Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken.

Transkript

1 Optimal = basta mojliga. Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och nna det basta mojliga. Anvands oftast till att nna ett basta handlingsalternativ i tekniska och ekonomiska beslutsproblem. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken. Exempel: optimering av mekaniska och elektrotekniska konstruktioner (t ex ygplansvinge eller mobiltelefoniantenn) optimering av kommunikationsnatverk optimal styrning inom processindustri (t ex ranaderi) optimering av varudistribution (t ex paketutkorning) optimering av produktion och lagerhallning inom tillverkningsindustri

2 Varfor lasa optimeringslara? optimeringsfragestallningar dyker upp inom manga och vitt skilda omraden tillampningar syftar ofta till att forbattra processer eller ting (snabbare, billigare, mer eektiva, med mindre resursanvandning, etc.), vilket blir allt viktigare i manga sammanhang utgor ytterligare ett verktyg (liksom t ex reglerteknik och statistik) mojligheterna att anvanda optimeringsmetodik okar i och med informationsteknologins genombrott ger bra traning i att systematiskt och strukturerat analysera problemstallningar

3 Kursmal Amnesspecika: kannedom om tillampningar av optimeringsmetodik kanna igen optimeringsfragestallningar kannedom om principerna for formulering av optimeringsmodeller kannedom om grundlaggande optimeringsteori kannedom om nagra viktiga metodprinciper stifta bekantskap med typisk optimeringsprogramvara Allmanna: ge ytterligare traning i matematisk formalism ge ytterligare traning i analytiskt tankande

4 Begrepp som ar relaterade till optimeringslara Operationsanalys (eng. operations research) = vetenskaplig metodik for analys och planering av operationer (ursprungligen militara); inkluderar forutom optimeringsmetodik aven till exempel statistiska metoder och simulering. Matematisk programmering (eng. mathematical programming) eller matematisk optimering (eng. mathematical optimization) = matematiska metoder for bestamning av ett basta mojliga handlingsprogram; matematiska karnan i optimeringslara (teori och algoritmer).

5 Tidig historia enstaka bidrag fore 1900-talet (t ex Lagrange, Euler och Cauchy) borjade utvecklas under andra varldskriget vid planering av militara operationer sent 40-tal: teori for linjar optimering och forsta eektiva losningsmetoden (simplexmetoden) 50-tal: utvecklades till en egen gren av den tillampade matematiken, forsta datorprogrammen for linjar optimering, teori for icke-linjara problem och linjara problem med speciell struktur 60-tal: metoder for icke-linjara problem, heltalsproblem och problem med speciella strukturer fran och med 60-talet: snabb expansion parallellt med datorutvecklingen

6 Tillampning av optimeringsmetodik data verkligt problem analys och modellformulering välj eller konstruera lämplig optimerings- metod optimeringslära fysik ekonomi etc kunskap matematisk modell inte OK lös modellen resultat optimeringslära numerisk analys datalogi analys: tolkning och rimlighetsbedömning OK använd lösningen kunskap uppföljning och analys kunskap

7 Metodik for formulering av optimeringsmodeller Fraga: Vad i problemet kan varieras (paverkas/styras/beslutas)? Svaret ger modellens variabler. Fraga: Vad ar malsattningen och hur beror den av det som kan varieras? Svaret ger malfunktionen. Fraga: Vilka restriktioner begransar valfriheten i det som kan varieras och hur ar deras beroende av variationen? Svaret ger bivillkoren. Observera: Skilj noga pa givna forutsattningar och storheter som kan paverkas!

8 Varfor gora en matematisk modell av verkligheten? ett bra satt att systematiskt strukturera och analysera ett verkligt problem konstruktionen av modellen leder ofta till okad kunskap om det verkliga problemet en matematisk analys av modellen kan ge okad insikt om det verkliga problemets egenskaper med modellen kan vi simulera verkligheten och hypotetiska scenarier, t ex utfora experiment som inte later sig goras i verkligheten pa grund av att det vore for dyrt, tidsodande eller riskabelt (Dessa skal galler naturligtvis inte bara for matematiska modeller av optimeringstyp!)

9 Nagra potentiella svarigheter vid tillampning av optimeringsmetodik avgransning: vilka omstandigheter maste beaktas vid modelleringen och vilka ar irrelevanta eller forsumbara? validering: beskriver modellen tillrackligt val de relevanta aspekterna i det verkliga problemet (i relation till modellens syfte)? datainsamling: tillracklig noggrannhet)? kan modellens parametrar skattas (med losbarhet: kan modellen behandlas numeriskt (med tillracklig noggrannhet och pa rimlig tid)? (Observera att dessa svarigheter ar gemensamma for de esta typer av teknikvetenskap och tillampad matematik.)

10 Optimeringsproblem min f (x) da x 2 X [Skrivs ibland som min x2x Terminologi x: variabler f (x).] X: mangden av tillatna losningar f : f (x): x : f (x ): x ; f (x ): malfunktion malfunktionsvardet i x optimallosning optimalt (eller minimalt) malfunktionsvarde (eller optimalvarde); skrivs ofta f ett optimum (eller minimum) Olika fall for optimeringsproblemet Om X = ; sa saknar problemet tillaten losning. (Da denieras f = +1.) Om f! 1 pa X sa har problemet obegransat optimum (och f = 1). Om det nns distinkta (olika) x 1 ; x 2 2 X sadana att f (x 1 ) = f (x 2 ) = f sa har problemet alternativa optima. Om f (x ) < f (x) for alla x 2 X sadana att x 6= x sa har problemet unikt optimum (i x ).

11 Det nns manga typer av optimeringsmodeller De klassiceras efter kriterier som: vilka varden kan variablerna anta? kontinuerliga varden! kontinuerligt problem bara vissa varden! diskret problem bada typerna forekommer! blandat problem nns nagra bivillkor? nej! obegransat problem ja! begransat problem ar malfunktionen och bivillkorsfunktionerna linjara? alla linjara! linjart problem annars! icke-linjart problem bara malfunktionen icke-linjar! linjart begransat icke-linjart problem har variablerna och/eller bivillkoren nagon speciell struktur?

12 Vad gor en optimeringsforskare? konstruerar matematiska modeller for nya optimeringstillampningar kannedom om liknande tillampningar och modeller utnyttjas utvecklar teori for olika typer av optimeringsmodeller studium av problemegenskaper bestamning av modellers svarighetsgrad konstruktion av optimalitetsvillkor utvecklar losningsmetoder for olika typer av optimeringsmodeller baseras pa teoretiska resultat for modellen bestar oftast av specialisering, anpassning eller eektivisering av kanda metodstrategier konvergensanalys implementerar och utvarderar losningsmetoder eektivisera berakningar datastrukturer numeriska aspekter