MVE235 Matematisk orientering. Matematisk optimering en introduktion till ämnet och verksamhet vid MV

Transkript

1 MVE235 Matematisk orientering Matematisk optimering en introduktion till ämnet och verksamhet vid MV biträdande professor i matematisk optimering

2 Översikt Historia Tillämpningar 1 : bakgrund, definition, tillämpningar Historia Tillämpningar 2 Matematik i optimeringsmodeller optimering 3 vid Chalmers/GU Kurser i optimering vid MV Examensarbeten vid Chalmers/GU inom optimering Forskningsprojekt vid Chalmers/GU inom optimering

3 Några nedslag i historien Historia Tillämpningar Euler (1735): De sju broarna i Köningsberg (grafteori)

4 Några nedslag i historien Historia Tillämpningar Euler (1735): De sju broarna i Köningsberg (grafteori) Gauss ( ): Första optimeringstekniken, brantaste lutnings-algoritmen

5 Några nedslag i historien Historia Tillämpningar Euler (1735): De sju broarna i Köningsberg (grafteori) Gauss ( ): Första optimeringstekniken, brantaste lutnings-algoritmen W.R. Hamilton(1857): icosian game Handelsresandeproblemet (Hamiltoncykel)

6 Några nedslag i historien Historia Tillämpningar Euler (1735): De sju broarna i Köningsberg (grafteori) Gauss ( ): Första optimeringstekniken, brantaste lutnings-algoritmen W.R. Hamilton(1857): icosian game Handelsresandeproblemet (Hamiltoncykel) L.V. Kantorovich (1939): En linjär modell för optimering av plywood-tillverkning och en algoritm för att lösa den

7 Några nedslag i historien Historia Tillämpningar Euler (1735): De sju broarna i Köningsberg (grafteori) Gauss ( ): Första optimeringstekniken, brantaste lutnings-algoritmen W.R. Hamilton(1857): icosian game Handelsresandeproblemet (Hamiltoncykel) L.V. Kantorovich (1939): En linjär modell för optimering av plywood-tillverkning och en algoritm för att lösa den George B. Dantzig (1947): programmering simplexalgoritmen (exponentiell tid) Program militära tränings- och logistikscheman

8 Några nedslag i historien Historia Tillämpningar Euler (1735): De sju broarna i Köningsberg (grafteori) Gauss ( ): Första optimeringstekniken, brantaste lutnings-algoritmen W.R. Hamilton(1857): icosian game Handelsresandeproblemet (Hamiltoncykel) L.V. Kantorovich (1939): En linjär modell för optimering av plywood-tillverkning och en algoritm för att lösa den George B. Dantzig (1947): programmering simplexalgoritmen (exponentiell tid) Program militära tränings- och logistikscheman Kantorovich och Koopmans (1975): Ekonomipriset till Alfred Nobels minne

9 Några nedslag i historien Historia Tillämpningar Euler (1735): De sju broarna i Köningsberg (grafteori) Gauss ( ): Första optimeringstekniken, brantaste lutnings-algoritmen W.R. Hamilton(1857): icosian game Handelsresandeproblemet (Hamiltoncykel) L.V. Kantorovich (1939): En linjär modell för optimering av plywood-tillverkning och en algoritm för att lösa den George B. Dantzig (1947): programmering simplexalgoritmen (exponentiell tid) Program militära tränings- och logistikscheman Kantorovich och Koopmans (1975): Ekonomipriset till Alfred Nobels minne N. Karmarkar (1984) algoritm för linjärprogrammering (polyniomisk tid)

10 Historia Tillämpningar : Gör något så bra som möjligt

11 Historia Tillämpningar : Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns?

12 Historia Tillämpningar : Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? { 1 om kund j besöks direkt efter kund i x ij = 0 annars

13 Historia Tillämpningar : Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? { 1 om kund j besöks direkt efter kund i x ij = 0 annars Möjligt Vad begränsar?

14 Historia Tillämpningar : Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? { 1 om kund j besöks direkt efter kund i x ij = 0 annars Möjligt Vad begränsar? Varje kund ska besökas exakt en gång

15 Historia Tillämpningar : Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? { 1 om kund j besöks direkt efter kund i x ij = 0 annars Möjligt Vad begränsar? Varje kund ska besökas exakt en gång Bra Vad är ett relevant mål för optimeringen?

16 Historia Tillämpningar : Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? { 1 om kund j besöks direkt efter kund i x ij = 0 annars Möjligt Vad begränsar? Varje kund ska besökas exakt en gång Bra Vad är ett relevant mål för optimeringen? Minimera totala sträckan / restider / utsläpp / väntetider /...

