Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv. Alldeles innan studsen vet man att hastigheten är riktad
|
|
- Fredrik Jonasson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 KOMIHÅG 6: Momentlag Tröghetsmoment Föreläsnng 7: Impulslag Rörelsemängden defneras som en vektor: p = mv Newtons 2:a lag kan då skrvas som p = F Om den är sann, så är det också sant att: t 2 t 2 " p dt = " F dt t 1 t 1 -Vänsterledet kan räknas ut formellt tll en rörelsemängdsändrng "p = p ( t 2 ) # p ( t 1 ) -Högerledet får bl en ny storhet Defnton: Kraftens mpuls: I = t 2 " t 1 F dt Slutlgen har v härlett en ny lag ur Newtons 2:a lag, den så kallade mpulslagen (eller mpulsekvatonen): "p = I Med ord: Kraftens mpuls orsakar en ändrng av partkelns rörelsemängd så att ändrngen är lka stor som mpulsen Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv Alldeles nnan studsen vet man att hastgheten är rktad
2 2 neråt med storleken v 0, och att alldeles efter studsen är bollens hastghet v 1 rktad uppåt Ändrng rörelsemängd på grund av studsen är således m( v 1 + v 0 ), räknat postv uppåt Enlgt mpulslagen är stötkraftens mpuls ( I) lka stor som rörelsemängdsändrngen, dvs I = m( v 1 + v 0 ) TILLÄMPNING PÅ STÖTAR Allmän beskrvnng: Mellan två partklar m 1 och m 2 kontakt med varandra uppstår två motrktade normalkrafter (Newtons 3:e lag) Summan av dessa krafter är noll! Summan av krafternas (tdsntegraler) mpulser är lkaså noll!! Konsekvensen är att summan av partklarnas rörelsemängder nte ändras Matematsk beskrvnng: Om nga andra krafter än normalkrafterna är vktga ger mpulslagen för första partkeln: "p 1 = I, där I är mpulsen av normalkraften verkande på partkel m 1 På samma sätt för partkel m 2 : "p 2 = #I, ty dess normalkraft är motrktad! Summerng av dessa två mulslagar ger: "( p 1 + p 2 ) = 0 Stötlag: "( p 1 + p 2 ) = 0,
3 3 dvs den totala rörelsemängden bevaras vd stötar (eller explosoner) Stötar sker under kort td och normalkrafterna blr mycket större än tyngdkrafter och annat Bara normalkrafternas mpulser (ntegraler) blr vktga då Problem 2: En projektl med massan 75 gram har hastgheten 600 m/s när den träffar och fastnar ett 50- klos block Blocket befnner sg vla före träffen Beräkna förlusten av rörelseenerg på grund av träffen Lösnng: På grund av att kraftpåverkan mellan projektl och block är ömsesdg ändras nte totala rörelsemängden före: efter: mv = mv + Mv, dvs sluthastgheten blr m v = m + M v 0 Om v jämför knetska energer före och efter som en kvot, erhålls T e T f = 1 ( 2 m + M )v mv 2 0 = m m + M =0015
4 4 Problem: En godsvagn A som väger 30 Mg (ton) rör sg på ett horsontellt spår med farten 3 km/h En annan godsvagn B med massan 20 Mg ges farten 5 km/h så att den kommer fatt och kan kopplas hop med A på spåret Bestäm den gemensamma farten för vagnarna efter kopplngen Bestäm även den energförlust som kopplngen nnebär Lösnng: I detta problem bevaras totala rörelsemängden (stötlagen): före: efter: v A + m B v B = ( + m B )v, dvs v = m v + m v A A B B + m B Energförlusten: T f " T e = 1 2 m # m A 1" A & % ( v 2 A + 1 $ + m B ' 2 m # m B 1" B & 2 % ( v B $ + m B ' " m B v A v B + m B = 1 2 = 1 2 m B + m B m B + m B ( v 2 A + v 2 B " 2v A v B ) ( v A " v B ) 2
