Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få

Transkript

1 Tentamen TEN, HF, aug 9 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: 8:-: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken ty som helst Förbjudna hjälmedel: Telefon, lato och alla elektroniska medel som kan kolas till internet Skriv namn och ersonnummer å varje blad Denna tentamensla får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt oäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,,, 6 resektive oäng Komlettering: oäng å tentamen ger rätt till komlettering (betyg Fx) Ugift () Bara för dem som inte klarat ks En kortlek med 5 kort består av fyra färger ( hjärter, sader, klöver, ruter) och valörer: ess,,,, 5, 6, 7, 8, 9,, knekt, dam, kung Ur en kortlek å 5 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumvis 5 kort Vad är sannolikheten för att få a) exakt en trea, två femmor och två nior : {, 5, 5, 9, 9} b) tre åttor och två nior c) ett ar och en triss ( t ex 6,6, 7,7,7 eller 5,5,,, och liknande) Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Den stokastiska variabeln X har täthetsfunktionen ( frekvensfunktionen ) kx, < x < f ( x) för övrigt Bestäm Sida av

2 a) arametern k b) väntevärdet för X c) sannolikheten P ( X ) Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Ett kösystem med max kunder kan modelleras som en födelse-dödsrocess vars diagram är 5 5 a) () Beräkna b) () Beräkna medelantal kunder i systemet Ugift () Ett nytt test av blod ger ositivt utslag i 98% av fallen för smittat blod och negativt utslag i 95% av fallen för osmittat blod Av erfarenhet vet man att cirka % av alla rover som genomförs har smittat blod Vad är sannolikheten att ett blodrov som har gett ositivt utslag verkligen är smittat? Ugift 5 () Vid en automatförackning av kex laceras dessa intill varandra mellan två stöd, där stödavståndet är cm Tjockleken hos kexen kan anses N(, 5) Vad är sannolikheten att kexaketet innehåller åtminstone kex Ugift 6 () Vid tillverkning av kolvar och cylindrar kan diametern för en viss ty av kolv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen mm För cylindrarna kan hålets diameter betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen 5 mm En cylinder anses assa till en kolv om hålets diameter är större än kolvens diameter och om skillnaden ej överstiger 5 mm Hur stor är sannolikheten att kolven assar till cylindern vid ett slummässigt val? Ugift 7 () En forskare gjorde 6 mätningar av en variabel X och fick följande resultat X: Bestäm ett konfidensintervall för medelvärdet med konfidensgrad 95% (Vi antar att X är normalfördelad) Sida av

3 Ugift 8 (7) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M// ( betjänare och kölats) Ankomstintensiteten är λ kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ kunder/minut Bestäm: a) () sannolikheterna,, b) () λ eff (den effektiva intensiteten) c) () medelantar kunder i systemet N d) () medel väntetid W för en kund i detta system e) () belastning er betjänare f) () sannolikheten att en kund avvisas Ugift 9 () Vi betraktar ett könät som består av två M/M/ kösystem (se Fig 9) Betjänaren i kösystem har betjäningsintensitet µ 5 kunder er minut, medan betjänaren i kösystem har betjäningsintensitet µ kunder er minut Nya kunder kommer Poissonfördelade till kösystem med intensiteten λ kunder er minut 8 % av kunder lämnar nätet efter betjäning i kösystem men % fortsätter till kösystem % av de kunder som hamnar i kösystem lämnar systemet medan 9 % går tillbaka till kösystem (se Fig 9) Beräkna medelantal kunder i nätet (dvs kunder i kösystem+ kunder i kösystem) Fig 9 9% λ Kösystem µ % Kösystem µ % 8% Sida av

