Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1

Transkript

1 Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1 Viktig information om övningstentamen Betygsgränserna är endast preliminära. Del B och del C behöver inte beröra samma problem som inlämningsuppgifterna. Glöm inte att ta med miniräknare på tentamen Formelsamling bifogas på separat blad På den riktiga tentamen lämnar ni svar i ett förtryckt svarshäfte, alltså inte på lösblad som det brukar vara vid tentamen. Svarshäftet är utformat så handskrivna svar får plats utan problem. Se svarshäftet för denna demotenta (sist i PDF:en).

2 Del A Uppgift 1: Integraler I ett dyrt vetenskapligt experiment har man mätt upp punkter enligt tabell. Omständigheterna under experimentet satte begränsningar för hur mätprecisionen blev i de olika mätpunkterna, samt vilka mätpunkter som kunde väljas. Ü (Ü) a: 2p Använd Trapetsformeln för att beräkna Ê 4 (Ü) Ü med steglängderna h=1 respektive h=2. 0 b: 1p Korrigera resultatet för steglängd h=1 med tredjedelsregeln ( Ì ( ) ). c: 2p Ange de olika steglängder för vilka du kan beräkna Ê 4 0 (Ü) Ü med hjälp av Simpsons formel (du behöver inte utföra beräkningarna). d: 1p Hur mycket har felet teoretiskt minskat för steglängd 1 i jämförelse med steglängd 4 i deluppgift a)? Uppgift 1a Formler: Ì ( ) = 2 ( (Ü 0) + 2 (Ü 1 ) (Ü Ò 1) + (Ü Ò )) h=1: , h=2: steglängd 2: 2/2*(1.11+2* ) = steglängd 1: 1/2*(1.11+2*1.71+2*2.22+2* ) = Uppgift 1b S(2) = Formler: Ì ( ) = Ì ( ) Ì (2 ) 3 Ì (2) = ( )/3 = S(2) = T(1) + Ì (1) = = (kontroll: S(1) = 1/3*( * * * ) = ) Uppgift 1c Uppgift 1d h=1, h=2. Det går inte med h=4 ty antalet mätvärden måste vara udda och minst tre till antalet. felet minskar kvadratiskt mot kvoten mellan steglängderna, så (4 1) 2 = 16 Uppgift 2: Newton-Raphson Här ska du visa att du kan tillämpa Newton-Raphsons metod på ekvationen Ü = Ü 2. a: 3p Ställ upp Newton-Raphsons metod för denna ekvation. b: 3p

3 Utför två iterationer utgående från Ü 0 = Uppgift 2a Uppgift 2b Ü +1 = Ü Ü (Ü ) 2 ( Ü 2Ü ) eller som pseudo-kod: f=@(x)(exp(x)-x*x) fp=@(x)(exp(x)-2*x) x=-0.75 while (...) x = x-f(x)/fp(x) end Ü 1 = Ü 2 = Ü 0 = Ü 1 = = Ü 2 = = eller mer detaljerat: x = >> fx = exp(x) - x^2 fx = >> fprimx = exp(x) - 2*x fprimx = >> x = x - fx/fprimx x = >> fx = exp(x) - x^2 fx = >> fprimx = exp(x) - 2*x fprimx = >> x = x - fx/fprimx x = Uppgift 3: LU-faktorisering Att lösa ett ekvationssystem Ü = med ÄÍ-faktorisering innebär att genomföra följande tre steg: (1) ÄÍ-faktorisera, ger matriserna Ä, Í och È ; (2) Lös Ä = È ; (3) Lös ÍÜ =. (Om ytterligare system ska lösas, där alla systemen har samma koefficientmatris, så behöver man inte upprepa steg (1)). a: 3p Om systemet har Ò ekvationer och lika många obekanta, vad blir då storleksordningen på antalet flyttalsoperationer i respektive steg ovan. (Det räcker med svar utan motivering.) b: 3p Beskriv stegen i den algoritm som används i steg (3). Beskrivningen ska vara tydlig och detaljerad. Du kan välja att göra beskrivningen i ord eller som pseudokod.

4 Uppgift 3a Uppgift 3b Steg 1: Ç(Ò 3 ); Steg 2 och 3: Ç(Ò 2 ) x = zeros(n,1) ; x(n) = d(n)/u(n,n) ; for i = n-1:-1:1 x(i) = (d(i)-u(i,i+1:n)*x(i+1:n))/u(i,i) ; end Uppgift 4: Talrepresentation Ett talsystem definieras av Ô Ä Í = Skriv på normaliserad form (med mantissa, bas, exponent). a: 2p Ange det största möjliga talet. b: 2p Ange det negativa tal som är närmast 0. Uppgift 4a Uppgift 4b

