Stokastisk reservsättning med Tweedie-modeller och bootstrap-simulering

Transkript

1 Matematsk statstk Stockholms unverstet Stokastsk reservsättnng med Tweede-modeller och bootstrap-smulerng Totte Pkanen Examensarbete 2005:4

2 Postadress: Matematsk statstk Matematska nsttutonen Stockholms unverstet Stockholm Sverge Internet:

3 Stokastsk reservsättnng med Tweedemodeller och bootstrap-smulerng Totte Pkanen 1 Februar 2005 SAMMANFATTNING För att kunna täcka framtda kostnader för skador som dag ännu nte anmälts samt för skador som rapporterats men nte slutreglerats, avsätter vare försäkrngsbolag medel tll en ersättnngsreserv. Det fnns många tllvägagångssätt för att estmera storleken på reserven. Hstorskt sett har de flesta metoderna endast gett en punktskattnng av det totala reservbehovet. På senare år har det kommt fram en rad olka metoder som förutom punktskattnng även ger ett osäkerhetsmått för reserven. I denna stude undersöks tre olka generalserade lnära modeller, närmare bestämt Tweede-modellerna översprdd Posson, sammansatt Posson och Gamma, som genom bootstrap-smulerng ger en smulerad fördelnng för reserven. Metoderna ämförs med varandra och problem med algortmerna belyses. 1 E-post: Totte.pkanen@trygghansa.se Handledare: Esbörn Ohlsson, Anders Lndström 1

4 Stochastc clams reservng usng Tweede models and bootstrap smulaton ABSTRACT To be able to cover future expenses caused by clams ncurred but not reported and clams reported but not settled, a general nsurance company must allocate captal to a reserve. There are many approaches to estmate the sze of ths reserve. Hstorcally most of the methods have gven ust a pont estmate of the requred reserve. In recent years a number of methods has been ntroduced whch n addton to a pont estmate gves a measure of the uncertanty n the reserve. In ths study we examne the use of three dfferent generalzed lnear models, namely the Tweede models overdspersed Posson, compound Posson and Gamma, that together wth bootstrap smulaton gves a smulated dstrbuton for the reserve. The methods are compared to each other and problems wth the algorthms are dscussed. 2

5 FÖRORD Huvuddelen av denna undersöknng genomfördes under våren 2003 på försäkrngsbolaget Trygg-Hansa, aktuareenheten dvson Prvat, Affärsområde Sak, Stockholm. I anuar 2005 återupptogs arbetet med kompletterngar och vssa förändrngar som föld. Undersöknngen utgör ett examensarbete, omfattande 20 poäng för magsterexamen matematsk statstk på Matematsk-datalogska lnen, Stockholms unverstet. Jag vll med detta förord passa på att rkta ett tack tll Trygg-Hansa som och med erbudandet av arbetsplats och egen dator gav mg mölgheten att få en nblck arbetslvet. Stort tack även tll mn handledare på Trygg-Hansa, Anders Lndström, för rådgvnng och väglednng. Mn handledare på Stockholms Unverstet, Esbörn Ohlsson, skall också ha ett stort tack. Tll sst en eloge tll hela den dåvarande aktuaregruppen för trevlgt sällskap samt stöd, råd och tps längs vägen. 3

6 1 BAKGRUND UPPGIFT METODER ANTAGANDEN BOOTSTRAP-SIMULERING Bootstrap-algortmen steg för steg DATA UTVECKLINGSTRIANGLAR RESULTAT AV TILLÄMPNING PÅ DATA FRÅN TRYGG-HANSA MODELLERNAS ANPASSNING TILL DATA Försäkrngsklass cvl Försäkrngsklass trafk Försäkrngsklass olycksfall SKATTAD RESERV UTAN BOOTSTRAP PARAMETERN φ RESIDUALER NEGATIVA VÄRDEN I PSEUDOTRIANGLARNA SIMULERINGSSTEGET Fördelnngarnas utseende RESULTAT EFTER 1000 ITERATIONER Försäkrngsklass cvl Försäkrngsklass trafk Försäkrngsklass olycksfall SLUTSATSER APPENDIX PARAMETERBYTE I LOG-LINJÄRA MODELLEN PARAMETERSKATTNING OCH HAT -MATRISEN FÖRDELNINGAR Översprdd Posson, OdP Sammansatt Posson Gamma LITTERATUR

7 1 Bakgrund Inom sakförsäkrng händer det att det går lång td från att en skada nträffar tlls slutgltg ersättnng utgår från försäkrngsbolaget. Det kan hända att det går en lång td från skadetllfället tlls skadan anmäls tll bolaget eller att det tar lång td från att skadan anmälts tll bolaget tlls det avgörs vlka belopp som skall utbetalas. I slutet av en försäkrngsperod (vanlgen ett år eller ett kvartal) skall det bolagets bokslut framgå hur mycket medel som avsätts för dessa nträffade men cke slutgltgt reglerade skador. Denna avsättnng av kaptal kallas ofta för ersättnngsreserven. Ersättnngsreserven sn tur brukar delas upp reserv för nträffade men e rapporterade skador, IBNR (Incurred But Not Reported), och reserv för rapporterade men e slutreglerade skador, IBNER (Incurred But Not Enough Reported). Att bestämma denna ersättnngsreserv är ett statstskt problem. Data brukar vara uppställda en trangel kallad utvecklngstrangel där raderna representerar skadeår och kolumnerna utvecklngsår. Elementen utvecklngstrangeln representerar utbetalnngar gorda under utvecklngsår för skador nträffade under skadeår och betecknas y med motsvarande stokastska varabel Y,, = 1,2,... m. Utbetalnngar gorda under utvecklngsår är gorda 1 år efter det att skadan nträffade. Vanlgen antar man att alla skador är slutreglerade efter m år. För (,) med + m + 1 är y kända och den statstska uppgften är att utvdga trangeln tll en kvadrat nnehållande predktoner om framtda utbetalnngar. Trangeln som utgör framtda utbetalnngar kallas här för framtdstrangeln. utvecklngsår skadeår m-1 m 1 y 11 y 12 y 13 y 1,m-1 y 1,m 2 y 21 y 22 y 23 y 2,m-1.. m-1 y m-1,1 y m-1,2 m y m1 utvecklngsår skadeår m-1 m 1 y 11 y 12 y 13 y 1,m-1 y 1,m 2 y 21 y 22 y 23 y 2,m-1 Y 2,m.. m-1 y m-1,1 y m-1,2 Y m-1,3 Y m-1,m-1 Y m-1,m m y m1 Y m2 Y m3 Y m,m-1 Y m,m Fgur A: Utvecklngstrangel Fgur B: Utvecklngstrangel och Framtdstrangel Den totala ersättnngsreserven, R, består av summan av Y framtdstrangeln och skattas med R ˆ = ˆ + > m + y 1. Data är här alltså på nkrementell form så att utbetalt under år verklgen betyder utbetalt under år och nte fram tll och med år. Den kanske vanlgaste metoden för att bestämma ersättnngsreserven är Chan Laddermetoden. Metoden är en determnstsk metod som ger en punktskattnng för reserven. På senare år har flera metoder som förutom punktskattnng även ger predktonsfel och vssa fall fördelnng för totala reserven kommt fram. I England & Verrall (2002) görs en sammanställnng av en rad sådana så kallade stokastska reservsättnngsmetoder. England & Verrall (1999) föreslår en översprdd Posson GLM-modell som med bootstrap-smulerng ger en smulerad fördelnng med percentler för totala reserven. Pnhero, Andrade e Slva & Centeno (2002) utvdgar metoden från England & Verrall (1999) med att även undersöka en Gamma GLM-modell samt med en korrgerng av resdualerna som används vd bootstrapsmulerngen. Mack (1993) föreslår en fördelnngsfr metod för att beräkna predktonsfelet hos Chan Ladder-skattnngarna. 5

