Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!
|
|
- Henrik Jonsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H4 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat sig en mycket bra grund att bygga vidare från, men detta garanterar inte ett bra resultat på tentan. entan kan handla om områden som tas upp i kursplanen men som inte tas upp nedan. Vidare är det inte kompletta genomgångar av materialet utan är endast avsett som en checklista för att underlätta instuderingen av kursen. Varning!!! Linjära ekvationssystem Ett linjärt ekvationssystem med m ekvationer i n okända variabler skrivs a x + a x a x = b n n a x + a x a x = b... n n a x + a x a x = b m m mn n m Detta kan skrivas i matrisform Ax = b där A är en m nmatris med koefficienterna för de okända variablerna, (,,..., (,,..., b b b b m x = x x x n innehåller de sökta okända variablerna och = innehåller ekvationernas högerled. (. LU-faktorisering: Att lösa ekvationssystemet med A.s invers eller med Gausseliminering är kostsamt. En snabbare metod är LU-faktorisering där A faktoriseras i en nedertriangular matris L och en övertriangulär matris U. Istället för att lösa den ursprungliga ekvationen löses två triangulära ekvationer vilket i slutändan är snabbare. Vidare kan man återanvända LU-faktoriseringen och räkna ut lösningen till flera högerled med liten extra arbetsinsats. LU-faktorisering med partiell pivotering: Ibland måste raderna i A permuteras (dvs. skifta plats under LU-faktoriseringens gång. Även i fall där faktoriseringen är möjlig utan pivotering är det fördelaktigt att utföra pivoteringen eftersom det leder till stabilare problem. Pivoteringen innebär att man letar igenom den kolonn som ska nollställas efter det största elementet. Denna rad används sedan för att nollställa de övriga.
2 Matrisnormer: För en m n matris A definieras -normen A = max a ij och maxnormen A n = max a. -normen blir den maximala absoluta kolonnsumman och i j= ij max-normen den maximala absoluta radsumman. Konditionstal för matris: Konditionstalet för en matris A beräknas utifrån en given norm: cond ( A = A A, cond ( A = A A. För ett ekvationssystem Ax = b kan konditionstalet för A användas för att uppskatta felet i den beräknade lösningen utifrån felet i ingående data enligt: felet i utdata = felet i indata konditionstalet för A. Singularitet för matriser: En n n matris A är icke-singulär om. A existerar.. det ( A 3. rang ( A = n 4. z Az för z, dvs. A avbildar ingen nollskild vektor på nollvektorn. Fullständig pivotering innebär att man letar igenom hela matrisen efter det största värdet och sedan permuterar både rader och kolonner så att detta element kan användas för att nollställa de övriga raderna. Då matrisinversen ingår i formler som ska lösas i en dator innebär det att man i praktiken löser ett linjärt ekvationssystem eftersom h= C y Ch= CC y = Iy = y. j m i=. Lös Ax = b med hjälp av LU-faktorisering. 3 A=, b= Lös Ax = b med hjälp av LU-faktorisering och partiell pivotering. 3 A= 4 4, b= Ange -norm, max-norm, -konditionstal och max-konditionstal för matrisen A =
3 Felanalys och flyttalssystem En dator representerar tal med ändlig precision vilket gör att alla inmatningar, utmatningar och operationer kommer att innehålla avrundningsfel. Detta måste man ta hänsyn till då man räknar med en dator. Om x är det exakta värdet och ˆx är den beräknade, approximativa lösningen ges x xˆ absoluta felet av x xˆ och det relativa felet av. x Relativt fel i utdata Ett problems konditionstal ges av cond =. Ett sort konditionstal Relativt fel i indata anger att lösningen är känslig för störningar i indata. Konditionstalet beror på problemet i sig och är oberoende av algoritmval. runkeringsfel är skillnaden mellan korrekta resultatet och resultatet av en algoritm som räknar med exakt aritmetik. Exempel på saker som ger upphov till trunkeringsfel är:. Oändliga summor ersätts med ändliga summor.. Derivator ersätts med finita differenser. 