Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

Transkript

1 Institutionen för datavetenskap Umeå universitet december 06 Teknisk beräkningsvetenskap I Repetitionsfrågor: 5DV54 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Del : Ordinära differentialekvationer. Skriv följande ekvationer på standardform för begynnelsevärdesproblem (a Duffings ekvation: (b Blasius ekvation: (c Van der Pols ekvation: y + δy + σ(y 3 y = γsinωt f + f f = 0 y y ( y y = 0.. Sant eller falskt: Om en lösning y till ett begynnelsevärdesproblem för en ODE uppfyller y(t + när t +, då är ODEn instabil. 3. Klassificera följande ODEer som stabil, asymptotiskt stabil eller instabil med avseende på begynnelsevärden. (a y y = t, (b y y = t, (c y + y = t ; (d y = t. 4. Sant eller falskt: kan en numerisk metod vara instabil när den tillämpas på en ODE som är stabil med avseende på begynnelsevillkor? 5. Förklara vad som menas med följande termer som används i samband med numerisk lösning av initialvärdesproblem för ordinära differentialekvationer: (a implicita och explicita metoder; (b trunkeringsfel; (c noggrannhetsordning. 6. Implicit numeriska metoder för lösning av begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer har normalt ett mycket större utbud av tidssteg för vilka metoden är stabil jämfört med explicita metoder. Varför används inte alltid implicita metoder? 7. Begynnelsevärdesproblemet för den ordinära differentialekvationen y = f (t, y kan lösas numeriskt med hjälp av så kallade α schemat: där 0 α. y k+ = y k + t αf (t k+, y k+ + ( αf (t k, y k ], (a Vilka metoder erhålls när man väljer α = 0,, respektive /? (b Bestäm noggrannhetsordningen för schemat för alla 0 α. (c För alla 0 α, bestäm stabilitetsvillkoret på den negativa reella axeln, d.v.s. villkoret för stabilitet för schemat när det appliceras på ekvationen y = λy där λ < 0. (d Vilka förändringar måste göras för att omvandla α-schemat till Heuns metod?

2 8. Begynnelsevärdesproblemet för den ordinära differentialekvationen y = f (t, y kan lösas numeriskt med hjälp av schemat: (a Är metoden explicit eller implicit? y k+ = y k + t 3f (tk, y k f (t k, y k ]. (b Härled metodens noggrannhetsordning. 9. Vad menas med ett styvt system av ordinära differentialekvationer. Varför rekommenderas implicita metoder ofta för numerisk lösning av dessa system?

3 Lösningar. (a Låt = y, och skriv problemet som systemet ( ( y = γsinωt δ σ(y 3 y (b Låt g = f, h = g (= f och få f g g = h h f h (c Genom att sätta = y erhålls systemet ( ( y = ( y + y. Falskt. Villkoret för stabilitet är att lösningskurvorna för olika begynnelsevillkor inte divergerar när t En skalär, linjär ODE skriven på formen y = λy + f (t är stabil när R(λ 0, asymptotisk stabil när R(λ < 0 och ostabil annars (alltså om R(λ > 0. Således är (a och (b instabila, (c är asymptotiskt stabil och (d är stabil. 4. Sant per definition. 5. (a I en implicit metod innehåller approximationen av tillståndet vid nästa tiddsteg y k+ funktionsevalueringar där y k+ förekommer som argument (eller del därav. I explicita metoder används endast funktionsevalueringar som beror på nuvarande samt tidigare approximatinoer, dvs. y k, y k, y k,... (b Trunkeringsfelet är skillnaden mellan den numeriska och den exakta lösningen efter ett tidssteg. (c Metoden har noggrannhetsordning p om det lokala trunkeringsfelet är O( t p+. 6. Vi måste lösa en, vanligtvis icke-linjär, ekvation vid varje tidssteg om vi använder en implicit metod; om vi å andra sidan använder en explicit metod så behöver vi inte lösa någon ekvation. Alltså, kräver en implicit metod mycket fler aritmetiska operationer per tidssteg, jämfört med en explicit metod. Alltså är det effektivare att använda sig av en explicit metod så länge som tidsstegsbegränsningen som behövs för att ge stabilitet inte är alltför restriktiv (maximalt tillåtna t är inte för litet. 7. (a Euler framåt (α = 0, Euler bakåt (α = och trapetsmetoden (α = /. (b Det lokala felet L k+ definieras som L k+ = y(t k+ y k+, där y(t löser y = f (t, y, y(t k = y k. Genom användning av schemat har vi att L k+ = y(t k+ y k t αf (t k+, y k+ + ( αf (t k, y k ] = y(t k+ y(t k t αf (t k+, y(t k+ L k+ + ( αf (t k, y(t k ] = Taylor utveckling av f med avseende på en störning i den andra komponenten] = y(t k+ y(t k t αf (t k+, y(t k+ αd f (t k+,ξl k+ + ( αf (t k, y(t k ], där ξ (y(t k+ L k+, y(t k+. Genom att skriva om detta får vi att ( tαd f (t k+,ξ L k+ = y(t k+ y(t k t αf (t k+, y(t k+ + ( αf (t k, y(t k ]..

