INTEGRALEKVATIONER. Fredrik Smeds. Karlstads universitet, Institutionen för ingenjörsvetenskap, fysik och matematik, 2005.
|
|
- Emil Samuelsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 INTEGRALEKVATIONER v Fredri Seds Krlstds uiversitet, Istitutioe för igejörsvetesp, fysi och teti, 5.
2 Förord. De srift ygger huvudslige på delr v opediet Itegrl Equtios v Yury V. Shestoplov och Yury G. Sirov (Krlstds uiversitet ), till vile jg fogt ågr eg eepel och evis st e iogrfi över Ivr Fredhol. Srifte är tilloe då jg läste urse Itegrlevtioer för Shestoplov, och ehdlr otrtiospricipe, Neuserier, e lösigsetod för seprl itegrlevtioer, Fredhols teori i Hilertru st Hilert-Schidts teori. Det hr vrit itresst tt studer äet och jg hopps läsre tycer dets. Fredri Seds, Krlstd i pril 5.
3 Iehåll Förord. Kotrtiospricipe. Volterrs itegrlevtioer v dr slget 3. Picrds sts 3 4. Fredhols itegrlevtioer v dr slget 4 5. Neuserier och resolvet 5 6. Två eepel 8 7. Itegrlevtioer ed degeererde och seprl äror 8. Två et eepel åyo 9. Itegrlevtioer ed degeererde äror st pproitiv lösigr 6. Fredhols resolvet 7. Två eepel för tredje gåge 9. Hilertru och självdjugerde opertorer 3. Fullstädigt otiuerlig itegrlopertorer i Hilertruet 4. Självdjugerde opertorer i Hilertruet 5 5. Fredhols teori i Hilertruet 5 6. Ett ytt eepel 9 7. Itegrlevtioer ed syetris äror. Hilert-Schidts teori Ivr Fredhol 39 Littertur och ällor 43
4 . Kotrtiospricipe. Ett etrist ru R är ett ordt pr (X, ρ), där X är e ägd (vrs eleet lls puter) och ρ: X X e futio, so uppfyller följde villor för ll, y, z X. I: II: ρ ρ III: ρ ( y, ) ( y, ) = = y ( y, ) = ρ( y, ) ( y, ) + ( yz, ) ( z, ) IV: ρ ρ ρ Futioe ρ lls vstådsfutio eller etri. Eligt I är ρ ite egtiv, eligt III är de syetris och villoret IV lls trigelolihete. De två först villore ger tt vstådet ρ(, y) ell puter och y är positivt edst då puter är oli. = E följd { } v puter i ett etrist ru R lls e fudetlföljd o de uppfyller Cuchys overgesriteriu, det vill säg: För vrje ε > fis ett turligt tl N sådt tt ρ(, ) < ε, o N och N. Fudetlföljder lls ocså Cuchyföljder. O vrje fudetlföljd i ett etrist ru R overgerr ot e put i R, är R ett fullstädigt etrist ru. Jg sll ge tre eepel: Ruet ed de eulidis etrie (, ) = = ( ) ρ y y y = är fullstädigt. Ruet C[, ] v otiuerlig futioer på itervllet [, ] ed etrie ρ(f, g) = f ( ) g ( ) är fullstädigt, ty vrje fudetlföljd {f } v otiuerlig futioer overgerr ot e otiuerlig futio i ruet C[, ]. Ruet C [, ] v otiuerlig vetorfutioer f: [, ] ed etrie (, ) = ρ f g f g ( {,, }) är fullstädigt. Noter tt etrie i det tredje eeplet är e oitio v de två först. Låt R vr ett etrist ru. Vrje vildig A: R R lls e otrtio (ordet etyder sdrgig ), o det fis ett tl α < sådt tt ρ(a, Ay) αρ(, y), för ll puter, y R (srivsättet R är e förortig för X och R = (X, ρ) ). Sts : Vrje otrtio är otiuerlig. Bevis: Låt A vr e otrtio i R ed vstådsfutioe ρ. Eligt defiitioe gäller för ll, y R, tt ρ(a, Ay) αρ(, y) för ågot tl α <. Låt ε > och δ = αε. Då gäller tt ρ(a, Ay) < ε ρ(, y) < δ och däred är A otiuerlig.
5 Sts (Kotrtiospricipe): Vrje otrtio i ett fullstädigt etrist ru R = (X, ρ) hr e och edst e fi put, vilet etyder tt evtioe A = hr e etydig lösig. Bevis: Låt R. Låt = A, = A = A, och llät = A = A. Följde { } är e Cuchyföljd, ty ρ(, ) = ρ(a, A ) αρ(, ) α [ρ(, ) + ρ(, ) + + ρ(, )] α ρ(, )[ + α + α + + α ] α ρ(, )[/( α)]. Eed α <, är dett godtycligt litet för tillräcligt stor. Efterso R är fullstädigt, eisterr li. Vi sätter = li. Eär A är otiuerlig, följer A = A li = li A = li =. + Vi sll u vis tt är etydigt. O A = och Ay = y, följer ρ(, y) αρ(, y), där α <, vilet edför ρ(, y) =, lltså = y.. Volterrs itegrlevtioer v dr slget. I itegrlevtioer v först slget föreoer de oäd futioe r uder itegrltecet, rs är de v dr slget. Vi sll u geerliser otrtiospricipe. Sts 3: O R = (X, ρ) är ett fullstädigt etrist ru och A: R R är e futio såd tt A är e otrtio för ågot, hr evtioe A = e etydig lösig. Bevis: Låt R. Låt följde { } = { A } Sätt = li.. Kovergese följer so i eviset v sts. = Då följer ρ(a A, A ) αρ(a ( ) A, A ( ) ) α ρ(a, ), där α <, ty A är e otrtio. Alltså ( A A A ) li ρ, =, vilet ger A =. O A = och Ay = y, hr vi A = och A y = y. Alltså ρ(, y) = ρ(a, A y) αρ(, y), där α <, och däred ρ(, y) =. Således = y, så är etydigt. Sts 4: Volterrs itegrlevtio v dr slget, f = φ + λ K, y φ y dy, där är K(, y) är e otiuerlig futio i Π = [, ] [, ] för ågot >, så tt det för ll (, y) Π gäller K(, y) M, hr e etydig lösig φ () för ll värde på λ. Bevis: Betrt vildige A: C[, ] C[, ], där Af = g och g = φ + λ Kyf, ydy. Låt f, f C[, ] och = f () f (), då [, ]. Då gäller [ ] λ Af Af = K, y f y f y dy λ M.
6 Vidre följer A f () A f () λ M /,, A f () A f () λ M /! λ M ( ) /! För ll värde på λ väljs så stort tt λ M ( ) /! <, vilet etyder tt A är e otrtio. Följtlige hr Volterrs itegrlevtio v dr slget e etydig lösig för ll värde på λ. 3. Picrds sts. Sts 5 (Picrds sts): Atg tt futioe f(, y), där (, y) G, uppfyller Lipchitchvilloret f(, y ) f(, y ) M y y. Då fis ett öppet itervll I = ( d, + d), sådt tt egyelsevärdesproleet dy = f y d y = y (, ) hr e etydig lösig y = φ(), där I. Bevis: Efterso f är otiuerlig, gäller f(, y) i ågot oråde G' G, so iehåller (, y ). Välj u tlet d > så tt Md < och (, y) G', o d och y y d. Låt A: C C, där C iehåller ll otiuerlig futioer defiierde på I, vr Aφ = ψ, där ψ( ) y f t, φ( t) dt, för I. = + Vi t, ty fllet < viss logt. Efterso ( ) ψ( ) y = f t, φ( t) dt f t, φ t dt dt = d, gäller A[C] C. Efterso Md <, är A e otrtio, ty o ψ, ψ C, gäller ( ) ψ ψ φ f t, t f t, φ t dt Mdφ φ. Således hr opertorevtioe φ = Aφ och däred itegrlevtioe φ( ) y f t, φ( t) dt = + och det evivlet egyelsevärdesproleet ov etydig lösigr. M visr logt tt sts 3 geerlisers till syste v först ordiges differetilevtioer (eller itegrlevtioer) geo tt helt eelt etrt det etris ruet R +. I
7 4. Fredhols itegrlevtioer v dr slget. Betrt Fredhols lijär itegrlevtio v dr slget, φ λ φ f = + K, y y dy, där är K(, y) är e otiuerlig futio i vdrte Π = {(, y), y [, ]}, så tt K(, y) M, o (, y) Π. Låt A: C[, ] C[, ] vr Af = g, där Vi hr g = φ + λ Ky, φ ydy. g K y f y dy g K y f y dy = λ (, ) + φ = λ (, ) + φ (, ) = λ (, ) ρ g g K y f y f y dy λ M ( ) f( y) f( y) ρ( f, f), o λ. M ( ) Följtlige är vildige A e otrtio, o λ /[M( )], så för tillräcligt så värde på λ hr Fredhols lijär itegrlevtio v dr slget e etydig lösig. Successiv pproitioer till de lösig hr fore = + f φ λ K, y f y dy. Metode är tilläplig på de icelijär itegrlevtioe f = φ + λ K, y, f y dy, där är K och φ är otiuerlig futioer och K(, y, z ) K(, y, z ) M z z. O λ /[M( )], vi logt vis tt A: C[, ] C[, ] defiierd geo Af = g, där g = φ + λ Ky,, f y dy, är e otrtio, ty för de vildig gäller, so i det lijär fllet, ρ(g, g ) < ρ(f, f ). 3
8 Betrt e itegrlevtio 5. Neuserier och resolvet. φ λ φ f = K, y y dy. För tt lös evtioe geo etode ed successiv pproitioer och erhåll Neuserie, sriver vi o evtioe till φ = f + λ K, yφ y dy och tr högerledets f() so först pproitio, geo tt sätt φ () = f(). Dett isättes i evtioe och vi erhåller äst pproitio och så vidre. Allät gäller φ = f + λ K, yφ y dy φ+ = f + λ K, yφ y dy. Vi sll vis tt futiosföljde{φ }är overget, e vi ehöver e vitig hjälpsts. Sts 6 (Cuchy-Schwrz olihet): I ett eulidist ru E (ett vetorru ed slärprodut, se def. i p. ) gäller u v u v för ll u, v E. Bevis: O u =, är se lr. Atg u. Låt λ. + = ( + ) ( + ) = + + = u v λu v λu v λu v λ u u λu v v v. Isättig v λ ger u u ( u v) ( u v) ( u v) + v v = + v v ( u v) ( u u)( v v) u v u v. u u u u u u Eär och C[, ] är eulidis ru, gäller Cuchy-Schwrz olihet (so ocså lls Cuchys olihet och Schwrz olihet) äve där och hr då följde utseede: / / i i i i i= i= i= för,. f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d / / för f, g C[, ]. 4