3. Iterativa processer avbryts vid ett givet gränsvärde istället för vid verklig konvergens. Avrundningsfel är skillnaden mellan resultatet beräknat med en algoritm som använder exakt aritmetik och en som använder ändlig aritmetik, tex. flyttalsaritmetik. Om resultatet av en räkneoperation är för litet eller för stort för att kunna representeras i det använda flyttalssystemet sker underflow respektive overflow. Ett flyttalssystem karaktäriseras av de fyra parametrarna ( β, p, LU, där β är basen, p är precisionen och L och U anger minsta respektive största värde på exponenten. e Varje tal som kan representeras i systemet ges då av d. ddddd β där varje d är en siffra mellan och β och L e U. Minsta kvadrat-lösning (MK-lösning Då man har ett överbestämt ekvationssystem, dvs. fler ekvationer än okända är det inte säkert att det finns en lösning som exakt löser samtliga ekvationer samtidigt. Då kan man istället beräkna en minsta kvadrat-lösning som löser ekvationerna i genomsnitt så bra som möjligt, dvs. man försöker att minimera skillnaden mellan MK-lösningen och den önskade exakta lösningen. Kunna sätta upp ett överbestämt ekvationssystem utifrån ett givet problem, tex. en serie mätdata som ska approximeras med ett polynom av grad n. Kunna lösa ett överbestämt ekvationssystem Ax = b m.h.a. normalekvationerna AAx= Ab. MK-lösningar används bl a till att jämna ut mätfel vid experiment och att hitta trender i mätdata.
4 . Approximera följande mätvärden i minsta kvadrat-mening med ett polynom av grad. t 5 Y Interpolation Interpolation innebär att ta fram en kurva som går igenom samtliga punkter i en datamängd t, y. Detta kan göras med ett antal olika metoder. ( Interpolation kan användas vid exempelvis: - Plotta jämna kurvor genom givna mätdata. - Fylla i saknad data i en tabell - Derivera eller integrera tabelldata - Ersätta en komplicerad funktion med en enklare Interpolation av n st punkter kan göras med ett polynom av grad n. För att beräkna koefficienterna i detta polynom görs en ansats p n = ah där hi är den i:te basvektorn n i i i= i den bas man valt att använda. Baser som vi räknat med är: Basnamn Formel 4 första basvektorerna Monomialbasen j 3 φ ( t = t t t t Newtonbasen π j j ( t = ( t t i= k ( ( ( ( ( ( t t t t t t t t t t t t 3 De explicita formlerna för ansatserna av ett polynom av grad n- med monomialrespektive Newtonbas är: 3 n p = n a + ax + a3x + a4 x anx ( ( ( ( ( (... ( p = a + a t t + a t t t t + a t t t t t t + + a t t n n k k = Om antalet punkter som ska interpoleras är stort är det inte lämpligt att använda ett enda polynom för att interpolera punkterna. En metod som är bättre är att ha olika polynom mellan varje punktpar. Ett exempel på detta är styckevis linjär interpolation där en rät linje läggs mellan punkterna. Nackdelen med denna metod är att man får skarpa hörn i varje mätpunkt. En bättre metod är cubic splines där man har ett tredjegradspolynom på varje intervall. Första- och andraderivatorna matchas i mätpunkterna så man får en slät och fin kurva. Fördelen med Newtonbasen är att den ger ett nedertriangulärt ekvationssystem vilket går mycket snabbare att lösa än ett almänt. Basvektorerna i Newtonbasen beror på mätvärdena t,..., t n, medan monomialbasvektorerna ser lika ut oberoende av problemet. Om man har ett högt gradtal är monomialbasen dålig eftersom basvektorerna blir mer och mer lika, tex t 5 och t 6. n