4 Högerledet ovan kan skrivas om enligt y(t k+ y(t k t αf (t k+, y(t k+ + ( αf (t k, y(t k ] Vilket ger oss att. = y(t k+ y(t k t αy (t k+ + ( αy (t k ] = Taylor utveckling] = y(t k + y (t k t + y (t k t + y (t k t 3 6 +O( t 4 y(t k t α (y (t k + y (t k t + y (t k t ] +O( t 3 + ( αy (t k ( = y (t k α t + y (t k 6 α t 3 +O( t 4. ( ( L k+ = y (t k α t + y (t k 6 α ( ( = y (t k α t + y (t k 6 α ( t 3 +O( t 4 tαd f (t k+,ξ t 3 +O( t 4 ( +O( t. Således har vi noggrannetsordning för α = / och annars. (b Alt.] Ett alternativ till ovanstående som kommer att ge samma ledande term i felutvecklingen (Det finns en sats och bevis för detta... är att sätta in den exakta lösningen till y = f (t, y i schemat, d.v.s. att ersätta y k = y(t k och y k+ = y(t k+ beräkna VL HL för schemat: y(t k+ y(t k t αf (t k+, y(t k+ + ( αf (t k, y(t k ] = y(t k+ y(t k t αy (t k+ + ( αy (t k ] = Taylor utveckling] = y(t k + y (t k t + y (t k t + y (t k t 3 6 +O( t 4 y(t k t α (y (t k + y (t k t + y (t k t ] +O( t 3 + ( αy (t k ( = y (t k α t + y (t k 6 α t 3 +O( t 4. Således har vi noggrannetsordning för α = / och annars. (c Tillämpning av schemat på testekvationen (y = λy ger vilket kan skrivas som y k+ = y k + t ( αλy k+ + ( αλy k, ( α tλy k+ = + t( αλ] y k. För stabilitet behöver vi y k+ y k, vilket gäller om och endast om + t( αλ. ( α tλ Eftersom λ < 0, kan vi skriva λ = λ och multiplicera båda sidor av likhet ( med α tλ = + α t λ 0 för att erhålla t( α λ + α t λ,

5 vilket ger följande två olikheter α t λ t( α λ + α t λ. Den högra olikheten är alltid uppfylld, medan den vänstra olikheten medför att t( α λ, vilket alltid är uppfyllt för / α. Således är schemat ovillkorligt stabilt för / α. Men för 0 α < / har vi stabilitetsvillkoret t λ α. (d Genom att välja α = / och ersätta f (t n+, y n+ med f (t n+,κ, där κ = y n + t f (t n, y n (extrapolation med framåt Euler får vi Heuns metod. 8. (a Schemat är explicit. (b Sätt in y k+ = y(t k+, y k = y(t k och y k = y(t k, där y är lösningen till y = f (t, y och beräkna VL HL för schemat: y(t k+ y(t k t = y(t k+ y(t k t 3f (tk, y(t k f (t k, y k ] 3 y (t k ] y (t k = Taylor expansion] = y(t k + y (t k t + y (t k t + y (t k t 3 6 +O( t 4 y(t k 3 t y (t k (y (t k y (t k t + y (t k t ] +O( t 3 = y (t k t y (t k t 3 Vilket visar att noggrannhetsordningen är. 4 +O( t 4 = 5 y (t k t 3 +O( t Ett styvt system innehåller vitt skillda tidsskalor, i fallet med ett linjärt ODE system u = Au så betyder detta att egenvärdena av matrisen A är vitt skilda i storlek. Tidsstegsbegränsningar för explicita metoder bestäms av de snabbaste tidsskalorna (den största realdelen hos egenvärdena av A, detta medför att många tidssteg behövs för att fånga förändringar i de långsamma tidsskalorna när man använder explicita metoder. Om man huvudsakligen är intresserad av de långsamma tidsskalorna så kan det vara mycket mer effektivt att använda implicita metoder.