4 FACIT Ugift () Bara för dem som inte klarat ks En kortlek med 5 kort består av fyra färger ( hjärter, sader, klöver, ruter) och valörer: ess,,,, 5, 6, 7, 8, 9,, knekt, dam, kung Ur en kortlek å 5 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumvis 5 kort Vad är sannolikheten för att få a) exakt en trea, två femmor och två nior : {, 5, 5, 9, 9} b) tre åttor och två nior c) ett ar och en triss ( t ex 6,6, 7,7,7 eller 5,5,,, och liknande) a) Vi kan välja bland treor å sätt; bland femmor å sätt och bland nior å sätt Därmed är antalet alla gynnsamma fall g Å andra sidan för alla möjliga fall har vi; antalet sätt att välja 5 bland 5 är NN 5 ( ) 5 Därför är sannolikheten lika med g P 55 N g b) P 966 N c) P Svar: Se ovan Rättningsmall: för varje del Rätt eller fel Sida av

5 Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Den stokastiska variabeln X har täthetsfunktionen ( frekvensfunktionen ) kx, < x < f ( x) för övrigt Bestäm a) arametern k b) väntevärdet för X c) sannolikheten P ( X ) x a) kx dx k k k b) E( X ) x x dx x dx 5 x 8 5 c) P ( X ) x x dx 6 6 Svar: a) k b) 8 5 c) 6 Rättningsmall: för varje del Rätt eller fel Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Ett kösystem med max kunder kan modelleras som en födelse-dödsrocess vars diagram är 5 5 a) () Beräkna b) () Beräkna medelantal kunder i systemet Sida 5 av

6 Först uttrycker vi som funktioner av : λ 5 µ 5 (*) λ λ 5 µ µ 5 λ λ λ 5 µ µ µ 5 För att bestämma substituerar vi (*) i villkoret Vi får Härav 57 och därför Vi har beräknat sannolikheter k : Med hjäl av (*) är det nu enkelt att beräkna alla andra b) Medelantal kunder i systemet N Svar: a) ( )( , 85969, 58779, 58779) b) N 565 Rättningsmall: a) för om är korrekta Ugift () b) om b är korrekt Ett nytt test av blod ger ositivt utslag i 98% av fallen för smittat blod och negativt utslag i 95% av fallen för osmittat blod Av erfarenhet vet man att cirka % av alla rover som genomförs har smittat blod Vad är sannolikheten att ett blodrov som har gett ositivt utslag verkligen är smittat? Sida 6 av

7 Låt S vara händelsen att blodrovet verkligen är smittat Låt O vara händelsen att blodrovet verkligen är osmittat Låt POS vara händelsen att blodrovet ger ositivt utslag Låt NEG vara händelsen att blodrovet ger negativt utslag Blod smittat osmittat 99 ositivt utslag 98 negativt utslag ositivt utslag 5 negativt utslag 95 Då gäller: Den totala sannolikheten för ositivt utslag är POS) S) POS S) + O) POS O) POS S) S) POS S) 98 Härav P ( S POS) POS) POS) 59 Svar: Rättningsmall: för den totala sannolikheten P ( POS) 59 + om för korrekta formeln POS S) S POS) POS) om allt är korrekt Ugift 5 () Vid en automatförackning av kex laceras dessa intill varandra mellan två stöd, där stödavståndet är cm Tjockleken hos kexen kan anses N(, 5) Vad är sannolikheten att kexaketet innehåller åtminstone kex Låt X k vara längden av kex som står å lats k och Sida 7 av

8 η X + X + + X Då gäller ηη NN( ; 5 ), d v s ηη NN(; 5 ) Kexaketet innehåller åtminstone kex om ηη P ηη ) FF() ΦΦ ΦΦ(6) Rättningsmall: för korrekt till ηη NN(; 5 ) + för korrekt till P ηη ) ΦΦ 5 om allt är korrekt Ugift 6 () Vid tillverkning av kolvar och cylindrar kan diametern för en viss ty av kolv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen mm För cylindrarna kan hålets diameter betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen 5 mm En cylinder anses assa till en kolv om hålets diameter är större än kolvens diameter och om skillnaden ej överstiger 5 mm Hur stor är sannolikheten att kolven assar till cylindern vid ett slummässigt val? Vi inför följande stokastiska variabler: X diameter av en cylinder, Y diametern av en kolv Enligt antagandet X N(8; 5) och Y N(8; ) Låt ZX Y Då gäller Z X Y N (; 5 + ) dvs Z N(; 8) 5 P ( Z 5) F(5) F() Φ( ) Φ( ) Φ(67) Φ( ) Svar:,85 Rättningsmall: för korrekt till Z N(; 8) 5 + för korrekt till P ( Z 5) Φ( ) Φ( ) 8 8 om allt är korrekt Ugift 7 () En forskare gjorde 6 mätningar av en variabel X och fick följande resultat X: Sida 8 av

