Beräkningsvetenskap introduktion. Beräkningsvetenskap I

Transkript

1 Beräkningsvetenskap introduktion Beräkningsvetenskap I

2 Kursens mål För godkänt betyg ska studenten kunna redogöra för de nyckelbegreppen som ingår i kursen* utföra enklare analys av beräkningsproblem och algoritmer för att besvara frågeställningar kring nyckelbegreppen i föregående punkt översiktligt förklara idén bakom de algoritmer som behandlas i kursen och visa hur de kan användas för lösning av tillämpningsproblem Nyckelbegrepp: algoritm, numerisk metod, diskretisering, maskinepsilon, noggrannhet, noggrannhetsordning, stabil- resp ickestabil algoritm, diskretiseringsfel (trunkeringsfel), iteration, kondition och konditionstal *

3 Kursens mål, forts använda programmerings-strukturer (if, while, for) samt funktioner i algoritmer och i programmeringskod i MATLAB vid problemlösning givet ett mindre beräkningsproblem, strukturera och dela upp i underproblem, formulera algoritm för lösning av problemet, samt implementera i Matlab förstå standard programmeringskod i Matlab samt skriva egna välstrukturerade mindre beräkningsprogram i form av kommandofiler och egna funktioner i Matlab

4 Mål, forts förklara och sammanfatta lösningsmetoder och resultat på ett överskådligt sätt i en mindre rapport Den sista punkten i målen examineras via miniprojekten. Övriga punkter examineras vid tentamen (och delvis också i miniprojekten). De kan sammanfattas i följande huvudmål

5 Mål och betygskriterier Huvudmål

6 Betygskriterier För huvudmålen har vi betygskriterier som kommer att användas när vi konstruerar och bedömer tentan

7 Betygskriterier

8 Betygskriterier

9 Betygskriterier

10 Betygskriterier Tentan kommer att konstrueras och bedömas utgående från betygskriterierna Bedömning sker poänglöst man uppfyller eller inte uppfyller målen upp till något betygskriterium Exempel) Tentaresultat kan se ut så här: betyg 4 på kursen Underkänt på ett mål ger U på kursen Varje mål testas i flera frågor mer om tentan senare

11 Kursens upplägg/struktur Fem olika block Programmering i MATLAB Linjära ekvationssystem Integraler Ickelinjära ekvationer Markovprocesser

12 Kursens upplägg/struktur Varje block, utom inledning- och programmeringsblocken, har strukturen Datorlab Föreläsningar Återkoppling Problemlösning miniprojekt Workout Alla delar hänger ihop om man t ex missat labben förstår man föreläsningen sämre Alla delar tillsammans ger fullständig förståelse av blocket

13 Kursens upplägg/struktur Citat från tidigare kursvärderingar: Det är framförallt sampelet mellan de olika formerna som varit bra. Att först ha laboration, sen föreläsning, workout och sist problemlösning gav förståelse och väl behövlig repetition. När man var klar med ett block kunde man Jag tycker det hänger ihop bra. Först får det väl. man testa praktiskt utan att förstå och sen får man förklarat för sig och till sist så faller teorin på plats när man gör workouten.

14 Laborationer Teori Simuleringar/datorberäkningar

15 Beräkning av satellitbanor Simulering av luftflöde kring flygplan Simulerad krocktest av bilar Hållfasthetsberäkningar Väderleksprognoser Simulering av förbränning, t ex i motor Simulering av föroreningstransport i naturen Bildanalys ( förbättra bilder, hitta mönster) Bestämning av molekylstrukturer hos proteiner Molekyldynamik och mycket mycket mer

16 Partitionering vid beräkning på parallelldator Simulering av blixtnedslag i SAAB 2000 Krocksimulering Simulering av proteinveckning

17 Molekyldynamik Här: studier av utbytesmekanismer och utbyteshastigheter mellan vattenmolekyler runt en litiumjon (i vatten)

18 Veckning av HIV-virus

19 Tillämpningarna är exempel på problem som kan beskrivas med matematiska modeller Problem! Kan som regel inte lösas analytiskt, på vanligt sätt. Lösning: Lös problemet på dator måste använda numeriska lösningsmetoder. Resultat: Ger approximativ lösning.

