Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer"

Transkript

1 Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1) (knappar) x 1 6 (2) (optik) 6x 1 + 4x 2 50 (3) (monteringstid) x 1 0 (4) x 2 0 (5) Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 LP-dualitet: Generellt LP-dualitet: Exempel Primal: Maximera vinsten, utan att använda för mycket råvaror. max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1) (y 1 ) x 1 6 (2) (y 2 ) 6x 1 + 4x 2 50 (3) (y 3 ) x 1, x 2 0 Dualvariabel: y i pris på råvara i. Minimera kostnaden för råvarorna. Balansera kostnad mot intäkt. min v = 30y 1 + 6y y 3 då 2y 1 + y 2 + 6y 3 4 (1) (x 1 ) 3y 1 + 4y 3 3 (2) (x 2 ) y 1, y 2, y 3 0 Priset är noll om råvaran inte används fullt ut. Produkten görs ej om kostnaden blir högre än intäkten. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 LP-dualitet: Relationer Primal: Exakt vilka relationer har primal och dual? max z = då Dual: c j x j a ij x j b i x j 0 i = 1,..., m j = 1,..., n max z = c T x då Ax b x 0 Svaga dualsatsen Om x är tillåten i primalen och y är tillåten i dualen så c T x b T y. (bevis) (rita) Följdsats Om x är tillåten i primalen, ȳ är tillåten i dualen och c T x = b T ȳ så är x optimal i primalen och ȳ optimal i dualen. min v = då m b i y i m a ij y i c j y i 0 j = 1,..., n i = 1,..., m min v = b T y då A T y c y 0 (se figur) Följdsats Om primalen (dualen) är obegränsad, så saknar dualen (primalen) tillåten lösning. Båda kan dock sakna lösning. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36

2 LP-dualitet: Komplementaritet En dualvariabel, y i, anger hur mycket primala bivillkor i tar emot. Ett bivillkor som inte är aktivt tar inte emot alls. Komplementaritet (i ord): Om primala bivillkor i inte är aktivt, måste y i = 0. Om duala bivillkor j inte är aktivt, måste x j = 0. Komplementaritetsvillkoren Primallösningen x och duallösningen y uppfyller komplementaritetsvillkoren om y i a ij x j b i = 0 i = 1,..., m ( m ) x j a ij y i c j = 0 j = 1,..., n LP-dualitet: Komplementaritet Komplementaritetsvillkoren kan skrivas som Sats y T (Ax b) = 0 x T (A T y c) = 0 Om x och y uppfyller komplementaritetsvillkoren, så är c T x = b T y. (peka på bevis) Följdsats Om x är tillåten i primalen, y är tillåten i dualen och x och y uppfyller komplementaritetsvillkoren, så är x optimal i primalen och y optimal i dualen. Åt andra hållet: Starka dualsatsen Om x och y är optimallösningar så gäller c T x = b T y. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 LP-dualitet: Slutsatser Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 LP-dualitet: Formulering Fullständiga dualsatsen Om primalen har en tillåten, begränsad optimallösning, x, så har även dualen en tillåten, begränsad optimallösning, y, och c T x = b T y. Om primalen är obegränsad, så saknar dualen tillåten lösning. Om primalen saknar tillåten lösning, så saknar dualen lösning eller har obegränsad lösning. (Symmetriskt i primal - dual.) Optimalitetsvillkor (KKT) Primal tillåtenhet + Dual tillåtenhet + Komplementaritet = Optimalitet Standard: Primal: Dual: max z = c T x min v = b T y då Ax b då A T y c x 0 y 0 Variationer: Primal Dual max min Ax b y 0 Ax b y 0 Ax = b y fri x 0 A T y c x 0 A T y c x fri A T y = c Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36