5 5 KOMIHÅG 7: Kraftens mpuls I = t 2 " F dt Impulsekvatonen "p = I Stötlag: "( p 1 + p 2 ) = 0 t Föreläsnng 8: CENTRALA STÖTAR mellan föremål Om de kollderande kropparnas masscentra lgger på kontaktytans normallnje (stötnormal) sägs stöten vara central RAK STÖT: före vd stöten Om kropparna nte roterar och deras hastgheter är parallella med stötnormalen är stöten rak Det behövs bara en koordnataxel SNED STÖT: Om stöten nte är rak, är den sned
6 6 - Stötar utan energförlust: Tänk på perfekta gummbollar, men stålkulor är nog bättre Kropparna möts och separerar Antag att mötes(kollsons)farten och separatonsfarten är lka men motrktade Problem: Betrakta en dealsk rak, central elastsk stöt, där en partkel nfaller med farten v mot en annan stllastående partkel ute rymden Efter stöt antas att den högra partkeln avlägsnar sg från den nfallande partkeln med samma fart v Bestäm den vänstra partkelns fart efter stöt och energförlusten stöten Lösnng: Stöten beskrvs fullständgt av stötlagen: "( p 1 + p 2 ) = 0 # m 1 v + 0 = m 1 u + m 2 ( u + v) V löser först ut u: u = m 1 " m 2 m 1 + m 2 v Därefter räknar v ut energer före och efter stöten Före: T före = m 1 2 v 2 Efter: T efter = m 1 2 u2 + m # 2 v m 2 1 m 1 " m % 2 $ % ( m 1 + m 2 ) 2 ( u + v) 2 = ( ) 2 + m 2 ( 2m 1 ) 2 & ( '( = m 1 2 v 2
7 7 Slutsats: För stötar utan energförluster gäller att separatonshastgheten (längs stötnormalen) är lka stor som kollsonshastgheten - Dessa stötar kallas fullständgt elastska Om man väljer en av partklarna som referenspartkel kan man entydgt defnera: Kollsonshastghet: Den relatva hastgheten för den nkommande partkeln (mot referenspartkeln) före stöt Separatonshastghet: Den relatva hastgheten för den nkommande partkeln (från referenspartkeln) efter stöt - Fullkomlgt oelastsk stöt: Tänk på två klbbga degklumpar som krockar Hur är det med energn och rörelsemängden detta fall? Jo, energ går förlorad men masscentrums rörelse bevaras Den energ som masscentrums rörelse har kommer då att bevaras Bara energn från den relatva rörelsen går förlorad - Stötmpulsen När mpulslagen används för en partkel vd stötar avser man bara stötkraftens mpuls: t 2 "p = m v efter # v före $ ( ) = F stöt dt OBS: En stötkraft är mycket större än vanlga krafter men verkar bara under en mycket kort td Därför kan man ofta bortse från vanlga krafters mpulser vd stöt t 1
8 8 Problem: Gör en uppskattnng av stötkraften som får massan m att bromsa upp från farten v tll stllastående på tden " Lösnng: Impulsekvatonen ger 0 " mv = I stöt Impulsen är tdsntegralen av stötkraften F stöt, och mpulsen kan enlgt matematkens medelvärdessats uppskattas som I stöt = F stöt " Dett ger uppskattnngen: F stöt = " mv # Numerskt: m=70 kg, v=20 m/s, " =1 s, ger F stöt = "1400N Om " =01 s fås F stö t = "14000N - Stöttalet e : (En materalkonstant) Egenskaper föremålens materal är