Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer"

Transkript

1 Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Eddie Wadbro 18 november, 2015 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (1 : 37) Innehåll Icke-linjära ekvationer och system Anonyma funktioner Matlab Konvergenshastighet Newtons metod Fixpunktsiteration Minstakvadratproblem Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (2 : 37) Icke-linjära ekvationer Många beräkningsproblem är till sin natur icke-linjära Ex.: Eulers ekvationer i gasdynamiken (det aerodynamiska problem som diskuterades i inledningen av första föreläsningen) blir, efter diskretisering, ett mycket stort system av icke-linjära ekvationer som beskriver tryck, densitet och hastigheter i noderna Linjära ekvationssystem kan i princip lösas för hand. För stora problem behövs datorer Icke-linjära ekvationer kan sällan lösas exakt för hand. Det finns ingen formel för lösningen i allmänhet. Det behövs numeriska metoder även i det skalära fallet. Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (3 : 37)

2 Icke-linjära system, exempel x 2 Exempel, sid. 94 i kursboken: 4x x = 0 16x1 2 9x = 0 ska lösas för x 1 0, x 2 0 x 1 Ovanligt exempel: kan lösas för hand! Observera att problemet är linjärt i y 1 = x 2 1, y 2 = x 2 2 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (4 : 37) Icke-linjära system Ett system med n ekvationer och n okända skrivs generellt f 1 (x 1,..., x n ) = 0 f 2 (x 1,..., x n ) = 0. f n (x 1,..., x n ) = 0 System ovan kan skrivas i vektorform som f(x) = 0, där x 1 x =. x n och f = f 1. f n Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (5 : 37) Icke-linjära system För icke-linjära system så är Jacobimatrisen eller Jacobianen J av central betydelse. Jacobianens komponenter är vilket ger J =. J ij = f i x j f 1 f 1 x 1 f 2 f 2 x 1 f n x 1 x 2... x 2... f n x 2... f 1 x n f 2 x n f n x n För det inledande exemplet är Jacobianen ( ) 8x1 18x J = 2 32x 1 18x 2 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (6 : 37)

3 Linjär kontra icke-linjär Linjära system har entydig lösning om systemmatrisen är inverterbar För icke-linjära ekvationer är det svårt att verifiera om de har en lösning innan någon beräkning har utförts Icke-linjära system har ofta mer än en lösning 2 f (x) x Figuren till vänster illustrerar att funktionen f (x) = cos(3x)e x x har tre rötter (lösningar till f (x) = 0) i intervallet [ 2, 2] Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (7 : 37) Icke-linjära ekvationer Ex.: Lös den icke-linjära ekvationen cos(3x)e x x = 0. Denna ekvation kan inte lösas analytiskt, så vi försöker beräkna en numerisk lösning För att hitta en lösning x med utgånspunkt 0.5 i Matlab kan man skriva >> format long >> f cos(3*x).*exp(-x)-x f >> x0 = 0.5; >> fzero(f,x0) ans = I Matlab kan man definiera funktioner antingen i m-filer eller genom att använda anonyma funktioner som i ovanstående kod instruerar Matlab att f är en funktion (och inte ett tal eller en matris) och att x är den oberoende variabeln i denna funktion Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (8 : 37) Anonyma funktioner i Matlab Att skapa en anonym funktion är ett alternativ till att skriva och spara en m-fil Syntaxen för att skapa en anonym funktion är fhandle expr Elementen i högerledet är Matlab operatorn som skapar funktionshandtaget arglist är en kommaseparerad lista om innehåller inargumenten till funktionen expr representerar funktionskroppen, d.v.s., den kod som kommer att köras när funktionen anropas Observera. Funktionshandtag ger inte bara tillgång till anonyma funktioner. Genom att använda en något modifierad syntax kan man skapa ett funktionshandtag till godtyckliga Matlab funktioner. Ex.: fhandle Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (9 : 37)

