Stela kroppars rörelse i ett plan Ulf Torkelsson

Transkript

1 Föreläsnng /10 Stela kroppars rörelse ett plan Ulf Torkelsson 1 Allmän stelkroppsrörelse ett plan Den allmänna stelkroppsrörelsen ett plan kan delas upp den stela kroppens rotaton krng en axel och axelns rörelse planet. Eftersom axelns rörelse allmänhet kan vara accelererad måste v vara försktga när v skrver upp momentlagen. V utgår från ett nertalsystem där v vet att det gäller dl = N, (1) som v kan skrva som d r m v = r F, (2) för en kropp som består av n masselement m. V nför en axel O punkten r O, så att masselementet lgger r = r + r O, där r är partkeln :s poston relatvt O. V kan då skrva vrdmomentet krng axeln som N = r F. () Eftersom v nertalsystemet har F = d (m v ) = d [m (v O + v )] = m v O + d (m v ), (4) så kan v skrva N = r m v O + r d (m v ) = v O m r + d r m v, (5) eftersom v m v = 0. Den ssta termen är tdsdervatan av rörelsemängdsmomentet L krng O, vlket ger oss N = r O m r + d L. (6) Under vssa specella omständgheter försvnner den första termen högerledet 1. Axeln O accelererar nte, vlket ger att r O = 0 2. Axeln går genom masscentrum, så att m r = 0.. Axeln befnner sg momentant vla, man säger att den utgör ett momentancentrum. I detta fall kan hela rörelsen beskrvas som en rotaton krng O. Specellt så roterar masscentrum detta ögonblck krng O vlket leder tll att r cm är parallell med m r = Mr cm. I dessa fall kan momentlagen skrvas som N = dl. (7) Låt oss nu betrakta en kropp med raden a som rullar nedför ett lutande plan utan att glda. V börjar med att beskrva rörelsen som summan av masscentrums rörelse och rotatonen krng masscentrum. Då har v ekvatonerna F = ma cm, (8) och N = I ω. (9) 1

2 De krafter som verkar på kroppen är tyngdkraften mg, en normalkraft F N och en frktonskraft F P. Rörelsen blr enkel att beskrva om v väljer x-koordnaten längs med planet och y vnkelrät mot planet. Rörelsekvatonerna för masscentrum blr då och momentlagen blr m mg sn θ F P (10) mÿ cm = mg cos θ + F N (11) (12) F P a = I ω. (1) V konstaterar först att y cm är konstant, vlket ger oss att F N = mg cos θ. Om v vdare antar att cylndern rullar utan att glda så måste ẋ cm = aω, vlket ger att a ω. Detta sätter v n momentlagen och får att V kan sätta n detta rörelseekvatonen och får som ger oss F P = I a 2 ẍcm. (14) m mg sn θ I a 2 ẍcm, (15) mg sn θ m + I = g sn θ a 1 + I. (16) 2 ma 2 Om v nu antar att v har en massv cylnder så är dess tröghetsmoment ma 2 /2, så v har 2g sn θ. (17) Ett annat sätt att lösa problemet på är att utnyttja att den punkt där kroppen är kontakt med det lutande planet är vla, och utgör alltså ett momentancentrum. Vrdmomentet relatvt momentancentrum är mga sn θ. I detta fall blr tröghetsmomentet enlgt Steners sats I = ma 2 + = ma ma2 = 2 ma2. (18) Momentlagen ger oss I ω = 2 ma2 ω = mga sn θ. (19) då ω = ẍ cm /a, så får v 2g sn θ. (20) Ännu ett sätt att beskrva rörelsen är att utnyttja att den totala energn E = T +V är konstant. Den potentella energn V = mgh cm = mg (h 0 x cm sn θ). (21) Den knetska energn består av två delar, den knetska energn för masscentrums rörelse och den knetska energn för rotatonen krng masscentrum Den totala energn är alltså T = 1 2 mẋ2 cm Iω2 = 1 2 mẋ2 cm + 1 ma ) 2 (ẋcm = a 4 mẋ2 cm. (22) E = mg (h 0 x cm sn θ) + 4 mẋ2 cm. (2) 2

