2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:
|
|
- Kristina Lund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 Axel Ruhe NADA 10 mars D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: Dessa frågor är till hjälp vid inläsning av Linjär Algebra momenten i kursen. Hänvisningar till böcker är till (D x.y) till Demmels bok, Applied Numerical Linear Algebra, och (R x.y) till mina föreläsningsanteckningar. Frågorna är numrerade i en följd. A D 1.5 Flyttalsaritmetik. Fråga 1. Fråga 2. Fråga 3. Vad menas med maskinepsilon vid IEEE flyttalsaritmetik? Vad är overflow treshold? När används onormaliserade tal? Fråga 4. Hur kan man bestämma felet vid beräkningen s2 =a + b? Får man fram s med begränsad relativ störning? Fråga 5. Kan man begränsa felet vid beräkning av s3 =a+b+c? Visa hur man får återföra felet vid beräkning av fl(s3) på data a, b och c! D 1.7 Vektor- och matrisnormer. Fråga 6. Fråga 7. Ange villkoren på en vektornorm x! Ange villkoren på en matrisnorm A! Ax Fråga 8. Visa att för godtycklig vektornorm x så ger uttrycket A = max x 0 x en matrisnorm? Fråga 9. Fråga 10. Definiera p-normen x p för en vektor! Om p<1 så är inte x p en vektornorm längre. Varför? Fråga 11. Hur räknar man fram matrisnormerna A p för p =1, 2,? Fråga 12. Fråga 13. Ange Frobeniusnormen för en matris! Visa att Qx 2 = x 2 om matrisen Q har ortogonala kolonner! Fråga 14. Matrisen X är rektangulär m n. Visa att matrisen A = X T X är symmetrisk och positivt semidefinit. Under vilka villkor är den positivt definit? D 2.2 Linjära ekvationssystem. Fråga 15. Visa att konditionstalet för en matris med avseende på inversion är κ(a) = A A 1! Fråga 16. Visa att κ 2 (Q) =1för en ortogonal matris! Fråga 17. Anta att vi stör högerledet b i det linjära ekvationssystemet Ax = b till b + δb. Ge då en begränsning på störningen δx av lösningen!
2 2 Fråga 18. Anta att vi stör matrisen A i det linjära ekvationssystemet Ax = b till A + δa. Ge då en begränsning på störningen δx av lösningen! Fråga 19. Ange den minsta störning δa som gör matrisen A + δa singulär! Fråga 20. Visa att det relativa konditionstalet för en matris är κ CR (A) = A 1 A! När är detta konditionstal avsevärt mindre än det vanliga κ(a)? Fråga 21. Visa att vi kan faktorisera A = LU, där L är undertriangulär med ettor i diagonalen och U är övertriangulär med diagonalelement skilda från noll, om A och alla dess ledande delmatriser är regulära, dvs har nollskilda determinanter! Fråga 22. Visa att det räcker med radpermutation P för att PA = LU skall existera för varje kvadratisk icke singulär matris. Fråga 23. Beskriv Gausselimination, utan pivotering, a) som en följd av operationer på raderna i matrisen. b) i Matlab kod. c) som multiplikation med en serie elementära eliminationsmatriser. Fråga 24. Ange hur mycket räknearbete som krävs för a) att faktorisera matrisen PA = LU med Gausselimination b) att lösa ett system Ax = b för ett högerled b när faktorerna P, L och U redan är uträknade. c) att beräkna inversen B = A 1 med hjälp av faktorerna. d) att göra en matris- vektormultiplikation x = Bb. e) att multiplicera två matriser C = AB. Fråga 25. Visa att om vi använder flyttalsaritmetik för att beräkna en LU faktorisering med Gausselimination, så får vi fram en exakt LU faktorisering LU = A + E, där elementen i störningen E kan begränsas av E nɛ( L U )! Här står ɛ för maskinens relativa noggrannhet och absolutbeloppen tas elementvis. Fråga 26. Visa att vid partiell radpivotering är l jk 1! Fråga 27. Visa att vid partiell radpivotering är max u jk 2 n 1 max a jk! Fråga 28. Visa att Gausselimination kan utföras på en symmetrisk positivt definit matris utan pivotering och att dess faktorisering då kan skrivas A = LDL T! D R 2 Glesa matriser, direkta metoder. Fråga 29. Beskriv hur en graf G =(V,E) definierar en matris A och hur en matris A ger en graf G(A). Fråga 30. När får man påfyllnad vid Gausselimination av en gles matris? Beskriv det i både matris- och graftermer! Fråga 31. Vad menas med pivotering för gleshet? Fråga 32. Visa att omnumrering av en graf svarar mot en permutationstransformation av matrisen. Vilken? Fråga 33. Kee)! Fråga 34. Fråga 35. Beskriv bandviddsreduktionsalgoritmen RCM (Reversed Cuthill Mc Vad är idén bakom dissektionsalgoritmen? Beskriv Minimum Degree algoritmen, symmmd!
