Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Transkript

1 KONTROLLSKRIVNING Kurs: HF Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 8 maj 9 Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälmedel: Miniräknare av vilken ty som helst och bifogade formelblad (sida ). Förbjudna hjälmedel: Telefon, lato och alla elektroniska medel som kan kolas till internet. Inga toabesök eller andra raster. Denna tentamensla får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar. Fullständiga lösningar skall resenteras till alla ugifter. För godkänt krävs av ma oäng. Ugift. ().4.6 En Markovkedja har övergångsmatrisen P... Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn. Ugift. () En födelsedödsrocess med oändligt många tillstånd definieras av följande diagram Bestäm. Ugift. () Ett kösystem kan modelleras som M/M// ( betjänare, kölats). Ankomstintensiteten är kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är kunder/minut. a) Skissera tillståndsgraf med övergångsintensiteter. b) Bestäm sannolikheterna,,, och 4. c) Hur många kunder särras från systemet under timme (6 minuter)? Lycka till. (Formelblad finns å sida.) Sida av 6

2 M/M/m/K kösystem /Beteckningar: k Stationära sannolikheter; är sannolikheten för k kunder i systemet k N Medelantal kunder i systemet, N N q N s N q N s Medelantal kunder i kön Medelantal kunder i betjänarna ~ Betjäningstid för en kund (stokastisk variabel ) Medel betjäningstid för en kund, E ( ~ ) w ~ Väntetid (tid i kö) för en kund (stokastisk variabel ) W Medel väntetid för en kund, W E(w~ ) s~ Total tid i systemet för en kund; ~ s ~ w ~ T Medel totaltid i systemet för en kund T E(s ~ ), T W Ankomstintensitet Särrade kunder er tidsenhet särr Effektiv ankomstintensitet - särr Betjäningsintensitet ρ Erbjuden trafik, ρ Några formler för ett M/M/m/K kösystem: k N k, särr k ma k N T,, T W Littles formler: N T N q W N s, särr N N q N s säρρ ρ, erbjuden trafik (kallas också "betjäningsfaktor") ρsäρρ, särrad trafik, ρ, ektiv trafik Belastning er betjänare m N s. av 6

3 Ugift. ().4.6 En Markovkedja har övergångsmatrisen P... Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn. Lösning: Låt q (, y) vara en stationär sannolikhetsvektor. Då gäller qp q och Vi skriver qp y q å komonentform:.4 (, y)..6.4.y (, y)..6.y y och lägger till ekvationen y ( q är en sannolikhetsvektor) Därmed har vi systemet:.4.y.6.y.6.y y.6.y y y Andra ekvationen är samma som första. Från första ekvationen har vi 6 y som vi substituerar i tredje ekvationen och får 6. Därmed Svar: q (/, 6/) 6 y 6 6 av 6

4 Ugift. () En födelsedödsrocess med oändligt många tillstånd definieras av följande diagram Bestäm. Lösning: Först uttrycker vi,,,... som funktioner av : (*) För att bestämma substituerar vi (*) i villkoret och får. Vi bryter ut och använder formeln för den oändliga geometriska summan... med (notera att < ). 4 av 6

5 4 Vi får och därmed. Svar: 4 Ugift. () Ett kösystem kan modelleras som M/M// ( betjänare, kölats). Ankomstintensiteten är kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är kunder/minut. a) Skissera tillståndsgraf med övergångsintensiteter. b) Bestäm sannolikheterna,,, och 4. c) Hur många kunder särras från systemet under timme (6 minuter)? Lösning: a) dvs b) Från grafen har vi 6,,, Detta substitueras i 4 och fås 88/ och från (*) 7/8.96 9/ av 6

6 7/ / c) särr k ma kunder er minut. Under timme (6 minuter) särras 6 * kunder. 6 av 6