Tentamen TEN1, HF1012, 1 juni Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:00-12:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Transkript

1 Ttm TEN, HF, jui 7 Mtmtis sttisti Kursod HF Srivtid: 8:-: Lärr och mitor : Armi Hlilovic Hjälpmdl: Bifogt formlhäft "Formlr och tbllr i sttisti " och miirär v vil tp som hlst. Förbjud hjälpmdl: Tlfo, lptop och ll ltrois mdl som oppls till itrt. Sriv m och prsoummr på vrj bld. D ttmslpp får j bhålls ftr ttmstillfällt ut s läms i tillsmms md lösigr. Poägfördlig och btgsgräsr: Ttm gr mimlt poäg. Btgsgräsr: För btg A, B, C, D, E rävs, 4,, 6 rsptiv poäg. Komplttrig: poäg på ttm gr rätt till omplttrig btg F. Sid v

2 Uppgift. p Br för dm som it lrt s. Ett förtg som tillvrr glödlmpor hr tillvrig förlgt till tr oli fbrir. Fbri A står för %, fbri B för %, och fbri C för % v tillvrig,. M vt tt glödlmp frå fbri A är dft md % soliht. Motsvrd flsoliht för fbri B är % och 4%. för fbri C. M hr bldt glödlmpor frå d tr fbrir i tt stort ctrlt lgr. Mli tr på måfå glödlmp frå lgrt. Vd är soliht tt glödlmp är dft. b Gustv tr på måfå glödlmp ur lgrt och fir tt d är dft. Vd är soliht tt d tillvrts i fbri C? Uppgift. p Br för dm som it lrt s. Låt, f för övrigt vr täthtsfutio för stostis vribl X. Bstäm ostt. b Brä vätvärdt E X. Uppgift. p Br för dm som it lrt s. E Mrov dj i disrt tid md två tillståd E och E hr övrgågsmtris..8 P..6.4 Sstmt strtr i E. Bstäm soliht tt sstmt är i E ftr stg. b Bstäm d sttioär solihtsvtor. Uppgift 4. p I låd fis röd grö och blå ulor. Vi tr 8 ulor på måfå ut åtrläggig. Bstäm soliht tt få t röd, grö och blå ulor. b Vi tr ulor på måfå md åtrläggig. Bstäm soliht tt få mist grö. Du s svr md biomiloicitr. Vr god väd. Sid v

3 Uppgift. p E ortl md ort bstår v fr färgr hjärtr, spdr, lövr, rutr och vlörr: ss,,, 4,, 6, 7, 8, 9,, t, dm, ug. M väljr 8 ort på måfå. Vd är soliht för tt få ut häs till ordig tt pr och två triss dvs zzz, till mpl Du s svr md biomiloicitr. Uppgift 6. p Lägd hos viss tp v bggdslmt, mätt i cm, är s.v j ormlfördld md mdlvärdt och stdrdvvils.. M läggr 6 slumpmässigt vld lmt itill vrdr. Hur stor är soliht tt drs smmlgd lägd övrstigr 7 cm? Uppgift 7. p A gjord 8 mätigr v storht och fic följd rsultt i lämplig htr: 4, 4, 6, 48,, 4,, 8. Normlfördlig ts och stdrdvvils är ät, σ. Bstäm tt 9 % ofidsitrvll tt tvåsidigt ofidsitrvl v tp [,b] för vätvärdt μ. b Hur måg mätigr bhövs för tt få tt ofidsitrvll v tp [,b] som hr smm 9 % ofidsgrd och som är hälft så brtt? Uppgift 8. 4p E otiurlig stostis vribl X hr täthtsfutio f om om för övrigt Bstäm ostt b mdlvärdt till X c mdi till X. Uppgift 9. p Ett btjäigssstm modllrs som M/M//4 två btjär och 4 öpltsr. Aomstitsitt är 4 udr/miut och btjäigsitsitt för btjär är µ udr/miut. Bstäm solihtr p, p,,p 6. b Bstäm mdl vättid W för ud i sstmt. c Bstäm soliht tt ud får btjäig ut tt vät. Vr god väd. Sid v