9 Sts 7: Låt Π = [, ] [, ]. Atg tt är K(, y) är egräsd, så tt K(, y) M för ll (, y) Π och tt det fis e ostt C såd tt (, ) Ky dy C, då [, ]. Då är följde {φ }, där φ+ = f + λ K, yφ y dy och φ() = f(), liforigt overget för ll λ so uppfyller λ < /B, där B = K, y ddy. lösig till itegrlevtioe f = φ λ K, yφ y dy. Bevis: So först pproitio låter vi φ () = f(). De två följde är Då är φ( ) φ ( ) = φ = f + λ Ky, φ ydy= f + λ Kyf, ydy, li e etydig (, ) φ = f + λ K y φ y dy = + λ + λ f K, y f y dy K, t dt K t, y f y dy. Låt K, y = K, t K t, y dt, så erhåller vi geo tt yt itegrtiosordig φ = f + λ K, y f y dy+ λ K, y f y dy. På s sätt låter vi K3, y = K, t K t, y dt och får äst pproitio till Allät gäller 3 φ3 = f + λ K, y f y dy+ λ K, y f y dy+ λ K3, y f y dy. φ λ = f + K, y f y dy, = där K, y = K, y och K, y = K, t K t, y dt, för. 5
10 Det följer tt K, y = Kr, t K r t, y dt, För tt vis overgese v serie, sriver vi där r {,,, } och {, 3, }. (, ) K y dy C, för ll [, ], och uppsttr C. O vi sätter r = i uttrycet för K (, y) ov, får vi K, y K, t K t, y dt, = {, 3, }. Cuchy-Schwrz olihet ger (, ) (, ) (, ). K y K t dt K t y dt Itegrerig ed vseede på y ger (, ) (, ) = (, ) K y dy B K t dt B C (där B K y ddy), vilet ger C B C och slutlige de ösde uppsttige C B C. O vi låter D = f y dy och tilläpr Cuchy-Schwrz olihet, får vi (, ) (, ) K y f y dy K y dy f y dy D C B. Efterso B = edst då K(, y), och följde {φ } i så fll upperlige är liforigt overget, vi t B >. Då följer λ li φ = f + K, y f y dy f + D C λ B = = = D C D C λ B D C λ = f ( ) + B ( λ B) = f ( ) + B = f ( ) +. λ B λ B Efterso λ B <, är serier overget. Därför är följde {φ } liforigt overget och 6
11 Stse är visd. ( ) = li = f + K(, y) f φ φ λ = y dy, o [, ]. Approierr vi φ() ed φ (), lir felet ite större ä D C + λ B λ B, ty φ D C ( ) φ ( ) ( λ B) = D C λ λ B D C B ( λ B) = λ λ B λ B = D C. λ B B λ B λ B + + Följde futio Γ lls resolvet eller recipro är: = ( λ) = λ ( Γ y,, K y,. φ = f + λ Γ, y, λ f y dy. ) Vi yter ordig på suerige och itegrerige i uttrycet för φ() ov och får Resolvete uppfyller itegrlevtioe Γ y,, λ = Ky, + λ Kt, Γ ty,, λ dt. = φ y φ y dy. 6. Två eepel. Här följer två eepel. Låt f() =, λ =, [, ] = [, ] och K(, y) = y, så får vi itegrlevtioe Vi otrollerr först o det är säert tt lösigsetode fugerr, erär B och får B = ( y) ddy = = 6> = λ. 6 B Vi hr K (, y) = y och får 7
12 Slutlige får vi y K ( y) (, = t)( t y) dt = y +. 3 t y K ( y) ( t) ty dt 3 y, = + = + = K (, y ). 3 Däred hr vi e forel för K (, y), älige K Vi får lösige (, y) = ( )/ ( ) (, ) / ( ) (, ) K y, o är udd, K y, o är jät. λ (, ) φ = f + K y f y dy = = (, ) (, ) + K y y+ K y y dy = = y y y y y + y + dy =, so eelt otrollers. Det dr eeplet är litet epigre. Låt K(, y) = si( y), λ = /(π), [, ] = [, π] och f() = si, så får vi itegrlevtioe Vi erär först B och får π si = φ( ) si( y) φ( y) dy. π π π π π cos( ) B = si y ddy = y ddy = π = < = λ. B π π Här är det lltså ite säert tt följde {φ } overgerr, e de gör det. Vi hr K (, y) = si( y) och får ed hjälp v de trigooetris produtforler 8
13 (, ) = si( ) si( ) = cos( ) + cos( + ) K y t t y dt y y t dt = Vidre erhålles π t = π [ t ( y) ( + y t) ] = π ( y) t = π cos si cos. π (, ) = π si( ) cos( ) = si( ) + si( + ) t = π [ t ( y) ( y t) ] π ( y) K y t t y dt y y t dt 3 π π = si + cos + = si. Alltså hr vi K 3 (, y) = π K (, y), vilet ger de llä forel t = π K ( + ) π si ( ) π cos, y, för =, = y för =. ( {,, }) Lösige till evtioe lir λ (, ) φ = f + K y f y dy = π ( y) + si + λ si si ydy+ = λ π cos si ( ( λπ ) ) ( y) λπ si si ydy+ π = = π π = π π y si ydy = ( ( λπ ) ) cos( y) si ydy. = Efterso λπ = /, hr de geoetris serie ov su /5. Det återstår tt erä itegrler. π φ( ) = si + π si y si ydy π cos y si ydy = 5 5 π π si + ( + ( y) ) dy ( + ( y) ) π cos cos π si si dy = 5 4 si + ( π cos ) π si = si cos. 5π π 5 5 π 9
14 Isättig v φ() i itegrlevtioe och otrollräig visr tt det är de rätt lösige, trots tt villoret λ < /B ite är uppfyllt. Eligt sts 7 är villoret tillräcligt, e eeplet visr tt det ite är ödvädigt. Förlrige är, tt i eviset v sts 7 visdes, tt följde {φ } är egräsd v e overget följd och för tt de sere följde sll overger, är villoret λ B < ödvädigt. Lösige är etydig, ty λ /[M( )], där K(, y) M, då, y [, ] (se p. 4). Här hr vi si( y). E itegrlevtio 7. Itegrlevtioer ed degeererde och seprl äror. φ λ (, ) φ f = K y y dy ed de degeererde är (, ) = i i Ky y i= srivs geo tt yt ordig på suerige och itegrerige på fore ( ) ( ) ( y) ( y) dy f i i = φ λ φ i= c = y φ y dy,. () Här t tt futioer i () och i (y) är lijärt oeroede, rs tlet terer () iss. Såd itegrlevtioer ed degeererde och seprl äror är lätt tt lös. Sätt i i so är oet ostter, så får vi φ( ) = f ( ) + λ c ( ) i= i i () och proleet reducers till tt estä de oet c i. Isättig v () i evtio () ger efter osrivig i= i ci i( y) f ( y) + λ c( y) dy =. = Efterso futioer i () är lijärt oeroede, följer härv tt
15 Med etecigr vi sriv dett so ci i( y) f ( y) + λ c( y) dy =, för i {,,, }. = = i, i = i f y f y dy y y dy i c λ c i i = = f i, där i {,,, }, (3) vilet är ett lijärt evtiossyste v ordig ed vseede på de oet c i. (Noter tt s syste erhålls geo tt ultiplicer () ed (), {,,, }, och sed itegrer över frå till.) Evtiossysteet (3) är evivlet ed itegrlevtioe () i följde eig: Edst då evtiossysteet är etydigt lösrt, är itegrlevtioe etydigt lösr och edst o evtiossysteet sr lösig, sr itegrlevtioe lösig. Deterite v de till systeet (3) hörde trise är D( λ) = λ λ L λ λ λ L λ M M O M λ λ L λ. D(λ) är ett polyo i λ, vrs grd ite överstiger. Lägg äre till tt D() = och därför är D(λ) ite ollpolyoet. Således fis det högst oli tl λ = λ såd tt D( λ ) =. Då λ = λ, hr evtiossysteet och itegrlevtioe ige eller oädligt åg lösigr. O λ λ, är åd etydigt lösr. O vi låter -trise A = [i] och etecr ehetstrise v ordig ed I, så är D(λ) = det(i λa). 8. Två et eepel åyo. Här följer de två eeple ige, so vi sll lös ed de y etode. Låt f() =, λ =, [, ] = [, ] och K(, y) = y, så får vi itegrlevtioe = φ y φ y dy = φ φ y dy+ yφ y dy, so srivs φ() = A + B, där A och B är ostter. Isättig i evtioe ger
16 A B ( y)( A B) dy A 3B A = + + = B A 8 B = A = 3 ( ) = 3B A + = 4 φ , B = 3 3 lltså s lösig so förut. O vi vill vet för vil värde på λ evtioe = φ λ y φ y dy är etydigt lösr, vi sriv = = i i = + K, y y y y y, i= där () =, (y) =, () =, (y) = y. Låt trise A = [ i ]. Efterso =, = f yydy y ydy i i i i (i, {, }), följer f f = A = och. 3 3 Vi får D(λ) = det(i λa), där I är ehetstrise v ordig. Itegrlevtioe är etydigt D λ = λ + λ λ λ = + λ. lösr o och edst o D(λ). M får Itegrlevtioe hr e etydig lösig för ll ople λ ±i 3 3. Vi estäer de. Vi vet tt φ( ) = f ( ) + λ c ( ) = + λc c. Det återstår tt lös trisevtioe i= i i λ ( I A) c f c = c f + = λ λ λ c λ λ ed vseede på c och c. Crers regel ger 3 3 c λ D 3 + λ = = = D( λ) D( λ) + λ 6 λ λ, = λ +
17 c λ D 3 λ = = = = D( λ) D( λ) + λ + λ, vilet ger 6 λ 4 + 6λ 4λ φ( ) = + λ λ = + λ + λ + λ + λ. Isättig v λ = ger s svr so tidigre. Så till det dr eeplet vi hde förut. Låt K(, y) = si( y), λ = /(π), [, ] = [, π] och f() = si, så får vi itegrlevtioe π si = φ( ) si( y) φ( y) dy. π Med vädig v dditiosforel si( y) = si cos y cos si yhr vi π si = φ( ) si cos yφ( y) dy+ cos si yφ( y) dy, π π vilet ger φ() = Asi + Bcos, där A och B är ostter. Isättig i evtioe ger π si = Asi + Bcos si( y)( Asi y+ Bcos y) dy = π π A B Asi + Bcos si( y) si ydy si( y) cos ydy = π π π π π B ( ( y) ) dy ( y) A Asi + Bcos cos + cos si + si 4π 4π A B = 4 A B A = 5 = Asi + Bcos + cos si A B + B = = 4 φ( ) = si cos, so förut. De llä lösige till 5 5 π si si = φ λ y φ y dy, där λ är e preter, lir so följer: π 5 dy 3
18 (, ) = si( ) = i i = +, K y y y y y där vi ed hjälp v de trigooetris dditiosforel välj () = si, (y) = cos y, () = cos, (y) = si y. Vi får vidre π i= f = y f y dy = cos ysi ydy = si ydy =, π ( ) f = y f y dy = si y dy = cos y dy = π. π π π π Låt trise A = [ i ]. Efterso π i = i y y dy, följer π y y y A = cos si cos y y y dy = si si cos π π. Låt I vr ehetstrise v ordig. Vi hr λπ D( λ) = det( I λa) = = + ( λπ ) λπ Itegrlevtioe etydigt lösr för ll ople λ ± i π. Vi estäer c och c :. ( I λa) c c f = f λπ λπ c =. c π Crers regel ger c c och vi hr svret λπ D π = = = λπ D( λ) D( λ) + ( λπ ) D λπ π π = = = D( λ) D( λ) + ( λπ ) 4
19 φ( ) = si + λ c ( ) = si + λc si + λc cos = i= i i ( λπ ) λπ λπ + si cos si cos =. + ( λπ ) + ( λπ ) + ( λπ ) Med λ = /(π) får vi s svr so förut. So vi hr sett, ger de etod etydligt elre eräigr i syerhet o e pretriserd lösig sös o är är seprel. 9. Itegrlevtioer ed degeererde äror st pproitiv lösigr. Atg tt är K(, y) och f() är otiuerlig i Π = [, ] [, ] i e itegrlevtio φ λ K, yφ y dy = f. Då är φ() ocså otiuerlig. Approier itegrlevtioe ov ed e itegrlevtio, so hr e degeererd är. Ersätt itegrle ed e ädlig su, geo tt t.e. väd retgelregel Ky (, ) φ( ydy ) h Ky (, ) φ( y), där h= och y = + h. = De erhåll pproitioe tr fore v e itegrlevtio ed e degeererd är: φ λh K, y φ y = f = Ersätt vriel ov ed ett ädligt tl värde i = + ih (i {,,, }). Då följer φ( i ) = φ(y ), o i =. Vi får ett lijärt evtiossyste ed oet φ i = φ( i ) och de äd tle f i = f( i ) i högerledet:. φi λh K i, y φ = f i = (i {,,, }) Vi fier lösige {φ i } till systeet ed Crers regel geo tt erä deteriter ( D ) ( λ) = (, ) (, ) L (, ) (, ) (, ) L (, ) hλk y hλk y hλk y hλk y hλk y hλk y M M O (, ) (, ) (, ) hλk y hλk y hλk y L och så vidre. Då är 5
20 ( D ) i λ φ i = (i {,,, }). D ( λ) För tt reostruer de pproitiv lösige φ geo tt väd de estäd {φi}, väd själv itegrlevtioe: ~ φ φ λ φ ( ) = h K(, y ) + f = ~ Fredhol visde tt ( φ ) φ ( ) då, där φ ( ) är de et lösige. ~. Fredhols resolvet. Vi hr red ät (p. 5) tt resolvete Γ(, y, λ) v itegrlevtioe φ λ K, yφ y dy = f uppfyller itegrlevtioe Γ y,, λ = Ky, + λ Kt, Γ ty,, λ dt. Geo tt lös de sistäd evtioe ed de esriv pproitiv etode och låt, får vi resolvete so e vot ell två potesserier där (,, λ) Γ y (,, λ) Dy D( λ) = = (,, λ) Dy =, D( λ) ( ) = B =! ( ) cλ,! ( y), λ, (, ) = (, ), Ky (, ) Ky (, ) L Ky (, ) Ky (, y) Ky (, y) L Ky (, y ), y B y K y B = L M M O M (, ) (, ) L (, ) Ky y Ky y Ky y. dy Ldy 6
21 c c =, = L (, ) (, ) L (, ) (, ) (, ) L (, ) Ky y Ky y Ky y Ky y Ky y Ky y M M O M (, ) (, ) L (, ) Ky y Ky y Ky y dy Ldy D(λ) lls Fredhols deterit och D(, y, λ) lls Fredhols först uderdeterit. O itegrle (, ) Ky ddy är egräsd, overgerr serie ( ) D( λ) = =! c λ för Fredhols deterit för ll λ, så tt D(λ) är e hel futio v λ. Därför D(λ) defiiers i hel det ople plet λ, uto ollställe till D(λ), där resolvete hr poler. Vi dr slutste tt för ll ople λ, so ite sfller ed poler till resolvete, är itegrlevtioe φ λ K, yφ y dy = f etydigt lösr och lösige är (se p. 5) φ = f + λ Γ, y, λ f y dy. Efterso D(λ) är ett polyo i λ, är itegrlevtioe etydigt lösr för ll λ, edst då D(λ) är ett ostt polyo, ty rs hr D(λ) ist ett oplet ollställe, eligt lgers fudetlsts. E etydig lösig för ll λ räver således c = för ll >. För prtis eräigr v resolvete väd följde reursiosforler: B, y = K, y, c =, c = B y, y dy (o ), (, ) = (, ) (, ) (, ) B y cky KtB tydt(o ). 7
22 . Två eepel för tredje gåge. Vi sll u erä resolvete till de et itegrlevtioer. Låt lltså [, ] = [, ] och K(, y) = y, så får vi itegrlevtioe f = φ λ y φ y dy. Vi erär resolvete och löser evtioe ed λ so preter för ll futioer f(). Sed sätter vi i f() = och jäför ed tidigre resultt. Vi hr BB(, y) = y och c =. Vidre får vi c = y y dy =, y B ( y) (, = t)( t y) dt = + y +, 3 c y y = + y + dy =, 3 6 t y B ( y) ( y) ( t), = ty dt = 3 y ( y) =, 6 vilet edför B(, y) för och c = för 3. Alltså följer ( ) Dy (,, λ) = B (, y) λ = B(, y) λb(, y) =! = y y λ + y +, 3 ( ) λ D( λ) = cλ = c cλ + cλ = +.! = Vi u erä resolvete och lösige (,, λ) Γ y (,, λ) Dy y+ λ 6+ 6y y 4 = = D( λ) + λ λ φ( ) = f ( ) + y+ λ( + y y ) f y d + λ y, so gäller o λ. Isättig v f() = ger 8
23 λ φ( ) = + y+ λ( + y y ) ydy = + λ λ λ + ( y y ) dy + ( y + y y y) dy = + λ + λ λ λ + 6λ 4λ + ( ) ( ) = + λ + λ + λ + λ, vilet är dets so tidigre. Nu till det dr et eeplet. Låt K(, y) = si( y) och [, ] = [, π], så får vi itegrlevtioe π f = φ λ si y φ y dy. Vi erär först resolvete och löser evtioe för ll futioer f(). Sed sätter vi i f() = si och jäför ed tidigre resultt. Vi hr c = och B(, y) = si( y). Vidre får vi c = si y y dy =, π (, ) si si B y = t t y dt = π π ( ( y) ( y t) ) dt π ( y) cos + cos + = cos, c = πcos y y dy = π, π (, ) = π si( ) si( ) πcos( ) B y y t t y dt = π π si y π si y + si + y t dt =, vilet edför B(, y) för och c = för 3. Alltså följer π ( λ) = λ = ( ) λπ ( ) Dy,, B y, B y, si y cos y, D( λ) = c λ + c λ = + ( λπ). Däred får vi resolvete och lösige 9
24 (,, λ) Γ y ( λ) Dy,, si y λπ cos y = = D( λ) + ( λπ ) π λ φ( ) = f ( ) + si( y) λπ cos ( y) f y dy, + ( λπ ) so gäller då λ ± i/π. Isättig v f() = si ger π λ φ( ) = si + ( y) λπ ( y) ydy = + ( λπ ) si cos si π λ λπ si + ( y) ydy ( y) + ( λπ ) si si = + ( λπ ) cos si ydy π λ si + + ( y) dy + ( λπ ) cos cos π λπ + ( y) dy = + ( λπ ) si si λπ ( λπ ) si λπ cos si cos si =, + ( λπ ) + ( λπ ) + ( λπ ) vilet är s lösig so tidigre. Lösigsetode ed resolvet är ite elre för de vld evtioer, e vill h lösige för ll futioer f(), de vr tt föredr. Kär ehöver ite heller vr seprel ed de etod.. Hilertru och självdjugerde opertorer. Ett reellt vetorru R ed e slärprodut (ire produt), so uppfyller följde villor för ll, y, z R och ll λ, lls ett eulidist ru. I: (, y) = (y, ), II: ( + y, z) = (, z) + (y, z), III: (λ, y) = λ(, y), IV: (, ), V: (, ) = =, I ett oplet eulidist ru K uppfyller slärprodute villoret ( y, ) ( y, ) = st villore II V ov för ll, y, z K och ll λ, λy = λ, y.. I ett oplet eulidist ru gäller således Nore i ett eulidist ru defiiers so ( ) O, y R och R = i stället för (, y). eller R = π =,., sriver oft slärprodute v och y so y
25 Ett Hilertru H är ett eulidist ru, där följde två villor är uppfylld: I: För vrje fis det e ägd A H, där vetorer i A är lijärt oeroede och A iehåller eleet. II: H ett fullstädigt etrist ru ed vstådsfutioe ρ(f, g) = f g. Det först villoret ieär tt diesioe v H är oädlig. Efterso ll Hilertru är isoorf, li gär tl o Hilertruet so o ett Hilertru. I Hilertruet H defiiers de djugerde opertor A * till opertor A so (A, y) = (, A * y), för ll, y H. De självdjugerde opertor A = A * defiiers so (A, y) = (, Ay), för ll, y H. 3. Fullstädigt otiuerlig itegrlopertorer i Hilertruet. Betrt e itegrlevtio v dr slget, φ = f + K, yφ y dy. () Atg tt K(, y) är e Hilert-Schidt-är, vilet ieär e vdrtist itegrerr futio i vdrte Π = [, ] [, ], så tt itegrle (, ) Ky ddy är egräsd, och f L [, ], vilet ieär tt itegrle f d är egräsd. Defiier e lijär Fredholopertor A orrespoderde till itegrlevtioe () so Aφ = K, y φ y dy. O K(, y) är e Hilert-Schidt-är, lls opertor A e Hilert-Schidt-opertor. Itegrlevtioe () srivs so e lijär opertorevtio φ = Aφ() + f, där f, φ L [, ].
26 För tt få ett fullstädigt ru, väder i Hilertruet ite Ries itegrl, ut Leesgues, so ts ågorlud äd, liso åtteori. Någr defiitioer sll doc ges: O e egesp P gäller för ll E \ A, och A hr åttet oll, säger vi tt P gäller för äst ll E, eller tt P gäller äst överllt i E. O Leesgues ått väds, so här, hr vrje uppräelig eller ädlig ägd A åttet oll, e det fis äve överuppräelig ägder ed åttet oll. Låt A vr e egräsd lijär opertor i ett orert ru X. Då defiiers ore A v opertor A so A = if{m A < M, X}. E följd { } i ett fullstädigt, orert ru R overgerr svgt till eleetet, o det gäller tt f( ) f(), då, där f: R R är lijär. Dett edför då, tt orer v är liforigt egräsde: M. I ett Hilertru är e opertor A fullstädigt otiuerlig, o opertor A vildr vrje svgt overget följd till e följd, so är overget i opertorore. Vi sll red ut de ågot förvirrde teriologi. Ett egevärde (lls äve rteristist värde) till e opertor A är ett tl λ sådt tt (A λi) = för ågo vetor, där I är ehetsopertor. Vetor är då e egevetor tillhörde λ. Opertor R λ = (A λi) lls resolvete till A. De rteristis värde till itegrlevtioe φ λ K, y φ y dy = f () är de tl λ för vil resolvete Γ(, y, λ) ite eisterr och övrig värde lls reguljär värde. O opertor A defiiers so Aφ = K, y φ y dy, är () evivlet ed opertorevtioe (I λa)φ = f och Γ(, y, λ) = (I λa). Iverse v ett rteristist värde till () är ett egevärde till A, ty o λ, följer ( I λa) φ = λ A I φ = A I φ =. λ λ Mägde v ll λ för vil opertor A λi ite hr e ivers lls spetru till A. De tl so ite tillhör spetru lls reguljär värde. Mägde v ll egevärde till A lls putspetru till A. I ett ädligt ru sfller spetru ed putspetru, e i det llä fllet spetru äve iehåll dr puter. Sts 8: O K(, y) är e Hilert-Schidt-är, φ L [, ] och Aφ = K, y φ y dy, defiiers på så sätt e fullstädigt otiuerlig opertor A i L [, ], vrs or uppstts till A K, y ddy.
27 Bevis: Efterso K(, y) är e Hilert-Schidt-är, fis det e ostt C såd tt (, ) Ky dy C äst överllt i [, ], vilet etyder tt K(, y) L so e futio v y för äst ll [, ]. Då är futioe ψ = K, y φ y dy defiierd äst överllt i [, ]. Vi sll u vis tt ψ() L [, ]. Med hjälp v Cuchy-Schwrz olihet får vi = = ψ Ky, φ ydy Ky, dy φ y dy φ Ky, dy. Låt u opertor A defiiers so Aφ = ψ. Då följer, o vi itegrerr över, Aφ = ψ d φ K, y ddy, vilet dels visr tt ψ L [, ], ty ψ är egräsd, och dels ger e uppsttig v ore v opertor A: L [, ] L [, ]. Vi sll u vis tt A är fullstädigt otiuerlig. O e följd {A } v fullstädigt otiuerlig opertorer i ett fullstädigt, orert ru overgerr i opertorore till e opertor A, är A fullstädigt otiuerlig. Vi ostruerr därför e såd följd {A } på L (Π), so overgerr i ore till opertor A. Låt {ψ } vr ett ortoorert syste i L [, ]. Då ildr {ψ ()ψ ()}ett ortoorert syste för L (Π). Följtlige gäller Geo tt sätt (, ) = Ky ψ ψ y, =. N (, ) = KN y ψ ψ y, = defiiers e opertor A N, so hr e degeererd är och därför vildr L [, ] i ett ru v ädlig diesio geerert v ett ädligt syste { ψ } N=. Därför är A N v ädlig diesio och således fullstädigt otiuerlig. Lägg u äre till tt K N (, y) är e prtilsu v Fourierserie för K(, y), så tt li K, y K, y ddy =. N N 3
28 Uppsttr vi ore v opertor A A N so vi tidigre uppsttde ore v A, så får vi A AN K, y K N, y ddy, då N. Alltså gäller A N A, då N, och däred är A fullstädigt otiuerlig. 4. Självdjugerde opertorer i Hilertruet. Vi sll vis ågr egesper hos e självdjugerd opertor A i Hilertruet H. Sts 9: All egevärde till e självdjugerd opertor A i H är reell. Bevis: Låt λ vr ett egevärde till e självdjugerd opertor A, dvs A = λ, H,. λ, = λ, = A, = A, =, λ = λ, λ = λ λ. Då följer Sts : Egevetorer till e självdjugerd opertor A tillhörde oli egevärde är ortogol. Bevis: Låt λ och μ vr två sild egevärde till e självdjugerd opertor A ed tillhörde egevetorer och y, lltså, y H \ {}, A = λ och Ay = μy. Då följer λ(, y) = (λ, y) = (A, y) = (, Ay) = (, μy) = μ(, y), so ger (λ μ)(, y) = och däred (, y) =. 5. Fredhols teori i Hilertruet. Ned sll vi vis Fredhols ll teore för itegrlopertorer i Hilertruet. Vi tr itegrlopertor = (, ) φ Aφ K y y dy (se p. 3), tr tt är K(, y) uppfyller Hilert-Schidt-villoret tt (, ) Ky ddyär egräsd och sriver itegrlevtioe φ = K, yφ y dy+ f på opertorfore φ = Aφ() + f, eller Tφ = f, T = I A (). 4
29 Tillhörde hooge itegrlevtio är Tφ = () och de djugerde evtioer är T * ψ = g, T * = I A * (3), T * ψ = (4). Vi sll etrt evtioer () (4) i Hilertruet H = L [, ]. Lägg äre till tt de ses so opertorevtioer i H ed e godtyclig självdjugerd opertor A. Följde tre stser v Fredhol fstställer förhållde ell dess fyr evtioers lösigr. Sts : De ihooge evtioe Tφ = f är lösr o och edst o f är ortogol ot vrje lösig till de djugerde evtioe T * ψ =. Sts (Fredhols ltertiv): Eder hr de ihooge evtioe Tφ = f e etydig lösig för vrje f H, eller så hr de hooge evtioe Tφ = e lösig sild frå. Sts 3: De hooge evtioer Tφ = och T * ψ = hr s ädlig tl lijärt oeroede lösigr. För tt evis Fredhols stser, sll vi väd dels defiitioe v uderru i Hilertruet H: M är ett lijärt uderru v H, o M är slute och f, g H edför αf + βg M, där α och β är godtyclig tl dels följde två egesper hos Hilertruet, där de först är, tt o h H, ildr ägde h = {f H (f, h) = } (ortogol opleetet) ett lijärt uderru v H, och de dr är, tt o M är ett lijärt uderru v H, vrje f H srivs etydigt so f = h + h', där h M och h' M, där M är det ortogol opleetet till M. Le : Värdeägde V(T) = {y H y = T, H} är slute. Bevis: Atg tt y V(T) och y y. Vi åste vis tt y V(T), vilet etyder y = T. Vi sll u evis det sere. Efterso T defiiers so I A, fis det vetorer H såd tt y = T = A. () Vi sll etrt ollruet N(T) = {y H Ty = }, so är ett slutet, lijärt uderru v H. M t tt vetorer är ortogol ot N(T), dvs N(T), rs sriv = h + h' och ersätt ed h = h' ed h' N(T). Vi ocså t tt orer är egräsde. Ett tgde o otstse edför älige, tt det fis e oegräsd delföljd { }, där. Geo tt divider ed får vi frå () A. Efterso A är e fullstädigt otiuerlig opertor, vi t tt 5
30 A är e overget delföljd, so eepelvis overgerr ot e vetor z H. Då är upperlige z = och Tz =, dvs z N(T). Eellertid tog vi N(T) och då gäller äve z N(T). Alltså z N(T) N(T) = {}. Me z =, så därför är följde { } egräsd. Därför iehåller följde {A } e overget delföljd och då åste äve följde { } iehåll e overget delföljd på grud v (). Vi sriver gräsvärdet v { } so. Eligt () följer u y = T och let är vist. Le : Ruet H är de diret, ortogol su v de slut uderrue N(T * ) och V(T * ), det vill säg N(T) V(T * ) = H och äve N(T * ) V(T) = H. Bevis: De slut uderrue N(T) och V(T * ) är ortogol, ty o h N(T), följer (h, T * ) = (Th, ) = (, ) = för ll H. Det återstår tt vis tt N(T) V(T * ) = {}. Atg tt z V(T * ). Då följer (Tz, ) = (z, T * ) = för ll H, vilet edför z N(T). Alltså hr vi N(T) V(T * ) N(T) N(T) = {} och let är vist. Fredhols först sts (r ) följer v le, ty N(T * ) = V(T * ), dvs f N(T * ) o och edst o f V(T * ) och då fis det e vetor φ såd tt Tφ = f. Låt H = V(T ) för ll. Då gäller H H H H, () ll delägder i edj är slut och T(H ) = H +. Le 3: Det fis ett turligt tl j så tt H = H + för ll j. Bevis: Atg otstse. Då är ll H oli, och tt ostruer e ortoorerd följd { }, såd tt H och är ortogol ot H +. Låt l >. Då följer (ty T = I A) A l A = + ( l + T T l ). Således är A l A, ty l + T T l H +. Därför iehåller följde {A } ige overget delföljd, e A är e fullstädigt otiuerlig opertor. Alltså e otsägelse. Le 4: O N(T) = {}, är V(T) = H. Bevis: O N(T) = {}, är T ijetiv. O då V(T) H, estår edj () (se le 3 ov), v oli uderru, vilet otsäger le 3. Därför är V(T) = H. På lide sätt vi vis tt V(T * ) = H, o N(T * ) = {}. Le 5: O V(T)= H, är N(T) = {}. Bevis: Efterso V(T) = H, följer N(T * ) = {}, eligt le 3. Då följer V(T * ) = H, eligt le 4, och N(T) = {}, eligt le. 6
31 Le 4 och le 5 ger stg Fredhols ltertiv (sts ). M jäför Fredhols ltertiv ed följde äd ft frå lijär lger. Atg tt vi hr ett lijärt evtiossyste A =. Då fis fyr fll eroede på o trise är sigulär och på o trisevtioe är hooge: = Tell. Evtiossysteet A =. det A = det A Systeet hr oädligt =. åg lösigr. Systeet hr oädligt Systeet hr e etydig åg lösigr eller lösig. sr lösig. Låt oss u vis Fredhols tredje sts (r 3). Atg tt N(T) är ett uderru v oädlig diesio. Då iehåller dett ru e oädlig ortoorerd följd { } såd tt A = och A l A =, o l. Därför iehåller följde {A } ige overget delföljd, vilet otsäger tt A är e fullstädigt otiuerlig opertor. Alltså är ruet N(T) ädligt. Låt u μ = di N(T ) och ν = di N(T * ) och tg tt μ < ν. Låt {φ,, φ μ } vr e ortoorerd s i N(T) och {ψ,, ψ ν } e ortoorerd s i N(T * ). Låt μ S = T +,φj ψ j. j= Opertor S är su v T och e opertor v ädlig diesio, så därför gäller ll resultt visde ov för T äve för S. Låt oss vis tt de hooge evtioe S = r hr lösige =. Atg lltså tt μ T +,φj ψ j j= =. () Eligt le är vetorer ψ j ortogol ot ll vetorer på fore T. Då edför () tt T = st (, φ j ) = för j {,, μ}. Å e sid ser vi tt är e lijäroitio v vetorer ψ j. Å dr sid ser vi tt åste vr ortogol ot dess vetorer. Därför är ollvetor och evtioe S = hr r lösige =. Eligt Fredhols ltertiv fis då e vetor y såd tt μ Ty + y,φj ψ j = ψ j= μ+. Vi erär de ire produte v de lihets åd sidor och ψ μ+ och får μ ( Ty, ψμ+ + y, φj ψ j, ψμ+ = ψμ, ψ j= + μ+ Här är (Ty, ψ μ+ ) =, eed Ty V(T) och V(T) är ortogol ot N(T * ). Således hr vi ). 7
32 μ + y,φ j =. j= De otsägelse eror på tt vi tog μ < ν. Därför är μ ν. Ersätt u T ed T *, så får vi på s sätt μ ν. Alltså är μ = ν och Fredhols tredje sts (r 3) är visd. För tt sftt, visr Fredhols tre stser tt tlet λ = tige är e reguljär put eller ett egevärde ed ädlig ultiplicitet till opertor A, där φ = Aφ() + f. All resultt vi erhållit ov för de evtio (dvs för opertor A I) gäller äve för evtioe λφ = Aφ() + f (dvs för opertor A λi, där λ ). Det följer, tt i dett fll ed e fullstädigt otiuerlig opertor, är ett godtycligt tl, silt frå oll, eder e reguljär put eller ett egevärde ed ädlig ultiplicitet. Således hr e fullstädigt otiuerlig opertor edst ett putspetru. Pute är ett udtg och tillhör lltid spetru till e fullstädigt otiuerlig opertor i ett Hilertru, e ehöver ite vr ett egevärde. 6. Ett ytt eepel. Med e syetris är K es tt Ky Ky, =,, vilet i ett reellt vetorru etyder K(, y) = K(y, ). Itegrlevtioer ed såd äror sll studers i äst pitel, e vi sll red u ge ett eepel. Kär är i eeplet äve degeererd. Vi väder först de llä etode. Låt K(, y) = /y + y/ och [, ] = [, ], så får vi itegrlevtioe y φ( ) = f ( ) λ + φ( ydy ). y Vi hr c = och B(, y) = /y + y/. Vi får c y y = + y y dy =, y B (, y) = + y t + t t + y y t dt = y + y y t y 7 y t y dt y y = +, y 3y c B y y y 7 = + y y 3y (, y) dy =, 3 y t t y ty 7 = + 3 y t + + y t 3ty dt = y y y 7 t y t y 7 + y y t t y y y dt =, 3 3 vilet edför B(, y) för och c = för 3. Vi erär deteriter. 8
