Föreläsning 6: Transportproblem (TP)

Transkript

1 Föreläsning 6: Transportproblem (TP) 1. Transportproblem 2. Assignmentproblem Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Transportproblem

2 Transportproblem Varor ska transporteras från fabriker till varuhus: Mål: Minimera transportkostnaden under krav på att tillgång och efterfrågan möts vid fabrikerna och varuhusen. Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 2 Transportproblem

3 Efterfrågesallokeringsmodell Transportproblem Varor transporteras från n st. fabriker till m st. varuhus. Låt x ij = Kvantitet av varorna som transporteras från fabrik i till varuhus j. c ij = Transportkostnad per enhet från fabrik i till varuhus j. K i = Kapacitet (tillgång) av varan i fabrik i. D j = Efterfrågan av varan i fabrik j. Problemet är balancerat om n i=1 K i = m j=1 D j. Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 3 Transportproblem

4 Transportproblem Matematisk Formulering: min x ij då n m c ij x ij i=1 j=1 n x ij = D j, j = 1,,m i=1 m x ij K i, i = 1,,n j=1 x ij 0. Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 4 Transportproblem

5 Tablårepresentation Transportkostnaderna är c 11 c 12 c 13 c 14 u 1 c 21 c 22 c 23 c 24 u 2 c 31 c 32 c 33 c 34 u 3 v 1 v 2 v 3 v 4 Nodpotentialerna ges av u och v Variablerna är x 11 x 12 x 13 x 14 K 1 x 21 x 22 x 23 x 24 K 2 x 31 x 32 x 33 x 34 K 3 D 1 D 2 D 3 D 4 Efterfrågan och kapacitet är givna Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 5 Transportproblem

6 North-West Corner Rule Hur kan en initial TBL bestämmas för TP? x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 K 1 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 K 2 x 31 x 32 x 33 x 34 x 35 K 3 D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 Start i det Nordvästra hörnet, d.v.s. med x 11. Låt x 11 öka tills den är lika med antingen D 1 eller K 1. Om x 11 = D 1, låt x 12 öka tills x 12 = D 2 eller x 11 + x 12 = K 1. Om x 11 = K 1, låt x 21 öka tills x 21 = K 2 eller x 11 + x 21 = D 1. Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 6 Transportproblem

7 North-West Corner Rule - Exempel För efterfrågan och kapaciteterna givna nedan så ges en initial baslösning av Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 7 Transportproblem

8 Nodpotentialer och reducerade kostnader Reducerade kostnader ges av r ij = c ij + y j y i. För basvariabler gäller r ij = 0 så y i y j = c ij. Här, låt u i vara nodpotentialen (y i ) för källa i v j vara nodpotentialen (y j ) för sänka j Då gäller u i v j = c ij för alla basvariabler. (Detta används för att bestämma potentialerna, tillsammans med v m = 0) Och r ij = c ij + v j u i bestämmer reducerade kostnaderna för ickebas-variablerna Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 8 Transportproblem

9 Nodpotentialer och reducerade kostnader - Exempel Antag att vi har följande kostnader c ij givna: Då ges de reducerade kostnaderna och nodpotentialerna av u 1 = u 2 = u 3 = 3 v 1 = 0 v 2 = 1 v 3 = 2 v 4 = 1 v 5 = 0 Den reducerade kostnaden r 15 = 1 är negativ, så x 15 ska gå in i basen. Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 9 Transportproblem

10 Pivotsteget - Exempel Öka x 15 med δ och skapa en cykel för att balansera flödet δ δ δ δ δ 35 δ När δ = 15, då blir x 15 = 0 och går ur basen, och den nya baslösningen är Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 10 Transportproblem

11 Nodpotentialer och reducerade kostnader - Exempel Antag att vi har följande givna kostnader c ij : Då ges de reducerade kostnaderna och nodpotentialerna av u 1 = u 2 = u 3 = 3 v 1 = 1 v 2 = 1 v 3 = 2 v 4 = 1 v 5 = 0 Alla reducerade kostnader är positiva, så den aktuella TBL är optimal. Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 11 Transportproblem

12 Assignmentproblem Assignmentproblemet är ett specialfall av Transportproblemet, där det finns lika många källor som sänkor, och alla tillgångar och kapaciteter är lika med ett. Ett exempel är att tilldela n personer n olika jobb. Låt c ij vara kostnaden för att låta person i göra jobb j. Variabeln x ij får vara 1 om person i gör jobb j, och 0 annars. I ett transportproblem där efterfrågan och kapacitet är heltal så kan man visa att det alltid finns en heltalig optimal lösning. Sålunda, kommer det alltid att finnas en binär lösning x ij till assignmentproblemet, även om vi bara antar att variablerna är icke-negativa. Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 12 Transportproblem

13 Assignmentproblem Matematisk Formulering: min x ij då n n c ij x ij i=1 j=1 n x ij = 1, j = 1,,n i=1 n x ij = 1, i = 1,,n j=1 x ij 0. Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 13 Transportproblem

14 Läsanvisningar I optimeringskompendiet kapitel 7.1 Gamla materialet: Linjär optimering, gröna häftet, sidan Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 14 Transportproblem