Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 2006

Transkript

1 Lösningsförslag Tentamen i Optimering och Simulering MIO /5 Uppgift a) svar: 9 8 b) Svar: Δ b < c) Svar : 5 Δ c < d) Svar: ma st 8 8

2 Uppgift a) Dualen (D) till det primala problemet (P) är: Ma y 5y y y då () y y y 8 () y y y () 5y y y y y y Utnyttja omplementsatsen och att optimallösningen är (55) () (8 y y y) () ( y y y) y y y () ( 5y y y) 5y y y () y (5 5) y? (5) y ( ) y ( ) () y y? Sätt in y i ev () & () och lös det resulterande linjära evationssystemet 5 y 5 y Optimalvärdena för de duala variablerna suggpriserna i optimum för de tillhörande primala villoren y suggpris för biv : 5 suggpris för biv : y suggpris för biv : y 5 b) nligt svaga dualsatsen gäller att y z För varje primalt tillåten lösning med målfuntionsvärde måste alla dualt tillåtna lösningar ha målfuntionsvärde y som är mindre än OBS! om vi gör om (P) till ett maproblem fås min z ma z Med denna reformulering blir den tillhörande dualen ett minproblem dvs ma y min y För problem på standardform gäller enligt svaga dualsatsen z y y z

3 c) Introducera slacvariablerna 5 och i biv () () och () samt de artificiella variablerna a och a i biv () och () Ingen artificiell variabel behövs i biv () eftersom utgör en lätt identifierbar tillåten basvariabel Fas - problemet (P) Min w a a då () 5 5 () 5 a () a 5 a a För att få över problemet på anonis form (anpassad för lösning av Simple i tablåform) måste Fas - problemets målfuntion uttrycas endast i ice-basvariablernas målfuntionsoefficienter (reducerade ostnaden för alla basvariabler ) () a 5 () a w a a För att få över problemet på standardform behöver vi göra om det till ett maproblem Min w Ma w Starttablån för Fas problemet i anonis form (anpassad för lösning med simple) blir då Basvar 5 a a b -w a - a - Kriterie inommande basvariabel: min{ c c } j j < -5 eller välj godtycligt ntag väljs som inommande b Kriterie på utgående basvariabel: min i ai > / a utgående basvariabel ai Om väljs som inommande a utgående basvariabel

4 Uppgift a) LP-formulering av Kalle Kulas blandningsproblem Variabel definition X ij ntal liter av frutdrin i som används för att blanda till beställd partydryc j (i B C D F där FVatten; j (Hawaii) (Taj Mahal) Parameterdefinition C i ostnad (r/l) för frutdrin i i andel av juicesort i frutdrin i ( (apelsin) (Grapefrut) (Vinbär) (Kiwi); i B C D F) Formulering Min i C i j X ij i i i ixi i ixi i ix i i ixi i ixi i Xj j Då () X 8 () () () 5 (5) 5 () () (8) X j Bj (9) X j Cj () X 5 j Dj () X 8 j j (Liter apelsinjuice i Hawaii) (Liter grapefrutjuice i Hawaii) (Liter vinbärsjuice i Hawaii) (Liter apelsinjuice i Taj Mahal) (Liter grapefrutjuice i Taj Mahal) (Liter iwijuice i Taj Mahal) (Resurtillgång frutdrin ) (Resurtillgång frutdrin B) (Resurtillgång frutdrin C) (Resurtillgång frutdrin D) (Resurtillgång frutdrin )

5 F () X i F i () X i i X ij för alla i och j (fterfrågevillor Hawaii) (fterfrågevillor Taj Mahal) b) Hantering av binära produtionsvillor Variabeldefinition Om frutdrin B används i blandningen av partydryc j Y Bj annars Parameterdefinition M Stort tal (> ) Komplettering av bivillor () X B MY B (5) X B MY B () Y B Y B () Y B Y B / (binära heltalsvariabler) (8) c) Målprogrammeringsformulering Variabeldefinition d avvielse från önsat målvärdeför målsättningen att hålla nere lagret av frutdrin Parameterdefinition M Stort tal (> ) Ny målfuntion: Min M d Nya bivillor: d X X och d Notera att bivillor () i ursprungsformuleringen blir redundant med ovanstående målprogrammeringsvillor adderade till formuleringen i a) 5

6 Uppgift tremvärdesuppsattningen av (P) fås som optimallösningen till dess LP relaation ( ) ( ½ ) LP Första förgreningen görs över : ger relaerad lösning LP5 och som ger relaerad lösning LP Vidare förgrening görs från subproblem eftersom LP5> LP Förgreningsvariabel är i detta fall ger LP () som ger LP () Återgå till subproblem ( ) förgreningen ger att är otillåten vidare ger en optimal relaerad lösning () där Lösning: Iteration : Relaerade simpletablån: Ma s t Detta ger: (/) Förgrening över Iteration Subproblem : Subproblem : LP-relaation av subproblem LP-relaation av subproblem

7 9 5 Ma 9 5 Ma ger (/) LP 5 ger (//) LP Iteration Subproblem Subproblem Subproblem 5 Subproblem Ma Ma Ma ger () ger () ej tillåten ger () LP LP vsöt! LP Hittills bästa tillåtna lösning till (P): Uppdatering: Båda noderna vsöta!! (LP-relaation ger heltalig lösn) vsöt!! lla noder avsöta! Bästa tillåtna lösning till (P) är optimallösningen ()

8 Uppgift 5 a) 5 / / / / / b) Snittmetoden ger P P P ( P P ) P ( P P ) P ( P P5 ) P ( P5 P ) P5 P Uttryc alla P i t e P Detta resulterar i 5 P P P P P P P P P P P5 P 8 Normeringsvilloret P ger P / / c) Det förväntade antalet under som går vidare till en annan attration p g a att ön är för lång λ P / 8

9 Uppgift a) Systemet an tolas som ett M / M / system Se graf nedan λ λ - λ λ μ μ μ μ b) Tillståndssannoliheterna för ett M / M / system följer en Poissonfördelning Därför ( λ / μ) är P ep( λ / μ) (om detta inte är beant så lös som vanligt med! snittmetoden eller rate-in-rate-out) Detta betyder att ( λ / μ) λ L P ep( λ / μ)! μ c) Notera först att medelintensiteten för den totala utströmningen av under från banen är λ eftersom medelintensiteten för undinströmningen är λ (dessa måste givetvis vara samma) Vidare är medelintensiteten för utströmningen av betjänade under μ ( P ) Det måste betyda att medelintensiteten för utströmningen av otåliga under är λ μ( P ) under per minut nm Medelintensiteten för utströmningen av otåliga under an ocså beränas enligt μ ( ) P 9