sådana att samma par av materal alltd ger ett konstant förhållande mellan föremålens relatva hastgheter före och efter stöt: relatv separatonshastghet e = " 0 relatv kollsonshastghet Anmärknng: De relatva hastgheterna är specellt lätta att räkna ut om ena kroppen, t ex en vägg lgger stll För stöttalet gäller specellt de två extrema värdena e =1" fullst elastsk e = 0 " fullst oelastsk Sammanfattnng: Stötekvatonerna: m 1 v 1 före + m 2 v 2 före = m 1 v 1 efter + m 2 v 2 efter och e = v 2 efter " v 1 efter v 1 före " v 2 före
9 9 h 0 h 1 Problem: Tennsbollarnas kvaltet kan kontrolleras med det enkla testet att klara studs upp tll mdjan om de släpps från axelhöjd För en tennsboll som klarar testet enlgt fguren kan man räkna ut studstalet e och den relatva energförlusten!e / E på grund av studs Gör det! Lösnng: I det här problemet har v bara en boll och ( ) = F stöt dt "p = m v efter # v före e = v efter v före t efter $ Hastgheterna alldeles nnan och alldeles efter studs? m ( 2 v före ) 2 m = mgh 0 och ( 2 v efter ) 2 = mgh 1 dvs e = t före 2gh 1 2gh 0 = h 1 h 0 Relatva energförlusten på grund av stöt blr sedan (omräknat potentella energer): "E E = mgh # mgh 0 1 = h # h 0 1 mgh 0 h 0
10 10 Lagar för Många Partklar* V nöjer oss med att bara beskrva partkelsystemets 'gemensamma rörelse', dvs masscentrumrörelsen V väljer ett nertalsystem och betraktar var och en av partklarna systemet Två typer av krafter kan nu dentferas: Inre krafter f : härrörande från växelverkan med grannpartklarna systemet Yttre krafter F : härrörande från växelverkan med matera utanför systemet Newtons 2:a lag för varje partkel ser då ut som m r = F + f Efter summerng får v: " m r = " F + " f
11 11 Identfera kraftsummor: Alla nre krafter försvnner " f = 0 enlgt Newtons 3:e lag, Totala yttre kraften F = " F blr kvar Defnerar även masscentrum: r G = 1 m " m r, där m = " m Den summerade rörelselagen kan slutlgen skrvas: Masscentrumrörelsen: (Eulers första lag) m r G = F Kom bara håg att strunta nre krafter Anmärknng1: V kunde också använt rörelsemängdbegreppet och nfört hela systemets rörelsemängd p = m v Då kan samma ekvaton skrvas p = F " Anmärknng2: Lknande fås om v använt rörelsemängdsmomentbegreppet och kraftmomentet Då blr systemets rörelsemängdsmoment H O = " H O, och systemets momentlag (Eulers andra lag) lyder H O = M O Här räknas totala kraftmomentet som summan av de yttre krafternas moment för alla partklar: M O = " M O För energlagar adderas alla partklarnas ensklda energlagar
12 12 Problem: De tre kulorna är förbundna med trådar och en fjäder när kraften F applceras en av trådarna enlgt fguren Beräkna masscentums acceleraton a G Lösnng: Masscentrums rörelse bestäms av ekvatonen: 9ma G = F Denna ekvaton ger drekt acceleratonen a G = F, för masscentrum 9m
Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)
1 KOMIHÅG 12: --------------------------------- Den mekaniska energin, arbetet ---------------------------------- Föreläsning 13: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment??