3 3 D R 3.1 Linjära minsta kvadratproblem. Fråga 36. Formulera det minsta kvadratproblem man får när man vill anpassa en summa av exponentialfunktioner Σ p k=1 α k exp( λ k t) till en serie mätdata (t i,y i ),i=1,...,n. Vilka är parametrarna? När har man ett linjärt minsta kvadratproblem, och vad är i det fallet dess matris A och högerled b? Fråga 37. Formulera normalekvationerna för ett linjärt minsta kvadratproblem! När har de en lösning? Fråga 38. Fråga 39. När kan de användas för att lösa problemet numeriskt? Beskriv QR faktorisering med Gram Schmidt! Fråga 40. Hur gör man QR faktorisering med Householdertransformationer H = I 2uu T? När är detta att föredra jämfört med Gram Schmidt? D R 3.2 Fråga 41. Fråga 42. Fråga 43. Fråga 44. Fråga 45. Fråga 46. Singulär värdesuppdelning. Formulera SVD satsen! Vad menas med full radrang? Vad menas med full kolonnrang? Vad är en rangdefekt matris? Vad är rangen hos en icke singulär matris? Vad är en projektor? Vad är en ortogonal projektor? Fråga 47. Visa hur man får fram projektorer för de fyra rummen, bildrummen R(A) och R(A T ) och nollrummen N(A) och N(A T ), ur den singulära värdesuppdelningen! Fråga 48. Hur kan man räkna fram lösningen x till minsta kvadratproblemet min x Ax b 2 med SVD? När är det att föredra framför QR faktorisering och normalekvationer? Fråga 49. Hur kan man hitta A (k), närmaste matris av rang k till matrisen A med SVD? D D R 4.1 Egenvärdesproblem. Fråga 50. Visa hur man använder egenvärden och egenvektorer att ge lösningar till det linjära systemet av ordinära differentialekvationer När är lösningen stabil? dx dt = Ax, x(0) = x 0 Fråga 51. Vad menas med att två matriser är similära? Fråga 52. Visa att två similära matriser har samma egenvärden! Hur är det med deras egenvektorer? Fråga 53. Fråga 54. När är en matris diagonaliserbar? Formulera Schurs sats! Fråga 55. Visa att en reell symmetrisk (komplex Hermitesk) matris har reella egenvärden och ortogonala (unitära) egenvektorer! Fråga 56. Hur kan man räkna fram egenvärden och egenvektorer om man känner Schurs normalform av en matris? Fråga 57. Vad är Rayleighkvoten ρ(a, x) för en matris A och vektor x?
