Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den."

Anna Danielsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Övning 4 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den medelantal upptagna betjänare i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den. Problem 1. Antag att vi har ett M/M/m*upptagetsystem. (a) Bestäm det minsta värde på m för vilket spärren är mindre än 1% för ρ = 5, 10 respektive 20. (b) Antag att man väljer vilken av de lediga betjänarna som ska användas av en kund helt slumpmässigt. Vad blir utnyttjningen av en betjänare i fallen ovan? 2. För ett M/M/10*upptagetsystem är ρ = 5. Låt p k vara sannolikheten att det finns k kunder i systemet. Beräkna p 10, p 9 och p Vi har två M/M/m*upptagetsystem, i bägge är medelbetjäningstiden = 1. För det ena är λ = 3 och för det andra är λ = 6. (a) Bestäm det minsta antal betjänare som behövs i vart och ett av systemen för att spärren ska vara mindre än 1%. Beräkna också utnyttjningen av betjänarna i dessa system. (b) Antag att ett M/M/m*upptagetsystem (med medelbetjäningstid 1) har ankomstintensiteten λ = 9, det vill säga summan av ankomstintensiteterna i uppgift a. Beräkna det minsta antal betjänare som behövs för att spärren ska vara mindre än 1%. Beräkna utnyttjningen av betjänarna. 4. Betrakta ett M/M/100*upptagetsystem med ρ = Låt som vanligt p k = sannolikheten att k betjänare är upptagna. Finn det värde på k för vilket p k är störst, det vill säga finn det troligaste antalet kunder i systemet. 5. Till ett kösystem med en betjänare kommer två olika slags kunder. Kunderna av typ 1 anländer med intensiteten λ 1. För dem fungerar systemet som ett M/M/1*upptagetsystem, det vill säga är betjänaren upptagen så spärras kunderna. Kunderna av typ 2 kommer med intensiteten λ 2. För dem fungerar systemet som ett M/M/1-system med oändligt stor kö. Bägge typerna av kunder har betjäningsintensiteten µ. (a) Rita tillståndsdiagram och bestäm p k = sannolikheten för k kunder i kösystemet. (b) Beräkna hur många kunder som i medeltal spärras per tidsenhet. 1

2 6. Betrakta ett upptagetsystem med två betjänare. Till systemet kommer kunder av två typer. Kunder av typ 1 kommer med intensiteten λ 1 och kan enbart betjänas av betjänare 1. Om betjänare 1 är upptagen så spärras de. Kunder av typ 2 kommer med intensiteten λ 2. De kan betjänas av både betjänare 1 och 2. Om båda betjänarna är lediga när en kund av typ 2 kommer så väljer kunden alltid betjänare 2, om betjänare 2 är upptagen och 1 ledig så väljer den betjänare 1. Betjäningsintensiteten är µ för alla kunder. Vi antar också att ankomsterna bildar Poissonprocesser och att betjäningstiderna är exponentialfördelade. (a) Definiera lämpliga tillstånd och rita tillståndsdiagram. (b) Antag att λ 1 = λ 2 = µ = 1. Beräkna utnyttjningen av betjänare 1 och betjänare 2. (c) Beräkna hur många kunder av typ 1 respektive typ 2 som i medeltal finns i systemet för de numeriska värdena i b ovan. 7. Ett upptagetsystem med m 1 har ankomstintensitet λ. Om en kund avvisas i detta system fortsätter den till ett annat upptagetsystem med m 2 betjänare. Antag att ankomsterna till det första systemet bildar en Poissonprocess och att betjäningstiderna är exponentialfördelade med samma medelvärde i båda systemen. Bestäm medelantal upptagna betjänare i det andra systemet. 8. Antag att vi har ett M/M/m*upptagetsystem med ankomstintensitet λ och betjäningsintensitet µ. Beräkna medeltiden från det att en spärrperiod slutar tills nästa spärrperiod börjar. Spärrperiod = tiden från det att systemet blir fullt tills det inte längre är fullt. Lösningar till övning 4 1. (a) Vi tittar i Erlangtabellerna som finns längst bak i läroboken. Vi ser att E 11 (5) < 0.01 och E 10 (5) > 0.01 E 18 (10) < 0.01 och E 17 (10) > 0.01 E 30 (20) < 0.01 och E 29 (20) > 0.01 Svaret är således 11, 18 respektive 30 betjänare (b) Utnyttjningen blir medelantal upptagna betjänare antal betjänare För de tre fallen ovan får vi 5(1 E 11 (5)) 11 10(1 E 18 (10)) 18 20(1 E 30 (20)) = ρ(1 E m(ρ)) m

3 2. Vi observerar först att p 10 = E 10 (5) = Värdet kan man slå upp i Erlangtabellerna längst bak i läroboken. För att beräkna p 9 och p 8 så använder vi att det vill säga p k = ρk /k! m i=0 ρ i i! = ρ k ρk 1 /(k 1)! = ρ k p k 1 m i=0 p k 1 = k ρ p k ρ i i! Nu får vi slutligen p 10 = p 9 = 10 5 p 10 = p 8 = 9 5 p 9 = (a) Erlangtabellerna ger att det behövs 8 betjänare i systemet som har λ = 3. Utnyttjningen blir då 3(1 E 8 (3)) För systemet som som har λ = 6 behövs 13 betjänare. utnyttjningen 6(1 E 13 (6)) Då blir (b) Om nu ett system i stället har λ = 9 så behövs det 17 betjänare vilket ger utnyttjningen 9(1 E 17 (9)) Vi vet att p k = ρk /k! 100 i=0 ρi /i! = ρ k p k 1 för k 0 Det innebär att följden p 0, p 1,..., p 100 kommer att vara ökande så länge ρ/k > 1 och därefter blir den minskande. I vårt fall antas det största värdet för p k när k = (a) Markovkedjan kommer att se ut så här: Tillståndsekvationerna blir (λ 1 + λ 2 )p 0 = µp 1 p 1 = λ 1 + λ 2 p 0 = (ρ 1 + ρ 2 )p 0 µ 3

