M/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "M/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem"

Maria Berg
för 7 år sedan
Visningar:

1 Allmänt om KÖSYSTEM (=betjäningssystem). För att definiera ett kösystem måste vi ange ankomstrocessen ( dvs hur kunder ankommer till systemet) och betjäningsrocess (dvs hur lång tid det tar att betjäna dem). Vi inför följande beteckning för att karakterisera ett kösystem A/B/C/D där A står för ankomstintervallens fördelning B står för betjäningstidsfördelningen C står för antalet betjänare D står för antalet kölatser. A och B kan t ex väljas bland följande beteckningar: M (=Markov) om vi har exonentialfördelning G (=General) om fördelningen inte är secificerad D (=Deterministisk) om tiderna är konstanta. Exemelvis M/M//5 betecknar ett kösystem där i) Ankomsttiderna exonentialfördelade (Markovrocess) ii) Betjäningstiderna är exonentialfördelade (Markovrocess) iii) Kösystemet har betjänare iv) Kösystemet har 5 kölatser. Ett M/M/m/K betjäningssystem har följande egenskaer:. Systemet har m betjänare av samma ty.. Betjäningstiderna för kunder i en betjänare är exonentialfördelade med medelvärde x =. Systemet betjänar kunder med intensiteten om en betjänare jobbar, med intensiteten om betjänare jobbar, med intensiteten om betjänare jobbar o.s.v.. Kunder ankommer enligt Poissonrocess med ankomstintensiteten kunder er tidsenhet. (Därmed är ankomsttiderna exonentialfördelade). Kösystemet har begränsat antal kölatser (=K) Systemet M/M/m/K kan modelleras som en födelsedödsrocess med tillstånd,,... k max där k max = (total antal latser i systemet =antalet betjänare + antalet kölatser betjänare) =m+k dvs

2 k max = m+k. Ankommande kunder kön K kölatser μ μ m betjänare Avgående kunder särr avvisade kunder μμ m betjänare Ankomstintensitet = Betjäningsintensitet =μ Begränsat antal kölatser = K Det största antalet kunder som kan finnas i kösystemet M/M/m/K är k max = m+k Låt Z(t) beteckna antalet kunder i systemet vid tiden t. Z(t) kan anta värden,,,,... k max. Vi betraktar Z(t) som en födelsedödsrocess. Låt k beteckna sannolikheten för k kunder i systemet. För att bestämma stationära sannolikheter använder vi beräkningsmodellen med födelsedödsrocess.

3 Beteckningar: Stationära sannolikheter; k k är sannolikheten för k kunder i systemet N Medelantal kunder i systemet, N = N q + N s Medelantal kunder i kön N q N Medelantal kunder i betjänarna s x~ Betjäningstid för en kund (stokastisk variabel ) x Medel betjäningstid för en kund, x = E (x ~ ) w ~ Väntetid (=tid i kö) för en kund (stokastisk variabel ) W Medel väntetid för en kund, W = E(w~ ) s~ Total tid i systemet för en kund; ~ s = ~ x + w ~ T Medel totaltid i systemet för en kund T = E(s ~ ), T = W + x Ankomstintensitet Särrade kunder er tidsenhet särr Effektiv ankomstintensitet = - särr Betjäningsintensitet ρ Erbjuden trafik, ρ = Några formler för ett : N = k k k = särr kmax = särr N T = x = T = W + x Littles formler: N = T N q = W N = x s

4 N = N q + N s ρ =, erbjuden trafik (kallas också "betjäningsfaktor") ρ = säρρ säρρ, särrad trafik ρ =, ektiv trafik Belastning er betjänare = Ns/m ====================================================== ÖVNINGSUPPGIFTER Ugift. Ett system kan modelleras som M/M//. Ankomstintensiteten är kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är = kunder/minut. a) Skissera tillståndsgraf b) Bestäm sannolikheterna,,,,, 5, 6, och, Beräkna c) N = medelantal kunder i systemet, d) särr = särrad ankomstintensitet, och = ektiv ankomstintensitet e) x =medel betjäningstid för en kund, T =medel totaltid i systemet för en kund och W=medel väntetid för en kund f) Nq =medelantal kunder i kön och Ns =medelantal kunder i betjänarna g) erbjuden. avverkad och särrad trafik. Lösning: a) För att rita tillståndsgraf tar vi hänsyn till följande: i) Totalantal latser i systemet är kmax=(antalet betjänare)+(antalet kölatser)=m+k=+= ii) Ankomstintensitet är konstant = kunder er minut. ii) Betjäningsintensiteten för en betjänare är = kunder/minut. Om två betjänare jobbar samtidigt (det händer när vi har exakt två kunder i systemet ) då är systemets betjäningsintensitet = =6 kunder/minut. Om vi har eller flera kunder i systemet så jobbar alla tre betjänare och därmed blir systemets betjäningsintensitet = =9 kunder/minut. Därför har vi följande tillståndsgraf

5 5 eller b) Med hjäl av teorin för födelsedödsrocesser har vi följande relationer mellan de stationära sannolikheterna k och : =, =, =. = 6 Vi har = = = =., 8 = = = = å liknande sätt = =.956, =.55899, 5 = = =.5696