4 4 Fråga 58. Visa att om x är en egenvektor till A, så är Rayleighkvoten motsvarande egenvärde! Fråga 59. Visa att om x inte är en egenvektor, så minimeras residualen r = Ax σx i norm för σ = ρ(a, x)! Fråga 60. Formulera Courant Fischers minimax sats! Fråga 61. Visa att om både A och E är symmetriska, så begränsas störningen av egenvärdena så att λ k (A) λ k (A + E) E 2! Fråga 62. Visa att om A är symmetrisk och E är symmetrisk positivt semidefinit, så så λ k (A) λ k (A + E)! D 4.4 R 4.1 Transformationsalgoritmer för egenvärden. Fråga 63. Hur bestämmer man vektorn u i en Householder transformation H = I 2uu T som transformerar matrisen A till A (2) = HAH med alla element utom de två första i första kolonnen noll? Fråga 64. Varför nollställer man inte alla element utom det första? Fråga 65. Hur många aritmetiska operationer behövs för att multiplicera en full matris A med en Householder matris H = I 2uu T? Fråga 66. Varför startar man inte direkt med QR algoritmen, utan startar med Householder? Fråga 67. Vad menas med en oreducerad Hessenbergmatris? Fråga 68. Anta att matrisen A är en oreducerad Hessenbergmatris. Visa att om skiftet τ k = λ j ett egenvärde till A, och man beräknar nästa iteration A k τ k I = Q k R k, A k+1 = R k Q k + τ k I så blir sista raden i den transformerade matrisen A k+1 noll, utom sista elementet som blir λ j. Fråga 69. Fråga 70. Vad menas med deflation i QR metoden? Vad är Newtonskift resp Wilkinsonskift i QR metoden? Fråga 71. Vad är idén bakom Divide and Conquer algoritmen för tridiagonala egenvärden? D 6.6 R 4.2 Fråga 72. Fråga 73. Fråga 74. Krylovalgoritmer för egenvärden. Beskriv potensmetoden för egenvärden! Vad är en Krylovföljd? Krylovrum? Arnoldis algoritm har den grundläggande rekursionen AQ k = Q k H k,k + R vad är där Q k, H k,k och residualen R? Fråga 75. Visa att om θ är ett egenvärde och s en egenvektor till H k,k,såger y = Q k s en approximativ egenvektor till A. Vad är dess residual r = Ay yθ? Fråga 76. Beskriv Lanczos algoritm för en symmetrisk matris A! D R 5 Iterativa algoritmer för linjära ekvationssystem. Fråga 77. Vad är en iterativ algoritm för ekvationssystem? Vad menas med en stationär iteration?
5 5 Fråga 78. Hur kan man använda Arnoldis algoritm att bestämma lösningen till ett ekvationssystem Ax = b? Fråga 79. Hur kan Lanczos algoritm användas att lösa ett ekvationssystem med symmetrisk matris A? Fråga 80. Fråga 81. Fråga 82. Fråga 83. Vad går c-g algoritmen ut på? Vilka vektorer är konjugerade? Vilka faktorer bestämmer c-g algoritmens konvergens? Vad är prekonditionering av ett linjärt ekvationssystem? Hur går inkomplett faktorisering till? Lycka till!
TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.
