EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

Transkript

1 EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Iterpolatio och approimatio av Elhoussaie Ifoudie 8 - No 5 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 69 STOCKHOLM

2

3 Iterpolatio och approimatio Elhoussaie Ifoudie Eamesarbete i matemati 5 högsolepoäg, fördjupigsurs Hadledare: Riard Bøgvad 8

4

5 Iehållsförtecig: I Iterpolatio och approimatio I Iterpolatiosproblem I Lagrage iterpolatio I3 Lijär iterpolatio I4 Kvadratis iterpolatio I5 Lagrages allmäa iterpolatiospolom: I6 Sattig av felet: (Cauchs rest för iterpolatiospolom I7 Newtos polom I8 Newtos approimatio II Tschebscheffpolom II Beräig av Tschebscheffpolom II4 Problem III Refereser

6

7 Itrodutio: Arbetet hadlar om hur ma sa räa ut iterpolatiospolom och approimatiospolom p ( för e give futio,, f p, f i giva valda puter (, det ville säga ett polom så att, för {, } p approimerar alltså f ( Polomet, Jag börjar med att visa att p eisterar och är uit geom att aväda Vadermodedetermiate för det lijära sstemet p Seda tas olia eempel upp Iterpolatiospolom och approimatiospolom som tas upp i arbetet är Lagrages, Newtos och Tschebscheffs Iehållet i de olia avsitte är följade: Lagrages iterpolatiospolom: Här besrivs först Lagrages iterpolatiospolom Och jag tar fram det första och det adra polomet som allas för lijära respetive vadratisa iterpolatiospolom I slutet av detta avsitt bevisas e uppsattig av approimatiosfelet (Cauchs rest för iterpolatiospolom geom att aväda både de valiga Rolles sats och e allmäare versio Newtos polom: Här har jag tagit upp hur ma beräar Newtos iterpolatiospolom Beräig av dem är omplicerad så jag besriver Newtos metod i form av tabell och räeschema för att uderlätta beräig Tshebscheffspolom: I detta avsitt defiieras Tshebscheffspolom med e formel i form av arccos futioe och först visas att det verlige är ett polom Avsittet avslutas med problemet om hur ma a göra för att approimatiosfelet för ett iterpolatiospolom, sa bli så litet som möjligt geom att aväda Tshebscheffspolome Mi huvudreferes för arbetet är [] apitel II och III, me ämet behadlas ocså i [] apitel 8 3

8 I Iterpolatio och Approimatio I Iterpolatiosproblem: I ett iterpolatiosproblem är sftet att leta efter ela futioer Ma vill hitta e eel futio f i form av polom, stcvis polom eller trigoometrisa polom, som går igeom ågra atal puter: (,, (,, (,, där alltså: f f, Till eempel vill ma hitta polom p ( med grad med egesape att,, p p p Dessa allas iterpolatiospolom Om de puter ma startar med är puter på e futiosgraf f ( så f approimerar p futioe Hur bra approimatioe är beror förstås på hur futioe uppför sig mella putera Det ommer att vara itressat att studera felet:? f p I Sats: ( p är uit Låt ( z, z,, z vara + giva värde (de a vara reella eller omplea tal och ( w, w, w,, w + giva adra värde (de a vara reella eller omplea tal p z så att: Det fis ett uit polom Bevis: oefficieter ( i,,,, p z w i i Vi sa bestämma polomet a i för ( i,,,, Evatio ( ger oss för i {,,,, } p z a a z a z a z ( med, så att det uppfller villoret ( + oäda ett sstem av lijära evatioer, som a srivas i matrisform som följade evatio: z z z z a w a w z z z z z a z z z w 4