4 Anonyma funktioner i Matlab Anonyma funktioner innehåller vanligen variabler av två olika sorter Variabler som specificeras i inargumentlistan Variabler som anges i själva uttrycket. Matlab fångar dessa variables när funktionen skapas och håller dem konstanta under hela livslängden för funktionshandtaget >> a=2; >> f cos(a*x).*exp(-x)-x; >> f(1) ans = >> a=3; >> f(1) ans = >> f cos(a*x).*exp(-x)-x; >> f(1) ans = Sätt a till 2 Låt f vara ett funktionshandtag till cos(ax)e x x, med nuvarande a, (a = 2) evaluera f(1) ändra a evaluera f(1) Låt f vara ett funktionshandtag till cos(ax)e x x, med nuvarande a, (a = 3) evaluera f(1) Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (10 : 37) Direkta kontra iterativa metoder Numeriska metoder för ekvationslösning är antingen direkta eller iterativa Direkta metoder: den exakta lösningen (upp till avrudningfel) hittas efter ett fixt (känt i förväg) antal aritmetiska operationer. Ex.: Gausselimination för att lösa ett system av linjära ekvationer Iterativa metoder: algoritmen producerar en sekvens av approximationer x 1, x 2,... som (förhoppningsvis) närmar sig den (okända) exakta lösningen x. Behöver avsluta algoritmen när x k x är tillräckligt liten; vilket introducerar ytterligare fel För att lösa Icke-linjära ekvationer behövs generellt iterativa metoder Iterativa metoder är nödvändiga även för att lösa mycket stora linjära system, när direkta metoder är alltför tids och minneskrävande Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (11 : 37) Icke-linjära lösare i Matlab fzero hittar ett nollställe till en kontinuerlig funktion av en variabel Det finns ingen lösare för icke-linjära system i grund Matlab fsolve löser icke-linjära ekvationssystem med hjälp av Newtons metod, den mest använda metoden för att lösa små till medelstora icke-linjära ekvationssystem. Denna funtion finns i Matlabs optimization toolbox vilken säljs separat (ingår i universitetets licens och finns tillgänglig i datasalarna) Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (12 : 37)

5 Iterativa metoder Tumregel: icke-linjära ekvationer eller mycket stora linjära ekvationssystem iterativa metoder En generell iterativ metod: x = startgissning while stoppkriterium inte mött x = ny gissning end Vanligtvis: x 0 = startgissning while stoppkriterium inte mött end Hitta en riktning p k och en steglängd α k Sätt x k+1 = x k + α k p k Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (13 : 37) Konvergenshastighet För linjära system så kan vi hitta den entydiga lösningen i ett ändligt antal steg Vanligtvis så producerar iterativa metoder enbart approximativa lösningar Avsluta när lösningen är tillräckligt bra Viktigt: Konvergenshastighet Hur snabbt x k (approximationen vid steg k) närmar sig den exakta lösningen x Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (14 : 37) Konvergenshastighet Definition Följden {x k } k=1 konvergerar mot x med konvergensordning (Eng. convergence rate) p och asymptotisk felkonstant (Eng. rate constant) C < om x k x och x k+1 x lim k x k x p = C Linjär: p = 1 och 0 < C < 1. Felet multipliceras essentiellt med C varje iteration Kvadratisk: p = 2. Ungefär en fördubbling av antalet korrekta siffror varje iteration Superlinjär: p = 1 och C = 0. Snabbare än linjär. Inkluderar kvadratisk konvergens men även mellanliggande konvergensordningar Observera: definitionen gäller asymptotisk konvergenshastighet Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (15 : 37)

6 Iterativa metoder: konvergenshastighet Ex.: Linjär konvergens Antag att x 0 x = 0.5 och x k+1 x = 0.3 x k x för varje k > 0 Då gäller, x n x = n, alltså, felet avtar exponentiellt Felet blir aldrig noll! Fel Iteration 5 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (16 : 37) Iterativa metoder: konvergenshastighet Ex.: Kvadratisk konvergens Antag att x 0 x = 0.5 och x k+1 x = x k x 2 för varje k > 0 Då gäller, x n x = 0.5 2n, alltså, antalet korrekta siffror dubbleras i stort sett varje iteration Felet blir aldrig noll! Fel Iteration 5 Observera: Värdet på konstanten C spelar inte någon roll i definitionen av kvadratisk konvergens, medan C < 1 är ett krav i definitionen av linjär konvergens Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (17 : 37) Newtons metod för icke-linjära ekvationer Vi vill lösa ekvationen f (x) = 0 där f är kontinuerligt deriverbar Vidare, anta att vi är vid iteration k och att vår nuvarande gissning x k inte löser vårt problem (f (x k ) 0) Vi vill hitta ett steg s k så att f (x k + s k ) 0 Genom att Taylor utveckla f kring x k får vi f (x k + s k ) = f (x k ) + f (x k )s k + O( s k 2 ) Ide: välj s k = f (x k )/f (x k ) så att de två första termerna ovan tar ur varandra. Sätt x k+1 = x k + s k Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (18 : 37)