17 Historia Tillämpningar : Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? { 1 om kund j besöks direkt efter kund i x ij = 0 annars Möjligt Vad begränsar? Varje kund ska besökas exakt en gång Bra Vad är ett relevant mål för optimeringen? Minimera totala sträckan / restider / utsläpp / väntetider /... Det klassiska handelsresandeproblemet

18 Historia Tillämpningar : Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? { 1 om kund j besöks direkt efter kund i x ij = { 0 annars 1 om kund i besöks av fordon k y ik = 0 annars Möjligt Vad begränsar? Varje kund ska besökas exakt en gång Tidsfönster, transportbehov, lastkapacitet, hämta hos en kund lämna hos en annan,... Bra Vad är ett relevant mål för optimeringen? Minimera totala sträckan / restider / utsläpp / väntetider /... Det klassiska handelsresandeproblemet Varianter av ruttplaneringsproblem: skolskjuts, hybridfordon, självkörande taxibilar,...

19 Exempel på tillämpningsområden Historia Tillämpningar Logistik: produktion och transport Optimera rutter för godstransporter, snöröjning, skolbussar,... Planera skogsavverkning och -transporter Packning av containrar Produktionsplanering, schemaläggning Minimera cykeltid i robotstationer (bilindustri) Planera underhåll av maskiner, fordon, infrastruktur,...

20 Exempel på tillämpningsområden Historia Tillämpningar Logistik: produktion och transport Optimera rutter för godstransporter, snöröjning, skolbussar,... Planera skogsavverkning och -transporter Packning av containrar Produktionsplanering, schemaläggning Minimera cykeltid i robotstationer (bilindustri) Planera underhåll av maskiner, fordon, infrastruktur,... Energi Integrera variabel elproduktion (sol och vind) i elsystemet Investering i (utveckling av) tekniker för energiproduktion Lokalisering av kraftverk och infrastruktur

21 Exempel på tillämpningsområden Historia Tillämpningar Logistik: produktion och transport Optimera rutter för godstransporter, snöröjning, skolbussar,... Planera skogsavverkning och -transporter Packning av containrar Produktionsplanering, schemaläggning Minimera cykeltid i robotstationer (bilindustri) Planera underhåll av maskiner, fordon, infrastruktur,... Energi Integrera variabel elproduktion (sol och vind) i elsystemet Investering i (utveckling av) tekniker för energiproduktion Lokalisering av kraftverk och infrastruktur Finans Finansiell riskhantering Portföljoptimering Investeringsplanering

22 Exempel på tillämpningsområden Historia Tillämpningar Logistik: produktion och transport Optimera rutter för godstransporter, snöröjning, skolbussar,... Planera skogsavverkning och -transporter Packning av containrar Produktionsplanering, schemaläggning Minimera cykeltid i robotstationer (bilindustri) Planera underhåll av maskiner, fordon, infrastruktur,... Energi Integrera variabel elproduktion (sol och vind) i elsystemet Investering i (utveckling av) tekniker för energiproduktion Lokalisering av kraftverk och infrastruktur Finans Finansiell riskhantering Portföljoptimering Investeringsplanering Medicin Beräkna strålriktningar och -intensiteter vid cancerbehandling Rekonstruera bilder från röntgenmätningar

23 Översikt 1 : bakgrund, definition, tillämpningar Historia Tillämpningar 2 Matematik i optimeringsmodeller optimering 3 vid Chalmers/GU Kurser i optimering vid MV Examensarbeten vid Chalmers/GU inom optimering Forskningsprojekt vid Chalmers/GU inom optimering

24 optimering ett exempel En chokladfabrik ska tillverka två produkter vita moln och mörka drömmar under nästkommande vecka

25 optimering ett exempel En chokladfabrik ska tillverka två produkter vita moln och mörka drömmar under nästkommande vecka Introduktionserbjudande för vita moln: vinsten per såld bit av vita moln är hälften av den för mörka drömmar

26 optimering ett exempel En chokladfabrik ska tillverka två produkter vita moln och mörka drömmar under nästkommande vecka Introduktionserbjudande för vita moln: vinsten per såld bit av vita moln är hälften av den för mörka drömmar Endast en av produkterna kan tillverkas vid samma tillfälle och de två produkterna has samma produktionstakt (# tillverkade bitar/tidsenhet)