8 1.1 Uppgft I detta arbete söker v osäkerheten den totala reserven genom dess fördelnng. Arbetet är tänkt att kunna användas tll att möta kommande EU-lagstftnng för försäkrngsbolag. Lagstftnngen förväntas ställa kaptalkrav som bland annat kommer att bero på osäkerheten reserven. De undersökta modellerna är tre generalserade lnära modeller, GLM, som genom bootstrap-smulerng ger en smulerad fördelnng för totala ersättnngsreserven. Modellerna har logartmsk länkfunkton med den lnära strukturen log( µ ) = c + α + β och varansfunktonen v ( µ ) = µ där p detta arbete är 1, 1.5 eller 2. p Modeller med denna varansfunkton kallas för Tweede-modeller. Modellerna svarar mot fördelnngarna (översprdd) Posson (då p = 1), sammansatt Posson (p = 1.5) resp. Gamma (p = 1.5) varför modellerna detta arbete genomgående kommer att kallas för OdP, SaPo och Gamma även om det egentlgen bara är strukturen på varansfunktonen som är det vktga modellanpassnngen. Vlken aktuell fördelnng som varansfunktonen svarar mot har betydelse endast det ssta steget, smulerngssteget, där det smuleras från dessa fördelnngar framtdstrangeln. 2 Metoder Genom att ansätta en generalserad lnär modell kan ensklda predktoner göras för framtdstrangelns samtlga celler. Det är emellertd komplcerat eller bland omölgt att analytskt beräkna predktonsfelet hos skattnngen för totala reserven som är summan av framtdstrangelns element. Även de fall det går att beräkna predktonsfelet för summan så är dessa beräknngar bara approxmatva (Pnhero, Andrade e Slva & Centeno (2002)). Det är därför bootstrap-smulerng används detta arbete för beräknng av predktonsfelet. Förutom predktonsfelet ger smulerngen även en emprsk fördelnng ur vlken exempelvs percentler kan utläsas. 2.1 Antaganden V gör fölande antaganden. m = (A1) µ E[ Y ] = γ δ, där δ = 1 1. (A2) Y, oberoende då (, ) ( ', ' )., Y ' ' (A3) Fördelnngen för Y tllhör famlen EDM och har varansfunkton där 1,1.5, 2. p { } v ( µ ) = µ p Exponentella dspersonsmodeller, EDM, är famlen av fördelnngar vars frekvensfunkton yθ b( θ ) kan skrvas på formen f Y ( y) = exp + c( y; φ, w), se exempelvs Ohlsson & φ w Johansson (2003) för EDM:s användnng nom GLM. 6

9 Antagande (A1) nnebär att de utbetalda skadebeloppen modelleras multplkatvt där parametern γ tolkas som en nvåparameter, eller mer specfkt förväntade totala skadekostnaden, för skadeår. Parametern δ tolkas som förväntade proportonen skadekostnad som uppstår under utvecklngsår. Antagande (A2) nnebär helt enkelt att utbetalnngarna olka celler antas vara oberoende och antagande (A3) att de har en varans proportonell mot väntevärdet upphöt tll p. Logartmerng av (A1) bägge leden ger (A1 ) log( µ ) = log( γ ) + log( δ ), där log( δ ) = 0, som genom ett lämplgt m = 1 parameterbyte (se appendx för detaler) och reducerng av en parameter kan skrvas som (A1 ) log( µ ) = c + α + β, där α = β = Antagandena (A1), (A2) och (A3) defnerar en generalserad lnär modell, GLM, se McCullagh & Nelder (1989). 2.2 Bootstrap-smulerng Bootstrap-smulerng som en datorbaserad statstsk metod ntroducerades av Efron Metoden ersätter analytska beräknngar av fördelnng och predktonsfel hos parametrar och statstkor med en smulerngsalgortm. Smulerngsalgortmen går ut på att ur ett gvet stckprov återskapa många nya stckprov genom slumpmässgt urval med återläggnng. En ntrodukton tll bootstrap-metoden fnns Efron & Tbshran (1993). Det fnns olka sätt att gå tll väga bootstrap-algortmen. Här används den typ som kallas för resdual-bootstrap (Efron & Tbshran, 1993) som nnebär att man skapar nya pseudostckprov genom urval med återläggnng bland resdualerna stället för urval bland sälva observatonerna. För detta krävs en resdualdefnton som gör att resdualerna kan betraktas som oberoende och lka fördelade. Här används den standardserade Pearsonresdualen (1) r st r, pearson = φ ˆ(1 h ) där h är dagonalelementet hat -matrsen för observaton y (se appendx för defnton y µ ˆ av hat -matrsen) och r, pearson = är den ostandardserade Pearsonresdualen. v( µ ˆ ) + 2 r + m 1, pearson Sprdnngsparametern φ skattas med Pearsonskattnngen φ ˆ = där df df = n p = antal observatoner antal parametrar är antalet frhetsgrader modellen. ( ) Ur (1) kan y lösas ut vlket ger * (2) y = r φˆ v( µ ˆ )(1 h ) + µ ˆ. 7

