Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.
|
|
- Katarina Johansson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor: l ij x ij u ij Noddata för nod i: b i : källstyrka/sänkstyrka. (måste vara givet) Nodjämviktsvillkor: x ji x ij = b i för alla i N (in - ut) Krav på indata: i b i = 0. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 / Specialfall av kostnadsflödesproblemet Flöde i nätverk Sats Varje anslutningsmatris är fullständigt unimodulär. Slutsats Flödesproblem kan betraktas som LP-problem. Flödet blir automatiskt heltal. Obs: Inga andra bivillkor får finnas. Minkostnadsflödesproblemet Skicka efterfrågade mängder så billigt som möjligt. (i,j) B x ji l ij x ij u ij x ij = b i för alla (i, j) B för alla i N Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 / Specialfall av kostnadsflödesproblemet Billigaste väg-problemet: Minkostnadsflödesproblem med en källa och en sänka, båda av styrka ett. i = s b i = i = t 0 f ö Riktade brevbärarproblemet: Cirkulerande kostnadsflödesproblem med undre gräns ett för alla bågar. l ij = 0 och u ij stor (men i praktiken ) för alla bågar. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 3 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 4 /
2 Specialfall av kostnadsflödesproblemet Maxflödesproblemet: Inför återbåge (t, s). Sätt c ts = och c ij = 0 för alla (i, j) B \ (ts). Sök cirkulerande flöde (inga källor eller sänkor). max f x ji 0 x ij u ij för alla (i, j) B f fri 0, 5 0, 3 3 f i = s x ij = f i = t 0 f ö 0, 0, 5 0, 4 0, , 0, 6 6 för alla i N Specialfall av kostnadsflödesproblemet Transportproblemet: Minkostnadsflödesproblem i tudelad graf. m n n x ij = s i j= m x ij = d j i= x ij 0 i =,... m j =,... n för alla i, j Kan ses som ett matrisproblem, där i står för rader och j för kolumner. Bivillkoren specificerar radsummor och kolumnsummor. (Eftersom detta är ett kostnadsflödesproblem blir lösningen heltal.),m Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 5 / Specialfall av kostnadsflödesproblemet Tillordningsproblemet: Transportproblem med all tillgång och efterfrågan lika med ett. Varje person i skall göra en uppgift och varje uppgift j ska göras en gång. Variabeldefinition: om person i gör uppgift j. n n n j= n i= x ij 0 i =,... n j =,... n för alla i, j Lösningsmetod: Ungerska metoden. Baseras på LP-dualen. (Eftersom detta är ett kostnadsflödesproblem blir lösningen heltal.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 7 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 6 / Utvidgning av kostnadsflödesproblemet Flervaruflöde: Flödet består av olika sorters varor med separat tillgång/efterfrågan men med gemensamma kapaciteter. Även för olika start- och slutnodsbundna signaler, som i telekomnät. Variabeldefinition: xij k = flöde av sort k i båge (i, j). cij k xij k (i,j) B k C x k ji xij k u ij k C l k ij x k ij u k ij x k ij = b k i för alla i N, k C för alla (i, j) B Bivillkorsmatrisen är ej fullständigt unimodulär. för alla (i, j) B, k C Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 8 /
3 Lösningsmetod för kostnadsflödesproblemet (i,j) B x ji l ij x ij u ij x ij = b i för alla (i, j) B för alla i N Simplexmetoden ( Vore det inte bättre att skicka så istället? Metodiskt!) Baslösning: Icke-basvariabler: x ij = l ij eller x ij = u ij. (Övre och undre gränser behandlas implicit.) Hur många basvariabler? Ett av nodjämviktsvillkoren är redundant. En n n-matris vore linjärt beroende. Kan bara ha bas av dimension n. Alltså n basvariabler. Simplexmetoden för kostnadsflödesproblemet En iteration: Basvariablerna ger ett uppspännande träd. Inkommande variabel bildar en unik cykel. Man vill skicka runt så mycket som möjligt i cykeln. Utgående variabel begränsar flödesändringen i cykeln. Den hamnar på övre eller undre gräns. Utgående variabel bryter upp cykeln. En cykel motsvarar linjärt beroende. Alltså ingen cykel i basen. Slutsats: En bas motsvarar ett uppspännande träd. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 9 / Simplexmetoden för kostnadsflödesproblemet Hur välja inkommande variabel? y: dualvariabler till nodjämviktsvillkoren. y i kallas nodpris för nod i. Reducerade kostnader: ĉ ij = c ij + y i y j. (Nod i till j: Jämför skillnaden i nodpris, y j y i, med direktvägen, c ij.) Minimering ĉ ij < 0 Båge (i, j) billig. Skicka så mycket som möjligt. Öka x ij. x ij = u ij är optimalt. ĉ ij > 0 Båge (i, j) dyr. Skicka så lite som möjligt. Minska x ij. x ij = l ij är optimalt. Optimalitetsvillkor ĉ ij < 0 x ij = u ij, (billig ickebas) ĉ ij > 0 x ij = l ij (dyr ickebas) samt l ij < x ij < u ij ĉ ij = 0 (bas). (Används för att räkna ut y.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 0 / Simplexmetoden för kostnadsflödesproblemet 0. Finn tillåten startbas (träd).. Sätt y = 0. Beräkna resterande y via basträdet. (c ij = y j y i för alla basbågar.). Beräkna reducerade kostnader ĉ ij = c ij + y i y j för alla icke-basbågar. 3. Kontrollera optimalitet. Om optimum: Stopp. 4. Välj mest lovande variabel som inkommande. 5. Finn cykeln som bildas. 6. Ändra flödet i cykeln maximalt i önskad riktning. 7. Välj den variabel som begränsar ändringen som utgående variabel. 8. Gå till. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 /
4 Simplexmetoden för kostnadsflöde: Exempel Simplexmetoden för kostnadsflödesproblemet Indata: 3 6,,0 3,, Startlösning Bågdata: c,u,x,, 3,,,, 5,,,,0 Känslighetsanalys Ändring av kostnad för icke-basbåge eller införande av ny båge: Beräkna ny reducerad kostnad, ĉ ij = c ij + y i y j och kontrollera optimalitet. 5,, 4 Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 3 / Busacker-Gowens metod Alternativ metod för kostnadsflödesproblem med en källa och en sänka: Modifiering av maxflödesmetoden: Sök billigaste flödesökande väg i varje iteration. Pseudopolynomisk. Billigaste-maxflödesmetoden Busacker-Gowens metod kan finna billigaste maxflöde om man inte slutar förrän flödet är maximalt. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 4 / n n n j= n i= x ij 0 i =,... n j =,... n för alla i, j n n LP-dual: max α i + β j α i + β j c ij för alla (i, j). Komplementaritetsvillkor: x ij (α i + β j c ij ) = 0 för alla (i, j). Metod: Lös dualen: Öka α och β, utan att överskrida duala bivillkoren. Försök sedan finna en tillåten primallösning som uppfyller komplementaritetsvillkoren. Ändra α och β om det inte går. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 5 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 6 /
5 Arbeta med reducerade kostnader: ĉ ij = c ij α i β j för alla (i, j). Duala bivillkoren (primal optimalitet): ĉ ij 0 för alla (i, j) Komplementaritetsvillkoren: ĉ ij x ij = 0 för alla (i, j) Optimalitetsvillkor: ĉ ij > 0 x ij = 0, x ij > 0 ĉ ij = 0 Tillåtna positioner: där ĉ ij = 0 Mål: Placera exakt en etta i varje rad och i varje kolumn på de tillåtna positionerna. Lös dualen. Sätt α i = 0 för alla i och β j = 0 för alla j (vilket ger ĉ ij = c ij ). Öka enstaka α i och β j så mycket som möjligt (utan att ĉ ij blir negativt). Kan en etta placeras i varje rad och kolumn på de tillåtna positionerna? Om ja, stopp. Om inte, ändra dualvariablerna i par: Öka α i och ska β j så att inget ĉ ij blir negativt. Gör detta så att nya tillåtna positioner, ĉ ij = 0, bildas, samtidigt som ĉ ij 0 för alla i, j. Upprepa tills tillåten lösning fås. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 7 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 8 / Matris av reducerade kostnader, Ĉ. Stryk alla tillåtna positioner med sta möjliga antal streck. Sats Högsta antalet ettor som kan placeras ut är lika med sta antalet streck som behövs. Öka α i för ostrukna rader, och ska β j för strukna kolumner. Effekt: Ostrukna element skas, enkelt strukna element oförändrade, dubbelt strukna element ökas. ĉ ij skas inte för någon tillåten position. Inget ĉ ij blir negativt. Minst en ny tillåten position bildas. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 9 / 0. Starta med de ursprungliga kostnaderna (α = 0, β = 0).. Dra bort det sta elementet i varje rad från alla elementen i raden (öka α).. Dra bort sta elementet i varje kolumn från alla elementen i kolumnen (öka β). 3. Stryk alla nollor med sta möjliga antal streck. Om antalet streck är lika med n, finn tillåten lösning, och sluta. 4. Dra bort sta ostrukna element från alla ostrukna element och addera till alla dubbelt strukna element. (Öka α i för ostrukna rader, och ska β j för strukna kolumner.) Gå till 3. Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 0 /
6 Ungerska metoden: Exempel Ungerska metoden: Exempel ĉ ij = c ij α i β j α 3 Optimallösning: x = Person gör uppgift, person gör uppgift 3, person 3 gör uppgift 4, person 4 gör uppgift. Total kostnad: 7 β Duallösning: α = (3, 6,, 5) β = (0,,, ) Till slut återstår bara en nolla. (Kolla starka dualsatsen.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 / Kaj Holmberg (LiU) TAOP86 Optimering september 06 /
Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: oktober 204 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i
Läs merLP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter
LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Läs merSpeciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs mermin c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 april 2014 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merLP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 11 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merVårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merLösningsförslag till övningsuppgifter, del III
Lösningsförslag till övningsuppgifter, del III Obs! Preliminär version! Ö.. Mängden av kanter med vikt innehåller inga cykler, vilket innebär att det finns ett uppspännande träd som innehåller samtliga
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: oktober 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 maj 2014 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller
Läs mer5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem. Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor
5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem Föreläsning 3 Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 3 5B1816 2005/2006 Optimalitetsvillkor för ickelinjära
Läs merLathund, procent med bråk, åk 8
Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform
Läs merManual för BPSD registret. Version 6 / 2013 06 17
Manual för BPSD registret Version 6 / 2013 06 17 Logga in Logga in till registret överst till höger på hemsidan. (Observera att du hittar testdatabasen längre ner på hemsidan) Fyll i ditt personliga användarnamn
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 2 oktober 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 10 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs merTentamensinstruktioner
Linköpings Tekniska Högskola Institutionen för Teknik och Naturvetenskap/ITN TENTAMEN TNE 05 OPTIMERINGSLÄRA Datum: 008-05-7 Tid: 4.00-8.00 Hjälpmedel: Boken Optimeringslära av Lundgren et al. och Föreläsningsanteckningar
Läs merEulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.
Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är
Läs merFöreläsning 10/11! Gruppuppgifter: Gruppuppgift 1: Alla har redovisat. Gruppuppgift 2: Alla har redovisat Gruppuppgift 3: På gång.
Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF och Nätverkssimplex Föreläsning 10/11! Gruppuppgifter:
Läs merTillståndsmaskiner. 1 Konvertering mellan Mealy och Moore. Ola Dahl och Mattias Krysander Linköpings tekniska högskola, ISY, Datorteknik 2014-05-08
Tillståndsmaskiner Ola Dahl och Mattias Krysander Linköpings tekniska högskola, ISY, Datorteknik 2014-05-08 Figur 2: En tillståndsgraf av Moore-typ för att markera var tredje etta i en insignalsekvens.
Läs merN = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.
Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs merANVÄNDARHANDLEDNING FÖR
ANVÄNDARHANDLEDNING FÖR TILLSÄTTARE/LAGLEDARE OCH DOMARE Cleverservice ett smart sätt att hantera matcher, domartillsättningar, samt utbetalningar av arvoden 2015 ANVÄNDARHANDLEDNING - CLEVERSERVICE Cleverservice
Läs merMöbiustransformationer.
224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver
Läs merOPTIMIZING THE LINE. CAB Group AB Stortorget 11, SE-702 11 Örebro, Sweden Phone: +46 19 15 86 00
Innehåll CABAS och maskinskador... 2 Nyheter... 2 Nya funktioner, som kostar att använda... 2 Instruktion, steg för steg... 4 Ny kalkyl... 4 Välj modell... 4 Fliken: Ägare/Fordon... 5 Fliken Skada... 5
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF
Läs merIdag: Dataabstraktion
Idag: Dataabstraktion Hur använder vi det vi hittills kan om Scheme för att realisera (implementera) sammansatta data? Hur separerar man datastrukturen från resten av ett program så att ändringar i datastrukturen
Läs merTräning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merExempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1
Exempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1 Diskret matematik 1. Givet är de 7 bokstäverna i ordet APPARAT. Hur många olika ord (= bokstavspermutationer) kan man bilda av dem med (a) 7 bokstäver (b)
Läs merKonsten att multiplicera (stora) heltal
Konsten att multiplicera (stora) heltal 18 november 2006 Stora heltal Mental bild: Handmultiplikation av tal med hundratals siffor. Datormultiplikation av tal med miljontals siffror. Mina exempel är mycket
Läs merOptimering. Optimering
TAOP88 Optimering för ingenjörer Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se Kurshemsida: http://courses.mai.liu.se/gu/taop88 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Oleg Burdakov, William
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 0 oktober 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i
Läs merRiktlinjer - Rekryteringsprocesser inom Föreningen Ekonomerna skall vara genomtänkta och välplanerade i syfte att säkerhetsställa professionalism.
REKRYTERINGSPOLICY Upprättad 2016-06-27 Bakgrund och Syfte Föreningen Ekonomernas verksamhet bygger på ideellt engagemang och innehar flertalet projekt där såväl projektledare som projektgrupp tillsätts
Läs merKontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje rätt
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merObservera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.
1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merLinjära system av differentialekvationer
CTH/GU LABORATION MVE0-0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Inledning Vi har i envariabelanalysen sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor
Läs merTIMREDOVISNINGSSYSTEM
TIMREDOVISNINGSSYSTEM Företagsekonomiska Institutionen Inledning med begreppsförklaring Huvudmeny Budgethantering Planering Rapportering Signering Utskrifter/Rapporter Byt lösenord Logga ut 1 Inledning
Läs mer729G04 - Hemuppgift, Diskret matematik
79G04 - Hemuppgift, Diskret matematik 5 oktober 015 Dessa uppgifter är en del av examinationen i kursen 79G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt.
Läs merSnabbslumpade uppgifter från flera moment.
Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merÖvningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri
Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning
Läs merAdministration Excelimport
Administration Excelimport För att importera medlemmar till registret så laddar man först ner mallen för importfil, fyller i uppgifterna och laddar sedan upp filen genom att klicka på + Importera fil.
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merUppdragsbeskrivning. Digital Skyltning. Version 1.0 Mats Persson. Distributionslista. Namn Åtgärd Info.