27 optimering ett exempel En chokladfabrik ska tillverka två produkter vita moln och mörka drömmar under nästkommande vecka Introduktionserbjudande för vita moln: vinsten per såld bit av vita moln är hälften av den för mörka drömmar Endast en av produkterna kan tillverkas vid samma tillfälle och de två produkterna has samma produktionstakt (# tillverkade bitar/tidsenhet) Marknadsavdelningen: maximalt 75% av veckans tillgängliga produktionstimmar får användas till mörka drömmar Inköpsavdelningen: maximalt 10 ton glukos finns att tillgå

28 optimering ett exempel En chokladfabrik ska tillverka två produkter vita moln och mörka drömmar under nästkommande vecka Introduktionserbjudande för vita moln: vinsten per såld bit av vita moln är hälften av den för mörka drömmar Endast en av produkterna kan tillverkas vid samma tillfälle och de två produkterna has samma produktionstakt (# tillverkade bitar/tidsenhet) Marknadsavdelningen: maximalt 75% av veckans tillgängliga produktionstimmar får användas till mörka drömmar Inköpsavdelningen: maximalt 10 ton glukos finns att tillgå En veckas produktion av mörka drömmar kräver 8 ton glukos En veckas produktion av vita moln kräver 13 ton glukos

29 optimering ett exempel En chokladfabrik ska tillverka två produkter vita moln och mörka drömmar under nästkommande vecka Introduktionserbjudande för vita moln: vinsten per såld bit av vita moln är hälften av den för mörka drömmar Endast en av produkterna kan tillverkas vid samma tillfälle och de två produkterna has samma produktionstakt (# tillverkade bitar/tidsenhet) Marknadsavdelningen: maximalt 75% av veckans tillgängliga produktionstimmar får användas till mörka drömmar Inköpsavdelningen: maximalt 10 ton glukos finns att tillgå En veckas produktion av mörka drömmar kräver 8 ton glukos En veckas produktion av vita moln kräver 13 ton glukos Hur ska produktionen planeras för att vinsten ska bli så stor som möjligt?

30 optimering ett exempel En chokladfabrik ska tillverka två produkter vita moln och mörka drömmar under nästkommande vecka Introduktionserbjudande för vita moln: vinsten per såld bit av vita moln är hälften av den för mörka drömmar Endast en av produkterna kan tillverkas vid samma tillfälle och de två produkterna has samma produktionstakt (# tillverkade bitar/tidsenhet) Marknadsavdelningen: maximalt 75% av veckans tillgängliga produktionstimmar får användas till mörka drömmar Inköpsavdelningen: maximalt 10 ton glukos finns att tillgå En veckas produktion av mörka drömmar kräver 8 ton glukos En veckas produktion av vita moln kräver 13 ton glukos Hur ska produktionen planeras för att vinsten ska bli så stor som möjligt? Hur många av veckans 50 produktionstimmar ska användas för tillverkning av mörka drömmar respektive vita moln?

31 Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? Möjligt Vad begränsar? Bra Vad är målet för optimeringen?

32 Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? x 1 = antal timmar som används för att tillverka mörka drömmar x 2 = antal timmar som används för att tillverka vita moln Möjligt Vad begränsar? Bra Vad är målet för optimeringen?

33 Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? x 1 = antal timmar som används för att tillverka mörka drömmar x 2 = antal timmar som används för att tillverka vita moln Möjligt Vad begränsar? Endast en produkt vid samma tillfälle. Totalt 50 timmar. Maximalt 75% av tillgänglig tid till mörka drömmar Maximalt 10 ton glukos Bra Vad är målet för optimeringen?

34 Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? x 1 = antal timmar som används för att tillverka mörka drömmar x 2 = antal timmar som används för att tillverka vita moln Möjligt Vad begränsar? Endast en produkt vid samma tillfälle. Totalt 50 timmar. x 1 +x 2 50 Maximalt 75% av tillgänglig tid till mörka drömmar Maximalt 10 ton glukos Bra Vad är målet för optimeringen?

35 Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? x 1 = antal timmar som används för att tillverka mörka drömmar x 2 = antal timmar som används för att tillverka vita moln Möjligt Vad begränsar? Endast en produkt vid samma tillfälle. Totalt 50 timmar. x 1 +x 2 50 Maximalt 75% av tillgänglig tid till mörka drömmar x = 37.5 Maximalt 10 ton glukos Bra Vad är målet för optimeringen?