3 LP-dualitet: Formulering, symmetriskt Standard: Primal/dual: Dual/primal: max z = c T x min v = b T y då Ax b då A T y c x 0 y 0 Variationer: * * max min Ax b y 0 Ax b y 0 Ax = b y fri x 0 A T y c x 0 A T y c x fri A T y = c LP-dualitet: Formulering: Exempel Primal: max z = 2x 1 + 3x 2 5x 3 då 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 10 (1) (y 1 ) 7x 1 + x 2 x 3 16 (2) (y 2 ) 3x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 43 (3) (y 3 ) x 1 0, x 2 fri, x 3 0 min v = 10y y y 3 då 2y 1 + 7y 2 + 3y 3 2 (1) (x 1 ) 3y 1 + y 2 + 4y 3 = 3 (2) (x 2 ) 2y 1 y 2 + 4y 3 5 (3) (x 3 ) y 1 0, y 2 0, y 3 fri y 1 (2x 1 + 3x 2 + 2x 3 10) = 0 y 2 (7x 1 + x 2 x 3 16) = 0 x 1 (2y 1 + 7y 2 + 3y 3 2) = 0 x 3 (2y 1 y 2 + 4y 3 + 5) = 0 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Dualitet och baslösningar Primal: Dual: Kompl.: max z = c T x min v = b T y då Ax = b då A T y c x T (A T y c) = 0 x 0 y fri Baslösning: Primal: Dual: Kompl max z = cb T x B + cn T x N min v = b T y då Bx B + Nx N = b då B T y c B xb T (BT y c B ) = 0 x B, x N 0 N T y c N xn T (NT y c N ) = 0 y fri x B > 0 B T y = c B y = B 1T c B = (c T B B 1 ) T. Dual tillåtenhet: Sätt in y i N T y c N. Uppfyllt om ĉ N 0 där ĉ N = c N (c T B B 1 N) T. Primal och dual lösning: x B = B 1 b, x N = 0, y = B 1T c B. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Dualitet och baslösningar, forts Slutsats Dual tillåtenhet primal optimalitet. Vi har bevisat starka dualsatsen. Starka dualsatsen, version 2 Om primalen har en tillåten, begränsad optimallösning, x = B 1 b, så har även dualen en tillåten, begränsad optimallösning, som ges av y = B 1T c B. Både primalen och dualen har det optimala målfunktionsvärdet z = c T B B 1 b. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36

4 LP-dualitet: Exempel max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1) (y 1 ) x 1 6 (2) (y 2 ) 6x 1 + 4x 2 50 (3) (y 3 ) x 1, x 2 0 min v = 30y 1 + 6y y 3 då 2y 1 + y 2 + 6y 3 4 (1) (x 1 ) 3y 1 + 4y 3 3 (2) (x 2 ) y 1, y 2, y 3 0 y 1 (2x 1 + 3x 2 30) = 0 y 2 ( x 1 6) = 0 y 3 (6x 1 + 4x 2 50) = 0 x 1 (2y 1 + y 2 + 6y 3 4) = 0 x 2 (3y 1 + 4y 3 3) = 0 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 LP-dualitet och simplextablån Duallösningen återfinnes under slackvariablerna i optimaltablån. Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z /5 0 3/5 36 x /5 1-3/10 3 x /5 0 3/10 3 x /5 0-1/5 8 Dual optimallösning: y 1 = 1/5, y 2 = 0, y 3 = 3/5. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 LP-dualitet: Exempel Primal optimallösning: x 1 = 3, x 2 = 8, z = 36. Villkor 1 aktivt. Villkor 2 ej aktivt y 2 = 0. Villkor 3 aktivt. x 1 > 0 2y 1 + y 2 + 6y 3 = 4. x 2 > 0 3y 1 + 4y 3 = 3. Dual optimallösning: y 1 = 1/5, y 2 = 0, y 3 = 3/5. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 LP-dualitet: Kappsäcksproblem: Exempel max z = 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 7x 4 då 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 10 (y) x 1, x 2, x 3, x 4 0 min v = 10y då 2y 2 (1) (x 1 ) 2y 3 (2) (x 2 ) 2y 5 (3) (x 3 ) 4y 7 (4) (x 4 ) y 0 Skriv som: min v = 10y då y 1, y 3/2, y 5/2, y 7/4, y 0 Optimallösning: y = 5/2, v = 25. Endast duala bivillkor 3 aktivt. x 1 = 0, x 2 = 0, x 4 = 0. y > 0 2x 3 = 10 x 3 = 5. Problemet löst. Det blev en metod! max j (c j /a j ) ger bästa x j. Ta med den. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36