7 Newtons metod för en icke-linjär ekvation: Alternativ tolkning Taylor utveckling ger f (x k + s k ) = f (x k ) + f (x k )s k + O( s k 2 ) Vilket ger att funktionen ˆf (x) = f (x k ) + f (x k )(x x k ) approximerar f kring x k Vi kan lösa den linjära ekvationen ˆf (x) = 0 för att hitta nästa gissning x k+1 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (19 : 37) Newtons metod för icke-linjära ekvationer n ekvationer f i (x) = 0, i = 1,..., n, i n okända x = (x 1,..., x n ) Vi antar att varje f i är kontinuerligt differentierbar Antag att vid iteration k så har vi f i (x k ) 0. Vi vill hitta ett steg s k = (s (k) 1,..., s n (k) ) så att f i (x k + s k ) 0 för alla i Taylor utveckling ger f i (x k + s) = f i (x k ) + n j=1 f i x j (x k )s j +... Ide: Välj s så att de två första termerna ovan tar ut varandra för varje i f i (x k ) + n j=1 f i x j (x k )s (k) j = 0, i = 1,..., n Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (20 : 37) Newtons metod för icke-linjära ekvationer Grundalgoritmen: 1. Välj en startgissning x 0 2. For k = 0, 1, Lös det linjära ekvationssystemet J(x k )s k = f (x k ), där J(x k ) är Jacobimatrisen för f evaluerad i punkten x k 2.2 Sätt x k+1 = x k + s k Newtons metod omvandlar problemet att lösa ett icke-linjärt system till problemet att lösa en sekvens av linjära system Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (21 : 37)

8 Newtons metod för icke-linjära ekvationer Som ovan, låt f : R n R n vara en kontinuerligt differentierbar funktion Antag att det finns en lösning till det icke-linjära systemet f i (x) = 0. (f (x ) = 0 för något x R n ) Sats Följden x 0, x 1,... som genereras av Newtons metod konvergerar kvadratiskt mot x om 1. J(x ) är inverterbar och 2. x 0 x är tillräckligt liten Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (22 : 37) Egenskaper hos Newtons metod Fördel: Kan konvergera extremt snabbt Begänsningar: 1. Vi behöver beräkna Jacobianen varje iteration 2. Vi behöver lösa ett linjärt ekvationssystem varje iteration 3. Vi behöver starta tillräckligt nära lösningen 4. Vi kan få problem om Jacobianen är singular vid någon iteration Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (23 : 37) Jacobianberäkningar En vanlig situation: funktionsvärdena beräknas med hjälp av någon kommersiell mjukvara som inte ger tillgång till källkoden. Speciellt är Jacobianen inte tillgänglig! Jacobianen kan approximeras med finita differenser: J ij (x 1,..., x n ) = f i x j (x 1,..., x n ) f i(x 1,..., x j + h,..., x n ) f i (x 1,..., x j,..., x n ) h h ska inte vara alltför stor (dålig approximation av derivaten) eller för liten (kancellering av signifikanta siffror). Bästa värdet på h är problemberoende. Tumregel: h ɛ M Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (24 : 37)

9 Jacobianberäkningar Beräkning av Jacobimatrisen med finita differenser kräver n evalueringar av f. Kan vara mycket kostsamt för stora problem (speciellt om en evaluering av f innefattar en numerisk lösning av exempelvis en partiell differentialekvation) Ett vanligt tillvägagånssätt Börja med finita differensapproximationer av Jacobianen Använd sedan sekantapproximationer, baserade på funktionsvärdena f (x k+1 ) och f (x k ) samt gissningarna x k+1 och x k, för att uppdatera Jacobianapproximationen (Begränsning 1). Användning av sekantapproximationer istället för den exakta Jacobianen reducerar konvergensordningen något (metoden konvergerar superlinjärt istället för kvadratiskt) Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (25 : 37) Andra problem med Newtons metod Behovet av en startgissning nära lösningen kan tas bort genom användning av globaliseringstekniker, vilket medför att metoden konvergerar oavsett startgissning. Globaliseringen modifierar steglängden och/eller stegriktningen när man är långt från lösningen, vilket är typiskt under de första stegen. (Begränsning 3) Det finns också tekniker för att ta hand om singulära Jacobianer (Begränsning 4) Spjutspetsimplementationer av Newtons metod är mycket mer komplicerade än grundalgoritmen! Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (26 : 37) Fixpunktsiterationer En klass av iterativa metoder som undviker lösning av linjära system (Begränsning 2) De är därför extra intressanta för lösning av mycket stora problem Vanligtvis mycket långsammare än Newtons metod Obervera: konstruktionen av en bra fixpunktsmetod är problemberoende Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (27 : 37)