Läs mer= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O
1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning
Läs merStela kroppars rörelse i ett plan Ulf Torkelsson
Föreläsnng /10 Stela kroppars rörelse ett plan Ulf Torkelsson 1 Allmän stelkroppsrörelse ett plan Den allmänna stelkroppsrörelsen ett plan kan delas upp den stela kroppens rotaton krng en axel och axelns
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
160819 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 160819 Svar och anvsnngar Uppgft 1 a) Svar: A(1 Bt)e Bt v = dx dt = d dt (Ate Bt ) = Ae Bt ABte Bt = A(1 Bt)e Bt b) Då partkeln byter rktnng har v v = 0, dvs (1 t) = 0. Svar:
Läs merPartikeldynamik. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Partkeldynamk Dynamk är läran om rörelsers orsak. Tung och trög massa Massa kan defneras på två sätt. Den ena baserar sg på att olka massor attraheras olka starkt av jordens gravtaton. Att två massor är
Läs merPartikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Dynamk är läran om rörelsers orsak. Partkeldynamk En partkel är en kropp där utsträcknngen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan betraktas som en punktmassa utan rotaton. Massa kan defneras på två
Läs merPARTIKELDYNAMIK Def.: partikel utsträckning saknar betydelse Def. : Dynamik orsakar växelverkan kraft, F nettokraften
PARTIKELDYNAMIK Def.: En partkel är ett föremål vars utsträcknng saknar betydelse för dess rörelse. (Ej rotaton!) (YF kap. 1.2) Def. : Dynamk = Studer av vad som orsakar rörelse. (YF kap. 4) Observaton:
Läs merLÖSNINGAR TILL TENTAMEN I FYP302 MEKANIK B
GÖTEBORGS UNIVERSITET Insttutonen för Fysk och teknsk fysk LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I FYP30 MEKANIK B Td: Torsdag august 04, kl 8 30 3 30 Plats: V Ansvarg lärare: Ulf Torkelsson, tel. 03-786 968 arbete,
Läs merJämviktsvillkor för en kropp
Jämvktsvllkor för en kropp Det förekommer ofta stuatoner där man önskar bestämma vlka vllkor som måste uppfyllas för att en fast kropp skall förbl stllastående, dvs. befnna sg jämvkt. Den här delen av
Läs merStelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi
Föreläsnng 4/10 Stelkroppsdynamk tre dmensoner Ulf Torkelsson 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och knetsk energ Låt oss beräkna tröghetsmomentet för en goycklg axel som går genom en fx punkt O en
Läs mer2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg
Jämvkt Jämvkt. Inlednng I detta kaptel skall v studera jämvkten för s.k. materella sstem. I ett materellt sstem kan varje del, partkel eller materalpunkt beskrvas med hjälp av dess koordnater. Koordnatsstemet
Läs merTentamen i mekanik TFYA16
TEKNSKA HÖGSKOLAN LNKÖPNG nsttutonen ör Fysk, Kem och Bolog Gala Pozna Tentamen mekank TFYA6 Tllåtna Hjälpmedel: Physcs Handbook utan egna antecknngar, aprogrammerad räknedosa enlgt F:s regler. Formelsamlngen
Läs merHjälpmedel: Penna, papper, sudd, linjal, miniräknare, formelsamling. Ej tillåtet med internetuppkoppling: 1. Skriv ditt för- och efternamn : (1/0/0)
Prov ellära, Fya Lugnetgymnaset, teknkprogrammet Hjälpmedel: Penna, papper, sudd, lnjal, mnräknare, formelsamlng. Ej tllåtet med nternetuppkopplng: Elektrsk laddnng. Skrv dtt för och efternamn : (/0/0).
