Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

Transkript

1 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 juni 8 Ten i ursen HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF ( Tidigare n 6H3), KÖTEORI OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF4, (Tidigare n 6H8), MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK, Srivtid: 3:5-7:5 Hjälpmedel: Hjälpmedel: Miniränare av vilen typ som helst och formelsamling "Formler och tabeller i statisti ". Lärare: Armin Halilovic Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med läsningar. Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen består av 8 uppgifter á 4p och ger maximalt 3 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B,, D, E rävs 3, 4,, 6 respetive poäng. Komplettering: poäng på tentamen ger rätt till omplettering (betyg Fx). Vem som har rätt till omplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR. Komplettering ser i augusti den här gången. Om omplettering är godänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F. Uppgift. I en stad med invånare finns det 3 loala tidningar A, B och. Vid en undersöning får man att invånare ( totalt) läser tidningen A 5 läser både A och B 9 läser B 4 läser både A och 8 läser 3 läser både B och läser alla tre: A, B och Hur stor är sannoliheten att en slumpmässigt vald invånare i staden läser a) tidningarna A och men inte B? b) minst en av tidningarna A, B,? c) ingen av tidningarna A, B,. Uppgift. För två händelser A och B gäller P(A =.5, P ( A ) =. 4 och P ( B ) =. 6. a) Bestäm P( A b) P( A B ) c) Avgör om A och B är oberoende händelser. Uppgift 3. Vid en statistis mottagningsontroll sall man avvisa eller acceptera inommande partier om 8 enheter vardera. Man använder följande tvåstegsförfärande. Först väljs 5 enheter på måfå ur partiet. Om minst två av dessa är defeta så avvisas partiet. Om högst en är defet väljer man på måfå ut ytterligare enheter bland de återstående 75. Om minst av dessa är defet så avvisas partiet, i annat fall accepteras det. Vad är sannoliheten att acceptera ett parti som innehåller 8 defeta enheter? Du svarar med hjälp av binomisa oefficienter. Uppgift 4) Livslängden hos en vis typ av eletronisa omponenter är exponentialfördelad med väntevärdet 5 år. a) Vad är sannoliheten att en sådan omponent går sönder under ett år. b) I en utrusning använder man 8 sådana omponenter som fungerar oberoende av varandra. Bestäm sannoliheten att högst två av de 8 omponenter går sönder under första året.

2 Uppgift 5) Ett bostadsområde planeras för hushåll. En undersöning visar att antalet bilar per hushåll är,, eller 3 med sannoliheten.,.5,. resp.. a) Hur stor sannoliheten är att 5 pareringsplatser räcer. b) Hur många pareringsplatser sall man planera om sannoliheten att alla bilar sa få plats sall vara 9%? Uppgift 6. Varje stoastis variabel ξ har följande frevensfuntion ( täthetsfuntion) π sin x x f ( x) = för övrigt Låt η = ξ + ξ + L + ξ5. Bestäm sannoliheten P ( η 6). Uppgift 7. Vid en läarmottagning allas 6 patienter till ett visst locslag. Behandlingstiden för en patient betratas som en exponentialfördelad stoastis variabel med väntevärdet m minuter. Patienterna behandlas en i taget och olia patienters behandlingstider är oberoende stoastisa variabler. Av erfarenhet vet man att läaren en gång av 5 larar av att behandla alla 6 patienter inom en timme. a) Bestäm m. b) Bestäm tiden T i minuter så att sannoliheten för att läaren larar av att behandla alla 6 patienter inom tiden T blir.95. Uppgift 8. Man vill jämföra två masiner A och B med avseende på en viss valitetsvariabel hos de tillverade enheterna. För båda masinerna an denna variabel antas vara normalfördelade med oänd standardavvielse. Man har 5 dagar i rad tillverat ett antal enheter med masinen A varvid man fått följande observationer. A Man har 6 dagar i rad tillverat enheter med masinen B varvid man fått följande observationer. B 4 3 Ange ett 95% onfidensintervall för ma mb där m A och m B är medelvärdena för valitetsvariabeln hos de båda masinerna. Lyca till!