9 För att ua se om detta sstem har e ui lösig måste vi otrollera att determiate ite är lia med oll Determiate för detta sstem allas för Vadermode-determiat: D z z z D C C C z z z z z z z z i< j z z z z z z (,,, [,,, ] ( i j Här är i i,, Vi sa visa formel för Vadermode-determiate geom e reursiosformel Iom mägdlammer står de olooperatioer som ger de olia trasformatioera av determiatera För : C i:te oloe i determiate för { } z (, z { C C z C } D z För : z z z D z z z z z z (, ( z z D z, z, z z z, z z z z C C z C C C z C z z z z z z z ( z z D z, z, z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ( z z ( z z z z z z z z z z ( z z ( z z ( z z 5

10 För aväder vi oss på samma sätt av elemetära operatioer { } Då får vi : (,,, D z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z C C z C i i i Med idutio a vi se att: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ( z z ( z z (,,, ( i j D z z z z z i< j z z z z z z z z z Eftersom putera z i är parvis olia så är D( z, z,, z alltså fis Nu sa vi visa att p ( z är uit Låt oss ataga att det fis två p z iterpolatiospolom p ( z och q ( z med högst grad som uppfller följade villor: p ( z q ( z w, i,,, i i i Polomet p( z q( z har högst grad och de är lia med oll i putera z i för i,,, Polomet har dessutom ( + ollställe Frå detta följer att p ( z q ( z så p ( z q ( z för alla z, och satse följer 6

11 I Lagrage Iterpolatio: Låt (,, (, vara giva och sådaa att i :a är parvis olia Lagrages idé var att multiplicera varje j { j,,, } med ett polom p, där p( j för j och p ( för j, och seda addera : j p p, för att få ett polom av grad som uppfller ( I3 Lijär iterpolatio: Lijär iterpolatio är e iterpolatio med e lijär futio, vars graf är lije som går igeom putera (, och (, Vi sa aväda följade polom: L, L De har egesape att L ( L ( och L ( L ( polomet a srivas som följade: p L + L, Det lijära Lagrage- Alltså är: p + ( I3 Eempel: f cos Låt i itervallet [, ] (a Sö det lijära iterpolatiospolomet p ( i och (b Sö det lijära iterpolatiospolomet q ( i och Evatio ( ger: p ( + ( q

12 Lijär approimatio p ( cos( Figur : Lagrages lijär iterpolatiospolom p och f ( cos( i iterpolatiosputer och Lijär approimatio q ( cos( Figur : Lagrages lijär iterpolatiospolom q och f ( cos( i iterpolatiosputer och 8

13 Tabell : (vi sa jämföra f cos och de lijära approimatioe p ( och q f cos p ( f ( p ( q ( f ( q ( I4 Kvadratis Iterpolatio: Kvadratis Iterpolatio är iterpolatiospolom p där grade är och de giva putera är (,,(, och (, Vi sa hitta L (, L ( och L ( där Li( i och Li( j för i j, { i, j,,}, så vi a sriva: L L L Alltså Lagrages idé ger: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( l l l l l l p L + L + L,, 9

14 I5 Lagrages Allmäa iterpolatiospolom: Lagrages polom ser alltså ut som: där i p L (3 i i i L i,,, är polom av grad som har egesape att Li i och Li j, i j Detta är Lagrages allmäa iterpolatiospolom Nu sa vi se hur ma ostruerar Lagrage iterpolatiospolom Li ( Vi börjar med att defiiera fatorer som bgger upp de I5 Defiitio Låt li ( för i,, vara polom som har egesapera: l ( ( ( ( l + ( ( ( ( l I5 Defiitio: Låt L, ( defiieras som följade uttrc:, där < < (4 L, ( ( ( + ( ( ( ( ( + j, j j, j ( j ( j (5 L, ( har de söta egesapera, eftersom L(, L( om, så förortas ju summa i lihete (3 till e eel term p l l ( ( Om vi låter Vi ser då se att 53 Eempel: Atag att f cos på itervallet [, ] p vars graf passerar igeom putera på grafe f för, 6 (a Sö och (b Sö 3 p som passerar igeom puter på grafe f för, 4, 8 och 3

15 Evatio (5 ger: p ( ( 9599( ( ( ( 6 p3 6467( 4( 8( ( ( 8( ( ( 4( ( ( 4( Lagrages vadratis iterpolatio cos( p( Figure 3: Lagrages vadratis iterpolatiospolom p och f ( cos( med iterpolatiosputer, 6 och