5 Det finns många andra baser som ger olika fördelar och nackdelar. Man väljer bas beroende på karaktären hos problemet som ska lösas. n st punkter interpoleras av exakt ett polynom av grad n-. Om högre gradtal tillåts finns oändligt antal lösningar. Jämför med hur många linjer man kan dra igenom två respektive en punkt.. Interpolera med monomialbas och Newtonbas mätpunkterna t 3 4 y - Ickelinjära ekvationer Ickelinjära ekvationer är ekvationer där det ingår exempelvis trigonometriska funktioner, produkter och potenser av de okända variablerna: sin ( x = 3 x = x + 7sin( x = 8 5 xxlog ( tan ( sin ( x = cos ( x Dessa ekvationer kan i allmänhet inte lösas i ett ändligt antal steg, som för linjära ekvationer. Istället använder man iterativa metoder, där man börjar vid en startgissning och förbättrar lösningen gradvis, steg för steg. Generellt formuleras ett ickelinjärt ekvationssystem som lösningen av en objektsfunktion ( f x =, Kunna skriva om ett givet system av ekvationer till en form lämplig för lösning med exempelvis Newtons metod. Bisektionsmetoden: Denna metod börjar med ett intervall där f ( x har olika tecken. Sedan testas funktionens tecken mitt i intervallet. Den halva av det ursprungliga intervallet där tecknen är lika tas bort och processen repeteras med den andra halvan som startintervall. På detta sätt halverar man hela tiden intervallet där roten till ekvationen kan ligga. Newtons metod: Kallas också Newton-Raphsons metod. Denna metod utnyttjar F:s derivata för att få en snabbare konvergens. Iterationsschemat skrivs f ( xk x = k x + k. För system skrivs metoden xk+ xk J ( xk f ( xk f ( xk =. Eftersom man inte vill räkna ut inversen av jacobianen J, implementeras detta genom att skriva iterationsschemat x = k x + + k s där k s k ges av ekvationssystemet J( xk sk = f ( xk. En fixpunktsformel skrivs x g( x matar in. Ett problem f ( x = kan ersättas med en fixpunktsiteration där g( x =, dvs. det är en funktion som ger tillbaka det man samma x-värden som ger f ( x =. En fixpunktsfunktion är konvergent om ( x g ˆ <, där ˆx är exakta lösningen. = xför
6 Bisektionsmetoden är linjärt konvergent, dvs. man erhåller ungefär en korrekt decimal till per iteration. Dess stora fördel är att om man har ett intervall där funktionsvärdet i ändpunkterna har skilda tecken så konvergerar den alltid. Newtons metod är kvadratiskt konvergent, dvs. man erhåller ungefär dubbelt antal korrekta decimaler i lösningen. Newtons metods nackdel är att den känslig för vad man använder som startgissning. Man kan kombinera bisektionsmetodens säkerhet med Newtonmetodens snabbhet för att få en metod som är både snabb och säker. Då x k ligger nära lösningen i Newtons metod kommer skillnaden mellan x k + och x k f ( xk f ( x att vara väldigt liten. Det gör att x = k x k x x f ( xk = + då k, dvs. f ( x f ( x en fixpunktsfunktion med g( x = x f x. (. Formulera Newtons metod for det skalära problemet x = och utför två iterationer med startgissningen x =. x + x =. Formulera Newtons metod för systemet och utför en iteration med xx = startgissningen x = (, 3. Förklara varför man kan få olika rötter beroende på startgissningen för xsin x = ekvationen ( Ordinära differentialekvationer Differentialekvationer är ekvationer som innehåller en funktion y( t samt dess derivator och den fria variabeln t. Ex: y = 4y + sin( y + t y = λ y En ODE sägs vara av ordning k om den högsta derivatan som ingår är k-derivatan. Lösningen till dessa ekvationer är alla funktioner y( t som då den deriveras och sätts in i den givna ekvationen gör att likheten gäller. Alla ODE som har en lösning har oändligt många lösningar varför något slags villkor måste anges för att specificera vilken lösningskurva som avses. Detta kan göras antingen med initialvillkor eller gränsvärdesvillkor. Urval av moment som ingår Att kunna omformulera en högre ordningens ekvation till ett system av första ordningens ODE. En första ordningens ODE med initialvillkor (skalär eller vektorvärd löses med hjälp av metoder som utgår från detta initialvärde, y, och approximerar stegvis fram en lösningskurva.