5 Del B Uppgift 5: 6p Newton s Mill Dammen vid Newton s Mill är fylld med vatten upp till nivån fot. Låt Ý vara den koordinat som går från dammens botten, Ý = 0, och uppåt. Dammen är vattenfylld upp till Ý =. Dammens bredd på nivå Ý är Û(Ý). Vattnet i dammen utövar ett så kallat hydrostatiskt tryck på fördämningen. Vi betecknar det hydrostatiska trycket med ( ): ( ) = Ô ( 0 Ý) Û(Ý) Ý där Ô = 62 5 lb/ft 3. Beräkningen av det hydrostatiska trycket måste baseras på de givna mätvärdena, eftersom de är den enda tillgängliga informationen om Û(Ý). Det finns mätvärden på Û för Ñ stycken punkter i Ý-led, Ý 1 = 0, Ý 2,, Ý Ñ 1, Ý Ñ =. Föreslå ett sätt att beräkna det hydrostatiska trycket numeriskt om mätpunkterna Ý 2, Ý 3,, Ý Ñ 1 är oregelbundet utspridda i intervallet mellan Ý 1 = 0 och Ý Ñ =. Uppgift 5 ( ) È Ò 1 =0 (Ý +1 Ý ) ( (Ý +1 ) + (Ý )) 2, där (Ý) = Ô( Ý)Û(Ý) Ovanstående approximation av ( ) fås genom att vi tillämpar trapetsformeln på vart och ett av delintervallen [Ý 0 Ý 1 ], [Ý 1 Ý 2 ], [Ý Ò 1 Ý Ò och sedan summerar resultaten. Trapetsformeln tillämpad på delintervallet [Ý Ý +1 ] ger approximationen Ê Ý +1 Ý (Ý)dy (Ý +1 Ý ) ( (Ý +1 ) + (Ý )) 2 Uppgift 6: Kondition Sant eller falskt (med motivering): a: 2p Man kan förbättra konditionen hos ett problem genom att öka precisionen i sina beräkningar. b: 2p Om man använder pivotering vid lösning av ekvationssystem förbättras konditionstalet. c: 2p Om man använder pivotering vid lösning av ekvationssystem förbättras noggrannheten. Uppgift 6a Uppgift 6b Nej. Konditionstalet till koefficientmatrisen A är en egenskap hos den matrisen och den egenskapen påverkas inte av vilken noggrannhet vi använder i gausselimineringen eller av om vi använder pivotering eller ej. Nej. Konditionstalet till koefficientmatrisen A är en egenskap hos den matrisen och den egenskapen påverkas inte av vilken noggrannhet vi använder i gausselimineringen eller av om vi använder pivotering eller ej. Uppgift 6c Ja. Pivoteringen gör att alla beräkningar sker på samma skala, så fel inte förstärks.

6 Del C Uppgift 7: 6p Newton s Mill, renovering Dammen vid Newton s Mill är i behov av renovering. Du ingår i en projektgrupp som ansvarar för detta. Tanken är att förstärka dammens väggar. Detta kommer att göras på så vis att dammen får en mycket regelbunden form, så att bredden Û(Ý) ges av formeln Û(Ý) = (0 01Ý)2 fot För att bedöma hur fördämningen ska dimensioneras ur säkerhetssynpunkt vill ni i projektgruppen beräkna hur stort det hydrostatiska trycket kommer att bli när dammen fått sin nya, regelbundna form. Detta beror i sin tur på vattennivån i dammen, som varierar under året. Vattennivån kan vara mycket låg under sensommaren, medan den under våren kommer upp till nära 100 fot. Projektgruppen använder Simpsons formel för att beräkna ( ) för ett givet värde på. Exekveringstiden för detta blir Ì sekunder när toleransen sätts så att ( ) beräknas med ca fyra korrekta decimaler. Antag att projektgruppen skulle ha valt att nöja sig med två korrekta decimalers noggrannhet istället för fyra. Hur skulle det ha påverkat exekveringstiden för beräkningarna? Ledning: För att svara på frågan behöver man reda ut sambandet mellan exekveringstid, steglängd och noggrannhet. Din diskussion bedöms efter hur stringent den är: välunderbyggda argument, precision och detaljrikedom ger högre poäng, medan svepande omdömen utan underbyggnad ger låg eller ingen poäng. Uppgift 7 Låt Ø beteckna exekveringstiden för beräkning av ( ) med steglängd. Antalet indelningspunkter: + 1; nedan använder vi att detta är ca. Formel för Ø: Ø ( )Ø, där Ø är exekveringstiden per beräkning av integranden (Ý). Vi antar här att funktionsberäkningen står för den dominerande delen av exekveringstiden, och bortser därför från övriga operationer i Simpsons formel. Vidare vet vi om diskretiseringsfelet ( ) i Simpsons formel att: ( ) 4 Om vi sätter toleransen till korrekta decimaler och samtidigt vill göra så snabb beräkning som möjligt, så gäller det att välja så att ( ) Detta ger i kombination med formeln för ( ) ovan att De samband som vi kommit fram till ovan kan användas för att besvara frågan i uppgiften: Låt 4 beteckna den steglängd som krävdes för fyra korrekta decimaler. Vi kan då dra slutsatsen att Vi söker nu 2, den steglängd som skulle räcka för två korrekta decimaler. Vi vill alltså ha: ( 2 ) Genom att utnyttja formeln för ( 2 ) och formeln för får vi att , vilket ger att 2 Ô Med toleransen fyra korrekta decimaler fick vi exekveringstiden Ì, som enligt formeln för Ø ovan är: Ì ( 4 )Ø. Låt Ø 2 beteckna exekveringstiden då toleransen är två korrekta decimaler. Vi kan nu dra slutsatsen att: Ø 2 ( 2 )Ø ( ( Ô 10 4 ))Ø Ì Ô 10