B. Kvadratkomplettering

Transkript

1 B.1 Minimum för kvadratiska funktioner Betrakta funktionen f ( x) x a (B.1.1) Om x och a är reella så gäller uenbarligen att f ( x) 0 för alla x. Minimivärdet 0 så fås för x a. Betrakta nu den mera allmänna kvadratiska funktionen g( x) x x q (B.1.) Vad blir dess minimum? Låt oss exandera f ( x) x ax a (B.1.3) Om q, så kan g skrivas i samma form som f med a. Om komlettera kvadraten enligt gx ( ) x x q x q q kan vi (B.1.4) B.1 Minimum för kvadratiska ekvationer B 1

2 I denna funktion så är q att sätta kvadratiska utrycket till 0, dvs Exemel. Funktionen en konstant oberoende av x, så minimum hittas genom x. Minimets värde blir g( x) x 4x 8 så har minimet Formeln för nollställen för en kvadratisk funktion hjäl av kvadratkomlettering enligt B.1.4, dvs gx ( ) 0 x q q. för 4 x g( x) x x q hittas enkelt med x q (B.1.5) B.1 Minimum för kvadratiska ekvationer B

3 av matrisfunktioner Man kan generalisera föregående till för matriser, betrakta den kvadratiska matrisfunktionen FX ( ) XY ZX Y K (B..1) där Z 0 (dvs ositiv definit). F är då minimal för X Y. För att hitta minimum för kvadratiska matrisfunktioner, så skall man skriva om den i ovanstående form, dvs kvadratkomlettera den. Exemel å när kvadratkomlettering finns i kaitlena 6.5., 6.5.3, och 7.4, då olika kvadratiska uttryck minimeras. Exemel. I kaitel så önskas minimering av följande: f f f f P( k k) ( IH ( k) C) P( k k 1)( IH ( k) C) H ( k) RvH ( k) (6.5.) Vi skall nu exandera denna av matrisfunktioner B 3

4 f f f f v f f P( k k) H ( k) CP( k k1) C H ( k) H ( k) R H ( k) H ( k) CP( k k1) P( k k1) C H ( k) P( k k1) och B..1 F( X) X ZXY ZXX ZYY ZYK, (B..) och sätter likhet mellan dessa, får vi X H f ( k), Z CP( k k1) C R v och Y ZP( k k 1) C Den otimala H f ( k) blir nu Y, som vi kan lösa ut från ovanstående, vilket ger 1 k k k k k Hf ( ) P( 1) C CP( 1) C R v (6.5.3) Vi noterar att även X ZY Hf ( k) CP ( k k1) är sant (då både Z och P ( k k 1) är symmetriska), samt att K P( k k1) Y ZY P( k k1) Hf( k) CP( k k1) C Rv Hf ( k) IH ( k) C P( k k1) f Detta K är minimivärdet för P ( k k), som ger oss (6.5.4).. av matrisfunktioner B 4

5 B.3 Minsta-kvadrat lösning för ekvationssystem En enkel tillämning å detta är minsta-kvadrat lösning av ekvationssystem. Betrakta nu det linjära ekvationssystemet Ax b (B.3.1) Om ekvationssystemet är under- eller överbestämt, så är ofta minsta-kvadrat lösningen intressant. I detta fall så minimerar man Ax b Ax b. (B.3.) Som exanderas enligt Ax b Ax b x A Ax b Ax x A b b b. Om vi nu sätter likhet mellan denna och F( X) X ZXY ZXX ZYY ZYK (B.3.3) får vi att X x, Z A A och ZY A b. Ur vilket vi kan lösa ut Y, som ju ger minimet x Y, och därmed fås minsta-kvadrat lösningen enligt 1 x A A A b (B.3.4) B.3 Minsta-kvadrat lösning för ekvationssystem B 5

6 Matrisen 1 A A A kallas för seudoinversen för A, som blir samma som 1 A ifall 1 A existerar. Detta motsvaras av att ekvationssystemet B.3.1 har en unik lösning. I Matlab så kan minsta-kvadrat lösningen å linjära ekvationssystem av tyen B.3. lösas å två alternativa sätt x=inv(a)*b; och x=a\b; I det första alternativet beräknas seudoinversen exlicit, i det andra så löses ekvationssystemet å ett effektivare sätt utan att beräkna seudoinversen. Den första är att föredra om man önskar lösa ekvationssystemet för flera olika b (i vilket fall x och b blir till matriser), eller om ekvationssystemet är illa-konditionerat, och en högre numerisk recision önskas (inv tar även en numerisk tolerans som otionellt argument). I kaitel 7.4 så minimerar vi ett uttryck 7.10 som ser ut som B.3., med A M U, b M x( k) Y, och x U k. Om man gör dessa substitutioner i B.3.4, så fås x B.3 Minsta-kvadrat lösning för ekvationssystem B 6