7 En ODE där stora förändringar sker under kort tid kallas för styva ekvationer. Dessa kräver små tidssteg vid lösning för att undvika att lösningen exploderar. Implicita metoder, dvs. metoder som utnyttjar information från nästa tidsnivå, är mycket effektiva på styva ekvationer. Exempel på metoder som kan användas för att lösa ODE:er numeriskt är Euler, Heun och klassisk Runge-Kutta. Varje metod har ett stabilitetsvillkor som anger hur tidssteget h kan väljas för att ge en stabil lösning. Noggrannhetsordningen hos en metod anger hur mycket bättre lösningen blir då tidssteget h minskas. Om man räknar fram en lösning med steglängden h och en annan med h ges noggrannhetsordningen r av e log e r = h log h där e är absoluta felet för h och e är absoluta felet för h. Stabilitetsvillkoret för Eulers metod är + hλ där h är tidssteget och λ är största egenvärdet till problemets jacobian. För reella λ är detta ekvivalent med hλ. Eulers metod har noggrannhetsordning, dvs om man halverar steglängden erhålls en = ggr noggrannare lösning. Heuns metod har noggrannhetsordning, dvs om man halverar steglängden erhålls en = 4 ggr noggrannare lösning. Klassisk Runge-Kutta noggrannhetsordning 4, dvs om man halverar steglängden 4 erhålls en = 6ggr noggrannare lösning.. Skriv y = y + tysom ett system av första ordningens ODE. y = t+ y. Beräkna lösningskurvan till från t y = = till t = med Euler, Heun och klassisk Runge-Kutta. Använd steglängderna h = och h =.5. ODE med randvillkor Urval av moment som ingår För dessa problem anges var lösningskurvan ska börja och sluta: u = f ( t, u u( t = α u( tn+ = β där t n + anger sluttidpunkten. Indexet n+ kommer av att vi delar upp sträckan mellan t och med n stycken punkter, kallade interna punkter. Genom att beräkna de approximativa t n +
8 lösningarna y u( t i där i =,..., nfås lösningskurvan. Detta görs genom att ersätta i derivatorva i ODE:n med finita differenser, tex: yi+ yi u ( ti h yi+ yi + yi u ( ti h Detta ger upphov till ett ekvationsssystem, linjärt eller ickelinjärt, med n okända.. Approximera u ( u ( u = 6t t = med finita differenser, med 3 stycken interna punkter. =. Sätt upp koefficientmatrisen för ODE:n u ( u ( finita differenser. u 4u 5u = t t = då den löses med =
9 Numerisk integrering b Detta avsnitt behandlar tekniker att beräkna integraler av typen ( ( Urval av moment som ingår I f = f x dx. a+ b Mittpunktsformeln: M ( f = ( b a f b a rapetsregeln: ( f = ( f ( a + f ( b Simpsons regel: ( b a ( 4 a + S f f a f b = f ( b 6 + Gausskvadratur är optimerade på ett visst intervall och ger där optimal noggrannhet för ett givet antal noder. För två noder är Gausskvadraturen G = f + f 3 3 Gauss-kvadraturer är ofta härledda för ett givet intervall. Om den integral man vill lösa har ett annat intervall måste detta skalas så att metoden kan appliceras. Om man b vill lösa I ( g = g( t dtmed en Gauss-kvadratur som är tabulerad för f ( a ( b x+ aβ bα variabelbytet t = β α β b a ( b x+ aβ bα g dx β α β α α. Beräkna ( regel.. Beräkna ( intervallet [,] x och integralen I ( g ersätts med a β x dx görs I f = e dx med mittpunktsformeln, trapetsregeln och Simpsons x I f = e dxmed Gauss-kvadraturen G som är definierad på α
Varning!!! Varning!!!
Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H04 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat
Läs merTeorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.
Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Stefan Engblom, tel. 471 27 54, Per Lötstedt, tel. 471 29 72 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2016-03-16 Skrivtid:
Läs merDel I: Lösningsförslag till Numerisk analys,
Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan
Läs merSammanfattninga av kursens block inför tentan
FÖRELÄSNING 14 Sammanfattninga av kursens block inför tentan BILD Vi har jobbat med numerisk metoder, datorprogram och tolkning av lösning. Numeriska metoder BILD olika områden: Linjära ekvationssytem,
Läs merLösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna
Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Per Lötstedt, tel. 471 2986 Ken Mattsson, tel 471 2975 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2015-06-02 Skrivtid: 14
Läs merTENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671
Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, 2011-03-08 OBS: Kurskod 1TD394 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merSammanfattning (Nummedelen)
DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986, 0702-634722 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-01-15 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS!
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-01-11 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars
Läs merKurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab
Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning Beräkningsvetenskap II Punktmängd approximerande funktion Finns olika sätt att approximera med polynom Problem med höga gradtal kan ge stora kast Kurvanpassning jfr
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5. hp, 215-3-17 Skrivtid: 14 17 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merIcke-linjära ekvationer
stefan@it.uu.se Exempel x f ( x = e + x = 1 5 3 f ( x = x + x x+ 5= 0 f ( x, y = cos( x sin ( x + y = 1 Kan endast i undantagsfall lösas exakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap II Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2017-05-31 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merFöreläsning 5. Approximationsteori
Föreläsning 5 Approximationsteori Låt f vara en kontinuerlig funktion som vi vill approximera med en enklare funktion f(x) Vi kommer använda två olika approximationsmetoder: interpolation och minstrakvadratanpassning
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-06-07 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars
Läs merFöreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2010-05-31 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 8-8-8 DAG: Torsdag 8 aug 8 TID: 8.3 -.3 SAL: M Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merOrdinära differentialekvationer,
Sammanfattning metoder Ordinära differentialekvationer, del 2 Beräkningsvetenskap II n Eulers metod (Euler framåt, explicit Euler): y i+1 = y i + h i f (t i, y i ) n Euler bakåt (implicit Euler): y i+1
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 017-0-14 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-05-31 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, 010-06-07 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merTentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs
KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, 8.-11., Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg
Läs merOrdinära differentialekvationer,
(ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden
Läs merTANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.
Läs merLösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna
Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar
Läs mer0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(
Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-03-09 Del A 1. (a) För att anpassa ett polynom som går genom tre punkter behövs ett andragradspolynom. Newtons interpolationsansats ger f(x)
Läs merLösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna
Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Intro till vektorer, matriser och Gausselimination 8. Den euklidiska normen x = x 1 + x + x n och x 1 + x + ( ) x n = x 1 x x n 9. Vi ska
Läs merTentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL
Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merLösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen
Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-03-18 Del A 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen z (t) = f(t, z), där z(t) = x(t) y(t) u(t) v(t), f(t, z) = u(t) v(t) kx(t)/ ( x2 (t)
Läs merInterpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter
Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Några tillämpningar Animering rörelser, t.ex. i tecknad film Bilder färger resizing Grafik Diskret representation -> kontinuerlig 2 Interpolation
Läs merDenna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Standardform för randvärdesproblem
Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN8 09-03-30 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se! Repetition av FN7 (GNM kap 4, 6.3)! Bandmatrismetoden/Finita differensmetoden!
Läs mer2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Läs merTentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering
KTH Matematik Tentamen del SF5, 28-3-6, kl 8.-., Numeriska metoder och grundläggande programmering Namn:... Personnummer:... Program och årskurs:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången HT7-VT8
Läs merLösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5. hp, 14-6-4 Kursmål (förkortade), hur de täcks i uppgifterna och maximalt
Läs merFÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 16 januari Bordsnummer:
FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN Din tentamenskod (6 siffror): ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Personnummer: - Datum: 16 januari 2013 Kursens namn (inkl. grupp): Beräkningsvetenskap I (1TD393)
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merFMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum
Johan Helsing, 11 oktober 2018 FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Inlämningsuppgift 3 Sista dag för inlämning: onsdag den 5 december. Syfte: att träna på att hitta lösningar
Läs merIcke-linjära ekvationer
stefan@it.uu.se Eempel f ( ) = e + = 5 3 f ( ) = + + 5= f (, y) = cos( ) sin ( ) + y = Kan endast i undantagsfall lösas eakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar eller oändligt många
Läs merLABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering
SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med
Läs merFö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu
TANA21/22 HT2018 Fö4: Kondition och approximation Andrea Alessandro Ruggiu Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September 2018 1 Konditionstal Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September
Läs merDenna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Felfortplantning och kondition
Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN2 09-02-10 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se! Repetition av FN2! Felkalkyl (GNM kap 2)! Olinjära ekvationer (GNM kap 3)! Linjära
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
Läs merKurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer
Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Michael Hanke, Johan Karlander 2 april 2008 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller inom vetenskap och teknik
Läs merTMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
Läs merTentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F
Tentamen, del DN140 Numeriska metoder gk II för F Fredag 14 december 01 kl 14 17 Lösningar DEL : Inga hjälpmedel. Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys
Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys 160526 Del I: (1) (a) Heuns metod för numerisk lösning av differentialekvationer har noggrannhetsordning 2. Detta betyder att Felet avtar med
Läs merKTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup
KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag 2006-04-21 kl. 13 16 Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar
Läs mer2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:
1 Axel Ruhe NADA 10 mars 2005 2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: Dessa frågor är till hjälp vid inläsning av Linjär Algebra momenten i kursen. Hänvisningar till
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2016-03-16 Del A 1. (a) Beräkna lösningen Ù vid Ø = 03 till differentialekvationen
Läs merDenna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Runge-Kuttas metoder. Repetition av FN6 (GNM kap 6.
Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN7 09-03-23 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se! Repetition av FN6 (GNM kap 6.1G-2G)! Runge-Kuttas metoder ökad noggrannhet!
Läs merDN1212+DN1214+DN1215+DN1240+DN1241+DN1243 mfl Lördag , kl 9-12 Tentamen i Grundkurs i numeriska metoder Del 1 (av 2)
DN11 mfl. Namn:...Pnr:... DN11+DN11+DN115+DN10+DN11+DN1 mfl Lördag 01-0-0, kl 9-1 Tentamen i Grundkurs i numeriska metoder Del 1 (av ) Skrivtid tim. Inga hjälpmedel. Betygsgräns (inkl bonuspoäng) för betyg
Läs merLABORATION cos (3x 2 ) dx I =
SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför
Läs merNumeriska metoder för ODE: Teori
Numeriska metoder för ODE: Teori Målen för föreläsningen Stabilitet vid diskretisering av ODE med numeriska metoder Definition: Den analytiska lösningen till en ODE är begränsad. En numerisk metod för
Läs merNumeriska metoder för ODE: Teori
Numeriska metoder för ODE: Teori Vilka metoder har vi tagit upp? Euler framåt Euler bakåt Trapetsmetoden y k+ = y k + hf(t k, y k ), explicit y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ), implicit y k+ = y k + h (f(t
Läs merTeknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer
Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Eddie Wadbro 18 november, 2015 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (1 : 37)
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986, 0702-634722 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-10-17 Skrivtid: 8 00 11 00 (OBS!
Läs merNumerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393)
Tentamen i Beräkningsvetenskap I (TD9) Skrivtid: 6 januari kl 4 7 OBS! timmar! Hjälpmedel: Godkänd litteratur: Mathematics handbook, Physics handbook. Penna, suddgummi, miniräknare och linjal får användas.
Läs merFacit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Del A Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på
Läs merLinjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel
Ivar Gustavsson / Jan Södersten Matematiska vetenskaper Göteborg 6 november 9 Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 67, Extraexempel (M) efter uppgiftsnumret anger att MATLAB lämpligen används för att
Läs merDenna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6.
Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN6 09-03-17 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se Repetition av FN5 (GNM kap 6.1-2B) Differentialekvationer Standardform för begynnelsevärdesproblem
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merTeknisk beräkningsvetenskap I 5DV154
Institutionen för datavetenskap Umeå universitet 18 december 15 Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154 Deltentamen inkusive svar Tid: 9. 13. Hjälpmedel: Matlab. Maximalt antal poäng: 1 5 poäng är tillräckligt
Läs merBlock 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?
Block 5: Ickelineära ekvationer Löpsedel: Icke-lineära ekvationer Varför är det svårt att lösa ickelineära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod Noggrannhet/stoppvillkor
Läs merFel- och störningsanalys
Fel- och störningsanalys 1 Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis
Läs mer% Föreläsning 3 10/2. clear hold off. % Vi börjar med att titta på kommandot A\Y som löser AX=Y
% Föreläsning 3 10/2 clear % Vi börjar med att titta på kommandot A\Y som löser AX=Y % Åter till ekvationssystemen som vi avslutade föreläsning 1 med. % Uppgift 1.3 i övningsboken: A1=[ 1-2 1 ; 2-6 6 ;
Läs merLösningar tentamen i kurs 2D1210,
Lösningar tentamen i kurs 2D1210, 2003-04-26 1. Noggrannhetsordning p innebär att felet går mot noll minst så snabbt som h p då h 0. Taylorurveckling: y(x + h) =y(x)+hy (x)+ h2 2 y (x)+ h3 6 y (x)+...