Läs mersaknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL Inlednng Ekvatonen x 1 har två reella lösnngar, x 1, dvs x 1, medan ekvatonen x 1 saknar reella lösnngar Om v försöker formellt lösa ekvatonen x 1 skrver v x 1
Läs merTentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen
010-05-6 Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1 En cylinder med massan M vilar på en homogen horisontell planka med
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs merObs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
1) m M Problemlösningar µ α α Lösning: Frilägg massorna: T N N F µ T Mg mg Jämvikt för M kräver T Mgsin α = 0 (1) a) Gränsfall F µ = µ N men jämvikt för m kräver: N mg cosα = 0 (2) T µ N mgsinα = 0 (3)
Läs mer" e n och Newtons 2:a lag
KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar
Läs merBegreppet rörelsemängd (eng. momentum) (YF kap. 8.1)
Begreppet rörelsemägd (eg. mometum) (YF kap. 8.1) Defto (Newto!): E partkel med massa m och hastghet ഥv har rörelsemägd ഥp = m ഥv. Vektor med samma rktg som hastghete! Newto II: ሜF = m dvlj = d dt dt d
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen
2010-10-23 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar
Läs merFaradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är
9. Magnetsk energ Faradays lag [RM] ger E dφ dt (9.5) dw k IdΦ + RI dt (9.6) Batterets arbete går alltså tll att bygga upp ett magnetskt flöde Φ och därmed motverka den bromsande nducerade spännngen, och
Läs merHärled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB
. Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B v A + ω AB motsvarande samband för accelerationer: a B a A + ω ω AB + a AB. Tolka termerna i uttrycket för specialfallet plan rörelse
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v
Läs merKOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi
KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag ----------------------------------------- Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt,
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)
Läs merFörstärkare Ingångsresistans Utgångsresistans Spänningsförstärkare, v v Transadmittansförstärkare, i v Transimpedansförstärkare, v i
Elektronk för D Bertl Larsson 2013-04-23 Sammanfattnng föreläsnng 15 Mål Få en förståelse för förstärkare på ett generellt plan. Kunna beskrva olka typer av förstärkare och krav på dessa. Kunna förstå
Läs merProblemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2
2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper
Läs merFK2002,FK2004. Föreläsning 5
FK00,FK004 Föreläsnng 5 Föreläsnng 5 Labbrapporter Korrelatoner Dmensonsanalys Denna föreläsnng svarar mot kap. 9 (Taylor) Labbrapporter Feedback+betyg skckas morgon. Några tps ett dagram hjälper alltd
Läs merSG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)
Läsåret 11/12 Utförliga lärandemål SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Richard Hsieh Huvudsakligt innehåll: Vektoralgebra och dimensionsbetraktelser. Kraft och kraftmoment. Kraftsystem; kraftpar,
Läs merCentrala Gränsvärdessatsen:
Föreläsnng V såg föreläsnng ett, att om v känner den förväntade asymptotska fördelnngen en gven stuaton så kan v med utgångspunkt från våra mätdata med hjälp av mnsta kvadrat-metoden fnna vlka parametrar
Läs mer2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00
(4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 Namn: Personnummer: Skrv tydlgt! Skrv namn och personnummer på alla nlämnade papper! Ma ett tal per papper.
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen
010-01-14 Tentamen i SG1140 Mekanik II KTH Mekanik 1. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs meruniversity-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11
Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd
Läs merFöreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )
1 Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: H O = "I xz e x " I yz e y + I z e z H G = "I xz ( ) ( G e x " I G yz e y + I G z e z ) # (fixt origo, kroppsfix bas) # (kroppsfix
Läs merKOMIHÅG 18: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n. x j,
KOMIHÅG 18: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = # n x j, 1 med konstanterna! n = k m och!" n = c m. ------------------------------------------------------
Läs merFör de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen
Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan
Läs mer. Bestäm för denna studs stöttalet e! Lösning: Energiprincipen för bollens fall ner mot underlaget ger omedelbart före stöt:
KOMIHÅG 19: ------------------------------------------------------ Dämpade vibrationer: Fria fallet Kritisk dämpningsrörelse x(t) = e "# nt ( B + Ct) + x j Svag dämpningsrörelse x(t) = e "#$ nt ( Bcos(
Läs mer" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blxtkurs komplex ntegraton Sven Spanne 7 oktober 998 Komplex ntegraton Vad är en komplex kurvntegral? Antag att f z är en komplex funkton och att är en kurva det komplexa talplanet. Man kan då beräkna
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optmerngslära Clas Rydergren, ITN Föreläsnng 10 Optmaltetsvllkor för cke-lnjära problem Icke-lnjär optmerng med bvllkor Frank Wolfe-metoden Agenda Optmaltetsvllkor för cke-lnjära problem Grafsk
Läs merMålsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.
1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen
2011-10-22 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Den kvadratiska skivan i den plana mekanismen i figuren har
Läs merFörklaring:
rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR ETIND SNNOLIKHET TOTL SNNOLIKHET OEROENDE HÄNDELSER ETIND SNNOLIKHET Defnton ntag att 0 Sannolkheten för om har nträffat betecknas, kallas den betngade sannolkheten och beräknas
Läs merFÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN
FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN Repetera de övningsuppgifter som kännts besvärliga. Om du behöver mera övning så kan du välja fritt bland de övningsuppgifter i Problemsamlingen som överhoppats.
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
170418 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 170418 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vi är intresserade av största värdet på funktionen x(t). Läget fås genom att integrera hastigheten, med bivillkoret att x(0) = 0.
Läs mer1. Beskriv Newtons tre rörelselagar. Förklara vad de innebär, och ge exempel! Svar: I essäform, huvudpunkterna i rörelselagarna.
Fysik 1 övningsprov 1-13 facit Besvara 6 frågor. Återlämna uppgiftspappret! 1. Beskriv Newtons tre rörelselagar. Förklara vad de innebär, och ge exempel! Svar: I essäform, huvudpunkterna i rörelselagarna..
Läs merRadien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL a + b, där a, b R (rektangulär form r(cosθ + snθ (polär form θ re (potensform Om a + b och a, b R då gäller: a kallas realdelen av och betecknas Re( b kallas magnärdelen
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen
013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merStelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra
Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå
Läs merMekanik II repkurs lektion 4. Tema energi m m
Mekanik II repkurs lektion 4 Tema energi m m Rörelseenergi- effekt P v P (hastighet hos P) dt/dt= F P v P F P för stel kropp När kan rörelseenergi- effekt användas? Effektbidrag från omgivningen (exempelvis
Läs merOmtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen
2015-06-12 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block
Läs merNEWTONS 3 LAGAR för partiklar
wkomihåg 12: Acceleration-med olika komponenter. ----------------------------------------- Föreläsning 13: Dynamik kraft-rörelse (orsakverkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1 1. En 'fri' partikel förblir
Läs merBilligaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform. Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform
Vägar: Bllgaste väg Bllgaste väg s t Indata: Rktad graf med bågkostnader c, start/slutnod s, t. Bllgaste väg-problemet: Fnn en väg från s tll t med mnmal kostnad. Kostnaden för en väg är summan av kostnaderna
Läs merMätfelsbehandling. Lars Engström
Mätfelsbehandlng Lars Engström I alla fyskalska försök har de värden man erhåller mer eller mndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en mätnng fullständgt försumbar förhållande tll den precson man
Läs merRepetition Mekanik, grundkurs
Repetition Mekanik, grundkurs Kraft är en vektor och beskrivs med storlek riktning och angreppspunkt F= Fe + F e + Fe x x y y z z Kraften kan flytta längs sin verkninglinje Addera krafter Moment i planet
Läs merVäxelström = kapitel 1.4 Sinusformade växelstorheter
Växelström = kaptel 1.4 Snusformade växelstorheter Toppvärde, effektvvärde, frekvens, perodtd. Kretsens mpedans och kretsens fasvnkel. Vsardagram. Effekt och effektfaktor. Effektvvärde och effekt vd fasvnkeln
Läs merEn tyngdlyftare lyfter en skivstång som väger 219 kg. Skivstången lyfts 2,1 m upp från golvet på 5,0 s.
NAMN: KLASS: Del A: Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) En tyngdlyftare lyfter en skivstång som väger 219 kg. Skivstången lyfts 2,1 m upp från golvet på 5,0 s. a) Vilken genomsnittlig
Läs meri = 1. (1.2) (1.3) eller som z = x + yi
Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 KOMPLEXA TAL Uppfattnngen om komplea tal uppstod samband med upptäckten av enkla ekvatoner som nte har reella lösnngar, t.e.
Läs merMer Friktion jämviktsvillkor
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning
Läs merFÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff
FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 2010 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15-10 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng
Läs merBeräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer
Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.
Läs merRepetitionsuppgifter i Fysik 1
Repetitionsuppgifter i Fysik 1 Uppgifterna i detta häfte syftar till att kort repetera några begrepp från fysiklektionerna i höstas. Det är inte på något sätt ett komplett repetionsmaterial, utan tanken
Läs merArbete och effekt vid rotation
ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds
Läs merKrafter och Newtons lagar
Mekanik I, Laboration 2 Krafter och Newtons lagar Newtons andra lag är det viktigaste hjälpmedel vi har för att beskriva vad som händer med en kropp och med kroppens rörelse när den påverkas av andra kroppar.
Läs merVinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( )
Tentamen Matematsk statstk Ämneskod-lnje S1M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgfter) Poäng totalt för del 3 (3 uppgfter) Tentamensdatum 9-3-5 Kerstn Vännman Lärare: Robert Lundqvst Mkael Stenlund Skrvtd
Läs mer3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.
Tentamen 1, Mekanik KF HT2011 26:e November. Hjälpmedel: Physics handbook alt. Formelblad, Beta mathematics handbook, pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmmar. För godkänt krävs minst 18/36 på
Läs merVar ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j.
1 KOMIHÅG 4: --------------------------------- Enkraftsresultantens existens. Vanliga resultanter vid analys av jämvikter. Jämviktsanalys: a) Kraftanalys - rita+symboler b) Jämviktslagar- Euler 1+2 c)
Läs merI stötuppgifterna bortser vi från den impuls som yttre krafter ger under själva stöttiden.
I stötuppgifterna bortser vi från den impuls som yttre krafter ger under själva stöttiden. 60 Du vandrar omkring bland din mosters äppelträd och får ett jättestort äpple i huvudet. Av din moster (som är
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 9 jan 01, HF1006 och HF1008 Moment: TEN1 (Lnjär algebra), hp, skrftlg tentamen Kurser: Analys och lnjär algebra, HF1008, Lnjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1 Td: 115-1715,
Läs merTentamen i Mekanik I SG1130, baskurs P1 och M1. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas!
2015-06-08 Tentamen i Mekanik I SG1130, baskurs P1 och M1. KTH Mekanik OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen 1. Ett homogent halvcylinderskal hålls i jämvikt på ett
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
014-06-04 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den
Läs merÖvningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
Läs merTentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen
005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar
Läs merLÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102
LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera
Läs merLösningar till övningar Arbete och Energi
Lösningar till övningar Arbete och Energi G1. Lägesenergin E p = mgh = 1. 9,8. 1,3 J = 153 J Svar: 150 J G10. Arbetet F s = ändringen i rörelseenergi E k Vi får E k = 15,4 J = 36 J Svar: 36 J G6. Vi kan
Läs mer5 Energi och rörelsemängd
5 Energi och rörelsemängd 501. a) Arbete är kraft gånger sträcka. Kraften mäts i sträckans riktning. W = F s s b) Energiändring är lika med utfört arbete. E = W c) Lägesenergi E p = mgh Svar: a) W = F
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs merKap Första huvudsatsen (HS). Teori och begrepp.
Kap. 2.1-6. Första huvudsatsen (HS). eor och begrepp. ermodynamk = värmets rörelse. Energutbyte: ärme - Arbete. Utbyte System - Omgvnng. System = ntressant del av världen (t.ex. en bägare med kemkaler).
Läs merLösningar Kap 11 Kraft och rörelse
Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik 1 Heureka: kapitel 11 11.1.-11.2 Se facit eller figurerna nedan. 1 11.3 Titta på figuren. Dra linjer parallella
Läs mer7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2012-03-12 Tid: 09.00-13.