6 6 För att bestämma substituerar vi ovanstående relationer i ekvationen och får =.959 = = Nu är det enkelt att beräkna alla andra stationära sannolikheter. Vi helt enkelt substituerar =.5568 i ovanstående relationer och får: =.9, = , =.559, =.86, 5=.998 6= , =.959 c) Medelantal kunder i systemet, N= E(Z), bestämmer vi med hjäl av den allmänna formeln för medelvärdet av en diskret stokastiskvariabel: N= E(Z) = z k k k = =.599 d) Medelantal kunder er minut som avvisas från systemet är särr = kmax = kunder/min Medelantal kunder er minut som asserar systemet är = särr =9.8 kunder/min e) x =medel betjäningstid för en kund, W=medel väntetid för en kund. T =medel totaltid i systemet för en kund och Från Littles formel N = T har vi N T = =.6596 min (för en kund) x = = =. min (för en kund) T = W + x W = T x =.866 min (för en kund) f) Nq =medelantal kunder i kön och Ns =medelantal kunder i betjänarna Metod, Littles formler: N q = W =.686 N = x =.8958 s Metod, Direkt beräkning (Medelvärdet av en diskret stokastisk variabel): Låt q j beteckna antalet kunder i kön. Då är Nq= q j j.en kund hamnar i kön om alla betjänarna är utagna (och dessutom finns en ledig kölats). Exemelvis, om vår system( med betjänare och kölatser) är i tillstånd 5 så är tre kunder i betjänarna och i kön. k

7 I vårt fall har vi följande situation i kön: Tillstånd: 5 6 sannolikhet 5 6 Antalet kunder i kön Därför är Nq= = För antalet kunder i betjänarna har vi följande situation: Tillstånd: 5 6 sannolikhet 5 6 Antalet kunder i betjänarna Därför är Ns= = g) erbjuden, avverkad och särrad trafik. ρ = = =., erbjuden trafik (kallas också "betjäningsfaktor") säρρ ρsäρρ = =.55, särrad trafik ρ = =.8958, avverkad trafik (eller ektiv trafik ) Tillstånd: 5 6 sannolikhet 5 6 Antalet kunder i betjänarna Ugift. Ett system kan modelleras som M/M// väntsystem. Ankomstintensiteten är 6 kunder/minut och betjäningsintensiteten är = kunder/minut. a) Skissera tillståndsgraf b) Beräkna särrad trafik och avverkad trafik. Svar a)

8 8 b) Först =, =. 5, =. 5 =. 5, 5 =. 5, 6 =. 5 Substitutionen i = ger och därmed särr = kmax = = särr =9.88 Nu kan vi beräkna särrad och avverkad trafik (=ektiv trafik): särrad trafik= ρ = säρρ säρρ =.59 avverkad trafik (=ektiv trafik) = ρ = =.95. Ugift. Ett system kan modelleras som M/M// väntsystem. Ankomstintensiteten är 5 kunder/sekund och betjäningsintensiteten är = kunder/sekund. a) Skissera tillståndsgraf b) Beräkna avverkad trafik, särrad trafik och anrossärr (sannolikheten att en kund avvisas) Svar: a) Sannolikheterna:

9 särr = kmax =.6968 = särr = erbjuden trafik= 5. avverkad trafik=.59 särrad trafik=.6 En kund avvisas om den kommer då alla latser i systemet är utagna, i vårt system är därmed anrosärr= kmax =.95 anrosärr=.95 Ugift. Ett system kan modelleras som M/M/5/ väntsystem. Ankomstintensiteten är kunder/minut och medel betjäningstid är x = sekund. Beräkna N, N q, N s och belastning er betjänare. Svar: Från x = sekund er kund får vi att betjäningsintensitet = = kund er sekund eller 6 x kunder er minut. Sannolikheterna: särr = kmax = = särr =8.68 N= T=N/ =.89, W = T x =.666 Nq=.5 Ns=.5 Belastning er betjänare = Ns/5=.6

10 Ugift 5. I en nod i ett datornät betraktar vi en från noden utgående transmissionskanal med tillhörande buffert ( oututkö till kanalen ). Vi antar att vi kan modellera detta system som M/M//5 med ankomstintensitet = 8 meddelanden/ sekund och medelbetjäningstiden (medelöverföringstiden) x =. sekunder. Beräkna : a) T, b) W, c) avverkad och d) särrad trafik i detta system. Svar: Från x =. sekund er meddelande får vi att betjäningsintensitet = = x meddelanden er sekund N 6 6. = 5. särr = a) T=.868 b) W=.868 c) avverkad trafik=.69 d) särrad trafik= Ugift 6. I en nod i ett datornät betraktar vi en från noden utgående transmissionskanal med tillhörande buffert ( oututkö till kanalen ). Vi antar att vi kan modellera detta system som M/M//6 med ankomstintensitet = 6 meddelanden/ sekund och medelbetjäningstiden (medelöverföringstiden) x =.5 sekunder. Beräkna sannolikheten att ett meddelande a) slier vänta i bufferten och omedelbart får betjäning b) måste vänta men blir betjänat c) avvisas Svar:

11 Från x =.5 sekunder er meddelande får vi att betjäningsintensitet = = x meddelanden er sekund. a) Sannolikheten att ett meddelande slier vänta i bufferten och omedelbart får betjäning är =.9 b) Sannolikheten att ett meddelande måste vänta men blir betjänat är = c) Sannolikheten att ett meddelande avvisas är =.5985

Relevanta dokument

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic KONTROLLSKRIVNING Kurs: HF Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 8 maj 9 Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälmedel: Miniräknare av vilken ty som helst och bifogade formelblad (sida ). Förbjudna hjälmedel: