Stockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg

Transkript

1 Stockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, VT Skrivtid: Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade tabeller samt ett egenhändigt handskrivet formelblad på ett A4-ark med text på båda sidor. Tentamensgenomgång och återlämning: Fredagen den 8 juni kl i sal B705. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Tentamen består av 5 uppgifter som totalt kan ge 100 poäng. Fullständiga lösningar måste lämnas in för att generera full poäng på en fråga. Använd endast institutionens papper för dina svar och lösningar Betygskriterier A: poäng B: poäng C: poäng D: poäng E: poäng F: 0-49 poäng Lösningsförslag till denna tentamen läggs upp på kurshemsidan kl LYCKA TILL! 1

2 Uppgift 1 (16p) Den tvådimensionerade stokstatiska variabeln(x, Y) har den simultana sannolikhetsfördelningen y x /12 1/6 1/4 0 1/18 1/9 1/6 1 1/36 1/18 1/12 a) Beräkna E(X) och E(Y) (4p) b) Beräkna Cov[X,Y] och Corr[X,Y] (6p) c) Beräkna E[W] och E[WY] om W = 3X +Y (6p) Tips: Man kan använda att Cov[X,Y] = E[XY] E[X]E[Y] Uppgift 2 (23p) Följande värden observerades på en tidsserie Y t under en femårsperiod där t mäts i halvår. år 1 år 2 år 3 år 4 år 5 Våren Hösten Antag att följande regressionsmodell med trend och säsong anpassades till datamaterialet: y t = b 0 +b 1 t+b 2 D 1 +e t där och D 1 = t = 1,2,...,10 { 1 om det är höst 0 annars a) Den skattade modellen är ŷ t = t+3.0D 1. Beräkna residualernas kvadratsumma, SSE, för de 10 observationerna. (8p) 2

3 b)beräknadenskattadeautokorrelationen av förstaordningen, r 1, förresidualerna i a). (5p) c) Antag att man utgår ifrån samma anpassademodell y t = b 0 +b 1 t+b 2 D 1 + e t men med skillnaden att det nu finns 30 observationer i stickprovet och att man har observerat r 1 = 0.4. Genomför Durbin-Watsons autokorrelationstest på 5% signifikansnivå utifrån följande hypotesuppställning. H 0 : φ = 0 H 1 : φ 0 Var noga med att redovisa alla steg i hypotesprövningen samt din slutsats. (6p) d) Förklara kortfattat varför en hög autokorrelation i feltermerna i en regressionsmodell är ett problem. (4p) Uppgift 3 (17p) Totte har börjat intressera sig för sociala medier. Vid tidpunkt 0 investerar han sitt startkapital jämnt fördelat på 4 aktier: Facebook, Google, Microsoft och Apple. Dessa 4 aktier representeras i tur och ordning av tillstånden E 1, E 2, E 3 och E 4 (där E 1 motsvarar facebookaktier, osv). Anta att fördelningen av värdet, varje månad, på de 4 aktierna i Tottes portfölj följer en Markovkedja med övergångsmatrisen: a) Ange startfördelningen p (0) för Markovkedjan. (3p) b) Beräkna fördelningsvektorerna p (1) och p (2). Om du är osäker på svaret i uppgift a) kan du i dina beräkningar i b) anta att p (0) =( ). (10p) c) Motivera hur man kan modellera en enkel slumpvandring X(t), t = 1,2,...,n som en markovkedja med två tillstånd E 1 och E 2 vid varje tidpunkt. (4p) 3

4 Uppgift 4 (20p) Antag att en stokastisk process kan modelleras med en AR(1) modell med drift: Z t = δ +φ 1 Z t 1 +a t där a t N(0,σ a 2 ) och där Z t är en stationär tidsserie efter en differens på den ursprungliga tidsserien Y t. a) Härled E[Z t ]. Var noggrann med att visa alla steg i beräkningarna. (6p) b) Följande värden observerades på Y t : t y t Skatta φ 1 för AR(1) modellen. (6p) c) Rita ett diagram över en stationär tidsserie och ett diagram över en ickestationär tidsserie. Motivera varför den första serien är stationär och varför den andra inte är det. (4p) d) Skriv ned modellen samt beskriv kort de olika komponenterna i en ARIMA(2,2,2) modell. (4p) Uppgift 5 (24p) a) Priset på en aktie vid en viss tidpunkt, X(t), följer en Brownsk rörelse med drift där driftparametern µ = 2, standardavvikelsen σ = 3 och där t mäts i dagar. Om priset på aktien idag är 60 kronor, vad är sannolikheten att priset om 4 dagar har ökat med mer än 20 kronor? (6p) 4

5 b) Efter att ha anpassat en regressionsmodell på ett datamaterial erhöll man följande ANOVA-tablå: Variation SS df MS F obs Regression ? ? Residualer? 24? Totalt ? R 2 =? (i) Fyll i de uppgifter som saknas i ANOVA-tablån. (ii) Motivera om man kan förkasta H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 på 5% signifikansnivå. (6p) c) En fastighetsmäklare undersöker hur sannolikheten Π att få en bostadsrätt såld påverkas av antalet besökare på visningen, X. Med hjälp av en statistiker skattar han följande logistiska regressionsmodell: ˆΠ = e x 1+e x (i)hurförändrassannolikheten ˆΠdåxökarfrån10besökaretill20besökare? (ii) Beskriv varför en logistisk modell behövs för att skatta sannolikheten Π. (6p) d) Följande priser och kvantiteter observerades på två varor mellan åren 2007 och Vara Pris Kvantitet Vara Pris Kvantitet Beräkna Paasche s prisindex för med 2007 som basår. (6p) 5