10 Bootsrap-smulerngen börar med att v ur vårt stckprov y r (utvecklngstrangeln) först skapar n resdualer. Sedan skapas genom slumpmässgt urval med återläggnng bland * resdualerna en ny pseudotrangel y r genom relatonen * (2 ) y = r φˆ ' ' v( µ ˆ )(1 h ) + µ ˆ där r ' ' nnebär slumpmässgt vald resdual. På denna psuedotrangel applceras modellen, parametrar skattas och predktoner för vare cell framtdstrangeln görs genom b yˆ exp{ ˆ ˆ ˆ = c + α + β }, + > m + 1. Denna procedur upprepas B gånger och ndex b anger aktuellt teratonsnummer. När predktoner framtdstrangeln gorts smuleras vare cell framtdstrangeln ur den aktuella modellens fördelnng med predktonerna yˆ som väntevärden och parametern φ som skattas vare teratonssteg utgör en parameter den aktuella fördelnngen som det smuleras ur (se appendx för exakt utseende hos fördelnngarna). Sedan summeras dessa smulerade värden framtdstrangeln och v har efter B teratoner B stycken skattade reserver. V får även en emprsk fördelnngsfunkton för obs x totala reserven Fˆ ( x) = # ur vlken percentler kan utläsas. B b Smulerngen sker alltså två steg. I första steget smuleras en pseudotrangel fram genom slumpmässgt urval bland resdualerna. I det andra steget sker smulerng ur den aktuella fördelnngen framtdstrangelns alla celler. Tanken är att fånga upp dels varatonen parameterskattnngarna och dels varatonen framtden. England & Verrall (2002, kaptel 7) uttrycker detta som Predcton varance = Estmaton varance + Process varance. En bootstrap-algortm som efter det första steget skattar den total reserven genom summan av framtdstrangelns celler fångar bara felet parameterskattnngarna och mssar därmed varatonen krng de framtda väntevärdena. 8

11 2.2.1 Bootstrap-algortmen steg för steg I schemat nedan är bootstrap-algortmen llustrerad steg för steg. Steg 1 Startprocedur Ansättnng av modell med skattnng av parametrarna Parametrarna pearsonskattnngen. c, α, β, (, = 1,2 m) och φ. c, α, β skattas med quas-lkelhood (se appendx) och φ med Beräknng av anpassade värden µˆ utvecklngstrangeln ( + m + 1). Beräknng av de standardserade resdualerna enlgt (1): r st = y φˆ v( µ ˆ µ ˆ )(1 h. ) Steg 2 Smulerng, upprepas B gånger Substeg estmatonsfelet * Skapande av en pseudotrangel y r * genom relatonen y = r φˆ ' ' v( µ ˆ )(1 h ) + µ ˆ för vare plats utvecklngstrangeln där resdualerna r ' ' väls genom slumpmässgt urval med återläggnng bland resdualerna från steg 1. Ansättnng av modell och skattnng av parametrarna c, α, β, (, = 1,2 m) och φ. Predktoner för alla celler framtdstrangeln genom b b b ˆ exp ˆ ˆ ˆ b y = c + α + β, + > m +. { } 1 Substeg processfelet Skapande av smulerade värden b sm y ˆ,, (+ > m+1), där b anger teratonssteg och sm att den är smulerad, alla celler framtdstrangeln. Smulerngen sker från aktuell fördelnng med predktonerna från substeg 2.1 som väntevärden. 9

12 Beräknng av bootstrap-smulerad total reserv Steg 3 Resultat efter B teratoner b R ˆ = y. b, sm ˆ + > m+ 1 1 B Skattnng av standardavvkelsen för reserven med sr = = ( Rˆ b b R) 1 B 1 Skattnng av fördelnngen för reserven med den emprska fördelnngen 2. obs x Fˆ ( x) = #. B Beräknng av percentler hos den framsmulerade fördelnngen. Percentlerna defneras här genom λ α = [ αb] där α är en sannolkhet och funktonen [x] betyder heltalsdelen av x. Percentlen är då observaton nummer λ α det ordnade stckprovet av smulerade reserver. 3 Data Data som används detta arbete är utvecklngstranglar för tre försäkrngsklasser hos Trygg- Hansa, cvl, trafk, resp. olycksfall. För att skydda Trygg-Hansa är beloppen omräknade tll fantasenheten a-mark. Tranglarna avser utbetalt skadebelopp och beloppen är avrundade tll närmaste heltal. Med utbetalt skadebelopp menas här bokade utbetalnngar. I praktken skulle en cell kunna vara negatv eftersom det bland förekommer negatva utbetalnngar det vll säga nbetalnngar tll bolaget. Detta sker exempelvs då bolaget betalar ut för en trafkskada som senare tllfaller ett annat försäkrngsbolag varvd bolaget får tllbaks det utlagda beloppet. De negatva utbetalnngarna är små förhållande tll de postva varför negatva cellvärden uppstår mycket sällan och förekommande fall hamnar bland de allra ssta utvecklngsåren då utbetalnngarna går mot noll. Aktuella data från Trygg-Hansa nnehåller nga negatva värden. Att det praktken skulle kunna hända att cellvärden är negatva är dock ett problem som måste övervägas noga. Skall modellerna tllåta negatva värden eller skall de bygga på att alla data är postva och betrakta negatva värden, om de förekommer, som fel data. I det senare fallet måste data usteras. Även om aktuella data från Trygg-Hansa enbart nnehåller postva värden blr detta problem aktuellt vd bootrap-smulerngen då vssa pseudotranglar nnehåller negatva värden. Detta dskuteras vdare avsntt Utvecklngstranglar I datatrangel 1, 2 och 3 återfnns de tre utvecklngstranglarna på nkrementell form. I cell (,) står utbetalt skadebelopp under utvecklngsår för skadeår. 10