16 Lagrages iterpolatiospolom p 3 och f( cos( p 3 ( cos( Figur 4: Lagrages iterpolatiospolom p3 ( och f cos i iterpolatiosputer, 4, 8 och 3 Observatio: Observera att är vi öar atalet iterpolatiosputer i eemple i bildera så misar approimatiosfelet, det vill säga att iterpolatiospolomet verar gå mot de giva futioe Detta är förstås iget bevis för att det är så es för futioe cos(, och det fis situatioer är det ite är så som till eempel i Ruges feome Eempel: Ruges feome Ruge upptäcte att med ett aturligt val av iterpolatiosputer fis det ela futioer så att iterpolatiopolome ite overgerar mot de urspruliga futioe, är ma öar atalet iterpolatioputer Grafe till iterpolatiospolomet ommer att sväga raftigt och öade mella iterpolatiosputer, och ju högre grad iterpolatiospolomet har desto raftigare svägigar blir det, alltså: ( f ( p lim ma Låt oss åsådligtgöra detta med följade eempel: Atag att f ( + 5, och låt oss välja iterpolatiosputer som är liformiga utspridda,

17 , + h,, + + h + ( + h,,, med h ( Eftersom iterpolatiosfelet är beroede av hur f ( varierar för,, så: f ( 5 ( + 5 f ( 5 74 ( + 5 f ( ( + ( + 4 ( f 5 Observera att värdet på derivata blir större, detta iebär att iterpolatiosfel blir ocså större Alltså är öar p ( overgerar ite mot de iterpolerade futioe f ( Iterpolatio av f ( ( + 5 (graf a med 5:e ordigs polom (graf c och ett 9:e ordigs polom (graf b I ästa avsitt sa vi satta felet 3

18 I6 Sattig av Felet: (Cauchs rest för iterpolatiospolom I6 Defiitio: Om f ( är gåger deriverbar i [, ] sriver vi att f C [ a, b] ab, och I6 Sats: Geeraliserig av Rolles sats Låt f C a, b och att, och ata att [ ] f ( f ( ocså är otiuerlig i [, ] ( + ( ab, så eisterar för varje i ( ab, samt att f f f för a < < < b Då fis det e put ξ för ( vile f ( ξ och < ξ < Bevis: Utgågsput är de valiga Rolles sats, som säger att: om f C[ a, b] och f är deriverbar i varje put i ( ab,, och om f ( a f( b så fis det e put ξ för vile f ( ξ och a< ξ < b Vi visar satse för 3 Det allmäa fallet bevisas på samma sätt Låt f f f ( 3 Eftersom f är deriverbar i putera < < 3, ger Rolles sats att a ma hitta ξ, ξ där < ξ < < ξ < 3 och f ( ξ f ( ξ Eftersom f eisterar så aväder vi Rolles sats e gåg till så att vi får ξ för vilet f ( ξ och ξ < ξ < ξ I63 Sats (Lagrages Approimatiospolom + Ata att f C [ a, b] och,, är + tal i [ ab, ] Låt polomet p vara Lagrages iterpolatiospolom p f ( L (se avsitt I5 Om [ ab, ] allar vi sillade, så f p R (6 för reste Polomet p ( approimerar f ( och reste är ett mått på hur oggra approimatioe är Vi sa med Rolles sats visa att för varje [ ab, ] fis ett ξ ( mi (,,,, ma (,,, så att : ( ( ( ( +! R f Talet ξ är beroede av putera,,, och f ( + ( ξ (7 Bevis: För i Ata u att är fi och satse är trivial, eftersom f ( i p( i och futioe f ( i p( i ( i,,, och låt oss defiiera följade futio: i 4