Version 1.0 Distributionslista Befattning Bolag/en het Student KaU Anton Odén Student KaU Olle Pejstrup Konsult/handledare Sogeti Konsultchef Sogeti Åsa Maspers Projektledare Sogeti vakant Namn Åtgärd
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3
Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket
Läs merOptimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min
Läs merAnvändarmanual VX-webben
Version: 1.0 2014-10-07: 2014 evry.com Användarmanual VX-webben EVRY One Halmstad AB Sida 2 / 12 Innehåll 1 Användarmanual VX-Webben 3 2 Inloggning på VX-Webben 3 3 Skapa Grupper 6 4 Välja kategori eller
Läs merIdag. Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra?
Idag Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra? Vad är ett beroende? Vad gör man om det blivit fel? Vad är en normalform? Hur når man de olika normalformerna? DD1370 (Föreläsning 6) Databasteknik
Läs merEfter att du har installerat ExyPlus Office med tillhörande kartpaket börjar du med att göra följande inställningar:
EXYPLUS OFFICE manual Välkommen till ExyPlus Office! Efter att du har installerat ExyPlus Office med tillhörande kartpaket börjar du med att göra följande inställningar: Hämta fordon Hämta alla fordonsenheter
Läs merFrågor i ansökan om statsbidrag för läxhjälp år 2016 skolhuvudmän
Statsbidragsenheten 1 (9) Frågor i ansökan om statsbidrag för läxhjälp år 2016 skolhuvudmän Obs! Detta dokument är endast till för att skapa överblick över vilka frågor vi ställer i ansökan. Du ansöker
Läs merLösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2017-08-22 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Variabeldefinition:
Läs merDavid Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.
Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Jämviktsvillkor Om vi har ett stort system som består av ett litet system i kontakt med en värmereservoar. Storheter för det lilla systemet
Läs merManual. Rapportera väntetider i systemet Utbudstjänst SLL
Manual Rapportera väntetider i systemet Utbudstjänst SLL Innehåll 1 Om väntetidsrapportering... 1 2 Logga in... 1 3 Glömt lösenord/problem att logga in... 1 4 Ny användare... 2 5 Ändra användaruppgifter...
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merLinjära system av differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 6 MVE6 - /6 Matematiska vetenskaper Inledning Linjära system av differentialekvationer Vi har i studioövning sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor u (t) =
Läs merFöreläsning 14: Försöksplanering
Föreläsning 14: Försöksplanering Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 14, 2015 Modellbeskrivning Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på förklarande
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merVad är WordPress? Medlemmar
Vad är WordPress? WordPress är ett publiceringsverktyg som används för att kunna ändra och uppdatera innehåll på en webbplats. Varje gång ni är inloggad på er nya webbplats så använder ni er av detta verktyg,
Läs merAvsikt På ett lekfullt sätt färdighetsträna, utveckla elevers känsla för hur vårt talsystem är uppbyggt samt hitta mönster som uppkommer.
Strävorna 4A 100-rutan... förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.... grundläggande
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 9 april 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTG7301_7322NE(sw_sw)_QG.fm Page 1 Wednesday, April 9, 2008 11:15 AM. Klick. Använd endast den medföljande telefonsladden. DSL/ADSL-användare)
TG7301_7322NE(sw_sw)_QG.fm Page 1 Wednesday, April 9, 2008 11:15 AM Snabbguide Anslutningar Modellnr. KX-TG7301NE/KX-TG7302NE KX-TG7303NE/KX-TG7322NE Basenhet Använd endast den medföljande telefonsladden.
Läs merEkvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden
Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att
Läs mer912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik?
912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik? Med utgångspunkt från min egen forskning kring läsförståelse av matematiska texter kommer jag att diskutera olika aspekter av läsning
Läs merANVÄND NAVIGATIONEN I CAPITEX SÄLJSTÖD
ANVÄND NAVIGATIONEN I CAPITEX SÄLJSTÖD I Navigationen hittar du genvägar till funktioner i programmet. För att utnyttja detta på bästa sätt kan du anpassa Navigationen så att det passar ditt sätt att arbeta.