4 Uppgift. p Vi btrtr tt öät som bstår v två M/M/ össtm CPU och I/O. N progrm udr ommr Poissofördld till CPU md itsitt 6 progrm pr miut. Mdlbtjäigstid för tt progrm i CPU är sudr och mdlbtjäigstid i I/O är sudr. 8% v progrm lämr ätt ftr btjäig i CPU m % fortsättr först till I/O och därftr ig till CPU s Fig.. Brä mdltl progrm udr i ätt d v s progrm i CPU progrm i I/O Fig.. CPU % I/O µ µ 8% Uppgift. 4p p Låt X vr otiurlig s. v. md mdlvärdt µ. Bvis tt µ f d f d µ. b p Låt X vr potilfördld s.v. md prmtr. Bvis forml E X. c p Rgrssiosoicit r σ σ, där σ och stdrdvvilsr för X och Y, väds som tt mått på hur strt är LINJÄRT smbd mll vriblr X och Y. Bvis följd påståd om rgrssiosoicit r: Om putr i, i liggr t på lij b och > rsp. < då är r rsp. r. Lc till: Sid 4 v σ

5 Btcigr: p Sttioär solihtr; p är soliht för udr i sstmt N Mdltl udr i sstmt, N N q N s Mdltl udr i ö N q N Mdltl udr i btjär s ~ Btjäigstid för ud stostis vribl Mdl btjäigstid för ud, E ~ w ~ Vättid tid i ö för ud stostis vribl W Mdl vättid för ud, W Ew~ s~ Totl tid i sstmt för ud; ~ s ~ w ~ T Mdl totltid i sstmt för ud T Es ~, T W Aomstitsitt Spärrd udr pr tidsht spärr Efftiv omstitsitt - spärr µ Btjäigsitsitt ρ Erbjud trfi, ρ µ Någr formlr för tt M/M/m/K össtm: N p, spärr p m, spärr T N,, T W µ Littls formlr: N T N q W N s N N q N s ρ, rbjud trfi lls ocså "btjäigsftor" µ ρ späρρ späρρ µ, spärrd trfi, ρ, tiv trfi µ Blstig pr btjär Ns/m Sid v

6 Någr formlr för tt M/M/ össtm: I tt M/M/ össtm är µ > rs bilds obgräsd ö N N q N s T W µ p p p ρ ρ ρ ρ N, T µ Fördligsfutio för d totl tid i sstmt för ud är t F~ s t P ~ µ s t Littls formlr: N T I tt M/M/ sstm, ftrsom ig ud vviss N q W N s Sid 6 v

7 FACIT: Uppgift. p Br för dm som it lrt s. Ett förtg som tillvrr glödlmpor hr tillvrig förlgt till tr oli fbrir. Fbri A står för %, fbri B för %, och fbri C för % v tillvrig,. M vt tt glödlmp frå fbri A är dft md % soliht. Motsvrd flsoliht för fbri B är % och 4%. för fbri C. M hr bldt glödlmpor frå d tr fbrir i tt stort ctrlt lgr. Mli tr på måfå glödlmp frå lgrt. Vd är soliht tt glödlmp är dft. b Gustv tr på måfå glödlmp ur lgrt och fir tt d är dft. Vd är soliht tt d tillvrts i fbri C? Lösig: d totl soliht för dft lmp är p p b Rättigsmll: p för, p för b. Uppgift. p Br för dm som it lrt s. Låt, f för övrigt vr täthtsfutio för stostis vribl X. Bstäm ostt. b Brä vätvärdt E X. Lösig: Ar f d d Ar Sid 7 v

8 b E f d Svr:, b E ξ Rättigsmll: p för, p för b d 6 Uppgift. p Br för dm som it lrt s. E Mrov dj i disrt tid md två tillståd E och E hr övrgågsmtris..8 P..6.4 Sstmt strtr i E. Bstäm soliht tt sstmt är i E ftr stg. b Bstäm d sttioär solihtsvtor. Lösig: Strtvtor är p,...8 p,., p.,.8., Svr Soliht tt sstmt är i E ftr stg är.48 b Låt q, vr sttioär solihtsvtor. Då gällr qp q och Vi srivr qp q på ompot form:., , och läggr till vtio q är solihtsvtor Därmd hr vi sstmt: Sid 8 v