33 y y y 7 Dy (,, λ) = B( y, ) λb( y, ) = + λ + = y y 3y 6 + 6y λ 6 + 6y 3 y 4, 6y λ λ D( λ) = c c λ + c λ = λ λ = och får resolvete (,, λ) Γ y (,, λ) Dy = = D( λ) ( 6 λ λ ) 6 + 6y λ 6 + 6y 3 y 4 y och lösige Γ (,, ) φ = f + λ y λ f y dy = ( λ)( 6 6y ) λ( 3 y 4) λ + + = f ( ) + f ( y) dy λ, 6 λ y so gäller för λ 6± 4. Atg u tt vi vill lös itegrlevtioe φ y y ( ) = + φ ydy. Isättig v f() = / och λ = i de llä lösige ov ger φ( ) = 7 ( 3 + 7) = 7 3 y dy = + dy = y 7 3 y 3 7. Efterso är är degeererd, får vi φ y φ( ) = + y dy + yφ y dy, so srivs φ() = A/ + B, där A och B är ostter. Isättig i evtioe ger A A B Bdy ( A By ) dy A B y A B + = =
34 A = + A+ A = + B B 7B 3 A = = B 3 7 φ ( ) = 3 7 och de etod är elre, då evtioe är seprel. Vi sll u lös s itegrlevtio ed Neuserie och etoder frå lijär lger. Vi hr K (, y) = K(, y) = /y + y/ och får vidre Atg u tt så får vi K t t y y 7 y, = + + dt = t y t y 3y ( y) K ( y) y c, = dy y y K (, y) t t y c = dy dt t y t y + c d = + y = + c 7 + = + 3 d 7 c + = 3 + c d+ = + d där c d y c = = = = d y y + + Dett syste v differesevtioer löss ed lijär lger. Låt 7 3 A = 7, så följer 3 c d = A c. d Vi sriv A = PDP, där D är e digoltris eståede v egevärde till A. M får 4 4 två egevärde till A ed ultiplicitete, älige μ = + 6 och μ = 6. Däred hr vi D = dig(μ, μ, μ, μ ) och D ( = dig μ, μ, μ, μ ). Vi estäer egevetorer v och v till μ st egevetorer v 3 och v 4 till μ och får P = (v, v, v 3, v 4 ), det vill säg 3
35 P = 4 4 P och = Däred får vi A = PD PP. Uträt lir dett A = 4 α 8 β 4 α 6 β, β α 4 β α 4 6 där α = μ + μ β μ, = μ Vi får vidre K (, y) (, ) (, ) 8 (, ) + hy (, ), vilet ger y 4 4 = α + α + 6 β + 8 βy = y y μ gy μ, där gy hy = y y = och y 6y 8 y y = y 6y 8 (, ) = (, ) + (, ) λ K y λ μ g y λ μ h y ( λμ) = = ( λμ ) λ (, ) gy, hy, λgy, hy + = +, μ μ λμ λμ = där de geoetris serier overgerr för λ < μ = Villoret ed de tidigre etode vr λ 6± 4. Dess två värde på λ är de rteristis värde till itegrlevtioe och är rötter till evtioe ( λμ )( λμ ) =. Vi hr = + Γ (,, ) = + (, ) φ f λ y λ f y dy f λ K y f y dy gy, hy, = f ( ) + λ + f ( y) dy λμ λμ och efter förelig får vi s svr so tidigre. = = 4 6 3
36 För tt yt till tidigre pitel, defiierr vi opertor A so Aφ y y ( ) = + φ ydy och får opertorevtioe (I λa)φ = f. Eligt Fredhols ltertiv är de etydigt lösr för ll f, edst o de hooge evtioe (I λa)φ = r hr lösige φ =. Dett är fllet då λ är ett reguljärt värde till itegrlevtioe y φ λ φ y ( ) + ( ydy ) = f( ), () vilet etyder tt /λ ite är ett egevärde till A. So syes hr opertor A s egevärde so trise A ov, dvs μ och μ. Mägde {, 6 4, 6 4} + är således spetru till opertor A. För tt estä lösigr till evtioe y ψ( ) λ + ψ( ydy ) = () y utyttjr vi tt evtioe är seprel och får ψ() = c / + c för ostter c och c. Isättig i evtio () och idetifierig v oefficieter leder till trisevtioe λ λ 7 3 λ λ c = c, so hr dr lösigr ä de trivil o λ {/μ, /μ }. Geo tt estä egevetorer till trise, får vi e lösig ψ () till () för λ = /μ och e lösig ψ () för λ = /μ. Uträt lir dett (där lösigr ultiplicers ed ostter) 4 4 ψ ψ = +, =. 4 4 Eligt sts v Fredhol är evtioe () lösr edst för de f so är ortogol ot vrje lösig till otsvrde djugerde, hooge evtio. I fllet ed syetris är är de djugerde evtioe des, så då λ = /μ är () lösr för vrje f so är ortogol ot ψ och då λ = /μ är () lösr för vrje f so är ortogol ot ψ. Vi etrtr först evtioe μ y y φ( ) + φ( ydy ) = f( ) (3) och tr tt (f, ψ ) =, dvs 3
37 f ( ) ψ ( ) d =. Då följer φ() = f() + c / + c, för oet ostter c och c. Efterso ψ och ψ är ortogol, vi sätt c / + c = ψ () + ψ (). Isättig i (3) ger lihete y + ψ + ψ( y) ψ( y) dy ψ y μ y + = μ y + f y dy Efterso ψ är e lösig till () ed λ = /μ för ll, följer ( f y y ) dy f ( ) + ψ + f μ y y + ψ =. (4) Multiplitio ed ψ () och itegrtio över ger, ty (ψ, ψ ) = och (f, ψ ) =, y + ( ) y f y + ψ y dyψ d =. De ire itegrle är dels ortogol ot ψ, dels e lijäroitio v ψ () och ψ (), och således li ed cψ (), där c är e godtyclig ostt. O vi sätter = c/μ, får vi ägge led i (4) li ed f(). Däred är φ() = f() + ψ () + ψ (), där och är godtyclig ostter, lösige till (3), o (f, ψ ) =. Alogt löser vi evtioe μ y y φ( ) + φ( ydy ) = f( ) och får s lösig, e u är villoret (f, ψ ) =. För tt återo till opertor A, är lltså ψ och ψ egevetorer (egefutioer) till A tillhörde egevärde μ och μ. 7. Itegrlevtioer ed syetris äror. Hilert-Schidts teori. Sts 4 (Hilert-Schidts sts): E fullstädigt otiuerlig, självdjugerd opertor A i Hilertruet H hr ett ortoorert syste v egevetorer {ψ } tillhörde egevärde λ, sådt tt vrje eleet ξ H etydigt srivs ξ = c ψ + ξ, där vetor ξ N( A), dvs Aξ =. Vidre gäller, o {ψ } är ett oädligt syste, Aξ = λ c ψ och λ då. 33
38 Beviset v Hilert-Schidts sts uteläs. Med e Hilert-Schidt-opertor A es, so sgts tidigre, e opertor Aφ = K, y φ y dy, () där K(, y) är e Hilert-Schidt-är, lltså e vdrtist itegrerr futio i vdrte Π = [, ] [, ], så tt itegrle (, ) Ky ddy är egräsd. Med e syetris är K es so sgt tt Ky (, ) Ky (, ) =. Sts 5. Låt A vr e Hilert-Schidt-opertor ed är K(, y). Då är de djugerde opertor A * till A e opertor ed de djugerde är K * (, y) = Ky (, ). Bevis: Geo tt väd Fuiis sts och yt itegrtiosordig, erhåller vi (, ) (, ) (, ) Af g = K y f y dy g d = K y f y g dyd = K(, y) g( ) d f ( y) dy = f ( y) K(, y) g( ) d dy, vilet visr stse. Av sts 5 följer tt itegrlopertor A i () är självdjugerd i Hilertruet L [, ], dvs A = A *, o och edst o A hr e syetris är. Då är därför egevärde till A reell eligt sts 9 och egefutioer tillhörde oli egevärde är ortogol eligt sts. Sts 6: Låt λ, λ, vr egevärde till itegrlopertor A ed tillhörde egefutioer φ, φ,, tg tt A hr e syetris är och låt h L [, ]. O K(, y) är e Hilert- Schidt-är, hr futioe = = (, ) f Ah K y h y dy e solut och liforigt otiuerlig Fourierserie i det ortogol systeet φ, φ,, =, = (, φ ) f fφ f f =. Se A. N. Kologorov & S. V. Foi, Eleets of the Theory of Fuctios d Fuctiol Alysis, II,
39 Fourieroefficieter f till futioe f är sopplde ed Fourieroefficieter h till futioe h geo förhålldet så tt ( φ ) f = h λ, h = f,, f ( ) = h ( ) λφ, f = ( f, φ), h = ( h, φ) = (). Bevis: O vi sätter h() = K(, y) i (), erhåller vi K ( y) ( y) ( ) ( y) K( y), ( ), = λω φ, ω =, φ = och ω (y) är Fourieroefficieter till är K(, y). Låt oss erä ω (y). Vi väder forel för Fourieroefficieter, ω = φ = y K, y d K y, φ d, efterso är är syetris. Lägg äre till tt φ (y) uppfyller evtioe λφ = K, yφ y dy. Geo tt yt plts på och y, får vi så tt Således hr vi och llät λφ y = K y, φ d, ω ( y) λ φ ( y) =. (, ) = K y λφ φ y = (, ) = φ K y λφ y =, 35
40 vilet är e ilijär serie för är K (, y). För är K(, y) är de ilijär serie (, ) = φ Ky λφ y =. De serie ehöver ite vr liforigt overget, e overgerr lltid i L -ore. Vi tilläp Hilert-Schidts sts på syetris itegrlopertorer. Sts 7 : Itegrlevtioe φ λ K, y φ y dy = f (), där är är e syetris Hilert-Schidt-är och φ L [, ], hr e etydig lösig för vrje f, edst o λ = eller o /λ ite är ett egevärde till opertor A, defiierd so Aφ = K, yφ y dy. ξ = c ψ + ξ, O /λ är ett egevärde till A, är itegrlevtioe lösr edst o f är ortogol ot vrje egefutio till A tillhörde egevärdet /λ, och hr i så fll oädligt åg lösigr. Bevis: Eligt sts 8 är A e fullstädigt otiuerlig opertor i Hilertruet H = L [, ] och eligt Hilert-Schidts sts (r 4) hr A ett ortoorert syste v egevetorer (egefutioer) {ψ } tillhörde egevärde λ, så tt vrje eleet ξ H srivs där ξ' N(A), dvs Aξ' =. Sriv () på opertorfore φ = λaφ + f, (). Låt f = ψ + f, Af =, och sätt i i (), så får vi so håller edst o φ = ψ + φ, Aφ =, ψ + φ = λ λ ψ + ψ + f, f = φ, ( λλ) =, {,, K}, 36
41 det vill säg då f = φ, =, o λλ, λλ =, o λλ =. Dett ger ett tillräcligt och ödvädigt villor för lösrhete hos opertorevtioe (). För de där λλ = är oefficieter godtyclig tl. O λ = /λ, följer dels tt λ är ett rteristist värde till itegrlevtioe, dels åste vi h = och däred (f, ψ ) =. Följdsts: O /λ är ett egevärde till opertor A ov, är lösige till () r φ( ) = f ( ) + ψ ( ), där ψ = = λ ( ) K( y) ψ ( y), dy, r är tlet lijärt oeroede egefutioer till A och är godtyclig ostter. Bevis: Tlet r är ädligt eligt Fredhols sts (r 3). Frå sts 7 får vi φ( ) = f ( ) + λ λ ψ ( ) r = (3). Låt M = { λ = /λ}. Då är godtycligt för M. Låt S = {,, r}\ M. Isättig v (3) i () ger därför S λψ = K(, y) f ( y) + λ λψ ( y) dy S (4). Låt P = {ψ M} och låt ψ P. Multiplitio v (4) ed ψ() och itegrtio över ger tt höger led är ortogolt ot ψ. Dett gäller för ll ψ P. Låt T = {ψ S}. Efterso väster led är e lijäroitio v eleete i T, åste äve höger led vr det. Vrje sådt högerled är ortogolt ot P. Därför är oefficieter i väster led godtyclig äve för S, och följdstse är visd. Sts 7 är lltså ett specilfll v Fredhols sts (r ). Följdstse stäer ju r ed eeplet i p. 6. Egevärde μ och μ till opertor A i p. 6 är ocså reell och de tillhörde egefutioer ψ och ψ är ortogol. Det sist pitlet hdlr o Ivr Fredhol, so vi hr sett är ett stort io teori för itegrlevtioer. 37
42 38