13 Skade- Utvecklngsår år Datatrangel 1: Utvecklngstrangel. Försäkrngsklass cvl. Enhet a-mark. Skade- Utvecklngsår år Datatrangel 2: Utvecklngstrangel. Försäkrngsklass trafk. Enhet a-mark. Skade- Utvecklngsår år Datatrangel 3: Utvecklngstrangel. Försäkrngsklass olycksfall. Enhet a-mark. De tre tranglarna har lte olka egenskaper. Trafktrangeln består av betydlgt större värden än de två andra och betraktas som e avslutad med vlket menas att utbetalnngar för de aktuella skadeåren förväntas fortsätta bortom det ssta utvecklngsåret trangeln. Tranglarna har också olka dmenson där cvl-trangeln har den mnsta dmensonen. 11

14 4 Resultat av tllämpnng på data från Trygg-Hansa Anpassnng av modellerna och smulerng sker med hälp av programvaran SAS. Först undersöks modellernas anpassnng tll data där resdualplottar för de olka modellerna redovsas och dskuteras. Sedan utförs sälva bootstrap-smulerngen för de olka metoderna och resultaten redovsas. 4.1 Modellernas anpassnng tll data För att studera modellernas anpassnng tll data plottades de standardserade pearsonresdualerna r, enlgt (1), mot sna anpassade värden µˆ. Enlgt modellen kan dessa st betraktas som oberoende och lka fördelade med väntevärde 0 och varans 1. För ett tllfredsställande resultat skall nga mönster fnnas bland dem utan det skall se ut som ett ämt brus krng 0-axeln. Avvkelser från detta kan tyda på att modellen är felaktg på något sätt, se exempelvs McCullagh & Nelder (1989) kap. 12. På fölande sdor är de standardserade pearsonresduelarna plottade mot µˆ för alla modeller alla försäkrngsklasser. 12

15 4.1.1 Försäkrngsklass cvl Fgur 1 (tll vänster): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell OdP. Försäkrngsklass cvl. Fgur 2 (tll höger): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell SaPo. Försäkrngsklass cvl. Fgur 3: Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell Gamma. Försäkrngsklass cvl. 13

16 4.1.2 Försäkrngsklass trafk Fgur 4 (tll vänster): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell OdP. Försäkrngsklass trafk. Fgur 5 (tll höger): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell SaPo. Försäkrngsklass trafk. Fgur 6: Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell Gamma. Försäkrngsklass trafk. 14

17 4.1.3 Försäkrngsklass olycksfall Fgur 7 (tll vänster): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell OdP. Försäkrngsklass olycksfall. Fgur 8 (tll höger): Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell SaPo. Försäkrngsklass olycksfall. Fgur 9: Standardserade pearsonresdualer plottade mot µˆ. Modell Gamma. Försäkrngsklass olycksfall. Vad det gäller försäkrngsklass cvl är det svårt att se något drekt mönster bland 2 observatonerna. Mölgen kan en parabel på formen x skönas för OdP- och SaPomodellen för stora µˆ där v har få observatoner. Tendensen är störst för OdP-modellen. Spännvdden för resdualerna verkar öka med µˆ för OdP samtdgt som den ser ganska konstant ut för SaPo medan den för Gamma mölgen verkar sunka. På försäkrngsklass trafk har v en tät svärm med resdualer för låga µˆ och en lte glesare svärm längre bort på µˆ -axeln. Resdualerna är kraftgt konformade för Gamma-modellen. SaPo-modellens resdualer ser ut att föla en lne på formen kx den bortre glesare svärmen. OdP-resdualerna ser bra ut. 15

18 På försäkrngsklass olycksfall har v ett ämnt resdualspektrum för OdP-modellen varefter kon-utseendet ökar med ökande p varansfunktonen. För Gamma-modellen ser resdualerna ut att avta med ökande µˆ för alla tre försäkrngsklasser vlket kan tyda på en för hög potens varansfunktonen. Tydlgast är detta olycksfall. Det som mest ser ut som ett skolboksexempel av oberoende lkafördelade observatoner är OdP-resdualerna för olycksfall. Där får man hälp av att resdualerna är ämnt fördelade med avseende på µˆ. Modellerna OdP och SaPo ser hyfsade ut alla tre fallen och mölgen ser OdP-modellen bättre ut än SaPo. Kanske skulle p = 1.25 eller lknande ge bäst anpassnng. 4.2 Skattad reserv utan bootstrap Metoderna ger lte olka skattnngar av den totala reserven och resultaten skler sg för de olka försäkrngsklasserna. I tabell 10 ges skattnngarna av den totala reserven för alla metoder. I tabell 11 uttrycks skattnngarna som procent av OdP-skattnngen (som alltd är samma som Chan Ladder-skattnngen). V ser att försäkrngsklass cvl ger metoderna stort sett samma skattnng av reserven, SaPo-skattnngen är anngen större än OdP och Gammaskattnngen ännu lte större, dock bara crka 1.7% större än OdP. I försäkrngsklass trafk är skllnaderna större där SaPo ger en 8.6% större skattnng än OdP och Gamma 18.2% större än OdP. I försäkrngsklass cvl är skllnaderna annorlunda. Där ger SaPo och Gamma anngen lägre skattnngar än OdP, SaPo knappt 1% och Gamma drygt 2% lägre. OdP SaPo Gamma Cvl Trafk Olycksfall Tabell 10: Skattade reserver för alla metoder. OdP SaPo Gamma Cvl Trafk Olycksfall Tabell 11: Skattade reserver för alla metoder som procent av OdP. Den stora skllnaden på försäkrngsklass trafk är anmärknngsvärd. Skattnngen av totala reservbehovet är nästan 20% större med Gamma än med OdP. Annars är det svårt att se några mönster, två fall växer reservbehovet med växande p och ett fall sunker den. 4.3 Parametern φ Vd ansättnng av modellerna skattades parametrarna c, α, β genom maxmerng av quaslkelhooden (se appendx). Parametern φ skattades genom pearsonskattnngen 2 2 r, pearson 1 ( y µ ˆ ) φ ˆ = = där varansfunktonen v (µ) u är m + m+ 1 n p n p v( µ ˆ ) v ( µ ) = µ, 1.5 v ( µ ) = µ resp. 2 v ( µ ) = µ för de tre modellerna OdP, SaPo och Gamma. 16