9 Adr vtio är smm som först. Frå först vtio hr vi får 8 4 som vi substiturr i trdj vtio och Därmd Svr: q / 7, 4 / 7.4, Rättigsmll: p, bp E poäg för orrt vtor.,.48 p för orrt svr.48 b p rätt llr fl Uppgift 4. p I låd fis röd grö och blå ulor. Vi tr 8 ulor på måfå ut åtrläggig. Bstäm soliht tt få t röd, grö och blå ulor. b Vi tr ulor på måfå md åtrläggig. Bstäm soliht tt få mist grö. Du s svr md biomiloicitr. Lösig: p, 8 b Notr tt vi hr grö och därmd 7 ic-grö ulor. Soliht tt dr grö först gåg är p. Sid 9 v

10 7 7 Soliht för ic-grö ul och g tt få färg. Eftrsom vi lämr tillb d vld ul hr vi smm soliht för grö/ ic-grö vrj gåg vi drr ul. Därför hr vi biomilfördlig Bi,, d här gåg. p b p p4... p p p p Rättigsmll: Rätt llr fl, p, b p. Uppgift. p E ortl md ort bstår v fr färgr hjärtr, spdr, lövr, rutr och vlörr: ss,,, 4,, 6, 7, 8, 9,, t, dm, ug. M väljr 8 ort på måfå. Vd är soliht för tt få ut häs till ordig tt pr och två triss dvs zzz, till mpl Du s svr md biomiloicitr. Lösig: Atlt ll möjlig sätt tt välj 8 bld urt är N. 8 Atlt gsmm fll g. Därför P g N Förlrig: Två ort bld fr väljr vi på sätt. Vi hr vlörr och därför vi 4 välj tt pr på oli sätt. Därftr väljr vi två vlörr som bildr två triss bld vlörr som vi gör på sätt. Slutlig väljr vi tr v fr ort i d vld vlörr 4 Vrj gåg vi gör dtt på sätt. Sid v

11 Svr: P g N Rättigsmll: Täljr är orrtp. Nämr orrt p. Uppgift 6. p Lägd hos viss tp v bggdslmt, mätt i cm, är s.v j ormlfördld md mdlvärdt och stdrdvvils.. M läggr 6 slumpmässigt vld lmt itill vrdr. Hur stor är soliht tt drs smmlgd lägd övrstigr 7 cm? Lösig: Lösig: Kll lägdr ξ,...ξ 6. M får ligt CGS tt X... 6 är pproimtivt N6,. 6 N 7, 7 7 P X > 7 P X 7 Φ Φ Svr:. 47 Rättigsmll: Korrt till X... 6 är pproimtivt N6,. 6 gr p. 7 7 Korrt Φ.9 gr p. Allt orrt p. Uppgift 7. p A gjord 8 mätigr v storht och fic följd rsultt i lämplig htr: 4, 4, 6, 48,, 4,, 8. Normlfördlig ts och stdrdvvils är ät, σ. Bstäm tt 9 % ofidsitrvll tt tvåsidigt ofitrvl v tp [,b] för vätvärdt μ. b Hur måg mätigr bhövs för tt få tt ofidsitrvll v tp [,b] som hr smm 9 % ofidsgrd och som är hälft så brtt? Lösig: Sid v

12 Lösig: 7/ α /. Kofidsitrvll:.96 σ σ α /, α / , ,.9796 Svr 4.444,.9796 b Lägd v itrvllt i -dl är d d Lägd v itrvllt i b-dl d b α /..96 Frå forml för ofidsitrvll får vi σ d b α / Svr b Sid v

13 Rättigsmll: p. b p. Uppgift 8. 4p E otiurlig stostis vribl X hr täthtsfutio för övrigt om om f Bstäm ostt b mdlvärdt till X c mdi till X. Lösig: 4 d d Ar Ar. Svr b d d X E d d d d. Svr b 4 c Mdi som vi btcr md m är d put som dlr solihtsmss i två li dlr. Alltså. m X P och. m X P Eftrsom r v d dl som liggr ov itrvllt [,] är d d r då liggr m i itrvllt [, ]. Därmd är r v områdt ov itrvllt ], [m li md.. Sid v