10 Fixpunktsiterationer Ide: Skriv f (x) = 0 som ett fixpunktsproblem x = g(x) Det går alltid att göra en sådan omskrivning, exempelvis x = x f (x) Definiera det iterativa schemat x n+1 = g(x n ) och hoppas att det konvergerar mot en fixpunkt till g, vilket per konstruktion är en lösning till f (x) = 0 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (28 : 37) Fixpunktsiterationer Iterationerna konvergerar om g är en kontraktion; alltså om det finns ett C < 1 så att g(x) g(y) C x y för varje x, y i en (konvex) delmängd av R n Eller i ord, om g(x) och g(y) är strikt närmare varandra än x och y så är g en kontraktion Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (29 : 37) Fixpunktsiterationer Inte alltid enkelt att se om en avbildning är en kontraktion! Ett tillräckligt villkor för att en kontinuerligt differentierbar funktion g ska vara en kontraktion är att J(x) < 1 för varje x i ett område, där J är Jacobianen för g (Observera: matrisnorm) Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (30 : 37)

11 Fixpunktsiterationer Enkelt, vi behöver inte lösa några linjära ekvationssystem För extremt stora problem kan de vara den enda möjliga lösningsvägen Att konstruera en lämplig kontraktiv funktion g är i hög grad problemberoende Robusta versioner av Newtons metod är (om tillämpliga) vanligtvis mycket snabbare Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (31 : 37) Minstakvadratproblem Antag att vi har observationer y i t i i = 1, 2,...., m vid tiderna i = 1, 2,...., m och en model y(t, x) Ex1: y(t, x) = x 1 + x 2 t + x 3 t 2 Ex2: y(t, x) = x 1 e x 2t Vi vill bestämma de bästa x 1, x 2,..., x n så att y(t i, x) y i (Vanligtvis m >> n) Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (32 : 37) Minstakvadratproblem Vanligtvis (på grund av mätfel, modelleringsfel, brus, etcetera), y i y(t i, x) 0 även för det bästa parametervalet x Här betyder bästa parametervalet x det x som är bäst i minstakvadratmening Vi vill alltså: Hitta det x R n som minimerar 1 M [y i y(t i, x)] 2 2 Definition Linjärt minstakvadratproblem: y är linjär i x (Ex1) Icke-linjärt minstakvadratproblem: y är icke-linjär i x (Ex2) Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (33 : 37)

12 Linjära minstakvadratproblem Låt oss först titta på fallet min x R n f (x) = 1 2 där f i är linjär i x, vilket betyder att m f i (x) 2 f (x) = 1 Ax b 2 = (Ax b)(ax b)t = 1 2 x T A T Ax x T A T b+ 1 2 bt b, där A är en m n matris och b är en m kolonnvektor Om A T A är positivt definit så har minimeringsproblemet ovan lösningen x, som uppfyller normalekvationerna A T Ax = A T b Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (34 : 37) Icke-linjära minstakvadratproblem min x R n f (x) = 1 2 m f i (x) 2 I detta fall kan vi skriva gradienten och Hessianen av f som f (x) = 2 f (x) = m f i (x)f i (x) m [ f i (x) ( f i (x) ) ] T + 2 f i (x)f i (x) Vi kan exempelvis använda oss av Newtons metod för att lösa f = 0 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (35 : 37) Icke-linjära minstakvadratproblem min x R n f (x) = 1 2 m f i (x) 2 Det är dock vanligtvis bättre att använda den struktur som problemet har Taylor utveckling ger f (x + s) = f (x) + f (x) T s st 2 f (ξ)s där ξ = x + αs för något α [0, 1] Ide: vid iteration k, approximera Hessianen 2 f i den okända punkten ξ med m B k = [ f i (x k ) ( f i (x k ) ) ] T + någonting enkelt Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (36 : 37)