5 LP-dualitet: Exempel LP-dualitet: Exempel max z = 2x 1 + 3x då x 1 + x 2 + 2x 3 5 (y 1 ) 2x 1 x 2 + x 3 3 (y 2 ) x 1, x 2, x 3 0 min v = 5y 1 + 3y 2 då y 1 + 2y 2 2 (1) (x 1 ) y 1 y 2 3 (2) (x 2 ) 2y 1 + y 2 4 (3) (x 3 ) y 1, y 2 0 LP-dualen 2-dimensionell. Lös grafiskt. (1) (3) (2) Dual optimalpunkt: y 1 = 3, y 2 = 0. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 LP-dualitet: Exempel max z = 2x 1 + 3x då x 1 + x 2 + 2x 3 5 (y 1 ) 2x 1 x 2 + x 3 3 (y 2 ) x 1, x 2, x 3 0 min v = 5y 1 + 3y 2 då y 1 + 2y 2 2 (1) (x 1 ) y 1 y 2 3 (2) (x 2 ) 2y 1 + y 2 4 (3) (x 3 ) y 1, y 2 0 LP-dualen 2-dimensionell. Lös grafiskt. Optimallösning: y 1 = 3, y 2 = 0, v = 15. Duala bivillkor 1 och 3 inte aktiva. x 1 = 0, x 3 = 0. y 1 > 0 x 2 = 5. Problemet löst. (Kolla gärna primala bivillkor 2.) Lösning: x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 0, z = 15. (Kolla gärna z.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Skuggpriser Hur mycket förändras det optimala målfunktionsvärdet av en liten ändring av ett högerled? Detta mått kallas skuggpris (eller marginalpris). Starka dualsatsen: z = c T x = b T y eller z = j Derivatan av z med avseende på b i är y i. Slutsats Skuggpriserna ges av den optimala duallösningen. I exemplet: Dual målfunktion: v = b 1 y 1 + b 2 y 2. c j x j = i Stoppa in dual optimallösning: y 1 = 3, y 2 = 0 ger v = 3b 1. En enhets ökning av b 1 ger 3 enheters ökning av v, dvs. z. En enhets ökning av b 2 ger ingen ändring av v, dvs. z. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 b i y i

6 Skuggpriser Känslighetsanalys I en viss baslösning har vi x B = B 1 b och y = B 1T c B. Skuggpriserna är oförändrade så länge som B 1 och c B är oförändrade, dvs. så länge som samma baslösning är optimal. Om ändringen i b ger B 1 b 0, ändras optimal baslösning/skuggpriser. B 1 b 0 ger gränser på b för oförändrad optimallösning. Har optimallösning. Indata ändras. Vad händer? Är optimallösningen helt oförändrad? Är optimala baslösningen oförändrad? För hur stora ändringar ändras inte (bas)lösningen? Om optimal baslösning inte ändras blir alla förändringar lätta att räkna ut, för då ändras inte B 1. Stoppa in nya b och/eller c i x B = B 1 b, y = B 1T c B och z = c T B x B. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Känslighetsanalys Vi beaktar ändringar av: Högerled, b. (Påverkar tillåtenhet.) Målfunktionskoefficient, c. (Påverkar optimalitet.) För ickebasvariabel, c N. För basvariabel, c B. Addition av nytt bivillkor, a T i x b i. (Påverkar tillåtenhet.) Addition av ny variabel, x k, med kolumn a k och målfunktionskoefficient c k. (Dvs. addition av ett dualt bivillkor, a T k y c k.) (Påverkar optimalitet, dvs. dual tillåtenhet.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Känslighetsanalys mer exakt Har optimallösning: Primal, x, och dual, y. Primal/dual tillåtenhet: x B = B 1 b 0, x N = 0, NT y c N. Ändring av högerled, b: Kolla primal tillåtenhet: x B = B 1 b 0. Ändring av målfunktionskoefficient, c: Kolla dual tillåtenhet (dvs. primal optimalitet). * Ändring i c N : Kolla c N N T y. (Ändringen i ĉ blir lika stor som ändringen i c.) * Ändring i c B : Beräkna y = B 1T c B och kolla N T y c N. (Hela ĉ kan ändras.) Addition av nytt bivillkor, a T i x b i : Kolla primal tillåtenhet: a T i x b i. Addition av ny variabel, x k, med kolumn a k och målfunktionskoefficient c k : Kolla dual tillåtenhet: a T k y c k. Alternativ: Kolla primal optimalitet: ĉ k = c k a T k y 0. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36

7 Vårt musexempel max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1) (y 1 ) (knappar) x 1 6 (2) (y 2 ) (optik) 6x 1 + 4x 2 50 (3) (y 3 ) (monteringstid) x 1, x 2 0 min v = 30y 1 + 6y y 3 då 2y 1 + y 2 + 6y 3 4 (1) (x 1 ) (Optimus) 3y 1 + 4y 3 3 (2) (x 2 ) (Rullmus) y 1, y 2, y 3 0 Optimaltablå: Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z /5 0 3/5 36 x /5 1-3/10 3 x /5 0 3/10 3 x /5 0-1/5 8 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Känslighetsananlys i simplextablån Kan läsa av B 1 under slackvariablerna i optimaltablån. Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z /5 0 3/5 36 x /5 1-3/10 3 x /5 0 3/10 3 x /5 0-1/5 8 B 1 b = 2/5 1 3/10 2/5 0 3/10 3/5 0 1/5 vilket ger 22.5 b b = 2b 1 /5 9 2b 1 / b 1 /5 10 Så vi tjänar 1/5 kr per ytterligare knapp, för b 1 upp till Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Känslighetsanalys i simplextablån Optimaltablå för vårt exempel: Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z /5 0 3/5 36 x /5 1-3/10 3 x /5 0 3/10 3 x /5 0-1/5 8 Optimallösning: x 1 = 3, x 2 = 8, z = 36. Skuggpriser: y 1 = 1/5, y 2 = 0, y 3 = 3/5. Vad skulle vi tjäna på en ökning av tillgången av knappar? Det är en ökning av b 1, så vi tjänar y 1 = 1/5 per enhets ökning. För hur stor ökning gäller detta? Kolla B 1 b 0. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Exempel: Ny variabel Ska MPigg AB göra en ny sorts mus, SuperGamer, som består av en knapp och två optiska enheter, kräver 5 min för montering och ger intäkten 3 kr/enhet? Ny variabel, x 6 : kolumn: a 6 = målfunktionskoefficient: c 6 = 3. Dual optimallösning (skuggpriser) : y 1 = 1/5, y 2 = 0, y 3 = 3/5. Reducerad kostnad (dual tillåtenhet): ĉ 6 = c 6 a6 T y = 3 (1/5 + 3) = 1/5 0. Slutsats: Låt x 6 förbli noll. Gör inga SuperGamer. MPigg vill justera priset så att SuperGamer blir lönsam. Bestäm c 6 så att ĉ 6 > 0: ĉ 6 = c 6 a T 6 y = c 6 (1/5 + 3) = c > 0 om c 6 > 3.2. För att få lite marginal sätter man priset så att intäkten blir 3:50 kr. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36

8 Exempel: Ny variabel Ny optimallösning? ĉ 6 = c 6 a6 T y = 7/2 (1/5 + 3) = 3/10. Inför nya kolumnen i optimaltablån: â 6 = B 1 a 6. 2/5 1 3/10 1 9/10 â 6 = 2/5 0 3/10 2 = 11/10 3/5 0 1/5 5 2/5 Inför i optimaltablån: Bas z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 z /5 0 3/5-3/10 36 x /5 1-3/10 9/10 3 x /5 0 3/10 11/10 3 x /5 0-1/5-2/5 8 Känslighetsananlys från koder Indatafil: (GMPL) var x1 >= 0; var x2 >= 0; maximize obj: 4*x1 + 3*x2; subject to con1: 2*x1 + 3*x2 <= 30; subject to con2: x1 <= 6; subject to con3: 6*x1 + 4*x2 <= 50; end; Lösning av problemet: Skriv glpsol -m lp-ko1.mod -o lp-ko1.sol Fortsätt med simplexmetoden. x 6 inkommande. Utgående? Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Känslighetsananlys från koder På skärmen (rensat): Reading model section from lp-ko1.mod lines were read Model has been successfully generated GLPK Simplex Optimizer, v rows, 2 columns, 7 non-zeros Preprocessing... 2 rows, 2 columns, 4 non-zeros Scaling... A: min aij = 2.000e+00 max aij = 6.000e+00 ratio = 3.000e+00 Problem data seem to be well scaled Constructing initial basis... Size of triangular part = 2 * 0: obj = e+00 infeas = 0.000e+00 (0) * 3: obj = e+01 infeas = 0.000e+00 (0) OPTIMAL SOLUTION FOUND Time used: 0.0 secs Memory used: 0.1 Mb ( bytes) Writing basic solution to lp-ko1.sol... Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Känslighetsananlys från koder I utdatafilen lp-ko1.sol (rensat): Problem: lp Rows: 4 Columns: 2 Non-zeros: 7 Status: OPTIMAL Objective: obj = 36 (MAXimum) No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal obj B 36 2 con1 NU con2 B con3 NU No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal x1 B x2 B 8 0 Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions: Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36