3 V kan dervera detta uttryck med avseende på tden de = mgẋ cm sn θ + 2 mẋ cm 0, (24) eftersom dervatan av en konstant är 0. V kan nu dvdera bort ẋ cm, och lösa ut ẍ cm 2g sn θ. (25) Om den maxmala frktonskraften F P = µ k F N = µ k mg cos θ är för lten så kommer cylndern att både rulla och glda nedför planet. V har då rörelseekvatonen och momentekvatonen Rörelseekvatonen ger oss masscentrums acceleraton och momentekvatonen ger oss cylnderns vnkelacceleraton V ntegrerar dessa ekvatoner en gång V kan då skrva m mg sn θ µ k mg cos θ, (26) ω = µ k mga cos θ. (27) g (sn θ µ k cos θ), (28) ω = µ kmga cos θ. (29) ẋ cm = g (sn θ µ k cos θ) t (0) ω = µ kmga cos θ t. (1) γ = ẋcm aω = sn θ µ k cos θ µ k ma 2 = I ( ) cm tan θ cos θ/ ma 2 1. (2) µ k V noterar att γ > 1 om cylndern glder och γ = 1 om cylndern rullar utan att glda. Det krtska värdet för att v skall få rullnng utan gldnng är där k är cylnderns gyrorade. µ k,crt = tan θ tan θ 1 + ma 2 = / 1 + (a/k) 2, () 2 Impuls och kollsoner med stela kroppar Det är svårt att bestämma storleken på en kraft som verkar under en kort stund, och dessa fall kan det vara bättre att använda mpulsen d F = P = (mv cm) = m v cm. (4) Resultatet av mpulsen blr alltså en hastghetsförändrng v cm = P m. (5) V kan behandla vrdmomentet N = I ω på samma sätt N = I ω = I ω. (6)

4 Om kraften verkar på ett avstånd l från axeln så har v N = F l, vlket ger N = P l, (7) så att v har ω = P l I. (8) Låt oss nu betrakta vad som händer om en boll träffar ett slagträ för crcket. För enkelhets skull gör v beräknngarna det nertalsystem som rör sg tllsammans med slagträet precs nnan sammanstötnngen. Bollen har massan m och bollträet har massan M, samt ett tröghetsmoment I. Bollen får vd stöten en mpuls P = mv 1 mv 0, (9) där v 0 och v 1 är bollens hastghet före och efter stöten. Bollträet får å andra sdan mpulsen P = Mv cm. (40) Om mpulsen angrper på ett avstånd l från masscentrum så får bollträet vnkelhastgheten ω = P l. (41) Betrakta nu en punkt O på andra sdan om masscentrum och på ett avstånd l från masscentrum. I denna punkt blr den totala hastgheten v O = v cm ωl = P M P ( ) l 1 l = P M ll. (42) Specellt så blr hastgheten 0 den punkt där ll = M. (4) Om slagmannen håller slagträet denna punkt, så förändras handens rörelse nte vd slaget, vlket är det mest skonsamma för hans händer och armar. Exempel En planka står på ett lastblsflak så att den lutar 60 o mot flaket. Blen accelererar framåt med acceleratonen g/. Frktonen kan försummas den punkt där plankan är kontakt med lastblens hytt (denna punkt lgger vd /4 av plankans totala längd l). Hur stor skall frktonskoeffcenten vara den punkt där plankan berör lastblsgolvet, för att plankan nte skall glda? Lösnng: Plankan påverkas av tyngdkraften mg, normalkrafterna N och N 1 vd lastblsflaket och lastblshytten, samt en frktonskraft F vd lastblsflaket. Rörelseekvatonen för masscentrum ger oss m g = F N 1 sn 60 o = F 2 N 1 (44) Momentlagen krng plankans masscentrum ger 0 = N mg + N 1 cos 60 o = N mg N 1 (45) 0 = N 1 L 4 + F L 2 sn 60o N L 2 cos 60o = 1 4 N 1L + 4 F L 1 NL. (46) 4 V börjar med att addera Ekv. (44) och Ekv. (45) F + ( 1 N = mg + ). (47) 4

5 V tar sedan och adderar Ekv. (44) och 2 /L Ekv. (46) 5 2 F 2 N = mg (48) Slutlgen tar v och adderar Ekv. (47) och 2 Ekv. (48) som ger ( 6F = mg 1 + ), (49) så att V kan sedan beräkna N = 2 ( 5 2 F mg ) ( = ) 12 1 Detta ger oss den krtska frktonskoeffcenten F = 1 + mg. (50) 6 mg = mg = mg. (51) 18 µ k,mn = F N = (52) 5