3 Facit: Uppgift. I en stad med invånare finns det 3 loala tidningar A, B och. Vid en undersöning får man att invånare ( totalt) läser tidningen A 5 läser både A och B 9 läser B 4 läser både A och 8 läser 3 läser både B och läser alla tre: A, B och Hur stor är sannoliheten att en slumpmässigt vald invånare i staden läser a) tidningarna A och men inte B? b) minst en av tidningarna A, B,? c) ingen av tidningarna A, B,. Vi använder följande mängddiagram: a) A och men inte B läser 4 -=3 invånare. Därför Pa=3/=.3=3% b) minst en av tidningarna A, B, läser + ++=6 invånare. Därför Pb=6/=.6=6% c) 74 invånare läser inte någon av tidningarna A, B, Alltså Pc=74/=.74=74% Svar: a) 3% b )% c) 74% Uppgift. För två händelser A och B gäller P(A =.5, P ( A ) =. 4 och P ( B ) =. 6. a) Bestäm P( A b) P( A B ) c) Avgör om A och B är oberoende händelser. P( A ) =.4 P( =.6, P( B ) =.6 P( =.4.

4 P( A Från P( A = får vi P( P ( A = P( P( A =.4.5 =.. a) Nu, från mängddiagrammet får vi P ( A =. 8 ( samma resultat får vi med formeln P ( A = P( + P( P( A = =.8 ) b) Från diagrammet P ( A B ) =. 8 ( samma resultat får vi med formeln P ( A B ) = P( + P( B ) P( A B ) = =.8 c) P ( A =., P( P( =. 4, P ( A P( P( ej oberoende d v s beroende händelser. Svar: a) P ( A =. 8 b) P ( A B ) =. 8, c) ej oberoende Uppgift 3. Vid en statistis mottagningsontroll sall man avvisa eller acceptera inommande partier om 8 enheter vardera. Man använder följande tvåstegsförfärande. Först väljs 5 enheter på måfå ur partiet. Om minst två av dessa är defeta så avvisas partiet. Om högst en är defet väljer man på måfå ut ytterligare enheter bland de återstående 75. Om minst av dessa är defet så avvisas partiet, i annat fall accepteras det. Vad är sannoliheten att acceptera ett parti som innehåller 8 defeta enheter? Du svarar med hjälp av binomisa oefficienter. Vi accepterar ett parti om vi får: ( defet i Test och defet i test ) eller ( defet i Test och defet i test ). Härav = + 4 P.9 = 9%

5 Uppgift 4) Livslängden hos en vis typ av eletronisa omponenter är exponentialfördelad med väntevärdet 5 år. a) Vad är sannoliheten att en sådan omponent går sönder under ett år. b) I en utrusning använder man 8 sådana omponenter som fungerar oberoende av varandra. Bestäm sannoliheten att högst två av de 8 omponenter går sönder under första året. Fördelningsfuntion för en exponentialfördelad s. v. är ( olla formelblad) λx F( x) = e, Eftersom m = / λ for vi λ = / m =/5=.. a) En omponent går sönder under ett år medför att livslängden är mindre än år, därför:. p=p( ξ )= F () = e = Sannoliheten att högst två av de 8 omponenter går sönder under första året är b) P(högst två av 8)= p q + p q + p q.8366 Svar; a) b).8366 Uppgift 5) Ett bostadsområde planeras för hushåll. En undersöning visar att antalet bilar per hushåll är,, eller 3 med sannoliheten.,.5,. resp.. c) Hur stor sannoliheten är att 5 pareringsplatser räcer. d) Hur många pareringsplatser sall man planera om sannoliheten att alla bilar sa få plats sall vara 9%? Låt ξ betecna antal bilar i hushåll nummer. Då gäller: Väntevärdet för ξ : m = E( ξ ) = i = =. Variansen för ξ : i i x i p Var( ξ ) = ( x μ) p =.76 i i Standardavvielsen för ξ : s = Var( ξ ) = Låt η betecna totalt antal bilar för alla hushåll: Då gäller: η = ξ. = Enligt centrala gränsvärdessatsen η är approximativt N ( m, s ) = N (, 7.568) 5 a) P( η 5) = F(5) = Φ( ) = Φ( ) = b)