9 Känslighetsananlys från koder Lösning av problemet med känslighetsanalys: Skriv glpsol -m lp-ko1.mod --bounds lp-ko1.bnd I utdatafilen lp-ko1.bnd (rensat): Känslighetsananlys från koder Sida 2 i utdatafilen lp-ko1.bnd (rensat): GLPK SENSITIVITY ANALYSIS REPORT GLPK SENSITIVITY ANALYSIS REPORT Problem: lpluma Page 1 Problem: lpluma Objective: obj = 36 (MAXimum) Objective: obj = 36 (MAXimum) No. Column name St Activity Obj coef Activity Obj coef Obj value No. Row name St Activity Slack Lower bound Activity Obj coef Obj value at Limiting Marginal range range break po Marginal Upper bound range range break point variable x BS Inf obj BS Inf con Inf Inf +Inf 2 x2 BS con1 NU Inf con Inf x1 End of report 3 con2 BS Inf con con1 4 con3 NU Inf x Inf con2 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 LP-dualen till ett strukturerat problem Tillordningsproblemet: Varje person i skall tilldelas en uppgift j. min c ij x ij då x ij = 1 i = 1,... n (α i ) x ij = 1 j = 1,... n (β j ) x ij 0 för alla i, j Vileopt Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Att tänka på inför lab 1: Skuggpris? Reducerad kostnad? Vad händer om man gör fel i simpexmetoden? LP-dualen: max α i + β j då α i + β j c ij för alla (i, j) (x ij ) x ij (α i + β j c ij ) = 0 för alla (i, j) Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering 26 augusti / 36

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)

Läs mer

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Laborationsinformation

Laborationsinformation Linköpings Tekniska Högskola 2017 03 16 Matematiska institutionen/optimeringslära Kaj Holmberg Laborationsinformation 1 Information om GLPK/glpsol 1.1 Introduktion till GLPK GLPK (GNU Linear Programming

Läs mer

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder

Läs mer

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 9 april 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Introduktion till att använda sig av GLPK

Introduktion till att använda sig av GLPK Introduktion till att använda sig av GLPK 1. Det finns inget grafiskt gränssnitt, som i Minitab eller Excel, utan man kör direkt i ett kommandofönster. 2. Programmet glpsol.exe och dess drivrutin (glpk44.dll-fil)

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 6 Det duala problemet Relationer primal dual Optimalitetsvillkor Nätverksoptimering (introduktion) Agenda Motivering av det duala problemet (kap 6.)

Läs mer

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning

Läs mer

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler

Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

Extrempunkt. Polyeder

Extrempunkt. Polyeder Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den. Dvs. finna en optimal lösning, x, till modellen. Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan bättre. Upprepa, tills

Läs mer

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

Optimering. Optimering

Optimering. Optimering TAOP88 Optimering för ingenjörer Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se Kurshemsida: http://courses.mai.liu.se/gu/taop88 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Oleg Burdakov, William

Läs mer

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:

min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ: Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 9 augusti 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen

Läs mer

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: oktober 01 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST:

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: 2015 TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST: OSKQV953@STUDENT.LIU.SE Innehållsförteckning Allmänt... 2 Om optimering... 3 Matematiska formuleringar av optimeringsproblem... 3 Linjärprogrammering

Läs mer

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016 Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, 3 Juni, 6 Uppgift (a) We note that each column in the matrix A contains one + and one, while all the other elements in the column are zeros We also note that

Läs mer

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats. Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:

Läs mer

Optimering. TAOP86 Kombinatorisk optimering med miljötillämpningar. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering?

Optimering. TAOP86 Kombinatorisk optimering med miljötillämpningar. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering? TAOP86 Kombinatorisk optimering med miljötillämpningar Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se http://courses.mai.liu.se/gu/taop86 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Björn Morén

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 2016 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014

Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014 Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 14 1.(a) The considered problem may be modelled as a minimum-cost network flow problem with six nodes F1, F, K1, K, K3, K4, here called 1,,3,4,5,6, and

Läs mer

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Optimering. TAOP88 Optimering för ingenjörer. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering?

