Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00

Transkript

1 KONTROLLSKRIVNING 1 Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst. Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet. Inga toabesök eller andra raster. Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 5 av max 9 poäng. Uppgift 1. (2 p) För händelserna A och B gäller att P ( A B) = 0. 7, P ( A B C ) = 0. 3 och P ( A) = 0. 4 a) Bestäm sannolikheten P (B) b) Bestäm sannolikheten ( ) C Uppgift 2. (1p) P ( A B ). Man kastar en tärning 7 gånger. Bestäm sannolikheten att man får 1 exakt 3 gånger. Uppgift 3. (2p) Bland 50 produkter finns 20 av typ A, 25 av typ B och 5 av typ C. Man tar 15 produkter på måfå utan återläggning och utan hänsyn till ordning. a) Vad är sannolikhet att få exakt 10 av typ B (av 15 valda)? b) Vad är sannolikhet att få exakt 5 av typ A, 7 av typ B och 3 av typ C (bland15 valda)? n Du svarar med binomiska koefficienter. k Uppgift 4. (2p) Ett företag som tillverkar glöd lampor av en viss typ har tillverkningen förlagt i 4 olika fabriker. Fabrik A står för 10 % av tillverkningen, fabrik B för 20 %, fabrik C för 30%, och D för 40%. Sannolikheten för att en glödlampa från fabrik A är defekt är 2%. Motsvarande sannolikheten för en defekt lampa från B är 4 %, från C 6% och från D 8%. Produkter blandas och skickas till försäljning. a) Anna köper en glödlampa. Vad är sannolikheten att lampan är defekt? b) Nicklas köper en glödlampa och finner att den är defekt. Vad är sannolikheten att den tillverkats i fabrik B? Sida 1 av 5

2 Var god vänd! Uppgift 5. (1p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger (hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Ur en kortlek på 52 kort väljer vi slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten att vi får fem kort i följd i vilken färg som helst? T ex: ess hjärter, 2 spader, 3 spader, 4 klöver, 5 klöver, eller 8, 9, 10, knekt, dam, även 10, knekt, dam, kung, ess räknas. Uppgift 6. (1p) Meddelanden kodade i binäratecken 0 och 1 överförs i ett nätverk. Av de utsända tecknen förekommer tecken 1 i 40% fall och tecken 0 i 60% fall. Signalerna störs av ett brus och därför förekommer felaktiga överföringar. Ett utsänt tecken 0 mottags som 0 med sannolikhet 0.97 ( och felaktigt som 1 med sannolikhet 0.03). Ett utsänt tecken 1 mottags som 1med sannolikhet 0.95 ( och felaktigt som 0 med sannolikhet 0.05). Om 1 har mottagits, vad är då sannolikheten att 1 har sänts? Lycka till! Sida 2 av 5

3 FACIT Uppgift 1. (2 p) För händelserna A och B gäller att P ( A B) = 0. 7, P ( A B C ) = 0. 3 och P ( A) = 0. 4 a) Bestäm sannolikheten P (B) b) Bestäm sannolikheten ( ) C a) Först P ( A B) = 0. 1 P ( A B ). Från A B) = A) + B) A B) får vi P 0.7 = P ( B) 0.1 B) = 0.4 C b) ( A B )) = A B) = 0. 1 Uppgift 2. (1p) Man kastar en tärning 7 gånger. Bestäm Sanolikheten att man får 1 exakt 3 gånger = Uppgift 3. (2p) Bland 50 produkter finns 20 av typ A, 25 av typ B och 5 av typ C. Man tar 15 produkter på måfå utan återläggning och utan hänsyn till ordning. a) Vad är sannolikhet att få exakt 10 av typ B (av 15 valda)? b) Vad är sannolikhet att få exakt 5 av typ A, 7 av typ B och 3 av typ C (bland15 valda)? n Du svarar med binomiska koefficienter. k Svar: Sida 3 av 5

4 a) b) Uppgift 4. (2p) Ett företag som tillverkar glöd lampor av en viss typ har tillverkningen förlagt i 4 olika fabriker. Fabrik A står för 10 % av tillverkningen, fabrik B för 20 %, fabrik C för 30%, och D för 40%. Sannolikheten för att en glödlampa från fabrik A är defekt är 2%. Motsvarande sannolikheten för en defekt lampa från B är 4 %, från C 6% och från D 8%. Produkter blandas och skickas till försäljning. a) Anna köper en glödlampa. Vad är sannolikheten att lampan är defekt? b) Nicklas köper en glödlampa och finner att den är defekt. Vad är sannolikheten att den tillverkats i fabrik B? a) Pa= = b) Pb= = = Uppgift 5. (1p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger (hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Ur en kortlek på 52 kort väljer vi slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten att vi får fem kort i följd i vilken färg som helst? T ex: ess hjärter, 2 spader, 3 spader, 4 klöver, 5 klöver, eller 8, 9, 10, knekt, dam, även 10, knekt, dam, kung, ess räknas. Följande 10 olika händer (men i vilka färger som helst) är 5 kort i följd: (ess, 2, 3, 4, 5), (2, 3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 7, 8),, (9, 10, knekt, dam, kung) och (10, knekt, dam, kung, ess ). Sida 4 av 5

5 Betrakta först fallet (ess, 2, 3, 4, 5) i alla möjliga färger. ess kan vi välja på 4 sätt,, 5 kan vi välja på 4 sätt. Därmed kan vi välja (ess, 2, 3, 4, 5) på =4 5 sätt. Därför är antalet alla gynnsamma fall g= Antalet alla fall är N 52 = Därmed är P = = = Uppgift 6. (1p) Meddelande kodade i binäratecken 0 och 1 överförs i ett nätverk. Av de utsända tecken förekommer tecken 1 i 40% fall och tecken 0 i 60% fall. Signalerna störs av ett brus och därför förekommer felaktiga överföringar. Ett utsänt tecken 0 mottags som 0 med sannolikhet 0.97 ( och felaktigt som 1 med sannolikhet 0.03). Ett utsänt tecken 1 mottags som 1med sannolikhet 0.95 ( och felaktigt som 0 med sannolikhet 0.05). Om 1 har mottagits, vad är då sannolikheten att 1 har sänts? Beteckning: Os = 0 sänds Om= 0 mottags Is= 1 sänds Im= 1 mottags. Den totala sannolikheten för Im= Is Im) Is Im) = = = = Im) Sida 5 av 5