43 8. Ivr Fredhol. Ludvig Oscr Fredhol vr e ffärs- och idustri, so iförde de först eletris gtuelysige i Stochol och sere lev de förste verställde diretöre i ASEA. H gifte sig ed Cthri Puli Steerg i Arog 86. Ders so Eri Ivr Fredhol föddes i Stochol de 7 pril 866. Efter studetee vr Ivr Fredhol elev vid Teologis istitutet i Stochol, e red följde år, 886, lev h studet vid Uppsl uiversitet. So ylive gister återväde Fredhol 888 till hestde, för tt fortsätt studier vid Stochols högsol. Mtetie o fräst, e h fortstte äve si studier i fysi uder Kut Ågströs ledig, vil doc vröts, e i Fredhols licetitee frå Uppsl 893 igår fysi. Bld Göst Mittg-Lefflers elever vid Stochols högsol frå de tid ärs Edvrd Phrgé, Ivr Bediso, Helge vo Koch, och frå Fild Erst Lidelöf. Fredhol hde eellertid ett särsilt strt itresse för teoretis fysi, vilet ärs i hs först tetis vhdlig, srive jule 889. Där ges ett eepel på e potesserie, vrs overgescirel är turlig gräs för de futio serie represeterr. Sere överfördes studiet v de serie på ett prole rörde väreledigsevtioe, vilet löstes ed hjälp v e sts v Soj Kovlevsi, so då vr professor vid högsol. Red vid de tid tycs Fredhol h tjästgjort vid livförsärigsolg. Tidvis verr h h vsett tt li lärre och geogic provår 896. Det e v de stor proleoråde Fredhol sulle o tt äg sig åt ehdls i dotorsvhdlige, so vetilerdes i Uppsl 898 och pulicerdes två år sere i Act Mthetic. Avhdlige hdlr o elstis rfter och det gällde då tt fi tt fi e särsild sorts sigulär itegrler. Avhdlige ileds ed e härledig v hooge sigulär lösigr till e lijär differetilevtio v fore d f,, y z u =, där f(ξ, η, ζ) är ett hooget polyo. Med hjälp v dess sigulär lösigr studerdes sed elsticitetsteoris rdvärdesprole. I ett först utst till dotorsvhdlige srev Fredhol: Jg hr försöt utvidg Neus etod för tt vis eistese v e lösig till jävitsevtioer, e ut tt lycs evis overgese v de erhåll serier. Med te hs sere tetis vershet är dett itresst. Året efter disputtioe fortstte Fredhol studiet v differetilevtioe ov. Dett år utädes h till docet vid Stochols högsol, och tillrigde våre i Pris tillss ed Erst Lidelöf. Där följde h Poicrés, Picrds och Hdrds föreläsigr och gjorde visit hos de förstäde. De 9 j 899 sriver h, tt h uder de sist tide ice sett eller hört ycet, e tt h frför llt fudert över tetis prole. I hs efterläde ppper fis ocså e redogörelse för hs först upptäct på itegrlevtioers oråde dterd Pris, våre 899. Oedelrt efter oste till Sverige srev h de 8 ugusti s år ett rev till Mittg-Leffler, där h eddelr si upptäct: Frställige ygger äst helt på Åe Pleijel, Ivr Fredhol, Nordis tetis tidsrift, r 4 (953), s , och ll citt är därifrå, dett frå s. 67, de följde två frå s. 68 och sed frå s. 68 f. och s. 7 f. 39
44 Jg är för ärvrde sysselstt ed ågr udersöigr, so äro f gs stor etydelse för ll ed Dirichlets prole log uppgifter io de tetis fysie. So viss resultt äfve frå tetis syput äro f itresse er jg här tt få eddel ågr f de. Låt f(, y) vr e otiuerlig futio f de reell vriler, y defiierd t. e. för såd och y so ligg ell och. Det prole, so jg då ehdlr är i si elste for följde. Att fi e futio ϕ() so stisfierr itegrlevtioe ϕ + λ f, yϕ y dy = ψ, där λ är e riträr preter och ψ() e gifve futio. M evis tt lösige till de evtio i llähet eisterr och tt de är li ed vote ell tväe estädigt overgerde potesserier i λ. Dess potesserier u frställs uder e tälige elegt for. Näre är till e. ett uttryc f följde for där λ D = f( ) d d L! K K = ( K ) f =, (, ), (, ), K (, ) (, ), (, ), K (, ) f f f f f f LLLLLLLLLLLLL K ( f,, f,, f, ). Kovergese eviss ed hjälp f e deteritsts, so jg ej sett förd ågostädes och so lyder på följde sätt K LLL K < + + K+ + + K+ L + + K +. Är f det störst solut eloppet f f(, y) så är eligt deteritstse tydlige oefficiete för λ idre ä f! e lies för te rote ur de är li ed oll och således serie D e hel futio. Det fll då f(, y) lir oädlig hr jg äu ej fullstädigt lycts tt ehdl. De i Pris 899 edsriv tecigr o upptäcte iehåller ett evis för deteritstse utfört ed differetillyl. Fredhol äde till stse red 896, e då h 9 pulicerde sitt först rete o itegrlevtioer, visste h, tt de evists först gåge v Hdrd 893. Avhdlige frå 9 ofttr sju sidor och iehåller red det väsetlig v teori för Fredhols evtio. Däri igår ltertivstse och tilläpige på det (tvådiesioell) 4
45 potetilteoretis prole, so vr dess utgågsput. Frställige är ycet ocetrerd, och tre år sere pulicerdes det slutgiltig retet i Act Mthetic. Teori är u opletterd och logi ed ädlig evtiossyste hr gjorts fullstädig geo ifördet v uderdeteriter v högre ordig. Dessuto ehdls fllet då är f(, y) lir oädlig på digole = y, vilet är vitigt för tilläpigr och särsilt för Dirichlets prole i tre diesioer. Vid de först sdivis tetierogresse i Stochol 99 erättde Fredhol o de tegåg so lett hoo till upptäcte. H frhåller Neus etod so de lösigsetod för Dirichlets prole, so hde syts hoo läpligst för lläre prole. Så äer h ett rete v Poicré, där dee gjort troligt tt Neuserie är e eroorf futio v λ, och fortsätter: Då jg fuderde över dess resultt frågde jg ig o det ftu tt ϕ är e eroorf futio v λ ite åste vr e följd v de lieär fore v de evtio so defiierde ϕ. Det förhållde tt utveclige v ϕ overgerde för ll värde på λ i fllet ed Volterrs evtio gv ett strt stöd åt te tt teorie för futiolevtioe II [Fredhols evtio] orde vr ett gräsfll v de vlig teorie för lieär evtiossyste. Sed jg e gåg fått de idé, uderlättdes i udersöigr ycet geo i olleg Helge vo Kochs rete o oädlig deteriter. Vid återoste frå Pris hde Fredhol livit ues i civildeprteetet, där h 95 lev yrådiretör. Sed h lät de tjäst s år, lev h livförsärigsolget Sdis turie. H ostruerde där e llät väd forel för återöpsvärdet. Fredhols itresse för fysi hr red frhållits h söte ite de ledig professure i re teti i Lud 95 e året efter utädes h till professor i rtioell ei och tetis fysi vid Stochols högsol, vrifrå h sed sulle ver. Fredhols teori o itegrlevtioer lev st äd. Våre 9 hölls det först föredrget i utldet v Eri Holgre vid ett seiriu i Göttige lett v Hilert, so gest d tt få lå Fredhols uppsts och sed lät Holgre föreläs e gåg till. Efter ågr få år hde Hilerts elever srivit är ett dussi dotorsvhdligr o itegrlevtioer. Vid Prisogresse 9 vr Fredhols teori eellertid äu oäd. H deltog där ed tve och höll ett föredrg, där h härledde de grudläggde forler. Dett pulicerde h ldrig, e Hilert återupptäcte sere forler och pulicerde de 94. I si efterläde ppper föregriper Fredhol fler gåger de sere utveclige. De efter Picrd uppllde sigulär itegrlevtioe ed är e y fis ehdld där lågt i de studerdes v Picrd 9 och 9. Frå 9 fier de sts ed vile Hilert sere studerde äror so är oädlig på defiitiosvdrtes digol, e evis ss so oft vid Fredhols udersöigr frå dess år. Höstterie 96 vr Fredhol tjästledig för tt sriv e läroo o itegrlevtioer, e vstod, då h erfor tt Hilert ocså höll på ed e och det året efter o e rd såd öcer. Utst till oe fis eellertid evrde. I Frrie hde Fredhol strt stöd v Poicré. År 98 tilldeldes h Poceletpriset v Frs vetespsdeie ett pris utläigr säll fic. S år hölls de först föreläsige i Sverige över Fredhols teori o itegrlevtioer och dess fysilis tillläpigr. Följde år lev Fredhol hedersdotor i Leipzig. De 3 j 9 gifte sig Fredhol ed Ages Mri Liljeld i S:t Oli. Ders äldste so Begt Ivr föddes året därpå. Efter 9 itresserde sig Fredhol ycet för tt lös differetilevtioer ed ueris etoder och h ostruerde ocså e såd si. M vet tt de uder oli egyelsevillor ude rit vcr och et itegrlurvor. Ivr Fredhol vled de 7 ugusti 97. 4
46 Littertur och ällor. Otryct teril. Yury V. Shestoplov & Yury G. Sirov, Itegrl Equtios. (Krlstds uiversitet ). Dett fis äve på iteretdresse Joh Byströ vid Luleå teis uiversitet hr srivit ett opediu på sves o itegrlevtioer, so i srivde stud fis på dresse Uiversity of St Adrews i Sottld hr e iogrfi över Ivr Fredhol på dresse Tryct teril. R. Court & D. Hilert, Methods of Mtheticl Physics. Vol.. [Tys origilupplg uto i Berli 94.] Itersciece. New Yor & Lodo 953. Lrs Gårdig, Mteti och tetier. Mtetie i Sverige före 95. Lud 994. Lrs Hörder, Futiollys i Ntiolecylopedi, d 7, Högäs 99, s. 99. A. N. Kologorov & S. V. Foi, Eleets of the Theory of Fuctios d Fuctiol Alysis. [Rys origilets två delr uto 954 och 96.] Dover. Mieol, N. Y Åe Pleijel, Ivr Fredhol, Nordis tetis tidsrift, r 4 (953), s Wlter Rudi, Priciples of Mtheticl Alysis. [953] 3d ed. McGrw-Hill. Hurg, Lodo, Pris etc Artilr o Fredhol fis äve i uppslgsver, där de äldre Nordis filjeo och Sves uppslgso hr lägre rtilr ä Ntiolecylopedi. 4
I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile
Läs merNågot om funktionsföljder/funktionsserier
mtemtis metoder E, del D, FF Något om futiosföljder/futiosserier. Putvis och liformig overges Vi etrtr reellvärd futioer med gemesm defiitiosmägd D IR, M D. Me (äst) llt går helt logt för omplevärd futioer
Läs merc k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om
RIEMANNSUMMOR OCH DEFINITIO ONEN AV INTEGRALI LEN f ( x) dx Låt f ( Låt P={xx 0,x 1,...,x } där = x 0 x 1,..., x = =, vr e idelig vv itervllet [,]. I vrje delitervll [x -1, x ] väljer och e put c. Alltså
Läs merApproximationen med den här metoden kallas minstakvadratmetoden.
Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR MINSTAKVADRATMETODEN Mistvdrtetode. INLEDNING frå lijär lger) Låt vr ett olösrt sste dvs. ett sste so sr lösig). Vi sriv ssteet på fore A = ss ) där...... A, och................
Läs merDIAGONALISERING AV EN MATRIS
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr
Läs merHuvud metod för beräkning av massan för en av en kropp med densiteten ρ ( x, är trippelintegral
ri Hlilovic: EX ÖVNING Mss och tgdput ILLÄMPNING V INEGLE. MSSN OCH YNGDPUN MSSN Huvud etod för eräig v ss för e v e ropp ed desitete, är trippelitegrl, dd so hör till urse i flervriells. Me, ågr el prole
Läs merTILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer).
rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig TILLÄMPNINGR V DIGONLISERING Beräig v poteser. Reursiv smbd s.. differesevtioer. Beräig v poteser med hjälp v digoliserig Om mtrise är digoliserbr dvs
Läs merINTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM )
Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium ITEGALKITEIET ( äve lls CAUCHYS ITEGALKITEIUM ) POSITIVA SEIE Defiitio E serie är ositiv om 0 för ll Eftersom delsummor v e ositiv serie bildr e väde ositiv
Läs merFÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis
FÖ 5: K.6 fr.o.m. sid. Idutiosevis Fultet och iomiloefficieter Defiitio v! "-fultet" och iomiloefficieter " över " Disussio och evis v egeser.7 och.8. och.7 för ll =,,,...,.8 Av.8 följer t.e. tt, och Disussio
Läs merKompletterande material till kursen Matematisk analys 3
Kompletterde mteril till kurse Mtemtisk lys 3 Augusti 2011 Adrzej Szulki 1 Supremum, ifimum och kotiuerlig fuktioer I ppedix A3 i [PB2] defiiers begreppe supremum och ifimum. mooto tlföljder är ekvivlet
Läs merär ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter DETERMINANTER A Determiter v r orige Determite v e mtris A följe är ett tl som etes eta eller Eempel: 6. oh efiiers eligt Motiverig: Determiter utveles i sm me lösigsmetoer
Läs merKVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser KVDRISK MRISER, DIGONLMRISER, MRISENS SPÅR, RINGULÄR MRISER, ENHESMRISER, INVERS MRISER KVDRISK MRISER Defiitio E mtris me rer oh oloer, lls vrtis typ Defiitio
Läs merTENTAMEN. Tillämpad digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare Sven Knutsson: Signalprocessorn ADSP-2105
Istitutioe för dt- och eletrotei 4-8- TETAME KURSAM PROGRAM: m Eletroigejörslije å / läsperiod årsurs /läsperiod 4 KURSBETECKIG LET39 EAMIATOR Sve Kutsso TID FÖR TETAME Fredg 7 ugusti 4 l 3.3 7.3 HJÄLPMEDEL
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,
Läs merTENTAMEN. Digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare
Istitutioe för dt- och eletrotei 5-5-4 TETAME KURSAM PROGRAM: m Eletro- och dtigejörslije å / läsperiod årsurs /läsperiod 3 KURSBETECKIG LET39 96 EAMIATOR Sve Kutsso TID FÖR TETAME Fredg 7 ugusti 4 l 3.3
Läs merÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.
ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst
Läs merEGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET
EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET INLEDNING Ett polyom ( i variabel λ ) av grad är ett uttryc på forme P( λ) a λ + aλ + aλ + a, där a Polyomets ollställe är lösigar ( rötter) till evatioe
Läs mersom är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x)
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier SINUSSERIER OCH COSINUSSERIER I föregåede lektio (stecil om Fourierserier) hr vi vist hur m utvecklr e periodisk fuktio i e trigoometrisk serie K vi
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.
Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Bo Styf rasformmetoder, 5 hp gyl, I, W, X 20-0-26 Att repetera. Vi samlar här e del material frå tidigare urser som a vara avädbart uder urses gåg. Serier. E serie
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Defiitio. Egeektor och egeärde för e lijär bildig Låt V r ett ektorrum och T : V V e lijär bildig frå V till V. Om det fis e ollskild ektor och e sklär
Läs merTEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektrovetenskap. Tentamen i Digital Signalbehandling ESS040 (ETI240/ETI275)
EKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Istitutioe för eletrovetesp etme i Digitl Siglbehdlig ESS EI/EI75 7-5- id:. -. Sl: MA F-J Hjälpmedel: Formelsmlig, Räedos. Motiver tgde. De oli lede i lösigr s u följs. Rit gär
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.
VÅGEKVATIONEN Vi betratar följade PDE u( u( x t, där > är e ostat, x, t (ev) Evatioe (ev) a besriva vågutbredig, trasversella svägigar i e sträg och adra fysialisa förlopp Radvärdesproblemet består av
Läs mer1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel TAYLORS FOREL Tylors ormel krig pukte Om uktioe oh dess + örst derivtor är kotiuerlig i det slut itervllet [, ] eller [,], dvs vi tillåter < då gäller. som ligger
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett
Läs mervara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i närheten av punkten )
rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler TYLORS FORMEL FÖR FUNKTIONER V FLER VRIBLER PPROXIMTIONER FELNLYS --------------------------------------------------------------------------------------------
Läs merSida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.
Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a
Läs merFöreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)
Sigalbeadlig i multimedia - ETI65 Föreläsig 3 Sigalbeadlig i multimedia - ETI65 Kapitel 3 Z-trasforme LT 5 Nedelo Grbic mtrl. frå Begt Madersso Departmet of Electrical ad Iformatio Tecolog Lud Uiversit
Läs mer11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET
498 11. INTEGRALBEGREPPET Defiitio 11.16 R är e obestämd itegrl. De beteckr e primitiv fuktio till f(x). Vi smmfttr skillder mell bestämd och obestämd itegrler: Obestämd itegrl: itegrle skr gräser. De
Läs merLektionssammanfattning Syra-Bas-Jämvikter
Lektiossmmfttig SyrBsJämvikter Det fis ytterligre e typ v jämvikter som vi sk t upp i vi käer oss öjd. Nämlige Syrsjämvikter. De type v jämvikter väds huvudsklige för svg syror oh ser. Ett exempel på e
Läs merAnalysens grunder. Tomas Ekholm Niklas Eriksen. Matematiska institutionen, 2001 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse
VK Alyses gruder Toms Ekholm Nikls Erikse Mtemtisk istitutioe, 200 Fisiert v Mrie och Mrcus Wllebergs Stiftelse Grekisk lfbetet lf A α iot I ι rho P ρ bet B β kpp K κ sigm Σ σ gmm Γ γ lmbd Λ λ tu T τ delt
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merSymmetriska komponenter, Enlinjediagram och Kortslutningsberäkningar
0-0-8 F6: Per uit system ymmetris ompoeter, Elijedigrm och Kortslutigsberäigr t i Per uit (pu) beräigr Aväds ot iom elrtei och eletris drivsystem Ager impedser, strömmr och späigr som reltiv mått. viss
Läs mer1 av 10. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekviosssem med oek m m m m ss) och m ekvioer: E lföljd -ippel) s s s är e lösig ill
Läs merIntegraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. cos(3 xdx ) Från labben: Informationsteknologi
Itegrler Frå le: Itegrler Beräkigsveteskp I/KF Trpetsformel oc Simpsos formel Itegrler Itegrler Frå le: Frå le: Adptiv metod (dptiv Simpso) Lösig v itegrl i Mtl: är itegrde är kotiuerlig fuktio: väd itegrl.