19 K f p ( ( ( Låt oss ocså defiiera följade futio av t : ( ( ( ( ( ( (8 W t f t p t t t t K (9 Observera att W ( t i + puter, ämlige för t,,,, + Eligt Rolles sats så fis då ξ så att W ξ, och så att ( ξ ( + :a derivata av : te gradpolom som p mi,,, ma,,, Geom att derivera (9 + gåger och utttja att ( ( ( ( (! + + W t f t + K t försvier så får ma: Sätt i det ξ som vi ss visade att det fas: ( ( ξ ( ( ξ + + W f K +! ( K ( f! ( + ( + ( ξ ( Sätt i detta i uttrcet (8 för K( så får vi : Detta ger oss: f p ( f ( ξ +! + ( ( ( ( +! f p f ( + ( ξ, och satse är bevisad Korollarium: Låt R f p +, där f C [ a, b] som hör till putera ( i, f ( i i,,, Då är:, och p ( är iterpolatiospolomet ( + R ma f ( ξ a b! ( + 5

20 Eempel: Låt oss uppsatta felet för f ( arcsi värdea 533 och 534 Vi har : f (, f ( så är 534 felet i orollariet ger oss: i 5335 via e lijär iterpolatio mella (3 och f ( ( + 5 ( är maput för f ( (3 Eftersom f ( > för Formel för uppsattig av R ma 533 ξ ( ξ ( ( ξ !, för 5335 och ξ 534 R ( 5335 ( ( ( ( ! 534 ( ( I7 Newtos polom: Det är iblad avädbart att ha flera approimatiospolom p, p,, p och seda välja det bästa oftast förstås det med högst grad Om vi aväder Lagrages polom, så fis det iget sambad mella p ( och p, uta varje polom är uppbggt idividuellt, och vi har ige hjälp av uträige av p för att räa ut p (, uta måste starta om För Newtos polom är det aorluda Vi bgger upp dem geom att aväda tidigare polom via e reursiv formel Räemässigt är detta alltså mcet effetivare Observera emellertid att sats I säger att iterpolatiospolomet är uit, så vi får ite adra polom ä tidigare, bara ett effetivare sätt att beräa dem Newtos första polom ser ut så här ( : p a + a ( Vi fortsätter på samma sätt att bgga upp Newtos polom p, p3,, p : p p + a (3 6

21 a ( ( ( p p 3 + (4 3 + ( ( ( p p a Observera att p ( ( (, så ma iser att (5 p i evatio (5 allas för Newtos polom med parametrar,,, är summa och produte av lijära fatorer upp till a p är av grad Vi sa stra visa e reursiosformel för Newtos polom, me först ågra eempel I7 Eempel: Låt, 3, 4 och 3 45, samt oefficieter a 5, a, a 5, a3 och a 4 3,, p för,,3,4 Räa ut p p p (, och p ( samt 3 Vi aväder oss av formler ( till (5 så får vi: (, ( + ( (, ( ( ( p 5 p p3 p 3 4 p4 p Beräig av polomet för 5 ger oss följade resultat: ( 5 5 ( 5 ( 5 p ( 5 + 5( 5( 5 65 ( 5 p ( 5 ( 5( 5( 5 55 p p p p p Observera att precis som vi ville ha det, så vi behöver ite göra om all uträig av varje polom, uta a aväda oss av tidigare uträigar Nu sa vi besriva hur Newtos polom a avädas för iterpolatio helt allmät I7 Newtos metod: Atag att vi vill hitta e Newtos följd av polom p, p,, p approimerar e give futio 4 som f, i vissa puter,,,,där futioe har värdea f ( i i Närmare bestämt, så att p( f (, p, p(, p, p(, och allmät pi( j j om j i Vi sa göra detta med idutio Ata alltså att vi reda ostruerat det : a Newtos polom p för vilet:: 7