13 Icke-linjära minstakvadratproblem Vad är någonting enkelt? 0 (noll) rimligt om redidualen är liten samt för svagt olinjära problem (annars använd λi, där I är identitetsmatrisen och λ > 0) Approximera f med ˆf (x) = f (x k ) + f (x k ) T (x x k ) (x x k) T B k (x x k ) ta fram steget s k genom att lösa B k s k = f Observera: Ekvivalent till att lösa det linjära minstakvadratproblemet F ( F ) T s = ( F )F där F = [f 1, f 2,..., f n ] och F = [ f 1 f 2... f n ] T Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (37 : 37)

Konvergens för iterativa metoder

Konvergens för iterativa metoder Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd

Läs mer

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen? Block 5: Ickelineära ekvationer Löpsedel: Icke-lineära ekvationer Varför är det svårt att lösa ickelineära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod Noggrannhet/stoppvillkor

Läs mer

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod. Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt, vt0 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer Som exempel kan vi ta, x = 0, x = 0, som är ett system

Läs mer

Föreläsning 5. Approximationsteori

Föreläsning 5. Approximationsteori Föreläsning 5 Approximationsteori Låt f vara en kontinuerlig funktion som vi vill approximera med en enklare funktion f(x) Vi kommer använda två olika approximationsmetoder: interpolation och minstrakvadratanpassning

Läs mer

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x). Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot

Läs mer

Icke-linjära ekvationer

Icke-linjära ekvationer stefan@it.uu.se Exempel x f ( x = e + x = 1 5 3 f ( x = x + x x+ 5= 0 f ( x, y = cos( x sin ( x + y = 1 Kan endast i undantagsfall lösas exakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar

Läs mer

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med

Läs mer

ALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...

ALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14... ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018

Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018 Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018 1. Inledning Inom matematiken är det ofta intressant att finna nollställen till en ekvation f(x),

Läs mer

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2 Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 218-5-28, kl 8-11 SF1547 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2 Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgräns

Läs mer

--x T Kx. Ka = f. K( a a i. = f f i. r i. = a a i. Ke i. a i 1. p i. Ka i. p i Kai α i

--x T Kx. Ka = f. K( a a i. = f f i. r i. = a a i. Ke i. a i 1. p i. Ka i. p i Kai α i CHALMERS FinitElementmetod M3 illämpad mekanik Föreläsning 18, 15/1 014 91. Lösningen till ekvationssystemet Gradient och konjugerad gradientmetod. a f (1) minimerar den kvadratiska funktionen Π( x) 1

Läs mer

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 10. 1/17

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 10. 1/17 Numerisk Analys, MMG410. Lecture 10. 1/17 Ickelinjära ekvationer (Konvergensordning) Hur skall vi karakterisera de olika konvergenshastigheterna för halvering, sekant och Newton? Om f(x x k+1 x ) = 0 och

Läs mer

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Johan Helsing, 11 oktober 2018 FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Inlämningsuppgift 3 Sista dag för inlämning: onsdag den 5 december. Syfte: att träna på att hitta lösningar

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

Sammanfattninga av kursens block inför tentan

Sammanfattninga av kursens block inför tentan FÖRELÄSNING 14 Sammanfattninga av kursens block inför tentan BILD Vi har jobbat med numerisk metoder, datorprogram och tolkning av lösning. Numeriska metoder BILD olika områden: Linjära ekvationssytem,

Läs mer

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet

Läs mer

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1. MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med

Läs mer

Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.

Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. 11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta

Läs mer

CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor

CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig

Läs mer

Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5. hp, 14-6-4 Kursmål (förkortade), hur de täcks i uppgifterna och maximalt

Läs mer

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

LABORATION cos (3x 2 ) dx I = SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 017-0-14 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper

Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION 3 MVE270-2013/2014 Matematiska vetenskaper Newtons metod 1 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer. Som exempel kan vi ta, { x1 (1 + x 2 2) 1 = 0 x 2 (1 + x 2 1 ) 2

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer

Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Michael Hanke, Johan Karlander 2 april 2008 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller inom vetenskap och teknik

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0

Läs mer

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering KTH Matematik Tentamen del SF5, 28-3-6, kl 8.-., Numeriska metoder och grundläggande programmering Namn:... Personnummer:... Program och årskurs:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången HT7-VT8