Läs merAllmän teori, linjära system
KTH, Avdelningen för matematik F2, Stockholm, 2 april 2014 Lösningsbegreppet Begynnelsevärdesproblem Lösningsbegreppet Betrakta ekvationen Definition En lösning på ett intervall I är en funktion x 1 (t)
Läs merProcent - procentenheter
Procent - procentenheter Uppgift nr 1 Hur skriver man i matematiken tecknet för procent och vad betyder ordet procent? Uppgift nr 2 Av 100 mopeder på en parkering är 16 vita. Hur många procent av mopederna
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merVisualisering av golfboende
Visualisering av golfboende Inledning Norrköpings golfklubb är belägen ca 8km söder om Norrköping. Där har man planer på att bygga ca 15 småhus och 32 lägenheter samt ett nytt klubbhus med restaurang och
Läs merDatorövning 2 Diskret fördelning och betingning
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 2 Diskret fördelning och betingning Syftet med den här laborationen
Läs mer1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.
1(8) (5p) Uppgift 1 Företaget KONIA tillverkar mobiltelefoner I en stor fabrik med flera parallella produktionslinor. För att planera produktionen de kommande T veckorna har KONIA definierat följande icke-negativa
Läs merDATASAMORDNING NYHETERNA I CHAOS 3 2009-09-15. Utbildning Chaos/Handledning - Nyheterna i Chaos 3/2009-09-15
DATASAMORDNING NYHETERNA I CHAOS 3 2009-09-15 2 (14) Innehåll INLEDNING 3 PRESTANDAFÖRBÄTTRINGAR I CHAOS 3 4 BAKGRUND 4 Kontroll av fönsterinställningar... 4 Vista-kompabilitet.... 4 Kompatibelt med långa
Läs merHel tjänstledighet för att prova annan anställning inom Göteborgs universitet.
Ledighet annan anställning 1 Ledighet annan anställning (Alfa 1 kap.9-14) samt Personalhandbok A-Ö (Tjänstledighet) http://www.pa.adm.gu.se/ Se även Regler i Egenrapporterings hemsida i Medarbetarportalen.
Läs merKurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Måndag 30 mars 2015 Skrivtid: 8:15-10:00
KONTROLLSKRIVNING 1 version A Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Måndag 30 mars 2015 Skrivtid: 8:15-10:00 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst. Förbjudna
Läs merMätning av effekter. Vad är elektrisk effekt? Vad är aktiv-, skenbar- reaktiv- medel- och direkteffekt samt effektfaktor?
Mätning av effekter Vad är elektrisk effekt? Vad är aktiv-, skenbar- reaktiv- medel- och direkteffekt samt effektfaktor? Denna studie ger vägledning om de grundläggande parametrarna för 3-fas effektmätning.
Läs merKundservicerapport Luleå kommun 2015
LULEÅ KOMMUN SKRIVELSE Dnr 1 (5) 2016-01-21 Maria Norgren Kundservicerapport Luleå kommun 2015 Kommunstyrelsen har den 12 augusti 2013 fastställt riktlinjer för kundservice Luleå Direkt. Luleå kommun ska
Läs merDatorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) Denna datorövning fokuserar på att upptäcka samband mellan två variabler. Det görs genom att rita spridningsdiagram och beräkna korrelationskoefficienter
Läs merFöreningen Nordens lokala hemsidor
Guide till Föreningen Nordens lokala hemsidor 2016-01-11 1 Innehåll Hjälpfilm... 3 Logga in... 3 Nytt inlägg... 4 Lägg till bild... 8 Lägga till bildgalleri... 11 Publicera... 13 Kalendarium... 14 Ta bort
Läs mer1. Frekvensfunktionen nedan är given. (3p)
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF14 TEN 11 kl 1.15-.15 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall
Läs mer