22 ,,, p f p f p f Frå (5, ser vi att Newtos polom av grade p a srivas som följade: p p + g (6 g p p, (7 där ( ( ( g a, (8 för a e ostat som sa bestämmas så att p ( För att bestämma a, låt Då ger (8 att: a g ( ( ( Sätt seda i för i g som besrivs i uttrcet (7 Då får vi: a p p ( ( ( Om vi u vill ha p (, så sa vi alltså sätta a p ( ( ( ( (9 Alltså har vi u bestämt a och därmed p Base för idutios argumetet är p( För att göra det översådligare iför vi ästa defiitio I73 Defiitio: Atag att ( i, i är giva puter där i [ ] ( i,,,,, är distita, defiieras : [, ] + [ ] [ ] + + [,, ] + + [, ] [, ] och [,, ] [,, ] [,, ] 8

23 I74 Eempel: Sätt cos, beräa för putera,,,3,4 [, ] : [ ] för,,,3,4, [,, ] och [,,, ] + för,,,3 + + för,,, Vi väljer att räa ut ågra och de adra a utföras på samma sätt Vi har: [ ] cos, för [, ] [, ] ( cos cos cos cos [, ] cos 3 cos [, ] 3 4 [,, ] I75 Sats: Atag att,,, är p med grad så att: i i cos 4 cos [, ] [, ] p för i,,, + distita puter i [, ] Med Newtos metod a det srivas som: ab Då fis det ett uit polom p ( a + a ( + a ( ( + + ( ( ( Här är oefficietera ai [,, i] och alltså: + ( [, ] + ( ( [,, ] + + ( ( [ ] p,, a Bevis: Vi sa aväda oss av reursiosformel: För så p ( p och uttrcet (9 som besriver a : 9

24 p a [, ] Vi aväder oss av lihete (6 som besriver p i form av det första Newtos iterpolatiospolomet av grad : g och p, då får vi + + ( p p g [, ] + För, ger avädade av formel ss för p och uttrcet (9 som besriver a : a p ( ( [, ] ( ( [,, ] För, slutlige ger (6: p p + g Vi sätter i g ( och a [,, ] (se 8 så får vi: Med + ( ( ( [ ] p p,, p och för,, ger Newtos metod, alltså, allmät att [, ] [,, ] + + ( ( [ ] p + + (,, För att uderlätta beräig för oefficiete a har vi orgaiserat ett räeschema I76 Räeschema: För att uderlätta beräig av Newtos iterpolatiospolom har vi avädig av följade räeschema, där vi först räar ut e olo och seda aväder detta resultat för att beräa oloe ärmast till höger [ ] [,] [,,] [,,,] [,,,,] [ ] [ ] [, ] [ ] [, ] [,, ] 3 [ 3] [, 3] [,, 3] [,,, 3] 4 [ ] [, ] [,, ] [,,, ] [,,,, ]

25 I77 Eempel: Hitta Newtos polom för futioe f cos de fem putera (,cos( för,,,3 fra Newtos iterpolatiospolome p (, för,,3,4 Här aväds räeschema för de giva fem putera i form av e tabell Tabell 3 Värdea är avrudade till sjude decimale som överesstämmer med cos i och 4 Aväd dem för att beräa a och de [ ] f f [,] f [,,] f [,,,] f [,,,,] Sätt i värdea i p ( som besrivs i uttrcet (: p p ( ( ( ( ( ( p ( ( ( ( ( ( 46568( ( ( ( 3 p

26 Newtos approimatiospolom p ( och f(cos( p ( cos( Figur 5: Newtos iterpolatiospolom p och cos( i iterpolatiosputer,,, 3 och 4 Newtos iterpolatiospolom p ( och f(cos( cos( p ( Figur 6: Newtos iterpolatiospolom p och cos( i iterpolatiosputer,,, 3 och 4

27 5 Newtos iterpolatiospolom p 3 ( och f(cos( 5-5 cos( p 3 ( Figur 7: Newtos iterpolatiospolom p 3 och cos( i iterpolatiosputer,,, 3 och 4 5 Newtos iterpolatiospolom p 4 ( och f(cos( p 4 ( cos( Figur 8: Newtos iterpolatiospolom p 4 och cos( i iterpolatiosputer,,, 3 och 4 3