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Stefan Engblom, tel. 471 27 54, Per Lötstedt, tel. 471 29 72 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2016-03-16 Skrivtid:

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5. hp, 215-3-17 Skrivtid: 14 17 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat

Läs mer

Ordinära differentialekvationer,

Ordinära differentialekvationer, (ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden

Läs mer

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Några tillämpningar Animering rörelser, t.ex. i tecknad film Bilder färger resizing Grafik Diskret representation -> kontinuerlig 2 Interpolation

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

Matlab övningsuppgifter

Matlab övningsuppgifter CTH/GU MVE5-7/8 Matematiska vetenskaper Matlab övningsuppgifter Inledning Vi skall först se hur man kan lösa system av icke-linjära ekvationer. Därefter skall vi se på optimering utan bivillkor. Vi skall

Läs mer

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Felfortplantning och kondition

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Felfortplantning och kondition Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN2 09-02-10 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se! Repetition av FN2! Felkalkyl (GNM kap 2)! Olinjära ekvationer (GNM kap 3)! Linjära

Läs mer

Ickelinjära ekvationer

Ickelinjära ekvationer Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod

Läs mer

Laboration 1. Ekvationslösning

Laboration 1. Ekvationslösning Laboration 1 Ekvationslösning Sista dag för bonuspoäng, se kursplanen. Kom väl förberedd och med välordnade papper till redovisningen. Numeriska resultat ska finnas noterade. Båda i laborationsgruppen

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

1 Ickelinjär optimering under bivillkor Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Sammanfattning (Nummedelen)

Sammanfattning (Nummedelen) DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Föreläsning 1. Numeriska metoder grundkurs II, DN1240. Carina Edlund Mottagningstid i rum 4516: onsdagar kl.

Föreläsning 1. Numeriska metoder grundkurs II, DN1240. Carina Edlund Mottagningstid i rum 4516: onsdagar kl. Föreläsning 1 Numeriska metoder grundkurs II, DN1240 Carina Edlund carina@nada.kth.se Mottagningstid i rum 4516: onsdagar kl. 13-15 Kurshemsida: http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/dn1240/numi09/

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Intro till vektorer, matriser och Gausselimination 8. Den euklidiska normen x = x 1 + x + x n och x 1 + x + ( ) x n = x 1 x x n 9. Vi ska

Läs mer

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28 TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:

Läs mer

15 februari 2016 Sida 1 / 32

15 februari 2016 Sida 1 / 32 TAIU07 Föreläsning 5 Linjära ekvationssystem. Minsta kvadrat problem. Tillämpning: Cirkelpassning. Geometriska objekt. Translationer. Rotationer. Funktioner som inargument. Tillämpning: Derivata. 15 februari

Läs mer

Icke-linjära ekvationer

Icke-linjära ekvationer stefan@it.uu.se Eempel f ( ) = e + = 5 3 f ( ) = + + 5= f (, y) = cos( ) sin ( ) + y = Kan endast i undantagsfall lösas eakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar eller oändligt många

Läs mer

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration 10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58 Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.

Läs mer

) + γy = 0, y(0) = 1,

) + γy = 0, y(0) = 1, Institutionen för Matematik, KTH Tentamen del Numeriska metoder SF545 8.00-.00 / 04 Inga hjälpmedel är tillåtna (ej heller miniräknare). Råd för att undvika poängavdrag: Skriv lösningar med fullständiga

Läs mer

Laboration 2. Laborationen löses i grupper om två och redovisas individuellt genom en lappskrivning den 3/10. x = 1±0.01, y = 2±0.05.

Laboration 2. Laborationen löses i grupper om två och redovisas individuellt genom en lappskrivning den 3/10. x = 1±0.01, y = 2±0.05. Laboration 2 Laborationen löses i grupper om två och redovisas individuellt genom en lappskrivning den 3/10. 1 Störningsräkning 1 Betrakta funktionen f(x,y) = e yx2. Värdena på x och y är givna av x =

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Tentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F

Tentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F Tentamen, del DN140 Numeriska metoder gk II för F Fredag 14 december 01 kl 14 17 Lösningar DEL : Inga hjälpmedel. Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

Varning!!! Varning!!!

Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H04 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

Fel- och störningsanalys

Fel- och störningsanalys Fel- och störningsanalys Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis utan

Läs mer

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Institutionen för datavetenskap Umeå universitet december 06 Teknisk beräkningsvetenskap I Repetitionsfrågor: 5DV54 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Del

Läs mer

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta

Läs mer

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, 8.-11., Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg

Läs mer

Laboration 1. x = 1±0.01, y = 2±0.05. a) Teoretiskt med hjälp av felfortplantningsformeln (Taylor-utveckling).

Laboration 1. x = 1±0.01, y = 2±0.05. a) Teoretiskt med hjälp av felfortplantningsformeln (Taylor-utveckling). Laboration 1 Sista dag för bonuspoäng är 18 mars. Kom väl förberedd och med välordnade papper till redovisningen. Numeriska resultat ska finnas noterade. Båda i laborationsgruppen ska kunna redogöra för

Läs mer

Fel- och störningsanalys

Fel- och störningsanalys Fel- och störningsanalys 1 Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis

Läs mer

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska

Läs mer

Fö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu

Fö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu TANA21/22 HT2018 Fö4: Kondition och approximation Andrea Alessandro Ruggiu Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September 2018 1 Konditionstal Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

Kapitel 4. Iterativ lösning av ekvationer

Kapitel 4. Iterativ lösning av ekvationer Kapitel 4. Iterativ lösning av ekvationer Vi skall nu undersöka, har man löser numeriskt ekvationer av formen f(x) = 0. Dylika ekvationer kallas också olinjära, eftersom funktionen oftast har ett olinjärt

Läs mer

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel Ivar Gustavsson / Jan Södersten Matematiska vetenskaper Göteborg 6 november 9 Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 67, Extraexempel (M) efter uppgiftsnumret anger att MATLAB lämpligen används för att

Läs mer

1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser

1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida

Läs mer

Iterativa metoder för linjära ekvationssystem

Iterativa metoder för linjära ekvationssystem Iterativa metoder för linjära ekvationssystem Bra för glesa ekvationssystem Finita differensmetoder och FEM ger glesa matriser. Antal nollskilda element är Ç(Æ) om är Æ Æ. I implicita metoder och för tidsoberoende

Läs mer

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett

Läs mer

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills

Läs mer

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: 1 Axel Ruhe NADA 10 mars 2005 2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: Dessa frågor är till hjälp vid inläsning av Linjär Algebra momenten i kursen. Hänvisningar till

Läs mer

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H4 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

Föreläsning 9. Absolutstabilitet

Föreläsning 9. Absolutstabilitet Föreläsning 9 Absolutstabilitet Introduktion För att en numerisk ODE-metod ska vara användbar måste den vara konvergent, dvs den numeriska lösningen ska närma sig den exakta lösningen när steglängden går

Läs mer

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24 Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.

Läs mer

Linjärisering och Newtons metod

Linjärisering och Newtons metod CTH/GU STUDIO 5 TMV36a - 214/215 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjärisering och Newtons metod Vi skall fortsätta med att lösa ekvationer. I förra studioövningen såg vi på intervallhalveringsmetoden.

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394 Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, 2011-03-08 OBS: Kurskod 1TD394 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys, Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan

Läs mer

F3 PP kap 3, ekvationslösning och iteration, forts.

F3 PP kap 3, ekvationslösning och iteration, forts. F3 BE300 & 3 Page 1 of 6 F3 PP kap 3, ekvationslösning och iteration, forts. Övning från förra gången: Visa, att o f (x) > 0 i (a,b) så ligger sekanten geno (a,f(a)) och (b,f(b)) över kurvan. Tips: Låt

Läs mer

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Institutionen för Matematik Göteborg F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Heath 1: a) -01416 resp -0046 b) -0001593 resp -000051 c) 000165

Läs mer

Laboration 1. 1 Matlab-repetition. 2 Störningsräkning 1. 3 Störningsräkning 2

Laboration 1. 1 Matlab-repetition. 2 Störningsräkning 1. 3 Störningsräkning 2 Laboration 1 Hela labben måste vara redovisad och godkänd senast 19 november för att generera bonuspoäng till tentan. Kom väl förberedd och med välordnade papper till redovisningen. Numeriska resultat

Läs mer

SF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER

SF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER SF1544 LABORATION INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER Avsikten med denna laboration är att: - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer