TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5

Transkript

1 TNSL5 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 5

2 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem

3 Hittills Föreläsning : kursadministration, intro: Vad är matematisk modellering?, historia, tillämpningsexempel, komplexitet Föreläsning 2: summering och index, matematisk modellering Föreläsning 3: matematisk modellering, LP Föreläsning 4: matematisk modellering, HP

4 Kursens status Litteratur: Har alla hunnit skaffa och börjat läsa i kursboken? Föreläsningar: Idag Föreläsning 5 av. Känns upplägget OK? Lektionerna/frågestunderna: Har alla hittat lektionsplanen med uppgifterna? Viktigt att inte komma efter i början. Laborationen: Anmälningslistan ligger ute. Jag tror att alla har skrivit upp sig. Gör annars det! Mer information om labben kommer, men läs redan nu labbinstruktionen som ligger på Lisam! Gruppuppgift : Redovisas muntligt v. 48. Uppgiften och en anmälningslista kommer upp på Lisam senare idag.

5 Idag Linjärprogrammering (LP) Alla samband (målfunktionen, bivillkoren) är linjära Ickelinjär programmering Vissa av sambanden är ickelinjära Heltalsproblem Kan tillhöra båda kategorierna Alla/några av variablerna kan bara anta diskreta värden Nätverksproblem Tydlig struktur Ofta geografiska Med mera

6 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem

7 Begrepp: graf/nätverk Graf(N,B): Avbildning (relation mellan) n 2 Noder Nodmängd! = {$ %, $ ', $ (, $ ) } b b 3 b 4 Bågar n n 4 Bågmängd + = {, %,, ',, (,, ), } Båglista Start&slutnod, % = $ %, $ ',, ' = $ %, $ (, Nummer start&slutnod, % =,2,, ' =,3, b 2 n 3 b 5 Nätverk: graf med data på noder/bågar Kapacitet, kostnad, flödesstyrkor etc. Snitt Mängd bågar som delar N(odmängden) i två delar

8 Oriktad graf Oriktade bågar Valens Antal bågar som ansluter till noden. Kedja eller Väg Sekvens av oriktade bågar Cykel Kedja med samma start/slutnod Sammanhängande graf Minst en kedja mellan varje par av noder Träd Sammanhängde graf utan cykler Uppspännande träd Träd som omfattar alla noder i grafen Riktad graf Riktade bågar Väg eller Rutt Sekvens av bågar i framåtriktningen Kedja Sekvens av bågar utan riktningshänsyn Riktad cykel Väg med samma start/slutnod Acyklisk graf Innehåller ingen riktad cykel Starkt sammanhängande graf En rutt mellan varje par av noder Tudelad graf Kan delas upp i två mängder utan att det finns bågar mellan noder i en och samma mängd

9 28--5 Begrepp En graf G=(N,B) består av N: en mängd noder B: en mängd bågar Båge: riktad/oriktad, mellan två noder

10 28--5 Begrepp En oriktad båge kan beskrivas av två riktade Varje båge kan skrivas som b=(startnod, slutnod),! = #, %, # ', % '

11 Begrepp Kostnad/vikt Begränsningar i c, l, u ij ij ij j Valens Invalens Utvalens

12 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem

13 Grafrepresentation Algebraisk representation av graf Nodmatris om båge går från nod i till nod j! "# = % annars n 2 b 4 N æ ç ç = ç ç è ö ø n b b 3 b 2 n 3 b 5 n 4

14 Grafrepresentation Algebraisk representation av graf Anslutningsmatris Noder~Rader; Bågar~Kolumner om båge. börjar i nod 6! "# = % + om både. slutar i nod 6 annars æ- ç ç A = ç ç è ö - ø n b b 3 b 2 n 2 n 3 b 4 b 5 n 4

15 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem

16 Flödesnätverk Definiera! "# = flödet på båge (i, j) från nod i till nod j Nodstyrka % " = #'()*,! #" #'(*),! "# = inflöde-utflöde Om % " <, är i en källa Om % " >, är i en sänka Om % " =, är i en mellannod Minkostnadsflöde: Givet ett nätverk, finn ett flöde med minimal kostnad så att givna käll- och sänkstyrkor på noder uppfylls, och så att kapacitetsbegränsningar på bågar inte överskrids.