36 Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? x 1 = antal timmar som används för att tillverka mörka drömmar x 2 = antal timmar som används för att tillverka vita moln Möjligt Vad begränsar? Endast en produkt vid samma tillfälle. Totalt 50 timmar. x 1 +x 2 50 Maximalt 75% av tillgänglig tid till mörka drömmar x = 37.5 Maximalt 10 ton glukos 8 x x x 1 +13x Bra Vad är målet för optimeringen?

37 Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? x 1 = antal timmar som används för att tillverka mörka drömmar x 2 = antal timmar som används för att tillverka vita moln Möjligt Vad begränsar? Endast en produkt vid samma tillfälle. Totalt 50 timmar. x 1 +x 2 50 Maximalt 75% av tillgänglig tid till mörka drömmar x = 37.5 Maximalt 10 ton glukos 8 x x x 1 +13x Bra Vad är målet för optimeringen? Maximera vinsten

38 Gör något så bra som möjligt Något Vilka beslutsalternativ finns? x 1 = antal timmar som används för att tillverka mörka drömmar x 2 = antal timmar som används för att tillverka vita moln Möjligt Vad begränsar? Endast en produkt vid samma tillfälle. Totalt 50 timmar. x 1 +x 2 50 Maximalt 75% av tillgänglig tid till mörka drömmar x = 37.5 Maximalt 10 ton glukos 8 x x x 1 +13x Bra Vad är målet för optimeringen? Maximera vinsten 2x 1 +x 2 max

39 Grafisk lösning x 2 50 x 1 +x 2 50 x x 1 +13x x 1 Bivillkor: linjära olikheter

40 Grafisk lösning x 2 50 x 1 +x 2 50 x x 1 +13x x 1 Bivillkor: linjära olikheter Antalet timmar får inte vara negativt

41 Grafisk lösning x 2 Tillåten mängd x 1 Bivillkor: linjära olikheter Antalet timmar får inte vara negativt: x 1 0, x 2 0

42 Grafisk lösning x x 1 z = 0 z = 50 z = 87.5 Bivillkor: linjära olikheter Antalet timmar får inte vara negativt: x 1 0, x 2 0 Maximera målfunktionen: z = 2x 1 +x 2

43 Grafisk lösning x 2 50 x = (37.5,12.5), z = x 1 z = 0 z = 50 z = 87.5 Bivillkor: linjära olikheter Antalet timmar får inte vara negativt: x 1 0, x 2 0 Maximera målfunktionen: z = 2x 1 +x 2 Mörka drömmar: 37.5 timmar. Vita moln: 12.5 timmar.

44 Lösningsmetod? x x 1 Antalet tillåtna punkter är oändligt...

45 Lösningsmetod? x x 1 Antalet tillåtna punkter är oändligt... a samband optimallösning i minst en extrempunkt

46 Lösningsmetod? x x 1 Antalet tillåtna punkter är oändligt... a samband optimallösning i minst en extrempunkt Metod-idé: leta bland extrempunkterna

47 Lösningsmetod? x 2 x 1 Antalet tillåtna punkter är oändligt... a samband optimallösning i minst en extrempunkt Metod-idé: leta bland extrempunkterna Simplexmetoden (G.B. Dantzig, 1947)

48 Lösningsmetod? x 2 x 2 x 1 x 1 Antalet tillåtna punkter är oändligt... a samband optimallösning i minst en extrempunkt Metod-idé: leta bland extrempunkterna Simplexmetoden (G.B. Dantzig, 1947) Vandra mellan närliggande extrempunkter

49 Lösningsmetod? x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 Antalet tillåtna punkter är oändligt... a samband optimallösning i minst en extrempunkt Metod-idé: leta bland extrempunkterna Simplexmetoden (G.B. Dantzig, 1947) Vandra mellan närliggande extrempunkter Marginalförbättring: Varje ny extrempunkt har ett bättre målfunktionsvärde än den förra

50 Lösningsmetod? x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 Antalet tillåtna punkter är oändligt... a samband optimallösning i minst en extrempunkt Metod-idé: leta bland extrempunkterna Simplexmetoden (G.B. Dantzig, 1947) Vandra mellan närliggande extrempunkter Marginalförbättring: Varje ny extrempunkt har ett bättre målfunktionsvärde än den förra Stannar i extrempunkten med bästa möjliga målfunktionsvärde

51 Handelsresandeproblemet (travelling salesperson problem, TSP) n städer och förbindelser mellan alla städer (avstånd på varje förbindelse) Finn den kortaste tur som passerar alla städer