6 x P( η x) =.9 F( x) =.9 Φ( ) = x =.8 x = Uppgift 6. Varje stoastis variabel ξ har följande frevensfuntion ( täthetsfuntion) π sin x x f ( x) = för övrigt Låt η = ξ + ξ + L + ξ5. Bestäm sannoliheten P ( η 6). π / μ = E( ξ ) = x sin xdx = π / x sin xdx = π / (part. int.) (part. int.) = = π / [ sin x x cos x] = π / [ x cos x + x sin x + cos x] = π Var( ξ ) = x sin xdx μ = π = π Standardavvielsen för ξ : s = Var( ξ ) =.376 Enligt centrala gränsvärdessatsen η är approximativt N ( 5m, s 5) = N(5,.66) 6 5 P( η 6) = F(6) = Φ( ) = Φ(3.758) = Uppgift 7. Vid en läarmottagning allas 6 patienter till ett visst locslag. Behandlingstiden för en patient betratas som en exponentialfördelad stoastis variabel med väntevärdet m minuter. Patienterna behandlas en i taget och olia patienters behandlingstider är oberoende stoastisa variabler. Av erfarenhet vet man att läaren en gång av 5 larar av att behandla alla 6 patienter inom en timme. a) Bestäm m. b) Bestäm tiden T i minuter så att sannoliheten för att läaren larar av att behandla alla 6 patienter inom tiden T blir.95. För en exponentialfördelad stoastis variabel X med parameter λ (olla formelblad) gäller: E ( X ) = och V ( X ) =, λ λ alltså V ( X ) = ( E( X )) för en exponentialfördelad stoastis variabel. Låt X betecna behandlingstiden för patient nummer.

7 Låt m = E( X ) vara medel behandlingstiden. Då gäller för variansen V ( X ) = m. 6 X = Låt Y vara summan Y =. Vi har 6 Y = X E( Y ) = 6m = V ( Y ) = V ( X ) + V ( X ) +... = 6m och därför standardavvielsen s = V ( Y ) = 4m GS ger: Y N(6m; 6m ) ( approximativt) 6 6m 6 6m P ( Y 6) = / 5 Φ( ) =, =,84 m = m 4m T 6m T b) P ( Y T ) =.95 Φ( ) =.95 =.64 T = m Svar a) m= 4. 75, b)t= 7.35 Uppgift 8. Man vill jämföra två masiner A och B med avseende på en viss valitetsvariabel hos de tillverade enheterna. För båda masinerna an denna variabel antas vara normalfördelade med oänd standardavvielse. Man har 5 dagar i rad tillverat ett antal enheter med masinen A varvid man fått följande observationer. A Man har 6 dagar i rad tillverat enheter med masinen B varvid man fått följande observationer. B 4 3 Ange ett 95% onfidensintervall för ma mb där m A och m B är medelvärdena för valitetsvariabeln hos de båda masinerna. m = 3 s =.58 m = s =.44 * ( n ) s + ( n ) s σ = =.49 n + n α / =.5% r = antal frihets grader= n + n =9 Konfidensintervall:

8 * * m m tα / ( n + n ) σ +, m m + tα / ( n + n ) σ n n Eftersom n =5, n =6 * σ = m m = α / =.5% α / =.99 Närmast i tabellen är.975 och t α / (9),6 * får vi t α / (9) σ + = Härav får vi för ξ η följande onfidensintervall: [.4, 3.4] Svar Konfidensintervall: [.4, 3.4] n + n