Läs merDN1212 Numeriska Metoder och Grundläggande Programmering DN1214 Numeriska Metoder för S Lördag , kl 9-12
DN Numeriska Metoder och Grundläggande Programmering DN Numeriska Metoder för S Lördag 007--7, kl 9- Skrivtid tim Maximal poäng 5 + bonuspoäng från årets laborationer (max p) Betygsgänser: för betyg D:
Läs merFacit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1 Viktig information om övningstentamen Betygsgränserna är endast preliminära. Del B och del C behöver inte beröra samma problem som inlämningsuppgifterna.
Läs merTENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 218-5-28, kl 8-11 SF1547 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2 Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgräns
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Per Lötstedt, tel. 47 2986 Saleh Rezaeiravesh Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 206-0-4 Skrivtid: 4 00 7 00 (OBS!
Läs merTENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merBlock 1. 5 augusti 2003 Sammanfattning 1 (11) Teknisk databehandling DV1 vt Begrepp
5 augusti 23 Sammanfattning 1 (11) Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Besöksadress: MIC hus 2, Polacksbacken Lägerhyddsvgen 2 Postadress: Box 337 751 5 Uppsala Telefon: 18 471
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merFel- och störningsanalys
Fel- och störningsanalys Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis utan
Läs merTentamen i: Beräkningsvetenskap I och KF
Tentamen i: Beräkningsvetenskap I och KF Skrivtid: december 2014 kl 14 00 17 00 OBS! 3 timmar! Hjälpmedel: Penna, suddgummi, miniräknare och linjal får användas. Formler finns i bifogad formelsamling.
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merLaboration 1. Ekvationslösning
Laboration 1 Ekvationslösning Sista dag för bonuspoäng, se kursplanen. Kom väl förberedd och med välordnade papper till redovisningen. Numeriska resultat ska finnas noterade. Båda i laborationsgruppen
Läs merKonvergens för iterativa metoder
Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd
Läs merOH till Föreläsning 15, Numme K2, God programmeringsteknik
OH till Föreläsning 15, Numme K2, 180227 Hela boken & hela kursen! God programmeringsteknik Tänk efter före: - Definiera problemet (VAD skall göras?) - Bestäm algoritm (och lagrings-struktur) - Dela upp
Läs merELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 32 maj Bordsnummer: Kontrollera att du fått rätt tentamensuppgifter
FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN Din tentamenskod (6 siffror): ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Personnummer: - Datum: 32 maj 4711 Kursens namn (inkl. grupp): Beräkningsvetenskap I (1TD393 DEMO)
Läs merNUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden
NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett
Läs merCHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor
Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig
Läs merFacit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1 Viktig information om övningstentamen Betygsgränserna är endast preliminära. Del B och del C behöver inte beröra samma problem som inlämningsuppgifterna.
Läs merOH till Föreläsning 5, Numme K2, Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation, S Ch 3.1.0
OH till Föreläsning 5, Numme K2, 181119 S Ch 3-34, GNM Kap 4-44A / GKN Kap 41A,(D),E Interpolation x y 1900 3822 1910 3982 1920 4281 1930 4302 1940 4042 1950 3922 1960 3921 1970 3940 1980 3960 1990 3980
Läs merInterpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20
TANA09 Föreläsning 7 Interpolation Interpolationsproblemet. Introduktion. Polynominterpolation. Felanalys. Runges fenomen. Tillämpning. LED display. Splinefunktioner. Spline Interpolation. Ändpunktsvillkor.
Läs merAnteckningar Numeriska Metoder
Anteckningar Numeriska Metoder Freddie Agestam 13 januari 015 Innehåll 1 Frl 1 6 1.1 Praktisk information......................... 6 1. Varför numeriska metoder?..................... 6 1.3 Felanalys...............................
Läs merAnsvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet
FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merLinjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att
Läs merTENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merSammanfattning av föreläsning 11. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 12. Simulering. Föreläsning 12. Numeriska metoder och Simulering
Sammanfattning av föreläsning 11 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 12. Simulering Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Index för en DAE Antalet derivationer som behövs för att lösa ut ż
Läs mer