9 Bestäm ett konfidensintervall för medelvärdet med konfidensgrad 95% (Vi antar att X är normalfördelad) x x + x + + xn 9/6 8 n variansen s n n i ( x i x) ((5 8) + + (88 8) ) s Variansen 9595 Från formelsamling (sidan 6 rad n- 6-5 har vi t α / Konfidensintervall: σ σ x tα /, x + tα / ) (9, 76) n n ( Svar: (9, 76) Rättningsmall: a) + för x + för σ om allt är korrekt Ugift 8 (7) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M// ( betjänare och kölats) Ankomstintensiteten är λ kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ kunder/minut Bestäm: Sida 9 av

10 a) () sannolikheterna,, b) () λ eff (den effektiva intensiteten) c) () medelantar kunder i systemet N d) () medel väntetid W för en kund i detta system e) () belastning er betjänare f) () sannolikheten att en kund avvisas a) Med hjäl av teorin för födelsedödsrocesser har vi följande relationer mellan de stationära sannolikheterna k och : Vi har Sida av

11 λ µ 88 µ µ λ λ λλλ å liknande sätt, och 8 µ µ µ För att bestämma substituerar vi ovanstående relationer i ekvationen och får 7 Härav 9599 (65/657 ) Substitutionen i (*) ger 5/ / / / b) Först λ särr (enligt formelblad för M/M/m/K kösystem) λ λ särr kmax Nu λ eff λ λ särr c) Medelantal kunder i systemet, N bestämmer vi med hjäl av den allmänna formeln för medelvärdet av en diskret stokastisk variabel: N d) Från Littles formel N λ eff T har vi N T min λ eff x µ min T W + x W T x W min dva: medel väntetid för en kund i detta system är W min e) Littles formel: N s λ eff x N s N s Belastning er betjänare m f) Sannolikheten att en kund avvisas Sida av

12 Svar: Se ovan Rättningsmall: a) för b-f rätt eller fel Ugift 9 () Vi betraktar ett könät som består av två M/M/ kösystem (se Fig 9) Betjänaren i kösystem har betjäningsintensitet µ 5 kunder er minut, medan betjänaren i kösystem har betjäningsintensitet µ kunder er minut Nya kunder kommer Poissonfördelade till kösystem med intensiteten λ kunder er minut 8 % av kunder lämnar nätet efter betjäning i kösystem men % fortsätter till kösystem % av de kunder som hamnar i kösystem lämnar systemet medan 9 % går tillbaka till kösystem (se Fig 9) Beräkna medelantal kunder i nätet (dvs kunder i kösystem+ kunder i kösystem) Fig 9 9% λ Kösystem µ % Kösystem µ % 8% Låt λ och λ beteckna de effektiva intensiteterna till första och andra kön Då gäller: λ λ + 9λ λ λ λ + 9λ dvs λ λ som ger λ + 8λ Härav 8λ dvs λ 5 kunder/min Härav λ λ kunder/min Enligt antagandet har vi µ 5 kunder/min och µ Eftersom λ 5 ρ har vi µ 5 ρ / N ρ / Sida av

13 λ På samma sätt ρ och µ ρ / N ρ / Slutligen 5 N N + N Svar: N 6 λ λ + 9λ Rättningsmall: för korrekta systemet λ λ + för korrekta λ och λ + för medelantal kunder i en kö N eller N Allt korrekt Sida av