtvis att m j= b j = 0. Kirchoff s spänningslag: Summan av spänningarna över en cykel (slinga) är lika med noll. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 5 Nätverksoptimering

36 Läsanvisningar I optimeringskompendiet: Kapitel 7.. Gamla Materialet : Linjär optimering, gröna häftet, sidan Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist 6 Nätverksoptimering

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Krister Svanberg, april 2012 1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Ett nätverk består av en given mängd noder numrerade från 1 till m (där m är antalet noder) samt en given mängd riktade bågar mellan vissa

Läs mer

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning

Läs mer

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering

Läs mer

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta

Läs mer

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T Examinator: Per Enqvist, tel: 790 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Amol Sasane, sasane@math.kth.se, Mikael Fallgren, werty@kth.se. Lämnas in till någon

Läs mer

Föreläsning 6: Transportproblem (TP)

Föreläsning 6: Transportproblem (TP) Föreläsning 6: Transportproblem (TP) 1. Transportproblem 2. Assignmentproblem Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Transportproblem Transportproblem Varor ska transporteras från fabriker till varuhus:

Läs mer

Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013

Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013 Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)

Läs mer

Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08

Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08 Lösningar till SF8 Optimeringslära för E, 6/ 8 Uppgift (a) Problemet är ett transportproblem, ett specialfall av minkostnadsflödesproblem Nätverket består av 7 st noder A,B,C,P,Q,R,S, alternativt kallade,,,7,

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017 Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017 Examinator: Krister Svanberg, tel: 790 7137, krille@math.kth.se. Labassistent: David Ek, daviek@kth.se, Lämnas i Matematiks svarta postlåda (SF) för inlämningsuppgifter,

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012 Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10 TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF

Läs mer

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång.

Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång. Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF och Nätverkssimplex Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter:

Läs mer

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017 Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, juni 7 Lösningarna är på svenska, utom lösningen av (a som är på engelska (a The considered network is illustrated in FIGURE below, where the supply at the

Läs mer

Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07

Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07 Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK49 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 7 Nätverksoptimering Billigaste uppspännande träd (MST) Billigaste väg (SP) Projektnätverk Minkostnadsflödesproblem Agenda Terminologi för grafer/nätverk

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt

Läs mer

TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,

Läs mer

Optimeringslära för T (SF1861)

Optimeringslära för T (SF1861) Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation

Läs mer

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x

Läs mer

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016 Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, 3 Juni, 6 Uppgift (a) We note that each column in the matrix A contains one + and one, while all the other elements in the column are zeros We also note that

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: 6 april 2018 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,

Läs mer

TENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12

TENTAMEN. Tentamensinstruktioner. Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12 1( 9) TENTAMEN Datum: 30 augusti 2018 Tid: 8-12 Provkod: TEN1 Kursnamn: Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p, betyg kräver

Läs mer

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen F Ellära F/Ö F/Ö4 F/Ö F/Ö5 F/Ö Strömkretslära Mätinstrument Batterier Likströmsnät Tvåpolsatsen KK LB Mätning av och F/Ö6 F/Ö7 Magnetkrets Kondensator Transienter KK LB Tvåpol mät och sim F/Ö8 F/Ö9 KK

Läs mer

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t. 1(8) (5p) Uppgift 1 Företaget KONIA tillverkar mobiltelefoner I en stor fabrik med flera parallella produktionslinor. För att planera produktionen de kommande T veckorna har KONIA definierat följande icke-negativa

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 8 januari 201 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet 1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:

Läs mer

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

1 Ickelinjär optimering under bivillkor Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5 TNSL5 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 5 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem 28--5 4 Hittills Föreläsning

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(7) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: 14-18 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 12 p,

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016 Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016 Examinator: Krister Svanberg, tel: 790 7137, krille@math.kth.se. Labassistent: David Ek, daviek@kth.se, Lämnas in till någon av oss senast tisdag 19 april

Läs mer

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9

Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 1 Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9 Det tredje huvuda momentet av kursen är egenvektorer/egenvärden

Läs mer

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod. Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar

Läs mer

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra 5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess

Läs mer

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3. TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal

Läs mer

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

Att använda el. Ellära och Elektronik Moment DC-nät Föreläsning 3. Effekt och Anpassning Superposition Nodanalys och Slinganalys.

Att använda el. Ellära och Elektronik Moment DC-nät Föreläsning 3. Effekt och Anpassning Superposition Nodanalys och Slinganalys. llära och lektronik Moment DC-nät Föreläsning ffekt och Anpassning Superposition Nodanalys och Slinganalys Copyright 8 Börje Norlin Att använda el Sverige Fas: svart Nolla: blå Jord: gröngul Copyright

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets 9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15.

Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15. 1. Undersök om vektorn (1,, 1, ) tillhör span{(1,, 3, 4), (1, 0, 1, 1),

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j

Läs mer

Sammanfattning av kursen ETIA01 Elektronik för D, Del 1 (föreläsning 1-6)

Sammanfattning av kursen ETIA01 Elektronik för D, Del 1 (föreläsning 1-6) Sammanfattning av kursen ETIA01 Elektronik för D, Del 1 (föreläsning 1-6) Kapitel 1: sid 1 37 Definitioner om vad laddning, spänning, ström, effekt och energi är och vad dess enheterna är: Laddningsmängd

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 (6) TENTAMEN Datum: augusti 07 Tid: 8- Provkod: TEN Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt p, betyg kräver

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: juni 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering. Kaj

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets 9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod

Läs mer

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a

Läs mer

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3. TNSL05 2(8) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F2. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 april 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(9) TENTAMEN Datum: augusti 017 Tid: 8-1 Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt 1 p, betyg

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 41 Linjär Algebra, Föreläsning

Läs mer

Föreläsnng Sal alfa

Föreläsnng Sal alfa LE1460 Föreläsnng 2 20051107 Sal alfa. 13.15 17.00 Från förra gången Ström laddningar i rörelse laddningar per tidsenhet Spännig är relaterat till ett arbet. Arbete per laddningsenhet. Spänning är potetntialskillnad.

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 9 april 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 17 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet

Läs mer