17 Nätverk, arbetsgång Börja med att rita upp fysiska samband Noder Bågar Inför nod- och bågdata Kan då generera fler noder och bågar (modellmässiga, icke-fysiska) Noder Kan vara källa (bestämd styrka <) sänka (bestämd styrka>) eller mellannod (styrka ) Summa källstyrka = Summa sänkstyrka Kan ev. bli behov för överskottsbågar &/eller noder Bågar Kan ha kostnader (eller motsvarande) Kan ha övre gränser och undre gränser (ibland >=) Observera! Noder kan inte ha kostnader! Hjälpbågar (och ev. nod/noder) Noder kan inte ha begränsningar! Hjälpbågar (och ev. nod/noder)

18

19 Variabeldefinition:! "# = antal ton avfall/slagg som skickas från i till j, %, ' ) 5 ton/dag Max 5 ton/dag Max 5 ton/dag A C E B D F 4 ton/dag Max 5 ton/dag Max 5 ton/dag ton avfall => 2kg slagg min - = 32! 23 +! (! 29 +! 59 ) + 5 (7! 23 +! ! ! 59 +! 3? + 3! 3@ + 3! 9? + 2! 9@ ) då! 23 +! 29 = 5 (tillgång stad A)! 53 +! 59 = 4 (tillgång stad B)! 23 +! 53 5 (kapacitet i C)! 29 +! 59 5 (kapacitet i D)! 3? +! 9? 5 (kapacitet i E)! 3@ +! 9@ 5 (kapacitet i F).2 (! 23 +! 53 ) =! 3? +! 3@.2! 29 +! 59 =! 9? +! 9@! "#, %, ' )

20 Uppgift 3.6/8.4 5 ton/dag A. / = 5 5,, 89:, 5 5,, 89:, Max 5 ton/dag. = =. => = C 32,,5,5 C 3,, 89:, 5 Max 5 ton/dag slagg = 75 ton/sopor E. 5 =,,75,7. + = 4 B 4 ton/dag 2,, 89:, 35,, 89:, 4 min $ = ',) +, ') - ') C ) ),' + - )' C ) ',) + D. 4 = Max 5 ton/dag 24,,5,4 D. 4> = 9,, 89:, 2 9,, 89:, 6,, 89:, 2 F. 6 = - ') =. ', 8 E F ') - ') H '), 8, I J,,75,2 S. B = 9 Max 5 ton/dag slagg = 75 ton/sopor

21 Billigastevägproblem (BVP) Givet ett riktat nätverk med bågkostnader, finn billigaste vägen mellan givna startnod(er) och slutnod(er). En startnod till en slutnod Individuell vägplanering Alternativ En startnod till alla slutnoder Dra elledningar Alla noder till alla andra Trafikplanering

22 LP-formulering, Billigaste väg-problemet Ex: Hitta billigaste väg från till 5 Varje båge som används orsakar kostnad Antag: inga cykler med negativ kostnad Kostnaden är exempelvis tid, avstånd, utsläpp Problemet är ett specialfall av minkostnads-flödesproblem Skicka en enhet från startnod till slutnod (Kan formuleras som ett LP!) ( min då x ij = flödet x ij x x ij ij om bågen ( i, j)används = î íì annars 3x 2 + x3 + x24 + x32 + 4x35 + 3x + x - x - x = - 2 x 2 x, heltal på 3 3 båge ( i, j) Kan i detta problem tolkas som - x x x - x x x - x )45 = = x45 = x35 + x45 = ³,( i, j) Î B, där B är bågmängden Ej nödvändigt - i c ij j

23 Trevlig helg!