20 verklighet modeller Lösning Numeriska metoder Datorprogram

21 Verkligheten Felkällor Matematisk modell Numerisk metod Datorprogram Idealisering, förenkling Diskretisering, trunkering Avrundning, noggrannhet i indata Lösning Nej OK? Ja Slutresultatet en approximation, uppnår endast en viss noggrannhet

22 Ett (trivialt) exempel Beräkna arean på jorden med den matematiska modellen A = 4πρ2 Innehåller flera approximationer och fel: Jorden approximeras av en sfär idealisering av jordens verkliga yta Värdet på radien baseras på empiriska mätningar och tidigare beräkningar Värdet på π kräver trunkering (avhuggning) av oändlig decimalutveckling Indata och resultat avrundas av datorn

23 Ett mer komplicerat exempel Verkligheten HIV-viruset bildar mutanter. Immunsystemet bildar en specifik lymfocyt för viruset och mutanterna. Dessutom finns en immunrespons för hela immunsystemet. Beräkna populationstillväxten för virus, lymfocyten och immunrespons med avseende på tid.

24 Matematisk modell ì v1 (t) = [a - b z(t) - c x1 (t)] v1 (t) ï v (t) = [a - b z(t) - c x (t)] v (t) 2 2 ïï 2 í x1 (t) = g v1 (t) - k x1 (t) [v1 (t) + v2 (t)] ï x (t) = g v (t) - k x (t) [v (t) + v (t)] ï 2 ïî z (t) = [d - k z(t)] [v1 (t) + v2 (t)] v1 = population av HIV-virus v2 = population av 1:a mutanten x1 = population av lymfocyt mot viruset x2 = population av lymfocyt mot 1:a mutant z = immunrespons

25 Matematisk modell Modellen är en förenkling av verkligheten Kan lägga in fler mutanter för att göra den mer realistisk blir då mer komplicerad Svårt bestämma parametrarna a, b, c,.... Kan variera med olika personer. Görs ofta empiriskt. Svårt eller omöjligt att göra en modell som helt överensstämmer med verkligheten Slutsats: Modellen en approximation av verkligheten!

26 Numerisk metod Problem! Kan ej lösas med vanliga analytiska metoder från matematiken. Vi använder istället en numerisk metod. Numeriska metoder bygger i detta fall på diskretisering, dvs kontinuerliga intervall ersätts med diskreta punkter. Beräkning sker endast i dessa punkter medför diskretiseringsfel Metoderna har olika egenskaper och kan vara bra ur en synvinkel men dåliga ur en annan. Exempelvis kan en viss metod vara effektiv (snabb), men i vissa lägen vara instabil

27 Datorprogram Implementera metoden, dvs skriv program för den numeriska metoden (C++, Java, MATLAB,...) eller Använd befintlig programvara, t ex MATLAB Ofta krävs en kombination av båda! Indata till programmet, t ex a, b, c,..., baseras vanligen på mätningar och är inte exakta Krävs ett initialtillstånd, t ex antal HIV-virus vid tiden t=0. Detta mäts ej exakt utan innehåller fel Datorn avrundar alla beräkningar

28 Lösning Lösningen OK? Tolka resultat Tillräckligt effektivt och snabbt? Är felet tillräckligt litet?

29 Beräkningsvetenskapens sammanhang escience/ e-vetenskap Computational Science and Engineering/ beräkningsfysik, beräkningskemi,... Scientific Computing/ beräkningsvetenskap

30 p sk a av et en Datorprogram Tillämpningsämnen ik Da t at Numeriska metoder m te Ma

31 Frågeställningar inom beräkningsvetenskap Exekveringstid? Minnesutnyttjande? Vilken typ av dator? Numeriska metoder Datorprogram Noggrannhet? Stabilitet? Kondition?

32 Ämnets historia tal tal Den moderna datorn Professurer i numerisk analys Ett tvärvetenskapligt område tar form Begreppet beräkningsvetenskap etableras