19 Skattnngen avφ för de tre modellerna steg 1 bootstrap-algortmen fnns tabell 12 där v ser mycket varerande värden. Skllnaderna beror på att varansfunktonen är nämnare pearsonresdualen och ger därför mndre pearsonresdualer med ökande p. Fölaktlgen blr även φˆ mndre. OdP SaPo Gamma Cvl Olycksfall Trafk Tabell 12: Skattade φ :n steg Resdualer Vd skapandet av de standardserade Pearsonresdualerna steg 1 bootstrap-algortmen blr resdualerna r 1 nordöstra hörnet och r 1 sydvästra hörnet lka med noll eftersom st m µ ˆ 1m = y 1m och ˆ m1 = ym 1 st m µ per defnton. Dessa resdualer betraktas nte som observatoner från den underlggande stokastska varabeln och tas därför nte med bland resdualerna ur vlka urval med återläggnng sker. V tror helt enkelt nte på att v har två observatoner som passar perfekt varför v skulle förlora varaton om dessa noll-resdualer togs med smulerngen. Statstska data om de resulterande resdualmängderna efter det nledande bootstrap-steget återfnns Tabell 13. Medelvärdet hamnade nära 0 och standardavvkelsen nära 1 överlag, som väntat. n-2 medelv. st. avv. mn max Cvl OdP SaPo Gamma Trafk OdP SaPo Gamma Olycksfall OdP SaPo Gamma Tabell 13: Data om resdualerna från steg 1 bootstrap-algortmen 4.5 Negatva värden pseudotranglarna Även om aktuella data från Trygg-Hansa nte nnehåller negatva värden är problemet med negatva värden utvecklngstrangeln värt att dskutera. För några av modellerna uppstod relatvt ofta negatva värden pseudotranglarna (se fgur 14). Dessa kan uppstå om den slumpmässgt valda resdualen är stor och negatv, se relaton (2 ). Vd en sådan stuaton kan parametrar skattas genom quas-lkelhood med det mndre stränga kravet att kolumnsummorna skall vara postva fallet OdP och Gamma. När negatva värden 17

20 pseudotrangeln uppstår sker detta dock oftast någonstans den nordöstra delen av trangeln varför kolumnsumman med stor sannolkhet blr negatv då detta sker. I fallet SaPo tllåts negatva värden men problem uppstår då SAS skall skatta parametrar. Den teratva skattnngsprocessen som SAS använder sg av (se appendx) konvergerar nte alltd varför en korrgerng även SaPo-fallet var nödvändg. Här valdes den pragmatska lösnngen att nte tllåta några negatva värden över huvud taget. Vd ett negatvt värde pseudotrangeln ersattes den med ett annat värde. I fallet OdP och SaPo ersattes negatva värden pseudotranglarna med värdet noll. I Gammafallet ersattes negatva värden pseudotranglarna med talet 100 alla tre försäkrngsklasserna. Hur England & Verrall (2001) och andra löst problemet framgår nte ur deras uppsatser. Att ersätta negatva värden med postva nnebär att en del av den totala varatonen underskattas vlket bör beaktas vd analyserna efter smulerngen. Specellt om negatva värden uppstår ofta. I tabell 14 nedan redovsas hur ofta ett negatvt värde uppstod pseudotranglarna. I fallet OdP var detta ett relatvt stort problem där det för försäkrngsklass cvl skedde 2728 gånger på olka ställen trangeln och för försäkrngsklass olycksfall 885 gånger. För modellen SaPo var det också ett problem där det försäkrngsklass cvl var en resdual ( r = ) som gav upphov tll de negatva värdena. För Gamma-modellen uppstod nte negatva värden cvl eller trafk medan en mycket stor resdual ( r = ) spökade försäkrngsklass olycksfall. Att negatva värden nte uppstod så ofta försäkrngsklass trafk beror på att den ursprunglga trangeln har genomgående höga värden. Värdena för de sena utvecklngsåren har nte gått ner mot noll än. OdP SaPo Gamma Cvl 2728 gånger 253 gånger olka r alltd r= nga negatva värden olka ställen utv.år 7 och framåt Trafk 46 gånger r <= nga negatva värden nga negatva värden alltd nordöstra hörnet Olycksfall 885 gånger 189 gånger 357 gånger r <= r<= alltd r= utv. år 6 och framåt utv.år 10 och framåt utv. år 2 och framåt Tabell 14: Förekomst av negatva värden pseudotranglarna under 1000 teratoner. 4.6 Smulerngssteget Det är först vd smulerngen framtdstrangeln som fördelnngsantagandet gör sg gällande. Vd ansättnng av modellen räckte det med specfkaton av varansfunkton men här måste v ha en fördelnng att smulera från. Smulerngen framtdstrangeln med de predkterade värdena som väntevärden skedde på fölande sätt. I fallet OdP; för att smulera från en översprdd Possonfördelnng med väntevärde y smulerades från en possonfördelad b 18

21 b y b varabel med väntevärde multplcerat med φˆ. Indexet b anger aktuellt b φˆ teratonsnummer. För vare ny pseudotrangel skattas dspersonsparametern φ om på nytt. I fallet SaPo smulerades två steg (se appendx om hur SaPo-varabeln är uppbyggd). Först b 2 p ( y ) b sm smulerades ett m fram från en possonfördelnng med väntevärde varefter y, ˆb φ (2 p) m(2 p) erhölls genom smulerng ur en gammafördelnng med parametrarna α = och p 1 ˆb b p 1 sm β = φ ( p 1)( y ). I Gammafallet erhölls y, genom smulerng från en 1 gammafördelnng med parametrarna α = och β b φˆ att 2 E [Y ] = αβ och Var ( Y) = αβ. b = φˆ b y där gammafördelnngen är sådan b Fördelnngarnas utseende Modellen OdP är specell genom att stödet för fördelnngen beror på sprdnngsparametern φ. Gvet parametern φ hamnar stödet på talen φ n, n = 1, 2,3.... Fördelnngarna som det smuleras från framtdstrangeln ser märklga ut om φ är stort förhållande tll väntevärdet µ vlket är fallet alla tre försäkrngsklasserna. En typsk framtdstrangel försäkrngsklass cvl för OdP-modellen är den som beräknas på den ursprunglga utvecklngstrangeln, se fgur 15. utvecklngsår skadeår Fgur 15: Framtdstrangel beräknad på ursprungsdata. Försäkrngsklass cvl, modell OdP. Parametern φ skattades här tll 2156 och v ser att för utvecklngsår 9 och 10 är samtlga värden lägre än detta och att värdena utvecklngsåren 7, 8, 11 och 12 bara är anngen större än Då värdena framtdstrangeln, som fungerar som väntevärden den fördelnng som det smuleras ur, lgger närheten av φ ser fördelnngarna konstga ut. I fgur 16 och 17 fnns två OdP-fördelnngar plottade som llustrerar detta. Fördelnngarna har stora punktmassor ett fåtal punkter där sannolkhetsmassan är störst y = 0 om µ är mndre än φ. 19