Optimering. TAOP88 Optimering för ingenjörer. När inte intuitionen räcker till... Långsiktiga mål med kursen. Vad är optimering? TAOP88 Optimering för ingenjörer Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se Kurshemsida: http://courses.mai.liu.se/gu/taop88 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Oleg Burdakov Roghayeh

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk

Läs mer

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING

Läs mer

Optimeringslära för T (SF1861)

Optimeringslära för T (SF1861) Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 1 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 24 oktober 204 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722)

Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722) Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722) Februari 2004 Avdelningen för Optimeringslära och Systemteori Institutionen för Matematik Kungliga Tekniska Högskolan Stockholm Allmän information

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner Linköpings Tekniska Högskola Institutionen för Teknik och Naturvetenskap/ITN TENTAMEN TNE 05 OPTIMERINGSLÄRA Datum: 008-05-7 Tid: 4.00-8.00 Hjälpmedel: Boken Optimeringslära av Lundgren et al. och Föreläsningsanteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 19 mars 2011 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

Lösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015

Lösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015 Lösningar till tentan i SF86/5 Optimeringslära, 3 juni, 25 Uppgift.(a) Första delen: The network is illustrated in the following figure, where all the links are directed from left to right. 3 5 O------O

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 2 oktober 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Tentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära

Tentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära Tentamen TMA946/MAN80 tillämpad optimeringslära 01081 1. Uppgift: min z 3x 1 + x Då x 1 + x 6 x 1 + x x 1, x 0 Skriv på standardform m.h.aṡlackvariabler min z 3x 1 + x Då x 1 + x s 1 6 x 1 x + s x 1, x,

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING

Läs mer

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod Kursnamn T7005N Operationsanalys Datum LP2 13/14 Material Kursexaminator Sammanfattning Björn Samuelsson Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

TAOP61 Projekt 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14

TAOP61 Projekt 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14 TAOP61 Projekt 2 Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober 2016 1 / 14 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: oktober 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen.

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen. Betrakta kvadratiska delmatriser av storlek n n, dar n m, och anvand induktion med avseende

Läs mer

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod. Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar

Läs mer

Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 2006

Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 2006 Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 Uppgift a) svar: 9 8 b) Svar: Δ b < c) Svar : 5 Δ c < d) Svar: ma st 8 8 Uppgift a) Dualen (D) till det primala problemet (P) är: Ma y 5y y y

Läs mer

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Krister Svanberg, april 2012 1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk Ett nätverk består av en given mängd noder numrerade från 1 till m (där m är antalet noder) samt en given mängd riktade bågar mellan vissa

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 2: Forts. introduktion till matematisk modellering

TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 2: Forts. introduktion till matematisk modellering TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 2: Forts. introduktion till matematisk modellering 2017-11-01 2 Dagordning Matematisk modellering, Linjära Problem (LP) Terminologi Målfunktion

Läs mer

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

1 Ickelinjär optimering under bivillkor Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 1 november 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Optimering på dator. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet. Handledarens kommentarer.

Optimering på dator. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet. Handledarens kommentarer. Laborationsinstruktion Systemanalysgruppen, 1998 Uppsala universitet Optimering på dator Namn Handledarens kommentarer Grupp Inskrivningsår Utförd den Godkänd den Signum Leif Gustafsson 1985 Thomas Persson

Läs mer

Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 21 augusti 2012 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 maj 2014 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 10 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg

Läs mer

Föreläsning 6: Nätverksoptimering

Föreläsning 6: Nätverksoptimering Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem

Läs mer

Föreläsning 6: Transportproblem (TP)

Föreläsning 6: Transportproblem (TP) Föreläsning 6: Transportproblem (TP) 1. Transportproblem 2. Assignmentproblem Föreläsning 6 Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Transportproblem Transportproblem Varor ska transporteras från fabriker till varuhus:

Läs mer

14.1 Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt

14.1 Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt 14 Spelteori 14.1 Två pers nollsummespel: sadelpunkt 14.2 Två pers nollsummespel: randomiserad strategi, dominans, grafisk lösning 14.3 LP och nollsummespel 14.4 Två personer - icke konstant spel. 14.5

