Tentamensinstruktioner

Transkript

1 Linköpings Tekniska Högskola Institutionen för Teknik och Naturvetenskap/ITN TENTAMEN TNE 05 OPTIMERINGSLÄRA Datum: Tid: Hjälpmedel: Boken Optimeringslära av Lundgren et al. och Föreläsningsanteckningar (eller boken Linjär och ickelinjär optimering och Föreläsningsanteckningar), samt miniräknare. Antal uppgifter: 7 Betygsgränser: Totalt antal poäng är 4. Betyg 3: 0-6 poäng. Betyg 4: 7-33 poäng. Betyg 5: 34-4 poäng. Examinator: Zhuangwei Liu Jourhavande lärare: Zhuangwei Liu (tel 3633) Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget. Lycka Till!

2 Uppgift Betrakta problemet max z =4x +9x då 3x +x 3 x + x 5 x +3x 6 x,x 0 Efter några iterationer med simplexmetoden så har du kommit till följande simplextablå, där s,s och s 3 är slackvariabler i respektive villkor: Basvar z x x s s s 3 z x s s (i) Tablån ovan motsvarar ej en optimaltablå. Ange inkommande och utgående basvariabel i den kommande iterationen med simplexmetoden. Ange den nya baslösningen. (ii) Ange den sökriktning som basbytet i uppgift (i) innebär. (iii) Visa att punkten x = (0 ) T är en baslösning som är otillåten i det givna problemet. Uppgift Antag att följande maximeringsproblem har lösts med simplexmetoden max z = x +x då x + x () x +x 7 () x 3 (3) x,x 0 och att följande optimaltablå, med s,s och s 3 som slackvariabel i respektive villkor, har erhållits Basvar z x x s s s 3 z x x s

3 (i) Vad är skuggpriset för det andra villkoret? För vilka högerled är det giltigt? (ii) Antag att högerledet i det andra villkoret ändras från 7 till 5. Beräkna den resulterande förändringen i det optimala målfunktionsvärdet. (iii) Utgå från det ursprungliga problemet och dess optimaltablå. Antag att en ny variabel, x 3, med bivillkorskoefficienter (,, ) T tillkommer. Hur stor måste dess målfunktionskoefficient vara för att det optimiala målfunktionsvärdet ska blir högre än 3 i detta utvidgade problem? Uppgift 3 Givet det primala problemet min z =3x x + x 3 3x 4 då x +x x 4 5 x + x x 3 x,x,x 3 0, x 4 0 (i) Formulera det motsvarande duala problemet till primalen ovan. (ii) Använd dualitet och komplementvillkoren för visa att x =(0 5 primala problemet. 0)T är optimal i det (iii) Använd komplementvillkoren för att bestämma alla optimala lösningar till det primala problemet. Uppgift 4 Oilco har två oljefält i Texas. Fält kan maximalt producera 500,000 fat per dag och Fält kan maximalt producera 400,000 fat per dag. Oljan skickas från de två fälten till två raffinaderier, ett i Dallas och ett i Houston (antag att varje raffinaderi har oändlig kapacitet). Det kostar $700 att raffinera 00,000 fat olja i Dallas och $900 att raffinera 00,000 fat olja i Houston. Raffinerad olja skeppas till två kunder. Kund efterfrågar 400,000 fat raffinerad olja per dag och Kund efterfrågar 300,000 fat raffinerad olja per dag. Kostnaden för att skeppa 00,000 fat olja (råolja eller raffinerad olja) visas i följande tabell. TILL FRÅN Dallas Houston Kund Kund Fält $300 $0 - - Fält $40 $ Dallas - - $450 $550 Houston - - $470 $530 Formulera en matematisk modell av det min-kostnadsflödesproblem som kan användas för att minimera kostnaden givet att efterfrågan måste tillgodoses. Rita den riktad graf som beskriver nätverket. 6p

4 Uppgift 5 Betrakta dessa fyra problem som är mer eller mindre relaterade till varandra: z0 = max z 0 =x +8x +3x 3 då x x +3x 3 x +x +3x 3 5 x,x,x 3 {0, } z = max z =x +8x +3x 3 då 3x + x +6x 3 7 x,x,x 3 {0, } z = max z =x +8x +3x 3 då x x +3x 3 x +x +3x x, 0 x, 0 x 3 z3 = min z 3 =x +5x + x 3 + x 4 + x 5 då x + x + x 3 x + x + x 4 8 3x + 3x + x 5 3 x,x,x 3,x 4,x 5 0 (i) Beskriv vilka relationer som råder (, =,, relation saknas) mellan z0,z,z, och z 3. Motivera noga. 3p (ii) Visa att villkoret x + x +x 3 3 är en giltig olikhet till problemet med målfunktionen z 0. 3p 3

5 Uppgift 6 Givet följande linjära heltalsproblem max z =3x +4x då x + x 3 x +x 7 x x, x 0, och heltal. Då LP-relaxationen av problemet löses fås följande optimaltablå (där s,s och s 3 är slackvariabler i respektive villkor). bas z x x s s s 3 z x / / 9/ rad() x s / 3/ 5/ rad(4) (i) Generera Gomorysnitt från rad () och (4) i tablån. Avgör grafisk om optimallösningen till heltalsproblemet kan hittas genom att addera något, eller båda, av snitten till modellen och sedan lösa om den. 4p (ii) Definiera det konvexa höljet till det givna heltalsproblemet genom att beskriva det som en konvexkombination. Uppgift 7 Betrakta följande blandade hetalsproblem min z =3x +x +7x 3 +8x 4 +0y +4y då x + x 3 4 () x + x 4 5 () x + x y x 3 + x 4 0y x,x,x 3,x 4 0, y,y {0, } (i) Teckna Lagrangesubproblemet genom att relaxera bivillkoren () och () med multiplikatorerna v och v, samt formulera det Lagrangeduala problemet. (ii) Lös Lagrangesubproblemet för v =( v, v ) T =(, 3) T funktionens värde i punkten v. på valfritt sätt. Bestäm den duala (iii) Är lösningen från Lagrangesubproblemet en optimal lösning till det ursprungliga problemet? Motivera ditt svar. 4