Läs mer= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0
TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd
Läs merUPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR Om vi betratar e futio ff() som är otiuerlig i itervallet [aa, bb] då atar futioe sitt mista
Läs merEXAMENSARBETEN I MATEMATIK
EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Baires ategorisats och dess tillämpigar av Kristia Nilsso 007 - No 4 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 069
Läs mervara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiitio (rigoometrisk serie Ett utryck v öljde orm [ cos( Ωx b si( Ω x är e trigoometrisk serie ] Amärkig: Först terme skriver vi som v prktisk skäl som vi örklrr
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR AV PUNKTER OCH PUNKTMÄNGDER
ri Hlilovic: EX ÖVNING Lijär vildigr v pukägder LINJÄ VBILDNING V PUNKE OCH PUNKMÄNGDE vildig v e puk Vi hr defiier lijär vildigr ell vå vekorru Vi k forell erk puker so orsvekorer och däred erk vildigr
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs mer16.3. Projektion och Spegling
6.3 Projektio oh Speglig 67 6.3. Projektio oh Speglig Exempel 6.4. Bestäm mtrise för projektioe P v rmmet vikelrät mot plet W : x y z = 0. Bestäm okså ilde v svektorer e, e, e 3 oh w = e + e + 3e 3. (N-s.
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merStokastiska variabler
TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,
Läs merverkar horisontellt åt höger på glidblocket. Bestäm tangens för vinkeln så att
Istitutioe fö Mei Chiste Nybeg Ho Essé Nichols Apzidis 011-08- 1) Tete i SG1130 och SG1131 Mei, bsus Vje uppgift ge högst 3 poäg. Ig hjälpedel. Sivtid: 4 h OBS! Uppgifte 1-8 sll iläs på sept pppe. Lyc
Läs merRättande lärare: Niclas Hjelm & Sara Sebelius Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:
TENTAMEN Kursummer: HF00 Mtemtik för bsår I Momet: TENA /TEN Progrm: Tekiskt bsår Rättde lärre: Nicls Hjelm & Sr Sebelius Emitor: Nicls Hjelm Dtum: Tid: 08-06-0 :00-7:00 Hjälpmedel: Formelsmlig: ISBN 978-9-7-779-8
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl
1 Matematiska Istitutioe, KTH Tetame SF1633, Differetialekvatioer I, de 22 oktober 2018 kl 08.00-13.00. Examiator: Pär Kurlberg OBS: Iga hjälpmedel är tillåta på tetamesskrivige. För full poäg krävs korrekta
Läs mer( ik MATRISER ELEMENTÄRA RÄKNEOPERATIONER. Definition 1. Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema... a1
Hllov: EXR ÖVNINGR Mtse Eleetä äeoetoe MRISER ELEMENÄR RÄKNEOPERIONER Defto Io tete ä e ts ett etgulät she v eell elle ole tl E ts ed de oh oloe sägs h te so v sve då t( M sve oft ( elle ote ( let ä lltså
Läs mer1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs merNOLLRUMMET och BILDRUMMET till en linjäravbildning. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN.
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR NOLLRUMMET och BILDRUMMET ill e lijärildig. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN. NOLLRUM (Kerel (kär i kuroke Defiiio. Lå T r e lijär ildig frå R ill R. Mägde ll ekorer i R o ild
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merKVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn
Läs merMatte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor
Mtte C Översikt Fuktioer Poteslgr Potesuktioer Polomuktioer o Väde/vtgde uktio o M/mi pukter tersspukt o Tget Lösigsmetoder ör : grdre Rtioell uktioer Derivt Deiitio v derivt o Vis ör C Deriverigsregler:
Läs mer4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar
Signler och system i frevensplnet Övningr. Bestäm fourierserieoefficientern för de periodis signlern ) 7 δ [ n ] N = b) { δ [ n ] δ [ n 6] } N = c) { δ [ n + ] δ [ n ] } N =. T frm fourierserieoefficientern
Läs mer(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd.
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () och m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merInklusion och exklusion Dennie G 2003
Ilusio - Exlusio Ilusio och exlusio Deie G 23 Proble: Tio ä lägger ifrå sig sia hattar vid ett besö på e restaurag. På hur åga sätt a alla äe läa restaurage ed fel hatt. Detta proble a lösas ed ägdläras
Läs merf(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.
Dg. Remsummor och tegrler Rekommederde uppgfter 5.. Del upp tervllet [, 3] lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området uder = +, över =, smt mell = och = 3. V
Läs merTATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, olikheter och binomialkoefficienter
TATM79: Föreläsig Absolutbelopp, oliheter och biomialoefficieter Joha Thim augusti 018 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Defiitio. För varje reellt x defiieras absolutbeloppet x eligt { x, x 0 x x, x < 0.
Läs mer= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.
Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att
Läs mer============================================================ ============================================================
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. AREABERÄKNING Lå D vr e pl område mell e oiuerlig urv y f (), där f ( ), och -el som defiiers med, y f ( ), dvs D {(, y)
Läs merFORMELBLAD cos( ) cos cos. 21. sin( ) sin cos. 23. tan TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER I RÄTVINKLIGA TRIANGLAR. Pytagoras sats:
TRIGONOMETRISKA FORMLER... si 0 si 6 FORMELBLAD HF700, Bggproduktio 6. si cos 7. si45 si 4 si( ) t( ), cos( ) cos( ) cot( ) si( ) 8. cos( ) coscos sisi si 60 si 4. 9. cos( ) coscos sisi cos 0 cos 6 5.
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal
TATM79: Föreläsig 3 Biomialsatse och omplexa tal Joha Thim augusti 016 1 Biomialsatse Ett miestric för att omma ihåg biomialoefficieter (åtmistoe för rimligt små är Pascals triagel: 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merSYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Sid v 6 SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Iehåll: Mrisorm Begyelsevärdesprobleme Eises- och eydighessse ör lijär sysem
Läs merF6 PP kap 4.1, linjära ekvationssystem
F3 E3 & 3 Pge of 5 F6 PP k 4. lär ekvtotem Om vektorer och mtrer ormer etc. e PP 5-8. V väder eteckge för Eukldk orme v e -vektor. Oft väd m-orme m ll e vektor-orm ocer e orm för lär vldgr Det gäller u
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merEXAMENSARBETEN I MATEMATIK
EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Iterpolatio och approimatio av Elhoussaie Ifoudie 8 - No 5 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 69 STOCKHOLM Iterpolatio
Läs mervara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i en öppen omgivning D av punkten ) A =.
rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler v 9 YLOS FOMEL FÖ FUNKIONE V FLE VIBLE. PPOXIMIONE. FELNLYS. --------------------------------------------------------------------------------------------
Läs merTentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Måndag 16/
Tetme me löigr i IE4 Reglertei Måg 6/ 9.-. Allmä iformtio Emitor: Willim Sqvit. Avrig lärre: Willim Sqvit, tel 8-79 4487 Cmpu Kit, Tetmeuppgifter behöver ite återläm är u lämr i i rivig. Hjälpmeel: Räre/rfräre.
Läs merTentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentmen TEN, HF, mj 8 Mtemtis sttisti Kursod HF Srivtid: 4:-8: Lärre och emintor : Armin Hlilovic Hjälmedel: Bifogt formelhäfte ("Formler och teller i sttisti " och miniränre v vilen ty som helst Förjudn
Läs merPeriodisk summa av sinusar
1 Periodis sua av sinusar Låt x( t) = Asin( ω a t + α ) + Bsin( ω b t + β ). O ω a! x( t) är T-periodis, dvs. x( t) = x( t +T ) ω b ed T = π ω 1, där ω 1 = SGD( ω a,ω ) Största Geensaa Delare (SGD) b =
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merTalmängder. Vi använder följande beteckningar för s.k. standardtalmängder:
TALMÄNGDER SUMMATECKEN PRODUKTTECKEN ---------------------------------------------------------------- Talmängder Vi använder följande etecningar för s standardtalmängder: N={0 1 } mängden av alla naturliga
Läs merInduktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.
Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).
Läs merRepetition 2. a) Delmängdskonstruktionen ger nedanstående DFA. Till höger med nya tillståndsnamn.
1 Repetition 2.n Repetition 2 3 1. Betrt vidstående NFA. 1 2 ) Konstruer ed hjälp v delängdsonstrutionen en DFA evivlent ed NFA:n. ) Är den resulternde DFA:n inil? O ej, inier den! c) Konstruer ett reguljärt
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merHOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Vi brr sysm v lijär omog DE (v förs ordig) md os offiir dx x x d dx x x d dx x x d där x ), x ( ),, x ( ) är ob fuior v vribl ( Ovsåd sysm
Läs mer1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et.
Styrels e möte 7mars 2010 Bila gor: 1. D ago r d ning 2. N är va r o lis t a 1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. 2. F o rma
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merProblem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt
Läs mer5 Signaler och system i z-planet Övningar 5.1 Bestäm överföringsfunktionen i z-planet för ett system med impulssvaret
Sigler och sstem i -plet Övigr. Bestäm överförigsfutioe i -plet för ett sstem med impulssvret ) h[ ] [ ] 9 [ ] [ ] b) h [ ] u[ ] u[ ] h [] h[ ] c) d). Bestäm -trsforme för de sigler som besrivs v följde
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merTentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Tetame i Lijär Algebra, SF164 14 december, 21. Kursexamiator: Sadra Di Rocco OBS! Svaret skall motiveras och lösige skrivas ordetligt och klart. Iga hjälpmedel är tillåta.
Läs merBertrands postulat. Kjell Elfström
F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.
Läs mer27. NATURLJUD. o k k o k k k. p k k k kz k k o k k k k k k n k k k. k o k. a f4 Fredrik: kk k. k dk. a f4 4 j. k n. k n k k. k n k n k n.
27. NATURLJUD 171 a f4 Fredri: 4 o o p z o o Hysch-hysch! Tys-ta u! Ett ljus som är-mar sej! O ja, det är di-tör. Göm er på stört! Å Pirater: a f4 4 j m 4 j j m l l d d u om-mer visst di - tör! Å ej, u
Läs merExperiment, Försök, Utfall, Händelse, Sannolikhet. Kaptiel1: Slump, Utfall, Händelse, Sannolikhet... Kaptiel2: Stokastiska variabler
Kaptiel: lup Utall Hädelse aolikhet... Begreppe eperiet örsök hädelse utallsru saolikhet osv Diskreta/Kotiuerliga utallsru aasatta och betigade ( A B hädelser/saolikheter. ( A B ( A B ( B Bayes regel.
Läs merFörslag till övningsuppgifter FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet Vektorer, linjer och plan, ÖT = Övningstentamen
TNA00 Förslag till övigsugiter FN = Forslig/Neymar, K = Komediet Vetorer, lijer och la, ÖT = Övigstetame Vetorer, lijer och la ÖT:4,, K, K och Ugitera, och eda Ugit x Lije y t, t R z a) Beräa avstådet
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merTeori för flervariabelsanalys
Teori för flervariabelsanalys Robin Andersson 28 otober 2013 1 Innehåll 1 Differentierbarhet 3 2 Kedjeregeln 4 3 Formel för beräning av ritningsderivatan av en differentierbar funtion 5 4 Taylors formel
Läs merINLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp
rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fktioer bildigr Beteckigr och grdbegrepp Defiitio E fktio eller bildig frå e mägd till e mägd B är e regel som till ågr elemet i ordr
Läs merSammanfattning av Hilbertrumteorin
Sammanfattning av Hilbertrumteorin 9.1 Hilbertrum DEFINITION 9.1 Ett eulidist rum (prehilbertrum, rum med salärprodut, inreprodutrum) är ett lineärt rum försett med en salärprodut x y, och normen definierad
Läs merAppendix. De plana triangelsatserna. D c
ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:
Läs mer