52 Handelsresandeproblemet (travelling salesperson problem, TSP) n städer och förbindelser mellan alla städer (avstånd på varje förbindelse) Finn den kortaste tur som passerar alla städer Väldigt lätt att beskriva och förstå men väldigt svårt att lösa (kombinatorisk explosion)

53 Utveckling av TSP-lösningar Optimala lösningar till TSP av olika storlekar som hittats år n =

54 Världsrekord i TSP-lösning (2004) Ett TSP med städer/orter/byar i Sverige Optimal tur: km ( TSP LIB units)

55 Världsrekord i TSP-lösning (2004) Ett TSP med städer/orter/byar i Sverige Optimal tur: km ( TSP LIB units) Turen med längd hittades i mars 2003 (Lin Kernighans TSP-heuristik)

56 Världsrekord i TSP-lösning (2004) Ett TSP med städer/orter/byar i Sverige Optimal tur: km ( TSP LIB units) Turen med längd hittades i mars 2003 (Lin Kernighans TSP-heuristik) Bevisades i maj 2004 att ingen kortare tur existerar De slutliga stegen som förbättrade den undre gränsen från upp till krävde 8 års beräkningstid (parallella beräkningar på ett nätverk av Linux-arbetsstationer)

57 Världsrekord i TSP-lösning (2004) Ett TSP med städer/orter/byar i Sverige Optimal tur: km ( TSP LIB units) Turen med längd hittades i mars 2003 (Lin Kernighans TSP-heuristik) Bevisades i maj 2004 att ingen kortare tur existerar De slutliga stegen som förbättrade den undre gränsen från upp till krävde 8 års beräkningstid (parallella beräkningar på ett nätverk av Linux-arbetsstationer) Without knowledge of the tour we would not have made the decision to carry out this final computation

58 Översikt Kurser Exjobb Projekt 1 : bakgrund, definition, tillämpningar Historia Tillämpningar 2 Matematik i optimeringsmodeller optimering 3 vid Chalmers/GU Kurser i optimering vid MV Examensarbeten vid Chalmers/GU inom optimering Forskningsprojekt vid Chalmers/GU inom optimering

59 Kurser i optimering vid MV Kurser Exjobb Projekt Grundkurser (ges på engelska) MVE165 och heltalsoptimering med tillämpningar, LP4, år 2 TMA947 Olinjär optimering, LP1, år 3 Fortsättningskurser (MSc) TMA521 Large-scale optimization, LP2 (vartannat år; 2019, 2021) MVE065 Topics in engineering mathematics

60 Kurser Exjobb Projekt Några masterexamensarbeten inom optimering Volvo Group Trucks Technology: Vehicle routing problems with many available vehicle types Optimization of routes for a fleet of plug-in hybrid vehicles Volvo Car Corporation, Göteborg: Dispatching fleets of shared autonomous vehicles Consid AB & Department of Architechture and Civil Engineering: Minimizing space heating and cost when retrofitting building blocks Aviolinx, Stockholm: Tail assignment for single and mixed aircraft fleets Statistics Sweden (SCB), Örebro: Approaches to cell suppression in statistical tables SKF, Göteborg: Returnable packaging distribution Production scheduling

61 Kurser Exjobb Projekt Några forskningssamarbeten/doktorandprojekt inom optimering Fraunhofer-Chalmers Research Centre for Industrial Mathematics: Kopplade kombinatoriska och geometriska optimeringsproblem inom fordonsproduktionsindustrin research.chalmers.se/en/project/8334 Department of Space, Earth and Environment, Chalmers: Matematisk modellering av storskalig integration av variabel elproduktion Saab AB, Linköping: research.chalmers.se/en/project/6559 Effektbaserad underhållsplanering och support för flygsystem research.chalmers.se/en/project/8332

62 Kurser Exjobb Projekt Några forskningssamarbeten/doktorandprojekt inom optimering GKN Aerospace Sweden, Trollhättan: Produktionsplanering genom optimal schemaläggning av en multi-taskproduktionscell research.chalmers.se/en/project/6813 Taktisk resursallokering för effektivt kapacitetsutnyttjande research.chalmers.se/en/project/8333 Volvo Group Trucks Technology & Department of Mechanics and Maritime Sciences, Chalmers: Bränslebesparing med hjälp av däcksenergiförlustoptimering research.chalmers.se/en/project/6001 Department of Electrical Engineering, Chalmers: Matematiska optimeringsmodeller och metoder för integrerad produktion och tillståndsbaserat underhåll inom vindkraft research.chalmers.se/en/project/5889

63 Tack Kurser Exjobb Projekt