Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som

Transkript

1 Linjärprogrammering Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som Minimera n j=1 c jx j x j 0 n j=1 a ijx j b i i =1, 2,...,m Variant: Vi kan vilja maximera istället. Vi kommer att studera följande exempel flera gånger. Firman Fajo AB Firman Fajo tillverkar bandyklubbor och ishockeyklubbor. Det finns två produktionsmoment: Sågning och limning. Vi har följande tidsåtgång Sågning Limning Ishockey 7 16 (i minuter) Bandy Firman har kapacitet för 3600 minuters sågning och 5400 minuters limning per vecka. Klubborna kan säljas för Ishockey: 125 kr men har en produktionskostnad på 105 kr. Bandy: 115 kr men har en produktionskostnad på 97kr. Låt x 1 vara antalet tillverkade ishockeyklubbor och x 2 antalet tillverkade bandyklubbor. Vi får problemet Maximera z = 20x 1 +18x 2 7x 1 +10x x 1 +12x x 1,x 2 0 Obs: Kan överföras till allmän form genom att vi minimerar -20x 1-18x 2 1

2 En likhet som t.ex. 3x 1 +4x 2 = 100 kan skrivas som två olikheter 3x 1 +4x x 1 +4x Vi vill hitta en metod för att lösa LP-problem. Simplexmetoden Förberedelse: Vi går från allmän form till standardform. Standardform: Vi har likheter istället för olikheter. Ex: Minimera z = 3x 1 +5x 2 - x 3 x 1 x 2 +2x 3 =5 x 1 +2x 2 +4x 3 =12 x 1,x 2,x 3 0 Trick för att få likheter: Slackvariabler. Ex: Vi har först x 1 +3x 2 10 Vi sätter x 3 = 10- (x 1 +3x 2 ) x 3 är en ny slackvariabel. Vi får likheten x 1 +3x 2 + x 3 =10 Fajo-problemet på standardform blir 7x 1 +10x görs om till 7x 1 +10x 2 + x 3 = x 1 +12x görs om till 16x 1 +12x 2 + x 4 = 5400 Vi får Maximera z = 20x 1 +18x 2 2

3 7x 1 +10x 2 + x 3 = x 1 +12x 2 + x 4 = 5400 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Abstrakt formulering av standardform Minimera z = n j=1 c jx j n j=1 a ijx j = b i i = 1,...,m x j 0 j = 1,...,n Genom att införa matriser kan vi skriva Minimera c T x A x = b x 0 Exempel: Fajo igen. ( ) A= x 1 x = x 2 x 3 x 4 20 c = b = ( ) Minimera ( ) ( ) x 1 x 2 x 3 x 4 ( ) x 1 x 2 x 3 x 4 3

4 x 1 0 x 2 x x 4 0 För enkelhets skull kan vi gå tillbaka till att maximera z = 20 x 1 +18x 2. Var finns den optimala lösningen? I Fajo-problemet måste 7 x 1 +10x 2 + x 3 = x 1 +12x 2 + x 4 = 5400 En möjlighet är att x 3 = x 4 =0 7 x 1 +10x 2 = x 1 +12x 2 = 5400 Lösning av systemet ger x x Det ger z 7520 Men vi kan också t.ex. sätta x 2 = x 4 =0 Det ger ekvationerna 7x 1 + x 3 = x 1 = 5400 Det ger x x Då blir z Det är sämre. Finns det fler möjligheter? Baslösning: Antag att det finns n variabler och m ekvationer. Antag att n-m variabler sätts till 0. Dåär de övriga m variablerna entydigt bestämda. Detta är en baslösning. Tillåten baslösning: Om alla variabler är 0 har vi en tillåten baslösning. 4

5 Lösningen till ett LP-problem är alltid en tillåten baslösning. Men vilken baslösning? Det finns många möjliga baslösningar att testa. Metod: Variabler som är 0 är icke-basvariabler. De övriga är basvariabler. Vi testar olika baslösningar genom att byta basvariablerna en i taget. Exempel: Minimera z = 2x 1 + x 2 3x 1 + x 2 =10 x 1,x 2 0 Sätt x 1 =0. Dåär x 2 =10 Dåär z = 10. Byt så attx 2 =0. Dåär x 1 3,33 Då blir z 6,67. Det är bättre. Hur vet man att man hittat den bästa baslösningen? Ex: Fajo x 1 = 142x 2 = 260z = 7520 Hur vet vi att den lösningen är bäst? Vi kan skriva x 3 = x 1-10x 2 x 4 = x 1-12x 2 x 1 = 0,158x 3-0,132x ,1 5