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 14 januari 2015 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Laboration 2 - Heltalsoptimering

Laboration 2 - Heltalsoptimering Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 2 Optimeringslära 4 februari 203 Laboration 2 - Heltalsoptimering Problemställning Synande av cellprover När

Läs mer

Optimering med hjälp av Lego. Mathias Henningsson

Optimering med hjälp av Lego. Mathias Henningsson Optimering med hjälp av Lego Mathias Henningsson Vem är jag? Mathias Henningsson Lärare Optimeringslära 1996-2007 Produktionsekonomi 2008- Bokförfattare Optimeringslära övningsbok (Studentlitteratur) Arbetar

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 13 januari 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Operativ Verksamhetsstyrning/ Produktionslogistik. 7,5 högskolepoäng 51PL01. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student)

Operativ Verksamhetsstyrning/ Produktionslogistik. 7,5 högskolepoäng 51PL01. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Operativ Verksamhetsstyrning/ Produktionslogistik 7,5 högskolepoäng Ladokkod: 41I32O 51PL01 Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2015-01-13 Tid: 09 13 Hjälpmedel:

Läs mer

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013 Optimering Optimering av transportproblem Campusveckan VT2013 Linköpings universitet SL 1 Optimering - Distributionsproblem Företaget Kulprodukter AB producerar sina kulor vid fyra olika fabriksanläggningar

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig (ej fackspråklig) ordbok utan kommentarer. Formelsamling tillhandahålls i tentamenslokalen.

Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig (ej fackspråklig) ordbok utan kommentarer. Formelsamling tillhandahålls i tentamenslokalen. Operativ Verksamhetsstyrning/ Produktionslogistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: 7,5 högskolepoäng Skriftlig tentamen 41I32O, 51PL01 Industriell ekonomi - affärsingenjör, Affärsingenjör

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller

Läs mer

TENTAMEN Tillämpad systemanalys 5hp 1RT242

TENTAMEN Tillämpad systemanalys 5hp 1RT242 TENTAMEN Tillämpad systemanalys 5hp 1RT242 Tid: 2017-01-10, 14.00 19.00. Plats: Bergsbrunnagatan 15, sal 1. Ansvarig lärare: Hans Rosth Tillåtna hjälpmedel: Ett A4-papper med egna anteckningar (båda sidor),

Läs mer

Gradientbaserad Optimering,

Gradientbaserad Optimering, Gradientbaserad Optimering, Produktfamiljer och Trinitas Hur att sätta upp ett optimeringsproblem? Vad är lämpliga designvariabler x? Tjockleksvariabler (sizing) Tvärsnittsarean hos stänger Längdmått hos

Läs mer

Algoritmkomplexitet. Komplexitet Teoretisk bas för frågorna: Är en viss metod bra eller dålig? Är ett visst problem lätt eller svårt?

Algoritmkomplexitet. Komplexitet Teoretisk bas för frågorna: Är en viss metod bra eller dålig? Är ett visst problem lätt eller svårt? Komplexitet Teoretisk bas för frågorna: Är en viss metod bra eller dålig? Är ett visst problem lätt eller svårt? Teori och praktik inte alltid överens, men i stort sett... Algoritmkomplexitet: Hur många

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T

Läs mer

Regression med Genetiska Algoritmer

Regression med Genetiska Algoritmer Regression med Genetiska Algoritmer Projektarbete, Artificiell intelligens, 729G43 Jimmy Eriksson, jimer336 770529-5991 2014 Inledning Hur många kramar finns det i världen givet? Att kunna estimera givet

Läs mer

Kalkyl och Marknad: Övningar i produktkalkyler och grundläggande produktvalsproblem MED VISSA FACIT Peter Lohmander Version 130111

Kalkyl och Marknad: Övningar i produktkalkyler och grundläggande produktvalsproblem MED VISSA FACIT Peter Lohmander Version 130111 FACITKMProdOvn Kalkyl och Marknad: Övningar i produktkalkyler och grundläggande produktvalsproblem MED VISSA FACIT Peter Lohmander Version 130111 MÅL: Efter deltagandet i de introducerande föreläsningarna

Läs mer

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Heltalsoptimering av Mårten Knutsson 2007 - No 17 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 10691 STOCKHOLM Heltalsoptimering

Läs mer