INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

Transkript

1 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fktioer bildigr Beteckigr och grdbegrepp Defiitio E fktio eller bildig frå e mägd till e mägd B är e regel som till ågr elemet i ordr högst ett elemet i B tt fktioe f bildr bilds på beteckr i eller f Om f säger i tt är bilde origile tt f är e fktio frå till B beteckr i på följde sätt f : B Mägde r fktioes strtmägd eg: iitil set Mägde B är fktioes målmägd eller kodomä eg: fil set trget set codomi f : B Defiitiosmägde eg: domi D f till fktioe f är mägde ll origiler ds mägde ll på ilk f tillämps de gl mägde i grfe Värdemägde eg: rge V f är mägde ll bilder som fås då geomlöper defiitiosmägde eller mer precis V f { f : D f } Noter skillde mell strtmägde och defiitiosmäge; ärdemägde V f och målmägde B Geerellt gäller: D f och V f B Eempel Låt f : R R där f För de här fktioe är strtmägde R målmägde R defiitiosmägde[-] och ärdemägde [] Eempel Ett diskret eempel För fktioe f som defiiers med hjälp grfe gäller: f : B strtmägde { } målmägde B { b c d e} defiitiosmägde är D f { } ärdemägde är V f { c}

2 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr Elemet i mägder och B k r tl ektorer mtriser eller dr mtemtisk objekt Elemet i behöer ite r smm tp som elemet i B Eempeliss fktioe : R R f f bildr -dimesioell på -dimesioell ektorer LINJÄR VBILDNINGR Defiitio Lijär bildig Låt V och W r tå ektorrm t e VR och WR m E fktio frå V till W säges r e lijär bildig lijär fktio eller lijär trsformtio om följde tå illkor är ppflld Villkor för ll V Villkor k k för rje sklär k och ll V Eempel bildige : R R defiierd som bildr -dimesioell ektorer på -dimesioell ektorer Vi k is tt oståede bildig är lijär geom tt skri om på mtris form Då är ekelt tt ise tt illkor och är ppflld: ip distribti lge för mtrismlt Dett isr tt Villkor i defiitioe är ppflld k k k k mtris och egeskper för mlt mell tl I årt fll och därmed är e lijär bildig

3 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr märkig : Vi k ersätt illkor och med ett illkor och ge följde ekilet defiitio: Defiitio b E fktio frå V till W säges r e lijär bildig lijär fktio eller lijär trsformtio om följde illkor är ppfllt VVVVVVVVVVVVVV k s k s för ll k s R och ll V Sts Om är e lijär bildig frå V till W då gäller V W Beis: V V eligt illkor i defiitioe V W VSB märkig : Villkoret V W är ödädigt me ite tillräckligt illkor för bildiges lieritet Eempel bildige frå R till R som defiiers är INE lijär eftersom märkig Frå defiitio eller hr i tt om gäller k k k p p k k k p så p Med dr ord om ektor är e lijär kombitio ektorer p så k i beräk med hjälp ärde se följde eempel p Uppgift Låt r e lijär bildig frå R till R som stisfierr och där K i med gie iformtio beräk om

4 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr i ii Lösig: i Vi kollr om i k skri som e lijär kombitio och ger och och därför Därför k i beräk ii De här gåge k i INE skri som e lijär kombitio och eftersom ektioe skr lösig kotroller själ Därför k i INE beräk med hjälp gie iformtio MRISVBILDNING är e LINJÄR VBILDNING Låt r e mtris tp m Fktioe frå R till R m defiierd som där m R och därmed R klls i år krsbok mtrisbildig Vi k ge bildige med m sklär ektioer: m m m m Vrje mtrisbildig är e lijär bildig eftersom följde gäller eligt lgr för mtrisopertioer och k k Bilder stdrdbsektorer: Låt mm mm mm r e mtris Hr bilds stdrdbsektorer

5 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr e e e? Sr: ee kolo ee mm kolo mm Därmed hr i ist tt bilder bsektorer ee ee är koloer i mtrise Vrje LINJÄR VBILDNING frå R till R m k ges som e MRISVBILDNING Vi hr ist tt Vrje mtrisbildig är e lijär bildig Bilder bsektorer ee ee är koloer i mtrise N sk i is omät påståede tt rje lijärt bildig frå R till R m k ges som e mtrisbildig där koloer i är bilder bsektorer e e Låt r e lijär bildig frå R till R m Låt kk kk mm mm r bilder stdrdbsektorer e e Om i bildr mtrise med kk kk som kolloer i ds mm mm mm då gäller e k e k e k e e e lltså och bildr bsäktorer på smm bilder k k Därför för e godtcklig ektor e e R i hr e e k k och e e k k lltså är för ll R s

6 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr Därmed hr i ist tt rje tt rje lijärt bildig frå R till R m k ges som e mtrisbildig där koloer i är bilder stdrdbsektorer e e Uppgift Låt r de bildig som defiiers där Låt e och e e e Bestäm e e och Sr: e e e Defiitio VBILDNINGENS MRIS Låt r e lijär bildig frå R till R m Låt ee ee mm mm r bilder stdrdbsektorer e e Då klls mtrise för bildiges mtris i stdrdbse mm mm mm eller stdrdmtris för bildige Beteckig De mtris som hör till bildige beteckr i oftst med [] märkig:iktig Ett ekelt sätt tt beis tt e gie fktio frå R till R m är e lijär bildig är tt ge fktioe som e mtrisbildig Uppgift Vis tt bildige frå R till R som defiiers eligt där är e lijär bildig och bestäm och

7 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr Lösig: ds där stdrdmtrise är och Vi hr därmed beist tt är e lijär bildig eftersom och k k gäller eligt lgr för mtrisopertioer Uppgift Bestäm stdrdmtrise för de lijär bildig som iebär tt rje ektor i R bilds på si ortogol projektio på ektor ds proj Lösig: Metod Vi bestämmer ett ltiskt ttrck för Därefter skrier i på mtrisforme De form beisr tt är lijär och tt stdrdmtrise ] [ Låt r e ektor i R då gäller 9 proj 9 Därmed hr i beist tt är e lijärbildig och tt 9 ] [ Metod De metod gäller om i red hr ist tt är e lijär opertor Först bestämmer i e e och e som bildr koloer i stdrdmtrise ] [ / / / e e

8 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr / / / e e / / / e e Här 9 / / / / / / / / / ] [ 9 Sr: 9 ] [ SMMNS LINJÄR VBILDNINGR Vi betrktr smmstt lijär bildigr där beteckr Låt r de mtris tp pp som hör till e lijär bildig låt idre r de mtris tp mm som hör till e lijär bildig då är de bildiges mtris som hör till smmstt bildige eftersom ssociti lge för mtrismltipliktio Uppgift Låt r de mtris som hör till e lijär bildig r de mtris som hör till e lijär bildig Bestäm mtrise för smmstt bildige Lösig: Uppgift KS 9 Utrck ektor som e lijärkombitio ektorer och b För e lijär bidig med bildigsmtrise gäller 8

9 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr och äd resltt i för tt bestämm Lösig : Sr: b märkig : Låt ee ee ee r e bs i rmmet V Låt r e lijär bildig frå V till W Eftersom rje ektor i V k skris som e lijär kombitio bsektorer kk ee kk ee kk ee då gäller kk ee kk ee kk ee Med dr ord om i et hr bsektorer i V bilds då k i bestämm bilde rje ektor i V Uppgift Vi betrktr e bildig frå R till R där stdrdbse bilds eligt följde Koorditer i båd rm räks med seede på stdrdbser Bestäm b Bestäm bb cc c Bestäm bildiges mtris [] Lösig: Om i beteckr ektorer i stdrdbse ee ee och ee ee ee och ee då hr i 9

10 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr och därför ee ee ee ee ee ee ee Sr b bb ee bbee ccee cc ee bbee ccee bb cc bb cc bb cc Sr b bb bb cc cc bb cc Sr c Sret får i frå b eller direkt om i skrier bilder bsektorer som koloer i mtrise Uppgift 8 Kräer kskp om iers mtriser Vi betrktr e bildig frå R till R med mtrise Bestäm bildiges mtris om och där Lösig: smt Villkore och k i skri som e mtrisektio [ ] [ ] ds kortre BC Eftersom detb är mtrise B e ierterbr mtris

11 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr Ierse är B Frå BC hr i C B Vi k ekelt kotroller resltt: OK Sr: bildiges mtris är OK märkig : Låt BB VV ee ee ee r e bs i rmmet V R och BB WW ff ff ff mm e bs i rmmet WR m Låt idre r e bildig frå V till W Mtrise [] k i bild geom på följde tå sätt Metod Vi skrier ektorkoloer ee ee ee bilder bsektorer ee kk som koloer i mtrise lltså [ee ee ee ] ee ff ff mm ff mm då skrier i ee som e koorditektor i f-bse ee mm som i skrier som först kolo På smm sätt fortsätter i med ee ee Uppgift 9 Låt r e bildig frå e -dimesioell rm V med bse BB VV ee ee ee till ett - dimesioellrm W med bse BB WW ff ff ff ff som stisfierr Då är i koordit form ee ff ff ff ff ee ff ff ff ee ff ff