22 Frekvensfunkton, OdP, ph=2156, m=2000 sannolkhet y Fgur 16: Frekvensfunkton för en OdP-fördelad s.v. Frekvensfunkton, OdP, ph=2156, m= sannolkhet y Fgur 17: Frekvensfunkton för OdP-fördelad s.v. Sannolkhetsmassan lgger på punkterna n 2156, n = 0,1,2... med en stor sannolkhet nollan fgur 16 då µ = 2000 vlket känns onaturlgt då det som smuleras är framtda utbetalnngar. Fördelnngen borde vara kontnuerlg eller åtmnstone approxmatvt kontnuerlg så att punkterna för stödet lgger tätt. I försäkrngsklass olycksfall är fenomenet densamma att φ är stort relaton tll framtdstrangelns värden men dock nte lka stort. I en typsk framtdstrangel beräknad på ursprungsdata där φ skattades tll 969 är det bara ssta kolumnen framtdstrangeln som nnehåller värden mndre än det. I fördelnngarna SaPo och Gamma beror nte fördelnngarnas stöd på parametern φ. Där ser fördelnngarna mer rmlga ut även för mndre värden framtdstrangeln. Eftersom frekvensfunktonen för en SaPo-fördelad stokastsk varabel har ett komplcerat utseende (se appendx) återfnns fgur 18 en smulerad frekvensfunkton för en SaPo-fördelad varabel med väntevärde 1500 och sprdnngsparameter skattad tll 9.58 då SaPo-modellen applcerades på den ursprunglga utvecklngstrangeln för försäkrngsklass cvl. Då Gamma- 20

23 modellen anpassades på samma utvecklngstrangel skattades φ tll och en bld av frekvensfunktonen för en gammafördelad stokastsk varabel med väntevärde 1500 och sprdnngsparameter fnns fgur 19. Fgur 18: Smulerad frekvensfunkton för en SaPo-fördelad s.v. Gamma-täthet, ph=0.066, mu= f(y) Sere y Fgur 19: Frekvensfunkton för Gamma-fördelad s.v. 4.7 Resultat efter 1000 teratoner b I denna undersöknng valdes B = 1000 teratoner varvd 1000 smulerade totala reserver Rˆ erhölls. I det fölande undersöker v predktonsfelet, medelvärdet, fördelnngarnas utseende 21

24 och percentler fördelnngarna för respektve metod för de tre försäkrngsklasserna. Predktonsfelet som gäller som en skattnng av estmatonsfelet + processfelet för totala b reserven skattades med standardavvkelsen av Rˆ genom formeln 1000 =1 b 2 b 1000 ( R R) R s = b = där 1 = b R är medelvärdet av de smulerade skattade reserverna. Percentler den emprska fördelnngen erhölls genom observaton nummer λ α det ordnade stckprovet av smulerade reserver där λ α = [ α 1000] och α är procentnvån. # obs x Den emprska fördelnngen erhölls genom Fˆ ( x) =. Den emprska 1000 b frekvensfunktonen för totala reserven erhölls genom att plotta ett hstogram över Rˆ Försäkrngsklass cvl I tabell 20 ser v percentler hos den framsmulerade fördelnngen samt medelvärdet, standardavvkelsen och varatonskoeffcenten, som är standardavvkelsen delat med medelvärdet, för försäkrngsklass cvl efter 1000 teratoner. På ssta raden redovsas modellens ursprunglgt predkterade totala reserv. Percentler OdP SaPo Gamma Medelv St.avv Std/Medelv Modell Tabell 20: Percentler och standardavvkelse efter 1000 teratoner. Försäkrngsklass cvl. Modellerna ger olka varaton där OdP ger mnst och SaPo anngen större varaton. Gamma varerar mer än dubbelt så mycket som de övrga. Medelvärdena lgger ganska nära det ursprunglgt skattade för alla tre modellerna vlket tyder på att bootstrap-smulerngen här nte verkar ha någon större bas vad det gäller skattnng av väntevärdet. Att Gamma har en dubbelt så stor standardavvkelse som de andra är anmärknngsvärt. Hstogram över smulerade reserver för respektve metod redovsas fgur 21, 22 och 23. Hstogrammen är plottade samma skala. 22

25 Fgur 21: Hstogram över smulerad totala reserver. Modell OdP, försäkrngsklass cvl. Fgur 22: Hstogram över smulerad totala reserver. Modell SaPo, försäkrngsklass cvl. 23

26 Fgur 23: Hstogram över smulerad totala reserver. Modell Gamma, försäkrngsklass cvl Försäkrngsklass trafk Percentler, medelvärden och andra statstska data efter 1000 bootstrap-teratoner på utvecklngstrangeln för försäkrngsklass trafk återfnns tabell 24. Varatonen som del av väntevärdet är samma storleksordnng för alla tre modellerna, omkrng 7%. För alla tre modellerna lgger det smulerade väntevärdet nära (nom ± 1% av) det predkterade värde som modellen ursprunglgen ger. Väntevärdena skler sg dock kraftgt åt såsom tdgare påpekats. Percentler OdP SaPo Gamma Medelv St.avv Std/Medelv Modell Tabell 24: Percentler och andra data efter 1000 teratoner. Försäkrngsklass trafk. Resultatet av smulerngarna, för försäkrngsklass trafk, form av hstogram återfnns fgur 25, 26 och

27 Fgur 25: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell OdP, försäkrngsklass trafk. Fgur 26: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell SaPo, försäkrngsklass trafk. 25