14 Som vligt fis dt flr sätt tt bstämm m. Elst sätt tt fi m, i dtt fll, är tt lös vtio där m är obt: r d. som gr m. 4 llr 6 m m 9 m m m m m 6m Härv m. Edst m liggr i itrvllt [,]., ± Svr c m. Rättigsmll: p. b p cp. Uppgift 9. p Ett btjäigssstm modllrs som M/M//4 två btjär och 4 öpltsr. Aomstitsitt är 4 udr/miut och btjäigsitsitt för btjär är µ udr/miut. Bstäm solihtr p, p,,p 6. b Bstäm mdl vättid W för ud i sstmt. c Bstäm soliht tt ud får btjäig ut tt vät. Lösig: För tt rit tillstådsgrf tr vi häs till följd: i Totltl pltsr i sstmt är mtlt btjärtlt öpltsrmk46 ii Aomstitsitt är ostt 4 udr pr miut. ii Btjäigsitsitt för btjär är µ udr/miut. Om två btjär jobbr smtidigt dt hädr är vi hr t två udr i sstmt då är sstmts btjäigsitsitt µ 4 udr/miut. Om vi hr llr flr udr i sstmt så jobbr två ll btjär och därmd blir sstmts btjäigsitsitt µ 4 udr/miut. Därför hr vi följd tillstådsgrf Sid 4 v

15 dvs Md hjälp v tori för födlsdödsprocssr hr vi följd rltior mll d sttioär solihtr p och p : 4 Vi hr p p p p, µ 4 4 p p p µ µ 4 p på lid sätt p p p, p 4 p, p p och p 6 p. µ µ µ För tt bstämm p substiturr vi ovståd rltior i vtio p p p p p6 och får p p p p p p p. Härv p och därför p p p p p6.8468, smm värd hr Svr p , p p p p b Först N p p p p 4 p p p.769, spärr p m.6846, Sid v

16 .8468 spärr T N ,. µ W T svr b W c Om ud ommr vid tillståd och då fis dt mist ldig btjär v totlt btjär och ud får btjäig ut tt vät. Soliht tt ud får btjäig ut tt vät är därför Pc p p Svr c Pc. Rättigsmll: p. b p cp. Uppgift. p Vi btrtr tt öät som bstår v två M/M/ össtm CPU och I/O. N progrm udr ommr Poissofördld till CPU md itsitt 6 progrm pr miut. Mdlbtjäigstid för tt progrm i CPU är sudr och mdlbtjäigstid i I/O är sudr. 8% v progrm lämr ätt ftr btjäig i CPU m % fortsättr först till I/O och därftr ig till CPU s Fig.. Brä mdltl progrm udr i ätt d v s progrm i CPU progrm i I/O Fig.. CPU % I/O µ µ 8% Sid 6 v

17 Lösig: Vi btcr md och dm tiv itsittr till först CPU och dr I/U ö. Då gällr:. 6 dvs. som gr 6. Härv.8 6 dvs. Slutlig. 4 Dssutom hr vi µ progrm / sc progrm/mi. På smm sätt µ progrm / sc progrm/mi. Eftrsom ρ / ρ hr vi N. µ ρ / 4 På smm sätt ρ och µ ρ / N. ρ 4 / 4 9 Slutlig N N N Svr: N.. Rättigsmll: p för orrt och. p för mdltl udr i ö N llr N. Allt orrtp. Uppgift. 4p p Låt X vr otiurlig s. v. md mdlvärdt µ. b p Låt X vr potilfördld s.v. md prmtr. Sid 7 v

18 Bvis forml E X. c p Rgrssiosoicit r σ σ, där σ och stdrdvvilsr för X och Y, väds som tt mått på hur strt är LINJÄRT smbd mll vriblr X och Y. Bvis följd påståd om rgrssiosoicit r: Om putr i, i liggr t på lij b och > rsp. < då är r rsp. r. σ Bvis tt Lösig: µ f d f d µ. VL µ f d [ µ µ ] f d vi trmvis itgrrr och brtr ut osttr f d µ f d µ f d Notr tt f d µ och tt f d f d µ µ µ f d µ HL VSB b Om X är potilfördld s.v. md täthtsfutio llr frvsfutio f då gällr f om om <. Vätvärdt E X f d d Först brär vi itgrl d prt it. md Sid 8 v

19 u, v ' ' u v d d d Därför d d f X E ] [ ] [ V.S.B Amärig: Vi hr vät tt lim l ftrsom > och lim Hospitl] L', [ lim lim l l l l. c Om putr i, i liggr t på lij b då gällr b. Först brär vi b b b och ] [ ] [ b b σ ] [ Nu förlr vi ] [ ] [ b b r σ σ Sid 9 v

20 ] [ ] [ < > om j df om om, vilt sull bviss. Rättigsmll: p bp cp Sid v