Mekanik rovmoment: tentamen Ladokkod: TT8A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: -3- Tid: 9.-3. Hjälpmedel: Hjälpmedel vid tentamen är hysics Handbook (Studentlitteratur),
Läs mer6.2 Transitionselement
-- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 rshen@kth.se 6. Transtonselement Den här tpen av element används för förbnda ett lnjärt och ett kvadratskt element. Gvet: Sökt: Bestäm formfunktonen för nod. Vsa att
Läs merMålsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.
1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter
Läs merIndustrins förbrukning av inköpta varor INFI
Statstska centralbyrån SCBDOK 3.2 (37) Industrns förbruknng av nköpta varor INFI 2003 NV006 Innehåll 0 Allmänna uppgfter... 2 0. Ämnesområde... 2 0.2 Statstkområde... 2 0.3 SOS-klassfcerng... 2 0.4 Statstkansvarg...
Läs merKollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8
Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8 ! Sida 4/4 Laboration 1: Fallrörelse på portalen ikväll Institutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: 2014 Fallrörelse Institutionen för Fysik och Astronomi!
Läs merPrimär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08
Prmär- och sekundärdata Undersöknngsmetodk Prmärdataundersöknng: användnng av data som samlas n för första gången Sekundärdata: användnng av redan nsamlad data Termeh Shafe ht01 F1-F KD kap 1-3 Olka slag
Läs merKOMIHÅG 3: Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P. = r PA
1 KOMIHÅG 3: --------------------------------- Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P = r PA " F, r P =momentpunkt, r A angreppspunkt, r PA = r A " r P. - Oberoende av
Läs merKrafter och Newtons lagar
Mekanik I, Laboration 2 Krafter och Newtons lagar Fysiska föremål, kroppar, kan påverka varandra ömsesidigt, de kan växelverka. För att förklara hur denna växelverkan går till har fysikvetenskapen uppfunnit
Läs merpå två sätt och därför resultat måste vara lika: ) eller ekvivalent
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR SYMMERISKA MARISER Defnton (Smmetrsk matrs) En kadratsk matrs kallas smmetrsk om A A V upprepar defntonen a en ortogonal matrs Defnton ( Ortogonal matrs ) En kadratsk matrs kallas
Läs merGrundläggande om krafter och kraftmoment
Grundläggande om krafter och kraftmoment Text: Nikodemus Karlsson Original character art by Esa Holopainen, http://www.verikoirat.com/ Krafter - egenskaper och definition Vardaglig betydelse Har med påverkan
Läs merVSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO
VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO Översikt Kursintroduktion Kursens syfte och mål Kursprogram Upprop Inledande föreläsning Föreläsning: Kapitel 1. Introduktion till statik Kapitel 2. Att räkna med krafter
Läs merTentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08
Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen
Läs merTillämpningar av dekomposition: Flervaruflödesproblemet. Flervaruflödesproblemet: Lagrangeheuristik
Tllämpnngar av dekomposton: Flervaruflödesproblemet v = mn j: x k c k x k xj k = r k för alla N, k C (1) x k b för alla (, j) A (2) j:(j,) A x k 0 för alla (, j) A, k (3) Struktur: Om man relaxerar kapactetsbvllkoren
Läs merDel A Begrepp och grundläggande förståelse.
STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrvnng Expermentella metoder, 12 hp, för kanddatprogrammet, år 1 Onsdagen den 17 jun 2009 kl 9-1. S.H./K.H./K.J.-A./B.S. Införda betecknngar bör förklaras och uppställda
Läs merKursinformation Mekanik f.k. TMMI39
Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39 Uppdaterad 202--26 Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Joakim Holmberg Omfång 30 h föreläsningar och 24 h lektioner i period HT2, hösten 202. Kursansvarig,
Läs merRepetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen
Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från
Läs mer6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar
6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merFörberedelse INSTALLATION INFORMATION
Förberedelse 1 Materalet tll Pergo trägolv levereras med llustrerade anvsnngar. I texten nedan ger v förklarngar tll llustratonerna, som kan delas upp tre områden: Förberedelser, Läggnng och Rengörng.
Läs mer