4 λ 2 p 1 = µp 2 p 2 = λ 2 µ p 1 = (ρ 1 + ρ 2 )ρ 2 p 0 λ 2 p 2 = µp 3 p 3 = λ 2 µ p 2 = (ρ 1 + ρ 2 )ρ 2 2p 0 där ρ i = λ i /µ. Man ser enkelt att p k = (ρ 1 + ρ 2 )ρ k 1 2 p 0 för k 1 Vi använder att summan av alla sannolikheter måste vara = 1 för att bestämma p 0 1 = [ p k = p (ρ1 + ρ 2 ) + (ρ 1 + ρ 2 )ρ 2 + (ρ 1 + ρ 2 )ρ ] = k=0 [ = p (ρ1 + ρ 2 )(1 + ρ 2 + ρ ) ] ] 1 = p 0 [1 + (ρ 1 + ρ 2 ) 1 ρ 2 = p 0 1 ρ 2 Slutligen får vi p 0 = 1 ρ 2 p k = (ρ 1 + ρ 2 )ρ k 1 1 ρ 2 2 för k 1 (b) Det är bara kunder av typ 1 som spärras. När det finns en kund eller fler så spärras de. Ankomstintensiteten av typ 1-kunder är alltid densamma. Därför blir intensiteteten med vilken typ 1-kunder spärras λ 1 i=1 p i = λ 1 (1 p 0 ) = λ 1 ρ1 + ρ 2 Observera att detta gäller enbart då ρ 2 < 1. Om ρ 2 1 så gäller inte härledningen av p 0 i a-delen av uppgiften för då kan vi inte summera den oändliga serien i=1 Försök att fundera ut vad spärrsannolikheten blir om ρ 2 1. Svar finns på sista sidan i övningen. 6. (a) Vi definierar att tillstånd i, j = i kunder i betjänare 1 och j kunder i betjänare 2. Då ser tillståndsdiagrammet ut så här ρ i 2 4

5 (b) Vi ställer upp tillståndsekvationerna med hjälp av flöde-in flöde-utmetoden. Det ger (λ 1 + λ 2 )p 00 = µp 01 + µp 10 (µ + λ 2 )p 10 = λ 1 p 00 + µp 11 2µp 11 = (λ 1 + λ 2 )p 01 + λ 2 p 10 (λ 1 + λ 2 + µ)p 01 = λ 2 p 00 + µp 11 Sätter vi nu in λ 1 = λ 2 = µ = 1 så får vi Vilken har lösningarna 2p 00 = p 01 + p 10 2p 10 = p 00 + p 11 2p 11 = 2p 01 + p 10 3p 01 = p 00 + p 11 p 00 = 5t p 10 = 6t p 11 = 7t p 01 = 4t t är ett godtyckligt tal. För att bestämma t så utnyttjar vi att summan av alla sannolikheter ska vara = 1, vilket ger Således blir t( ) = 1 t = 1 p 00 = 5/ p 10 = 6/ p 11 = 7/ p 01 = 4/ Utnyttjningen av en betjänare är detsamma som sannolikheten att den är upptagen. Här får vi P (betjänare 1 är upptagen) = p 10 + p 11 = 13 5

6 P (betjänare 2 är upptagen) = p 01 + p 11 = 11 (c) Först beräknar vi λ eff för de två typerna av kunder och sedan använder vi Littles sats. Observera att medeltiden i systemet är samma som en medelbetjäningstid = 1/µ. För kunder av typ 1 får vi λ eff = λ 1 (p 00 + p 01 ) = 9 E(antal kunder av typ 1) = λ eff 1 µ = 9 För kunder av typ 2 får vi λ eff = λ 1 (p 00 + p 01 + p 10 ) = 15 E(antal kunder av typ 2) = λ eff 1 µ = Medelantal upptagna betjänare i hela systemet blir ρ(1 E m1+m 2 (ρ)) Medelantal upptagna betjänare i delsystem 1 blir ρ(1 E m1 (ρ)) Medelantal upptagna betjänare delsystem 2 blir skillnaden mellan medelantalet i hela systemet och medelantalet i delsystem 1 det vill säga ρ(1 E m1+m 2 (ρ)) ρ(1 E m1 (ρ)) 8. Antag att medellängden av en spärrperiod är S och att medeltiden mellan två spärrperioder är I. Det vi ska beräkna är alltså I. Spärrsannolikheten E m (ρ) är detsamma som andelen av tiden som alla betjänarna är upptagna. Det ger S S + I = E m(ρ) I = S(1 E m(ρ)) E m (ρ) För ett M/M/m*upptagetsystem så är medellängden av en spärrperiod detsamma som medeltiden som man tillbringar i sista tillståndet i Markovkedjan. I det tillståndet finns det en utpil som det står mµ på (se figur nedan). Medeltiden i ett sådant tillstånd är S = 1 mµ Slutligen får vi I = 1 E m(ρ) mµe m (ρ) 6

7 Svar på fråga till uppgift 5: Om ρ 2 1 så går antalet kunder av typ 2 i kösystemet mot oändligheten. Då är betjänaren alltid upptagen vilket innebär att kunder av typ 1 alltid spärras. Så deras spärrsannolikhet blir 1. 7

Relevanta dokument

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.

Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den avverkade och erbjudna trafiken i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till enheten Erlang för