6 x 2 =-0,2x 3 + 0,092x ,5 Det ger z = 20x 1 +18x 2 = 20(0,15x 3-0,13x ,1) + 18( -0,21x 3 + 0,09x ,5) = ,62x 3-0,98x 4 Vi ser att det inte lönar sig att öka x 3 eller x 4. Alltså måste varje ändring vara en försämring. Strategi för Simplexmetoden Antag att vi har ett maximeringsproblem och att vi har en baslösning med y 1, y 2,..., y m som basvariabler och v 1, v 2,..., v n m som icke-basvariabler. Vi har sattv 1 = v 2 =... = v n m =0 Det går att skriva y 1, y 2,..., y m som funktioner av v 1, v 2,..., v n m y 1 = f 1 (v 1,...,v n m ) y 2 = f 2 (v 1,...,v n m )... Dågår det att skriva z på formen z=c 1 v 1 + c 2 v c n m v n m + z 0 Om alla c i är < 0så har vi en optimal lösning. Om något c i > 0 t.ex. c 1 > 0sålönar det sig att öka v 1. Dåmåste värden på y-variablerna ändras. Hur mycket? Om vi har ett minimeringsproblem lönar det sig att öka variabler med c i < 0. I övrigt är problemet och metoden precis densamma. Ex: Minimera z = 2x 1 +2x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 =5 x 1 x 2 +2x 3 =8 x 1,x 2,x 3 0 En lösning är x 3 = 0 (icke-basvariabel). Det ger 6

7 x 1 + x 2 =5 x 3 x 1 x 2 =8 2x 3 2x 1 =13 3x 3 x 1 = x 3 2x 2 = 3 x 3 x 2 = x 3 z=2( x 3 )+2( x 3)+x 3 = 10-x 3 Det lönar sig att öka x 3.Menhurmycket? x 1 och x 2 måste vara 0. x 1 = x 3 Det betyder att x x 2 = x 3 Det betyder att x 3-3 Det ger begränsningen x för ökning av x 3. Om x 3 = 13 3 är x 1 =0. x 2 blir = 2 3 Skriv nu x 2, x 3 som funktioner av x 1. x 3 = x 1 x 2 = x 3 = ( x 1)= x 1 z=10-x 3 = x 1 = x 1 Här lönar det sig inte att öka x 1.Viär klara. Simplexmetoden med tablåräkning Ex: Minimera z = 30x 1 +2x 2 7

8 2x 1 + x 2 + x 3 = 100 x 1 + x 2 + x 4 =80 x 1 + x 5 =40 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Vi startar med x 1 = x 2 =0. Dåär x 3 = 100, x 4 = 80, x 5 = 40. z=30x 1 +20x 2 Vi sätter z - 30x 1-20 x 2 =0 Vi sammanställer i en starttablå. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x Positioner som är 0 har inte skrivits ut. Vi ser att det lönar sig att öka x 1 eller x 2. Vi ökar x 1. Begränsningen är 100-2x x x 1 0 Den snävaste begränsningen är den sista. Vi sätter x 1 = 40. Dågäller x 5 =0 x 1 utgår ur basen och x 5 ingår. Gör följande i tablån: Tag sista raden och dra från 4:de och 3:dje. Tag 2* sista raden och dra från 2:a. Tag 3* sista raden och lägg till 1:a. Det ger tablån 8

9 z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x Tolkningen är z = x 2-30x 5 x 3 =20-x 2 +2x 5 x 4 =40-x 2 + x 5 x 1 =40-x 5 Nu lönar det sig att öka x 2 Begränsningen är 20,40,40. Vi ser att 20 är minst. Det betyder att x 3 utgår ur basen och att x 2 ingår. Tag 20* 2:a raden och lägg till 1:a. Tag 2:a raden och drag från 3:dje. Det ger tablån z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x Nu lönar det sig att öka x 5. Begränsningarna är 20,40. x 4 utgår ur basen och x 5 ingår. En beräkning av liknande slag ger tablån z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x Nu lönar det sig inte att ändra mer. Vi har fått en lösning med z = 1800 x 2 =60x 5 =20x 1 =20x 3 = x 4 =0 9

10 Generell beskrivning av metoden Vi antar att vi har ett maximeringsproblem. z x 1 x b 1 c 1 c b 0 b Hitta icke-basvariabler med c-värde < 0. (Välj största c-värde.) Antag att det t.ex. är x 8 x c a i8.. b i Hitta det värde i som gör bi a i8 minimalt fast 0. Antag t.ex. att det är i=5. Dåskallx 8 in i basen och x 5 ut ur basen. Reducera så attkolumn8består av 1 raden som motsvarar x 5. Fortsätt tills ingen icke-basvariabel har negativt c-värde. 10