Läs merLinjära ekvationssystem
Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på
Läs merLinjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att
Läs mert Möjliga lösningar? b
b 12 10 8 6 4 2 0 Möjliga lösningar? 0 1 2 3 4 5 6 t b 12 10 8 6 4 2 0 Elementen i residualen r 5 r 4 r 3 0 1 2 3 4 5 6 t r 1 r 2 b 12 10 8 6 4 2 0 Minstakvadratlösningen 0 1 2 3 4 5 6 t OH-bild från Matte
Läs mer5.7. Ortogonaliseringsmetoder
5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig
Läs merNumerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33
Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33 1. A är en kvadratisk matris vars alla radsummor är noll. Visa att A är singulär. Låt e vara vektorn av ettor. Då är Ae = 0 A har icke-trivialt nollrum. 2/33
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs merTENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671
Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:
Läs merK 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper
Introduktion till Egenvärden och SVD Har detta något egenvärde? Egenvärdesproblemet Lösning till system av ODE s Egenvärdena är den viktigaste egenskapen i praktiskt taget alla dynamiska system, ofta med
Läs merFöreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
Läs merEgenvärden, egenvektorer
Egenvärden, egenvektorer Om en matris är kvadratisk (dvs n n) kan vi beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen. Polynomet p(λ) = det(a λi) kallas det karakterisktiska polynomet för A. Ett nollställe
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merNorm och QR-faktorisering
Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merBlock 2: Lineära system
Exempel Från labben: Block : Lineära system Del 1 Trampolinens böjning och motsvarande matris (här 6060-matris) Matrisen är ett exempel på - gles matris (huvuddelen av elementen nollor) - bandmatris Från
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs mer2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Läs merFö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu
TANA21/22 HT2018 Fö4: Kondition och approximation Andrea Alessandro Ruggiu Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September 2018 1 Konditionstal Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September
Läs merAlgoritm, potensmetoden
Algoritm, potensmetoden Algoritm för att finna största reella egenvärde och tillhörande egenvektor till en reell matris. givet en startvektor x 0 i = 0 y i+1 = A x i x i+1 = y i+1 / y i+1 2 λ i+1 = x T
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs merTMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: Våren MVE021 Linjär algebra I
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: Våren 6 Övningstentamen Telefonvakt: Thomas Bäckdahl ankn 8 MVE Linjär algebra I Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merTMV142/186 Linjär algebra Z/TD
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merSammanfattninga av kursens block inför tentan
FÖRELÄSNING 14 Sammanfattninga av kursens block inför tentan BILD Vi har jobbat med numerisk metoder, datorprogram och tolkning av lösning. Numeriska metoder BILD olika områden: Linjära ekvationssytem,
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Läs mer1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Läs merMaj Lycka till! Sergei Silvestrov. 1. a) Bestäm Jordans normalform och minimalpolynom av Toeplitzmatrisen T =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Matristeori Maj 2 Denna hemtentamen skall göras och redovisas enskilt. I övrigt är alla hjälpmedel tillåtna. Lösningar till uppgifterna lämnas in i
Läs merMinsta kvadratmetoden
Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs merkvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga
Läs mer2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT Störningsanalys
Olof Runborg ND 10 februari 2004 2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT 2004 Störningsanalys Indata till ett numeriskt problem innehåller i praktiken alltid (små) fel.felen kan bero på tex mätfel, avrundningsfel
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd
Läs merProv i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merLösningsförslag till inlämningsuppgift 3 i Beräkningsprogrammering Problem 1) function condtest format compact format long
Lösningsförslag till inlämningsuppgift 3 i Beräkningsprogrammering Problem 1) function condtest format compact format long % Skapa matrisen A med alpha=1 A = [1 2 3; 2 4 1; 4 5 6]; b = [2.1; 3.4; 7.2];
Läs merALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift
Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift
Läs merMATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
Läs merTeorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.
Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I
Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merTENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merInstuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare
Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken
Läs merNovember 6, { b1 = k a
Fö 7: November 6, 2018 Linjära ekvationssystem Inledande exempel: Finn ekv för linjen L som går genom punkterna P a 1, b 1 och Qa 2, b 2 sådana att a 1 a 2. Lsg: Linjen L kan beskrivas av ekv y = k x +
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs merBasbyten och linjära avbildningar
Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merLösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs merStöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja
Läs merMultiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0
Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen
Läs merEgenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merTANA19 NUMERISKA METODER
HT2/2016 LINJE+ÅK+KLASS : TANA19 NUMERISKA METODER Laboration 2. Linjär algebra Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Godkänd datum : Sign : Retur
Läs merMat Grundkurs i matematik 3-II
Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 november 2010 1 Matriser....................... 4 Grundläggande definitioner.............. 4 LU-uppdelningen..................
Läs merM = c c M = 1 3 1
N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny
Läs merVarning!!! Varning!!!
Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H04 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs mer