28 Fgur 27: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell Gamma, försäkrngsklass trafk Försäkrngsklass olycksfall Percentler och annat efter smulerngarna för försäkrngsklass olycksfall fnns fgur 28. OdP ger störst väntevärde, SaPo lte mndre och Gamma mnst. Varatonen är som försäkrngsklass cvl klart störst för modell Gamma. OdP har mnst varans och SaPo anngen större. Percentler OdP SaPo Gamma Medelv St.avv Std/Medelv Modell Fgur 28: Percentler och andra data efter 1000 teratoner. Försäkrngsklass olycksfall. Resultatet av smulerngarna, för försäkrngsklass olycksfall, form av hstogram återfnns fgur 29, 30 och

29 Fgur 29: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell OdP, försäkrngsklass olycksfall. Fgur 30: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell SaPo, försäkrngsklass olycksfall. 27

30 Fgur 31: Hstogram över smulerade totala reserver. Modell Gamma, försäkrngsklass olycksfall. 28

31 5 Slutsatser I tabell 32 sammanfattas resultatet av smulerngarna. Där återfnns medelvärdet av smulerngarna samt medelvärdet delat med modellens predkterade värde och varatonskoeffcenten uttryckta procent. OdP SaPo Gamma Cvl Medelvärde Medelv./Modell Varatonskoeff Trafk Medelvärde Medelv./Modell Varatonskoeff Olycksfall Medelvärde Medelv./Modell Varatonskoeff Tabell 32: Smulerngsresultat. Smulerngarna för alla modeller alla försäkrngsklasser ger ett medelvärde som lgger ganska nära det som modellen ger ursprunglgen. Den största basen är för modell Gamma försäkrngsklass cvl där smulerngarnas medelvärde är 1.3% större än modellens väntevärde. Detta ndkerar att smulerngsproceduren är relatvt bas-fr vad det gäller predkton av modellens ursprunglga väntevärde trots problemen med negatva väntevärden pseudotranglarna (se kaptel 4.5). Modellerna ger olka väntevärden utan något entydgt samband. I två fall av tre växer väntevärdet med växande p varansfunktonen dvs. OdP, som ger samma skattnng som Chan Ladder, ger mnst reserv, SaPo lte större och Gamma störst. Detta var fallet för försäkrngsklass cvl och trafk. Skllnaderna är relatvt små försäkrngsklass cvl där Gamma ger 1.7% större skattad reserv än OdP medan de är större försäkrngsklass trafk där motsvarande skllnad är 18.2%. I det trede fallet, för försäkrngsklass olycksfall, sunker väntevärdet med ökande p där Gamma ger mnst reserv SaPo lte större och OdP störst där Gamma-modellens reserv är 2.2% mndre än OdP:s. Varatonskoeffcenten varerar mellan metoderna och försäkrngsklasserna. Gamma ger störst varatonskoeffcent alla klasser. OdP har lägst varatonskoeffcent klass cvl och olycksfall där SaPo lgger ganska nära men något över. I försäkrngsklass trafk är SaPomodellens varatonskoeffcent anngen mndre än hos OdP-modellens. Största skllnaderna varaton är försäkrngsklass cvl där varatonskoeffcenten är mer än dubbelt så stor för Gamma ämfört med OdP och SaPo och mnsta skllnaderna fnns försäkrngsklass trafk där standardavvkelserna lgger nära varandra, varatonskoeffcenterna är 7.1, 6.7 resp. 7.3 procent. Om man betraktar 90-, 95-, 97,5- och 99%-percentlen för alla tre metoderna alla tre försäkrngsklasser är resultatet entydgt. OdP ger mnst percentl, SaPo lte större och Gamma störst. Mölgen kan 1000 teratoner vara på gränsen tll för lte. Tttar v på Gamma-smulerngarna fgur 23 och 31 ser det ut som att den framsmulerade fördelnngen nte rktgt har konvergerat. 29

32 Analysen av plottade resdualer kaptel 4.1 talar för OdP-modellen eller en modell med p nära ett. Problemen med många negatva värden pseudotranglarna däremot samt det märklga utseendet hos fördelnngarna det smuleras ur framtdstrangeln talar emot OdPmodellen. De kraftgt konformade resdualerna samt den stora varansen hos Gammamodellen tyder på att varansantagandet med p = 2 kan vara för stort. Gammamodellen känns överlag anngen nstabl. SaPo-modellens resdual-plottar är nte helt tllfredsställande. Däremot känns fördelnngarna det smleras ur framtdstrangeln rmlga och problemet med negatva värden pseudotranglarna är nte lka stort som OdP. I ett val mellan de tre modellerna OdP, SaPo med p = 1.5 och Gamma blr rekommendatonen att väla modell SaPo. Den känns naturlg då den uppstår genom ett possonfördelat antal gammafördelade varabler och v här en gven cell har ett stokastskt antal utbetalnngar av varerande storlek. Mölgen skulle en modell med p någonstans mtt emellan 1 och 1.5 vara bäst. På senare td har metoder och framförallt programvaror för att skatta p kommt som gör att en metod skulle kunna vara att först skatta p och sedan stoppa n den en sådan här smulerngsalgortm SAS. I ett försök, egentlgen utanför ramen för detta arbete, skattades p med hälp av programvaran Emblem tll 1.42, 1.42 och 1.65 för olycksfall, trafk respektve cvl. 30

33 6 Appendx 6.1 Parameterbyte log-lnära modellen Parameterbytet för att gå från den log-lnära strukturen (*) log( µ ) = log( γ ) + log( δ ), där log( δ ) = 0 tll m = 1 1 = β1 = (**) log( µ ) = c + α + β, där α 0 sker genom att låta c+ α m β = e ( e ), c log( γ 1δ 1), α = log( γ / γ 1), β = log( δ / δ1) β e = δ = = 1 m γ. β e = Parameterskattnng och hat -matrsen Vd parameterskattnng sker först en övergång från trangelform tll lstform så att v har r T m( m +1) observatonerna y en lång vektor y = ( y1, y2,..., y n ) där n = är antalet 2 observatoner utvecklngstrangeln. Observatonerna y ordnas så att de hamnar r T enlgt y = ( y11, y12,..., y1 m, y21,..., y m 1). Den generalserade lnära modellen skrvs då på formen r r g ( µ ) = Xβ m( m + 1) där funktonen g är log, X är den (2m 1) -dmensonella desgnmatrsen 2 T nnehållande ettor och nollor, och β r = ( β,..., ) 1 β 2m 1 är parametervektorn nnehållande r T parametrarna c, α och β omdöpta och ordnade enlgt β = ( c, α 2,..., α m, β 2,..., β m ). Då r r exempelvs m = 4 har v g ( µ ) = Xβ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ log( µ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) β β β β = β β β β β 9 Skattnngen av parametrarna c, α och β genom vanlg maxmum lkelhood sker genom maxmerng av lkelhoodfunktonen r r 1 l ( θ ; φ, y) = ( y + θ b( θ )) c( y, φ). Teorn nedan är hämtad ur Ohlsson & Johansson φ (2003). 31