28 Observatio: Observera att i figurer a ma se hur Newtos iterpolatiospolom p ( ärmar sig själva futioe f cos ju mer ma öar polomets grad Nu sa vi titta på hur felet uppför sig, är ma approimerar e futio f ( med Newtos iterpolatiospolom, och samtidigt iföra e lass av polom II Tschebscheffpolom: Tschebscheffs Polom är ett vitigt vertg för iterpolatiosproblem Sftet är att göra Lagrages iterpolatiosfel så litet som möjligt geom att aväda Tschebscheffpolomes rötter som iterpolatiosputer Vi sa studera iterpolatiospolom p ( för e futio f ( över itervallet [,] för {,,, } < < < med rötter där Lagrages polom uppfller uttrcet i sats (I63 som besriver förhålladet mella p, f ( och R ( : approimatiospolomet f p + R, där R Q ( + ( ξ ( +! f (3 Q( är ett polom av grad + som försvier i putera Q( a srivas: ( ( ( Q Vi ommer att aväda följade sambad som följer ur (3, för,,,, så R Q ma f [,] ( + ( ξ ( +!, för att begräsa felet R ( Tittar vi på dea formel ser vi att felet ommer att vara litet om vi väljer rötter för,,, som gör att ma Q blir miimum alltså så litet så möjligt Detta ser om { } [,] är rötter till Tschebscheffspolom Vi sa börja med att defiiera Tschebscheffspolom II Defiitio: Låt Tschebcheffpolomet av grad är defiierat som följade: T ( : [,] cos( arccos 4

29 II Beräig av Tschebscheffspolom:,, och sätt α arc cos, cos( α cos arccos Låt [ ] T ( R (( cos α + isi α Eligt de Moivres formel så: T ( R ( cosα + i siα Eftersom ( α ( α cos + si så: ( α ( α si cos Vi sätter i cos( α och si ( α i form av så T blir: T ( R ( + i (Biomial satse ( R C i Eftersom T ( är real~dele av ett omple tal så måste imagiäradele försvia så : [ /] ( T C i [ /] C Här är [ ] är heltalsdele av och ( z R är real~dele av det omplea talet z 5

30 Här är ågra av Tschebscheffs polom: T Tschebscheffspolom: T, T, T, T 3, T 4 ch T 5 T T 5 T 3 - T T T Figur 9: Graf över ågra av Tschebscheffspolom, T, T, T, T3, T 4 och T 5 II3 Propositio: (a Det fis reursiv relatio mella Tschebscheffspolom: T (, T (b Koefficiete för terme (c Låt { } och, och för alla så T T T är T har eat rötter: + + 6

31 + cos π För {,,, ( } (d Låt T ( har eat + etrema puter (där derivata är oll: (e Ma fört är π cos, och T [,] ma T (f Tschebscheffs polom T w är orthogoala polom för vile Det iebär att: π om m π T Tm w d om m om m Bevis: Vi sa aväda oss av de lassisa trigoometrisa (a Låt [,] och α arccos formlera cos( a+ b cos acosb si asi b och Observera att ( + α α + α ( + α + α och ( ( ( ( cos + α cos + α cosα si + α siα, cos α cos + α cosα + si + α siα Om vi summerar de två evatioera så får vi: ( + + ( + cos α cos α cos αcosα Vi har alltså för alla [,] : cos a b cos acosb+ si asi b: α + α α så: + T T T T T T + + ( + 7

32 (b Vi aväder oss av e reursiosformel: För T så är oefficiete för Ata att oefficiete för terme med grad för T ( är, så vi a se ifrå reursiosformel ( att oefficiete för terme med grad ( + är dubbelt så stor som ( Så T (c Låt : * och,,, cos( arccos T + cos arccos cos π + cos π + cos π T har grad och putera ( för {,,, } ela eftersom vi för alla har (d Låt * och,,, att beräa derivata för T ( cos( f f si( f, si( f f cos( f Om vi sätter i : T så [,], T si ( arccos si ( arccos är ollputera för T De är Vi har avät oss av de valiga derivatios reglera för, arccos, π si arccos cos π cos si π cos ( π Nu sa vi räa ut T Sätt så vi har: ( cos( arccos T 8

