SF Numeriska metoder, grundkurs Föreläsning 5: Felanalys, felkalkyl och kondition KTH - SCI

Transkript

1 - Numeriska metoder, grundkurs Föreläsning 5: Felanalys, felkalkyl och kondition Oktober 13, 2014 KTH Royal Institute of Technology Dept. of Mathematics - NA division 1/5

2 1 Exempel: Newtons metod sin(x)+x.^4-2; cos(x)+4*x.^3; x=1; for k=1:7 h=-f(x)/fp(x) x=x+h; end 2/5

3 1 Exempel: Newtons metod sin(x)+x.^4-2; cos(x)+4*x.^3; x=1; for k=1:7 h=-f(x)/fp(x) x=x+h; end Output h = h = h = e-06 h = e-12 2/5

4 1 Exempel: Newtons metod sin(x)+x.^4-2; cos(x)+4*x.^3; x=1; for k=1:7 h=-f(x)/fp(x) x=x+h; end Vad händer? Varför slutar h att minska? Output h = h = h = e-06 h = e-12 2/5

5 1 Exempel: Newtons metod sin(x)+x.^4-2; cos(x)+4*x.^3; x=1; for k=1:7 h=-f(x)/fp(x) x=x+h; end Output h = h = h = e-06 h = e-12 Vad händer? Varför slutar h att minska? Svar: Alla operationer (med icke-heltal) avrundas x kommer alltid att vara en avrundad lösning f(x) kommer alltid att vara ett avrundat värde 2/5

6 1 Exempel: Newtons metod sin(x)+x.^4-2; cos(x)+4*x.^3; x=1; for k=1:7 h=-f(x)/fp(x) x=x+h; end Output h = h = h = e-06 h = e-12 Vad händer? Varför slutar h att minska? Svar: Alla operationer (med icke-heltal) avrundas x kommer alltid att vara en avrundad lösning f(x) kommer alltid att vara ett avrundat värde Nu: Mer detaljerad beskrivning av felet i en numerisk metod, t.ex. avrundningsfel 2/5

7 2 Nollställen till kvadratisk ekvation ax 2 + bx + c = 0 ges av formel x = b ± b 2 4ac. 2a 3/5

8 2 Nollställen till kvadratisk ekvation ax 2 + bx + c = 0 ges av formel x = b ± b 2 4ac. 2a Formel i MATLAB fall 1 >> a=1; b=-1; >> c=1; >> x=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); >> a*x^2+b*x+c ans = e-16 3/5

9 2 Nollställen till kvadratisk ekvation ax 2 + bx + c = 0 ges av formel x = b ± b 2 4ac. 2a Formel i MATLAB fall 1 Formel i MATLAB fall 2 >> a=1; b=-1; >> c=1; >> x=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); >> a*x^2+b*x+c ans = e-16 >> a= ; b= ; >> c= ; >> x=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); >> a*x^2+b*x+c ans = /5

10 2 Nollställen till kvadratisk ekvation ax 2 + bx + c = 0 ges av formel x = b ± b 2 4ac. 2a Formel i MATLAB fall 1 Formel i MATLAB fall 2 >> a=1; b=-1; >> c=1; >> x=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); >> a*x^2+b*x+c ans = e-16 >> a= ; b= ; >> c= ; >> x=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); >> a*x^2+b*x+c ans = Nu: Felkalkyl är ett sätt att identifiera dåliga situationer och förbättra dem. 3/5

11 Typisk studentfråga Fråga Varför behöver vi CSAM-studenter lära oss detta? 4/5

12 Typisk studentfråga Fråga Varför behöver vi CSAM-studenter lära oss detta? Från föreläsning 1 Modeller inom samhällsbyggnad blir alltid mer komplicerade. Viktigt: Förstå och kritiskt granska numeriska metoder som används. Utveckla nya metoder för framtidens mer avancerade modeller. 4/5

13 Typisk studentfråga Fråga Varför behöver vi CSAM-studenter lära oss detta? Från föreläsning 1 Modeller inom samhällsbyggnad blir alltid mer komplicerade. Viktigt: Förstå och kritiskt granska numeriska metoder som används. Utveckla nya metoder för framtidens mer avancerade modeller. Exempel på situation i arbetslivet Ni upptäcker att ett program ni ska använda ger felaktiga resultat i ovanliga situationer. 4/5

14 Typisk studentfråga Fråga Varför behöver vi CSAM-studenter lära oss detta? Från föreläsning 1 Modeller inom samhällsbyggnad blir alltid mer komplicerade. Viktigt: Förstå och kritiskt granska numeriska metoder som används. Utveckla nya metoder för framtidens mer avancerade modeller. Exempel på situation i arbetslivet Ni upptäcker att ett program ni ska använda ger felaktiga resultat i ovanliga situationer. Ni ska förbättra ett simulationsprogram så att det kan göra noggrannare förutsägelser. 4/5

15 Typisk studentfråga Fråga Varför behöver vi CSAM-studenter lära oss detta? Från föreläsning 1 Modeller inom samhällsbyggnad blir alltid mer komplicerade. Viktigt: Förstå och kritiskt granska numeriska metoder som används. Utveckla nya metoder för framtidens mer avancerade modeller. Exempel på situation i arbetslivet Ni upptäcker att ett program ni ska använda ger felaktiga resultat i ovanliga situationer. Ni ska förbättra ett simulationsprogram så att det kan göra noggrannare förutsägelser. Citat ( till E.J. angående numerisk problem) Och sedan när jag kör programmet får jag inte nollor där det borde vara nollor, som jag sedan måste plocka bort. Går det bra? Svar: Ja, om bra konditionitionerat 4/5

16 - felkalkyl Absolutfel / relativfel (Frl 5) Felfortplantning: (Frl 5) Enkel felfortplantning Allmänna felfortplantningsformeln Konditionstal (Frl 5-6) 5/5

17 - felkalkyl Absolutfel / relativfel (Frl 5) Felfortplantning: (Frl 5) Enkel felfortplantning Allmänna felfortplantningsformeln Konditionstal (Frl 5-6) Kancellation / utskiftning (Frl 6) Konvergensordning (Frl 6) Noggrannhetsordning (Frl 6) Viktiga tillämpningar (Frl 6): Derivataskattning Richardsonextrapolation 5/5