12 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr ee ee ee och därmed Uppgift KS 8 Bestäm mtrise för de lijär bildig som iebär tt rje ektor i rmmet bilds på si ortogol projektio på lije t Lösig: Låt r e godtckligt pkt i R O och 9 proj som i k skri på forme / / / / / / / / 9 / bildiges mtris är / / / / / / / / 9 / / / / / / / / / 9 / Uppgift KS 8 Bestäm mtrise för de lijär bildig som iebär tt rje ektor i rmmet bilds på si ortogol projektio på lije t Lösig: Låt r e godtckligt pkt O och

13 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr proj som i k skri på forme / / / / / 8/ / 8/ / / bildiges mtris är / / Uppgift / / 8/ 8 8 / 8/ / KS 9 E bildig defiiers geom tt rje ektor i rmde spegls i plet Bestäm bildiges mtris Lösig: Låt r e godtckligt pkt och S pktes spegelbild Vi beteckr O N och OS Se bilde ed Lägg märke till tt pkte O ligger i plet O o P S Då gäller: P proj N N N N N 9 / / /

14 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr O o P 9 / / / 9 N proj O S O OS som i k skri på forme Sr: bildiges mtris är Uppgift E bildig defiiers geom tt rje ektor i rmde projicers ortogolt ikelrät på plet Bestäm bildiges mtris Lösig: Låt r e godtckligt pkt och P dess ortogol projektio på plet Vi beteckr O N och OP Se bilde ed Lägg märke till tt pkte O ligger i plet

15 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr Då gäller: / / / 9 N N N N proj P N 9 / / / 9 P O P O OP som i k skri på forme Sr: bildiges mtris är Uppgift E bildig defiiers geom tt rje ektor i rmde projicers ortogolt ikelrät på plet ds på - plet Bestäm bildiges mtris

16 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr b Bestäm bilde ektor Lösig: Vi k gör som i föregåede ppgift me de här gåge är det eklre tt bild tre bsektorer i j och k och skri ders bilder som koloer i mtrise Ortogol projektioe ektor i på - plet är smm ektor i för de red ligger i plet Därför är mtrises först kolo lik med Smm gäller för ektor j och därför är mtrises dr kolo lik med Ortogol projektioe ektor k på - plet är oll-ektor och därför är tredje kolo i lik med Därmed är bildiges mtris b

17 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr Någr eempel i D rmmet: Uppgift Bestäm mtrise för de lijär bildig som iebär tt rje ektor i plet bilds på si ortogol projektio på lije Lösig: Först bestämmer i e riktigsektor Vi äljer tå pkter på lije e pkt P pkt P E riktigsektor är P P Låt r e godtckligt pkt O och proj 9 som i k skri på forme / / / 9 / / / bildiges mtris är / 9 / Uppgift Bestäm mtrise för de lijär bildig som iebär tt rje ektor i plet spegls i lije Lösig: Först bestämmer i e riktigsektor Vi äljer tå pkter på lije e pkt P pkt P E riktigsektor är P P Låt r e godtckligt pkt O och OP proj 9 P O S Frå figre ser i tt P OP O och

18 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr OS O P O OP O OP O 9 9 som i k skri på forme / / / / / / bildiges mtris är / / Uppgift Bestäm mtrise för de lijär bildig som iebär tt rje ektor i plet spegls i -el Lösig: Vi k gör som i föregåede ppgift me de här gåge är det eklre tt bild tå bsektorer i och j och skri ders bilder som koloer i Spegelbilde ektor i id speglig i -el är smm ektor i Därför är mtrises först kolo lik med Spegelbilde ektor j id speglig i -el är j Därför är mtrises dr kolo lik med Därmed är bildiges mtris Uppgift 8 Bestäm mtrise för de lijär bildig som iebär tt rje ektor i plet roters ikel θ krig origo Lösig: Vi k med hjälp klssisk geometri is tt rottio är e lijär bildig För tt bestämm stdrdmtrise bestämmer i bilder bsektorer och skrier de som koloer i bildiges mtris: Vektor i cosθ bilds på siθ ektor siθ j bilds på cosθ se edståede figr 8

19 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr θ θ Därför cosθ siθ siθ cosθ Uppgift 9 Bestäm mtrise för de lijär bildig som iebär tt rje ektor i π - plet roters ikel b Bestäm bilde ektor π Lösig: Stdrdmtrise för rottioe ikel är se föregåede ppgifte [ ] π cos π si π si π cos b Sr [ ] b Uppgift Rottioe i D krig -el Bestäm mtrise för de lijär bildig som iebär tt rje ektor i R roters ikel θ krig el Lösig: För tt bestämm stdrdmtrise bestämmer i bilder bsektorer och skrier de som koloer i bildiges mtris: Vektor i cosθ roterr ikel θ i -plet och därför bilds på siθ rit figr Vektor siθ j roterr ikel θ i -plet och därför bilds på cosθ 9

20 rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr Vektor k som ligger på -el roterr ite lls och därför bilds på sig själ Vi skrier bilder bsektorer som koloer i och får cosθ siθ siθ cosθ