33 cos arccos cos π π cos cos( π ± (e Vi a ifrå detta dra slutsatse att [,] ma T (f Sätt I T T w d för att förorta formelsrivige Vi sa utföra ett variabelbte, m cosα d siα dα så: I cos αcos mαsi α d α siα π π cos α cos mα dα Vi aväder oss av följade trigoometrisa formler cos α + mα cos αcos mα si αsi mα cos α mα cos αcos mα + si αsi mα som ger oss: cos( α cos( mα cos( + m α + cos( m α Sätt i dem Då får vi: För m : π I ( cos( + m α + cos ( m α dα π I ( cos( + m α + cos ( m α dα 9

34 π ( cos( dα π d α π För m : π I ( ( + + ( π cos m α cos m α dα ( cos( α + dα π cos( α dα dα + π ( α π si π + 4 π, för att första terme försvier eftersom si ( π si För m: π [ + α] [ si( α] π I m + m + m m si, eftersom ( m π si ± si II4 Problem: Sambadet (6 i sats I63 besriver förhålladet mella approimatiospolomet p (, ( + f ( och R ( Observera att R är e produt av fatorera ma f ( ξ och ( +! [ a, b] ma ( [ a, b] Vi sa u söa för give, e idelig av [ ab, ] a b där: ma ( [ a, b] är miimum Sftet med detta är att hitta iterpolatios puter ( med {,,, } så att: 3

35 ma ma p, a b a b [, ] [, ] för alla p P, där P är mägde av alla polomer med grad där första oefficiete är b+ a b a Med ett eelt variabelbte + t ab, till [,] Då får vi problemet: a vi trasformera itervallet [ ] ma ma p (4 [,] [,] För att göra ma ( [ a, b] så litet så möjligt upptäcte Tschebscheff att iterpolatios puter för,,, måste vara rötter för Tschebscheffs polom T Detta betder att dessa iterpolatios puter löser uttrcet (4 Låt oss aväda följade defiitio för att bevisa detta II5 Defiitio Defiiera: T T observera att, och T + adra termer av lägre grad II6 Sats (Tschebscheff ma T [,] ma ma p, p P [,] [,] Här är + cos π, {,,, } Bevis: Eftersom T T så har T ( och T där: har samma rötter för,,,, + cos π, {,,, } Alltså a T srivas som följade: ( ( ( T 3

36 Och dessutom har vi: ma [,] [,] ma T ma, T [,] eftersom [,] ma T Vi sa räa ut T ( i beviset : π där cos som vi ommer att behöva seare { },,, ( ( (, (Propositio (d T T T Vi sätter i i stället för ( [,] ma så får vi,att vi sa visa att [,] ma p Vi sa visa detta geom att aväda ett motsägelse argumet Vi atar att: ma > [,] p Eftersom p ( och T oss u bilda futioe Q T p ser vi att P (alltså deras grad är och deras första oefficiet är Låt Q P, ( grad ( T p eftersom första terme försvier Sätt i så har vi: eftersom T ( ( ( ( Q T p ( (, för {,,, } Om är jäm så: p ( ( ( T p ( p ( >, eftersom p 3

37 Om är udda så: ( ( T p ( p ( <, eftersom p Observera att: ( T ( p( ( T ( + p( + <, {,,, } Detta betder att Q( T ( p( siftar tece + gåger, så tece + gåger Därav följer att Q( har rötter, och eftersom Q ( och alltså T p Vi a då sriva : ma [ ],, p ( ma T ( [ ] Det är motsatse till vårt atagelse, och vi a då dra som slutsatse att: Q siftar ocså Q P så måste ma T [,] ma ( [,] [,] ma p III Refereser: Litteratur [] Philip J Davis Iterpolatio ad approimatio Dover publicatio, INC NEW YORK 975 Erwi Kreszig Advaced egieerig mathematics Librar of cogress catalogig i publicatio data, 993 Källor frå iteret wwwwiipediaorg