34 Derverng av denna med avseende på l β 1 = φ y µ v( µ ) g ( µ x ) = β blr efter upprepad användnng av kederegeln p 1 y µ log( µ ), v( µ ) = µ = x p 1. φ µ { g( µ ) = } Nollstället tll dessa 2 m + 1 dervator ger SAS genom Newton-Raphson-metoden enlgt r r r 2 l (*) β k + 1 = β k H s där H (Hessanen) är matrsen av andradervator och s är β β vektorn av förstadervator tll lkelhooden. H ges av T H = X W X där X är desgnmatrsen och W 0 är en dagonalmatrs vars element på rad ges av v( µ ) g ( µ ) + v ( µ ) g ( µ ) 1 w0 = we + ( y µ ) där w 2 3 e =. 2 φ( v( µ )) ( g ( µ )) v( µ )( g ( µ )) Hatmatrsen defneras här, enlgt SAS default, som Hatmatrs = W där W = W0 om algortmen slutade första steget och W e annars. 0 1/ 2 X k T 1 T 1/ 2 ( X WX ) X W Maxmum quas lkelhood-skattnng av parametrarna sker på samma sätt. Enlgt teorn nnebär Maxmum quas lkelhood att parametrarna skattas genom maxmerng av quaslkelhood-funktonen Q( µ, y) = Q = = r r r r µ y t µ y t ( µ, y) dt y dt stället för y p φv( t) φt den vanlga log-lkelhooden. Denna fungerar som en äkta log-lkelhood vad det gäller estmaton av parametrarna, se Olsson & Johansson (2003) kap 3, och ger samma parameterskattnngar som maxmum lkelhood. Fördelen med quas-lkelhood är att fördelnng nte behöver specfceras utan det räcker med specfkaton av varansfunktonen. 6.3 Fördelnngar Översprdd Posson, OdP Varansfunktonen v ( µ ) = µ svarar mot en översprdd possonfördelnng. Gvet φ är frekvensfunktonen för en översprdd Posson varabel y φ y log( µ ) µ y y y log( µ ) µ φ f Y ( y) = exp log( φ) log! = exp + log där φ φ φ φ y! φ y = φ n, n {0,1,2 K}, och 0 annars. För dessa fördelnngar gäller att Var (Y ) = φµ Var (Y) = φ µ det vll säga standardavvkelsen är proportonell mot µ Sammansatt Posson 32

35 Då 1 < p < 2 v µ p ( µ ) = vsar Jørgensen (1997) att fördelnngen blr yθ b( θ ) f Y ( y) = exp + c( y; φ, p) där φ 1 p 1 ( p 2) /( p 1) 1/(1 p) µ b( θ ) = ( θ (1 p) ), µ = b'( θ ) = ( θ (1 p)) θ = och 2 p 1 p n n 1 φ ( b( φ / y)) log > ( ) då y 0 n= 1 y Γ n(2 p) /( p 1) n! c( y; φ, p) =. 0 annars Denna fördelnng uppkommer på fölande sätt: n Antag att Z = = X 1 där X ~ d Ga( α, β ) och N ~ Po( m) samt N och X oberoende. Med 2 Ga(α,β) menas här gammafördelnng med E [X ] = αβ och Var ( X ) = αβ. Parametrarna α och β gammafördelnngen samt m possonfördelnngen väls 1 enlgt 2 2 p p p µ α =, β = φ( p 1) µ och m =. Den stokastska varabeln Z har då ovan p 1 φ(2 p) p nämnda fördelnng. För dessa fördelnngar gäller att Var( Y) = φµ Var φµ p ( Y) = Gamma Tätheten för en gammafördelad stokastsk varabel är y 1 α 1 1 β y fy ( y; α, β ) = y e = exp ( α 1) log( y) log( Γ( α)) α log( β ) = α Γ( α) β β 1 φ y( 1/ µ ) log( µ ) y = { φ = 1/ α, µ = αβ } = exp + log( ) = φ φ φ( Γ(1/ φ)) yθ b( θ ) = { θ = 1/ µ, b ( θ ) = log( 1/ θ )} = exp + c( y; φ). φ 2 För denna fördelnng gäller att Var ( Y) = φµ Var( Y ) = φ µ d v s standardavvkelsen är proportonell mot väntevärdet. 33

36 Ltteratur Efron, B. & Tbshran, R. J., An Introducton to the Bootstrap. Chapman and Hall. England, P. D. & Verrall, R. J., Stochastc clams reservng n general nsurance. Presenterat nför Insttute of actuares, 28 anuar England, P. D. & Verrall, R. J., Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clams reservng. Mathematcs and Economcs, Elsever, vol. 25(3). England, P. D., Addendum to Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clams reservng. Research report no. 138 Cty Unversty London. Jørgensen, Bent, The theory of dsperson models. Chapman and Hall, New York. Mack, T., Dstrbuton-free calculaton of the standard error of chan-ladder reserve estmates. ASTIN Bulletn, 23, No.2. McCullagh, P. & Nelder J.A., Generalzed lnear models, second edton. Chapman and Hall. Ohlsson, E. & Johansson, B., Prssättnng nom sakförsäkrng med Generalserade lnära modeller. Olsson, U., Generalzed lnear models, an appled approach. Studentltteratur. Pnhero, P. J. R., Andrade e Slva, J. M. & Centeno, M., Bootstrap methodology n clams reservng. SAS Insttute, SASOnlneDocument. 34